Жесткости для многослойных поверхностей

1. ==== Местная матрица жесткости каждого слоя ====

1. * Изотропная
2. $d_i\text{'}=\left[\begin{array}{ccc}d{\text{'}}_{11,i}& d{\text{'}}_{12,i}& 0\\ & d{\text{'}}_{22,i}& 0\\ sym.& & d{\text{'}}_{33,i}\end{array},),=,\left[\begin{array}{ccc}\frac{E_i}{1-{\nu }_i^2}& \frac{{\nu }_i{E}_i}{1-{\nu }_i^2}& 0\\ & \frac{E_i}{1-{\nu }_i^2}& 0\\ sym.& & G_i\end{array},), ,i,=,1,,,.,.,.,,,n, ,m,i,t, ,G_i,=,\frac{E_i}{2\left(1+{\nu }_i\right)}\right]\right]$

   Слой матрицы жесткости изотропный

1. * Ортотропная
2. $d_i\text{'}=\left[\begin{array}{ccc}d{\text{'}}_{11,i}& d{\text{'}}_{12,i}& 0\\ & d{\text{'}}_{22,i}& 0\\ sym.& & d{\text{'}}_{33,i}\end{array},),=,\left[\begin{array}{ccc}\frac{E_{x,i}}{1-{\nu }_{xy,i}^2{\displaystyle \frac{E_{y,i}}{E_{x,i}}}}& \frac{{\nu }_{xy,i}{E}_{y,i}}{1-{\nu }_{xy,i}^2{\displaystyle \frac{E_{y,i}}{E_{x,i}}}}& 0\\ & \frac{E_{y,i}}{1-{\nu }_{xy,i}^2{\displaystyle \frac{E_{y,i}}{E_{x,i}}}}& 0\\ sym.& & G_{xy,i}\end{array},), ,i,=,1,,,.,.,.,,,n\right]\right]$

   Слой матрицы жесткости ортотропный

1. #banner.text">Для ортотропного материала модуль сдвига в плоскости пластины (G_xy ) определяется с помощью значений материала, тогда как для изотропного материала он определяется из модуля упругости и поперечной деформации. Поэтому для ортотропных материалов важен коэффициент Пуассона и принцип «место-причина».

1. Жёсткости на сдвиг для ортотропного материала следующие:

1. #таблица.uni#
2. ширина=10%|ширина=90%
3. G_xy |Модуль сдвига в плоскости стены (например, 690 Н/мм² для C24)

_xZ | Модуль сдвига в направлении x по толщине (например, 690 Н/мм² для C24)
_GYZ | Модуль сдвига в направлении y по толщине (например, 690 Н/мм² для C24) - также называемый «модуль сдвига качения».

1. Кроме того, ортотропный материал имеет ту особенность, что направленная жесткость может быть задана на поверхности. По умолчанию местная ориентация поверхности или слоя в направлении x соответствует жесткости в направлении x. Поскольку она может быть свободно задана с помощью угла β в типе толщины 'Layers', необходимо соответствующим образом преобразовать жесткости.

1. $d_i=\left[\begin{array}{ccc}{d}_{11,i}& d_{12,i}& d_{13,i}\\ & d_{22,i}& d_{23,i}\\ sym.& & d_{33,i}\end{array},),=,T_{3x3,i}^T,d,{\text{'}}_i,T_{3x3,i}\right]$

   Трансформационные жесткости

1. $T_{3x3,i}=\left[\begin{array}{ccc}c²& s²& cs\\ s²& c²& -cs\\ -2cs& 2cs& c²-s²\end{array},), ,m,i,t, ,c,=,\cos ,(,{\beta }_i,),,, ,s,=,\sin ,(,{\beta }_i,)\right]$

   Матрица трансформации

1. Суммарный элемент каждого слоя:
2. $d_{11,i}=c^{4}d{\text{'}}_{11,i}+2c²s²d{\text{'}}_{12,i}+s^{4}d{\text{'}}_{22,i}+4c²s²d{\text{'}}_{33,i}$
   
   $d_{12,i}=c^2{s}^{2}d{\text{'}}_{11,i}+s^{4}d{\text{'}}_{12,i}+c^{4}d{\text{'}}_{12,i}+c²s²d{\text{'}}_{22,i}-4c²s²d{\text{'}}_{33,i}$
   
