Онлайн-руководства RFEM 6 | Многослойные поверхности

Назад к руководствам онлайн

2263x

003626

Dipl.-Ing. (FH) Bastian Kuhn, M.Sc.

2023-10-19

Выбрать руководство

Обзор

Дополнение к многослойным поверхностям

Теория

Ввод данных

Результаты

Примеры расчёта

Жёсткости слоисто композитных поверхностей

Модели материалов

Основой для составления многослойных поверхностей с эффективной жесткостью являются модели материалов. С помощью расширения многослойные поверхности модели материалов можно свободно комбинировать в программе RFEM 6. Основы моделей материалов описаны в главах материалы и нелинейное поведение материала руководства RFEM.

Выбор возможностей комбинирования моделей материалов представлен в модели "Многослойные модели" (см. правый столбец), которую вы можете скачать для дальнейшего изучения комбинаций.

Следующий список показывает выбор возможных комбинаций:

Изотропные слои (например, бетон - сталь)
Ортотропные слои (например, клееная древесина)
Изотропный - ортотропный (например, сталь - GFRP)
Изотропный пластический - изотропный (например, бетон - сталь)
Изотропный нелинейный упругий - ортотропный (например, бетон - дерево)
Изотропный - ортотропный пластический (например, бетон - дерево)
Изотропное разрушение - ортотропное (например, бетон - дерево)

Инфо

Для комбинации нелинейных материалов необходимо активировать расширение нелинейное поведение материалов.

Жёсткости многослойных поверхностей без объемов

Более простым вариантом расчета в расширении многослойные поверхности является определение различных слоев поверхности в типе толщины 'Слои' без объемов. Однако здесь также модели материалов можно свободно комбинировать.

При определении слоев расширение многослойные поверхности создает глобальную матрицу жесткости поверхности. В RFEM для этой поверхности рассчитываются внутренние силы и деформации. В соответствующем расширении для расчетов, например, деревянные конструкции или напряженно-деформационный анализ, эти внутренние силы распределяются на имеющиеся слои. Обычно внутренние силы выводятся в трех интеграционных точках для каждого слоя.

Расчётный поток для многослойных поверхностей

Расчёт многослойных поверхностей

В следующем разделе будет пояснен расчет матрицы жесткости при изотропных и ортотропных материалах.

Расчет матрицы жесткости

Основы моделей материалов основываются на следующих условиях (см. также главу материалы руководства RFEM):

Все значения жесткости ≥ 0
Общая матрица жесткости поверхности должна быть положительно-определенной.
Основное уравнение для изотропных материалов:

E = 2 G (1 + ν)

E	Мод. упруг.
G	модуль сдвига
ν	поперечная деформация

Модуль упругости, модуль сдвига и коэффициент Пуассона

Основное уравнение для ортотропных материалов:

\frac{ν_{y x}}{E_{y}} = \frac{ν_{x y}}{E_{x}}

Отношение поперечной деформации

Локальная матрица жесткости каждого слоя

Изотропный

d_{i}' = [\begin{matrix} d'_{11, i} & d'_{12, i} & 0 \\ d'_{22, i} & 0 \\ s y m . & d'_{33, i} \end{matrix}] = [\begin{matrix} \frac{E_{i}}{1 - ν_{i}^{2}} & \frac{ν_{i} E_{i}}{1 - ν_{i}^{2}} & 0 \\ \frac{E_{i}}{1 - ν_{i}^{2}} & 0 \\ s y m . & G_{i} \end{matrix}] i = 1, . . ., n m i t G_{i} = \frac{E_{i}}{2 (1 + ν_{i})}

Слой матрицы жесткости изотропный

Ортотропный

d_{i}' = [\begin{matrix} d'_{11, i} & d'_{12, i} & 0 \\ d'_{22, i} & 0 \\ s y m . & d'_{33, i} \end{matrix}] = [\begin{matrix} \frac{E_{x, i}}{1 - ν_{x y, i}^{2} \frac{E_{y, i}}{E_{x, i}}} & \frac{ν_{x y, i} E_{y, i}}{1 - ν_{x y, i}^{2} \frac{E_{y, i}}{E_{x, i}}} & 0 \\ \frac{E_{y, i}}{1 - ν_{x y, i}^{2} \frac{E_{y, i}}{E_{x, i}}} & 0 \\ s y m . & G_{x y, i} \end{matrix}] i = 1, . . ., n

Слой матрицы жесткости ортотропный

Инфо

Для ортотропного материала модуль сдвига в плоскости плиты (G_xy) определяется через материал, тогда как для изотропного материала он определяется из модуля упругости и коэффициента поперечной деформации. Поэтому для ортотропного материала связь поперечной деформации с принципом "место-причина" важна.