   $d_{13,i}=c^{3}sd{\text{'}}_{11,i}+c{s}^{3}d{\text{'}}_{12,i}-c^{3}sd{\text{'}}_{12,i}-c{s}^{3}d{\text{'}}_{22,i}-2c^{3}sd{\text{'}}_{33,i}+2c{s}^{3}d{\text{'}}_{33,i}$
   
   $d_{22,i}=s^{4}d{\text{'}}_{11,i}+2c²s²d{\text{'}}_{12,i}+c^{4}d{\text{'}}_{22,i}+4c²s²d{\text{'}}_{33,i}$
   
   $d_{23,i}=c{s}^{3}d{\text{'}}_{11,i}+c^{3}sd{\text{'}}_{12,i}-c{s}^{3}d{\text{'}}_{12,i}-c^{3}sd{\text{'}}_{22,i}+2c^{3}sd{\text{'}}_{33,i}-2c{s}^{3}d{\text{'}}_{33,i}$
   
   $d_{33,i}=c^2{s}^{2}d{\text{'}}_{11,i}-2c²s²d{\text{'}}_{12,i}+c^2{s}^{2}d{\text{'}}_{22,i}+{\left(}^{c^2-s^2}d{\text{'}}_{33,i}$

   Индивидуальные сроки в смену

1. === Изгибаемые и крутящие элементы [Нм] ===

1. Элементы матрицы для изгиба и кручения приведены в уравнениях ниже.

1. $D_{11}=\sum _{i=1}^n\frac{z_{max,i}^3-z_{min,i}^3}{3}{d}_{11,i}$

   Жесткость на изгиб в x

1. $D_{12}=\sum _{i=1}^n\frac{z_{max,i}^3-z_{min,i}^3}{3}{d}_{12,i}$

   Срок эксцентриситета (12)

1. $D_{22}=\sum _{i=1}^n\frac{z_{max,i}^3-z_{min,i}^3}{3}{d}_{22,i}$

   Жесткость на изгиб, y

1. $D_{13}=\sum _{i=1}^n\frac{z_{max,i}^3-z_{min,i}^3}{3}{d}_{13,i}$

   Условие эксцентриситета (13)

1. $D_{23}=\sum _{i=1}^n\frac{z_{max,i}^3-z_{min,i}^3}{3}{d}_{23,i}$

   Условие эксцентриситета (23)

1. $D_{33}=\sum _{i=1}^n\frac{z_{max,i}^3-z_{min,i}^3}{3}{d}_{33,i}$

   жесткость на кручение

1. Если имеется только один слой толщины типа 'Слои', то расчет основан на параметрах, описанных в руководстве RFEM]].

1. Для сдвига (элемент D44/55) применяются различные уравнения в толщине типа 'Слои'. Они описаны в разделе {%://#сдвиг-в-плоскости Сдвиг в плоскости плиты]].

1. === Условия эксцентриситета [Нм/м] ===

1. У несимметричных пластин возникают эксцентриситеты. Образование асимметричной поверхности может быть, например, в расчете на огнестойкость из-за одностороннего обугливания поперечно-клеёной деревянной плиты. Элементы матрицы следующие:

1. $D_{16}=\sum _{i=1}^n\frac{z_{max,i}^2-z_{min,i}^2}{2}{d}_{11,i}$

   Элемент эксцентриситета D16

1. $D_{17}=\sum _{i=1}^n\frac{z_{max,i}^2-z_{min,i}^2}{2}{d}_{12,i}$

   Элемент эксцентриситета D17

1. $D_{18}=\sum _{i=1}^n\frac{z_{max,i}^2-z_{min,i}^2}{2}{d}_{13,i}$

   Элемент эксцентриситета D18

1. $D_{27}=\sum _{i=1}^n\frac{z_{max,i}^2-z_{min,i}^2}{2}{d}_{22,i}$

   Элемент эксцентриситета D27

1. $D_{28}=\sum _{i=1}^n\frac{z_{max,i}^2-z_{min,i}^2}{2}{d}_{23,i}$

   Элемент эксцентриситета D28

1. $D_{38}=\sum _{i=1}^n\frac{z_{max,i}^2-z_{min,i}^2}{2}{d}_{33,i}$

   Элемент эксцентриситета D38

1. === Плоскость слоя [Н/м] ===

1. На плоскости «Панельная стена» отображаются нормальные жесткости в плоскости стеклопакета. Поперечная сила в панели рассчитывается с помощью элемента D88. Элементы матрицы следующие:

1. $D_{66}=\sum _{i=1}^n{t}_i{d}_{11,i}$

   Осевая жесткость x D66

1. $D_{67}=\sum _{i=1}^n{t}_i{d}_{12,i}$

   Нормальная жесткость Эксцентричный D67

1. $D_{68}=\sum _{i=1}^n{t}_i{d}_{13,i}$

   Нормальная жесткость Эксцентричная D68

1. $D_{77}=\sum _{i=1}^n{t}_i{d}_{22,i}$

   Осевая жесткость y D77

1. $D_{78}=\sum _{i=1}^n{t}_i{d}_{23,i}$

   Нормальная жесткость Эксцентричная D78

1. $D_{88}=\sum _{i=1}^n{t}_i{d}_{33,i}$

   Сдвиг плиты D88

1. === Сдвиг в плоскости плиты [Н/м] ===

1. Чтобы определить жесткость на сдвиг для ортотропного материала, необходимо повернуть жесткости в соответствии с их ориентацией относительно местной оси поверхности. Это необходимо сделать для каждого слоя толщины типа 'Слои'. В простой многослойной структуре с ориентацией 0 ° поверхностного слоя и ориентацией нижележащего слоя 90 ° присутствует высокая жесткость при сдвиге, которую необходимо соответственно учитывать для многослойной модели. На следующем рисунке (Источник [1]) это показано на примере плиты из поперечно-клеёной древесины.

1. 

   Деформация сдвига (Источник: Информационная древесина)

1. В теории слоистых материалов, жесткость на сдвиг многослойной конструкции рассчитывается путем преобразования всех компонентов изгиба и сдвига в соответствующих направлениях каждого слоя. Более подробную информацию вы можете найти в литературе, указанной ниже.

1. 

   Ориентация на устойчивость

1. Используя преобразование жесткости, показанное на рисунке, жесткости складываются. Это суммирование также известно как «интеграл Грасгофа».

1. $D_{44,calc}^{"}=\frac{1}{{\int }_{-t/2}^{t/2}{\displaystyle \frac{{\displaystyle G_{22}^{"}\left(z\right)}}{{\displaystyle G_{11}^{"}\left(z\right)G_{22}^{"}\left(z\right)-{G_{12}^{"}}^2\left(z\right)}}}{\left(}^{{\displaystyle \frac{{\int }_z^{t/2}{E}_x^{"}\left(\overline{z}\right)(\overline{z}-z_{0,x})d\overline{z}}{{\int }_{-t/2}^{t/2}{E}_x^{"}\left(\overline{z}\right){(\overline{z}-z_{0,x})}^{2}d\overline{z}}}}dz}$

   Жёсткость на сдвиг вдоль x

1. Чтобы рассчитать жесткость в направлениях x и y, для каждой конструкции многослойной поверхности рассчитывается центр жесткости.

1. $z_{0,x}=\frac{{\int }_{-t/2}^{t/2}{E}_x^{"}\left(\overline{z}\right)\overline{z}d\overline{z}}{{\int }_{-t/2}^{t/2}{E}_x^{"}\left(\overline{z}\right)d\overline{z}}=\frac{I_1}{I_0}$

   Центр жёсткости вдоль x

1. $D_{55,calc}^{"}=\frac{1}{{\int }_{-t/2}^{t/2}{\displaystyle \frac{G_{11}^{"}\left(z\right)}{G_{11}^{"}\left(z\right)G_{22}^{"}\left(z\right)-{G_{12}^{"}}^2\left(z\right)}}{\left(}^{{\displaystyle \frac{{\int }_z^{t/2}{E}_y^{"}\left(\overline{z}\right)(\overline{z}-z_{0,x})d\overline{z}}{{\int }_{-t/2}^{t/2}{E}_y^{"}\left(\overline{z}\right){(\overline{z}-z_{0,x})}^{2}d\overline{z}}}}dz}$

   Жесткость на сдвиг вдоль оси y

1. Центр жёсткости вдоль y:
2. $z_{0,x}=\frac{{\int }_{-t/2}^{t/2}{E}_y^{"}\left(\overline{z}\right)\overline{z}d\overline{z}}{{\int }_{-t/2}^{t/2}{E}_y^{"}\left(\overline{z}\right)d\overline{z}}=\frac{I_1}{I_0}$

   Центр жёсткости вдоль y

1. Для определения ориентации по положению при расчете жесткости на сдвиг, жесткости определяются по следующим уравнениям.