Сдвиговые жесткости для ортотропного материала следующие:

G_xy	Модуль сдвига в плоскости плиты (например, 690 Н/мм² для C24)
G_xz	Модуль сдвига в направлении x по толщине (например, 690 Н/мм² для C24)
G_yz	Модуль сдвига в направлении y по толщине (например, 690 Н/мм² для C24) – также называется "модуль поперечного сдвига"

Для ортотропного материала также возможна особенность, что направленные жесткости в поверхности можно определить. В стандартном случае локальная ориентация поверхности или слоя в направлении x соответствует жесткости в направлении x. Однако, поскольку это можно свободно определять через угол β в типе толщины 'Слои', необходимо соответствующим образом преобразовать жесткости.

d_{i} = [\begin{matrix} d_{11, i} & d_{12, i} & d_{13, i} \\ d_{22, i} & d_{23, i} \\ s y m . & d_{33, i} \end{matrix}] = T_{3 x 3, i}^{T} d'_{i} T_{3 x 3, i}

Трансформационные жесткости

T_{3 x 3, i} = [\begin{matrix} c ² & s ² & c s \\ s ² & c ² & - c s \\ - 2 c s & 2 c s & c ² - s ² \end{matrix}] m i t c = \cos (β_{i}), s = \sin (β_{i})

Матрица трансформации

Подсуммированное значение каждого слоя:

d_{11, i} = c^{4} d'_{11, i} + 2 c ² s ² d'_{12, i} + s^{4} d'_{22, i} + 4 c ² s ² d'_{33, i}

d_{12, i} = c^{2} s^{2} d'_{11, i} + s^{4} d'_{12, i} + c^{4} d'_{12, i} + c ² s ² d'_{22, i} - 4 c ² s ² d'_{33, i}

d_{13, i} = c^{3} s d'_{11, i} + c s^{3} d'_{12, i} - c^{3} s d'_{12, i} - c s^{3} d'_{22, i} - 2 c^{3} s d'_{33, i} + 2 c s^{3} d'_{33, i}

d_{22, i} = s^{4} d'_{11, i} + 2 c ² s ² d'_{12, i} + c^{4} d'_{22, i} + 4 c ² s ² d'_{33, i}

d_{23, i} = c s^{3} d'_{11, i} + c^{3} s d'_{12, i} - c s^{3} d'_{12, i} - c^{3} s d'_{22, i} + 2 c^{3} s d'_{33, i} - 2 c s^{3} d'_{33, i}

d_{33, i} = c^{2} s^{2} d'_{11, i} - 2 c ² s ² d'_{12, i} + c^{2} s^{2} d'_{22, i} + {(c^{2} - s^{2})}^{2} d'_{33, i}

Индивидуальные сроки в смену

Элементы изгиба и кручения [Нм]

Элементы матриц для изгиба и кручения указаны в следующих уравнениях.

D_{11} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{3} - z_{m i n, i}^{3}}{3} d_{11, i}

Жесткость на изгиб в x

D_{12} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{3} - z_{m i n, i}^{3}}{3} d_{12, i}

Срок эксцентриситета (12)

D_{22} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{3} - z_{m i n, i}^{3}}{3} d_{22, i}

Жесткость на изгиб, y

D_{13} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{3} - z_{m i n, i}^{3}}{3} d_{13, i}

Условие эксцентриситета (13)

D_{23} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{3} - z_{m i n, i}^{3}}{3} d_{23, i}

Условие эксцентриситета (23)

D_{33} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{3} - z_{m i n, i}^{3}}{3} d_{33, i}

жесткость на кручение

При наличии всего одного слоя в типе толщины 'Слои' расчет выполняется на основе уравнений, изложенных в руководстве RFEM.

Для сдвига (элементы D44/55) в типе толщины 'Слои' применяются другие уравнения. Они представлены в разделе сдвиг в плоскости плиты.

Условия эксцентриситета [Нм/м]

Для нессимметричных плит появляются условия эксцентриситета. Нессимметричная поверхность может возникнуть, например, при расчете пожарной безопасности из-за одностороннего обгорания клееной деревянной панели. Элементы матрицы следующие:

D_{16} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{2} - z_{m i n, i}^{2}}{2} d_{11, i}

Элемент эксцентриситета D16

D_{17} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{2} - z_{m i n, i}^{2}}{2} d_{12, i}

Элемент эксцентриситета D17

D_{18} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{2} - z_{m i n, i}^{2}}{2} d_{13, i}

Элемент эксцентриситета D18

D_{27} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{2} - z_{m i n, i}^{2}}{2} d_{22, i}

Элемент эксцентриситета D27

D_{28} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{2} - z_{m i n, i}^{2}}{2} d_{23, i}

Элемент эксцентриситета D28

D_{38} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{2} - z_{m i n, i}^{2}}{2} d_{33, i}

Элемент эксцентриситета D38

Плоскость плиты [Н/м]

В плоскости плиты рассматриваются нормальные жесткости в плоскости плиты. С элементом D88 рассчитывается сдвиг в плите – то есть поперечная сила в плите. Элементы матрицы следующие:

D_{66} = \sum_{i = 1}^{n} t_{i} d_{11, i}

Осевая жесткость x D66

D_{67} = \sum_{i = 1}^{n} t_{i} d_{12, i}

Нормальная жесткость Эксцентричный D67

D_{68} = \sum_{i = 1}^{n} t_{i} d_{13, i}

Нормальная жесткость Эксцентричная D68

D_{77} = \sum_{i = 1}^{n} t_{i} d_{22, i}

Осевая жесткость y D77

D_{78} = \sum_{i = 1}^{n} t_{i} d_{23, i}

Нормальная жесткость Эксцентричная D78

D_{88} = \sum_{i = 1}^{n} t_{i} d_{33, i}

Сдвиг плиты D88

Сдвиг в плоскости плиты [Н/м]

Для определения сдвиговой жесткости при ортотропном материале необходимо поворачивать жесткости в соответствии с их ориентацией относительно локальной оси поверхности. Это необходимо для каждого слоя типа толщины 'Слои'. В простом многослойном строении с 0° ориентацией лицевого слоя и 90° ориентацией нижележащего слоя возникает значительная сдвиговая податливость, которую следует учитывать в модели многослойного материала. На следующем изображении (Источник [1]) это показано на примере клееной древесной плиты.

Иллюстрация сдвиговой деформации в клеёной деревянной панели, предоставленная Информационной службой по дереву.

Сдвиговая деформация (Источник: Holzbiblioothek)

В теории ламинирования сдвиговая жесткость многослойного строения рассчитывается через трансформацию всех моментов изгиба и сдвига в каждом направлении каждого слоя. Дополнительную информацию об этом можно найти в нижеуказанной литературе.

Визуализация ориентации осей жёсткости в ламинате для оптимизации свойств материала

Ориентация жёсткости

Посредством отображенной на изображении трансформации жесткости жесткости суммируются. Это суммирование также известно под названием «интеграл Грашоффа».

D_{44, c a l c}^{"} = \frac{1}{\int_{- t / 2}^{t / 2} \frac{G_{22}^{"} (z)}{G_{11}^{"} (z) G_{22}^{"} (z) - {G_{12}^{"}}^{2} (z)} {(\frac{\int_{z}^{t / 2} E_{x}^{"} (\bar{z}) (\bar{z} - z_{0, x}) d \bar{z}}{\int_{- t / 2}^{t / 2} E_{x}^{"} (\bar{z}) {(\bar{z} - z_{0, x})}^{2} d \bar{z}})}^{2} d z}

Жёсткость на сдвиг вдоль x

Для расчета жесткости в x- и y-направлениях для каждого строения многослойной поверхности рассчитывается так называемый жесткостный центр.

z_{0, x} = \frac{\int_{- t / 2}^{t / 2} E_{x}^{"} (z) z d z}{\int_{- t / 2}^{t / 2} E_{x}^{"} (z) d z} = \frac{I_{1}}{I_{0}}

Центр жёсткости вдоль x

D_{55, c a l c}^{"} = \frac{1}{\int_{- t / 2}^{t / 2} \frac{G_{11}^{"} (z)}{G_{11}^{"} (z) G_{22}^{"} (z) - {G_{12}^{"}}^{2} (z)} {(\frac{\int_{z}^{t / 2} E_{y}^{"} (\bar{z}) (\bar{z} - z_{0, x}) d \bar{z}}{\int_{- t / 2}^{t / 2} E_{y}^{"} (\bar{z}) {(\bar{z} - z_{0, x})}^{2} d \bar{z}})}^{2} d z}

Жесткость на сдвиг вдоль оси y

Жесткостный центр в y-направлении:

z_{0, x} = \frac{\int_{- t / 2}^{t / 2} E_{y}^{"} (z) z d z}{\int_{- t / 2}^{t / 2} E_{y}^{"} (z) d z} = \frac{I_{1}}{I_{0}}

Центр жёсткости вдоль y

Для учета ориентации каждого слоя при расчете сдвиговой жесткости жесткости определяются в соответствии с следующими уравнениями.

G_{11, i}^{"} = \cos^{2} (φ - ß_{i}) G_{x z, i} + \sin^{2} (φ - ß_{i}) G_{y z, i}

Ориентированная жесткость на сдвиг G11

G здесь обозначает сдвиговую жесткость слоев, чтобы избежать путаницы с элементами матрицы жесткости (D).