1. $G_{11,i}^{"}={\cos }^2(\phi -{ß}_i)G_{xz,i}+{\sin }^2(\phi -{ß}_i)G_{yz,i}$

   Ориентированная жесткость на сдвиг G11

1. G означает жесткость слоев на сдвиг, во избежание ошибок у элементов матрицы жесткости (D).

1. Жесткость на сдвиг каждого слоя также можно отобразить в виде матрицы следующим образом:

1. $\left[\begin{array}{cc}{G}_{11}& G_{12}\\ G_{21}& G_{22}\end{array},)\right]$

   Матрица жёсткости на сдвиг

1. $G_{22,i}^{"}={\sin }^2(\phi -{ß}_i)G_{xz,i}+{\cos }^2(\phi -{ß}_i)G_{yz,i}$

   Ориентированная жесткость на сдвиг G22

1. Внецентренная жесткость при сдвиге в следующем уравнении всегда равна нулю и, таким образом, не имеет значения для упомянутой выше симметричной конструкции из поперечно-клееной древесины (0°/90°/0°). Например, у диагонально клееного поперечно-клееного бруса DLT ( Диагонально ламинированная древесина ) данный элемент эксцентриситета не равен нулю и, следовательно, играет важную роль.

1. $G_{12}^{"}=(G_{xz,i}-G_{yz,i})\sin (\phi -{ß}_i)\cos (\phi -{ß}_i)$

   Внецентренно ориентированная жесткость на сдвиг G12

1. Дополнительную информацию можно найти в {%://#Refer [4]]] и в этом видео YouTube.

1. ==== Расчет жесткости на сдвиг ====

1. Жесткость при сдвиге определяется следующим образом:

1. #Сначала определяется угол максимальной жесткости, Угол φ показывает изменение местной системы координат поверхности x в зависимости от ориентированного направления х .
2. #Все жесткости повернуты в ориентированном направлении ''х'' согласно уравнениям, представленным выше .
3. #Матрица жесткости пластины каждого слоя (3 x 3) преобразуется из местной системы координат x', y' в повернутую систему х'',y" . Кроме расчета {%://#directed-stiffness жесткости направленного сдвига]] каждого отдельного слоя, это также выполняется для модулей упругости каждого слоя.[T36}{T37]
4. #Жесткость при сдвиге рассчитывается по уравнениям (интеграл Грасгофа), описанным выше. Жесткость на сдвиг затем рассчитывается по отдельным частям.
   $I={\int }_{-h/2}^{h/2}{d}_{11}\left(z\right){(z-z_{0,x})}^{2}dz=\sum _{i=1}^n{d}_{11,i}\frac{{(z_{max,i}-z_{0,x})}^3-{(z_{min,i}-z_{0,x})}^3}{3}$

   Момент инерции сечения вдоль x
   ${\chi }_i=d_{11,i}\frac{{(z_{max,i}-z_{0,x})}^2}{2}+\sum _{k=i+1}^n{d}_{11,k}\frac{{(z_{max,i}-z_{0,x})}^2-{(z_{min,i}-z_{0,x})}^2}{2}$

   Эквивалентная жесткость по слоям (in x)
   Здесь уравнения отображаются только для направления x (D44). То же самое относится к направлению y. Эквивалентная жесткость (компонент Stinter) рассчитывается для каждого слоя.
5. #Наконец-то, рассчитанные жесткости для ориентированного направления всей конструкции будут пересчитаны с помощью угловых соотношений и отображены в качестве исходных жесткостей D44, D55 и D45 в матрице жесткости.
   $D_{44}={\cos }^2\left(\phi \right)D_{44}^{"}+{\sin }^2\left(\phi \right)D_{55}^{"}$

   Пересчитанная жесткость на сдвиг D44
   $D_{55}={\sin }^2\left(\phi \right)D_{44}^{"}+{\cos }^2\left(\phi \right)D_{55}^{"}$

   Пересчитанная жёсткость на сдвиг D55
   $D_{45}=\sin \left(\phi \right)\cos \left(\phi \right)(D_{44}^{"}-D_{55}^{"})$

   Пересчитанная жёсткость на сдвиг D45