Сдвиговую жесткость каждого слоя можно представить в виде матриц следующим образом:

[\begin{matrix} G_{11} & G_{12} \\ G_{21} & G_{22} \end{matrix}]

Матрица жёсткости на сдвиг

G_{22, i}^{"} = \sin^{2} (φ - ß_{i}) G_{x z, i} + \cos^{2} (φ - ß_{i}) G_{y z, i}

Ориентированная жесткость на сдвиг G22

Эксцентрическая сдвиговая жесткость в следующем уравнении для упомянутого в начале симметричного строения клееной древесины (0°/90°/0°) всегда равна нулю и, следовательно, не имеет значения. Например, для диагонально склеенной клееной древесины DLT (Диагонально Склеенная Древесина) этот эксцентриситетный член не равен нулю и, таким образом, играет важную роль.

G_{12}^{"} = (G_{x z, i} - G_{y z, i}) \sin (φ - ß_{i}) \cos (φ - ß_{i})

Внецентренно ориентированная жесткость на сдвиг G12

Дополнительную информацию можно найти в [4] и в видео на YouTube.

Расчет сдвиговой жесткости

Сдвиговая жесткость определяется следующими шагами:

Сначала определяется угол максимальной жесткости. Угол φ показывает изменение локальной системы координат x поверхности в ориентированное направление x''.
Все жесткости поворачиваются в ориентированное направление x'' в соответствии с изложенными выше уравнениями.
Матрица жесткости плиты каждого слоя (3 х 3) трансформируется из локальной системы координат x', y' в повернутую систему x'', y". В дополнение к расчету направленной сдвиговой жесткости каждого отдельного слоя это также выполняется для модулей упругости каждого слоя.

$E_{x, i}^{"} = d_{12, i}^{"} + \frac{2 d_{12, i}^{"} d_{13, i}^{"} d_{23, i}^{"} - d_{22, i}^{"} {(d_{13, i}^{"})}^{2} - d_{33, i}^{"} {(d_{12, i}^{"})}^{2}}{d_{22, i}^{"} d_{33, i}^{"} - {(d_{23, i}^{"})}^{2}}$

Ориентированный модуль упругости в направлении x

$E_{y, i}^{"} = d_{22, i}^{"} + \frac{2 d_{12, i}^{"} d_{13, i}^{"} d_{23, i}^{"} - d_{11, i}^{"} {(d_{23, i}^{"})}^{2} - d_{33, i}^{"} {(d_{12, i}^{"})}^{2}}{d_{11, i}^{"} d_{33, i}^{"} - {(d_{13, i}^{"})}^{2}}$

Ориентированный модуль упругости в направлении y
Сдвиговая жесткость рассчитывается с использованием изложенных выше уравнений (интеграл Грашоффа). Сдвиговая жесткость рассчитывается по отдельным компонентам.

$I = \int_{- h / 2}^{h / 2} d_{11} (z) {(z - z_{0, x})}^{2} d z = \sum_{i = 1}^{n} d_{11, i} \frac{{(z_{m a x, i} - z_{0, x})}^{3} - {(z_{m i n, i} - z_{0, x})}^{3}}{3}$

Момент инерции сечения вдоль x

$χ_{i} = d_{11, i} \frac{{(z_{m a x, i} - z_{0, x})}^{2}}{2} + \sum_{k = i + 1}^{n} d_{11, k} \frac{{(z_{m a x, i} - z_{0, x})}^{2} - {(z_{m i n, i} - z_{0, x})}^{2}}{2}$

Эквивалентная жесткость по слоям (in x)

Здесь уравнения показываются только для x-направления (D44). Для y-направления это аналогично. Эквивалентная жесткость (Стайнеров компонент) рассчитывается для каждого слоя.
Рассчитанные жесткости для ориентированного направления общего строения в конечном итоге пересчитываются через угловые отношения и отображаются как исходные жесткости D44, D55 и D45 в матрице жесткости.

$D_{44} = \cos^{2} (φ) D_{44}^{"} + \sin^{2} (φ) D_{55}^{"}$

Пересчитанная жесткость на сдвиг D44

$D_{55} = \sin^{2} (φ) D_{44}^{"} + \cos^{2} (φ) D_{55}^{"}$

Пересчитанная жёсткость на сдвиг D55

$D_{45} = \sin (φ) \cos (φ) (D_{44}^{"} - D_{55}^{"})$

Пересчитанная жёсткость на сдвиг D45

Увеличение сдвиговой жесткости

Поскольку через моделирование ламинированных поверхностей также возможны геометрии с очень узкими полосками поверхностей, при расчете таких проблемных геометрий сдвиговая жесткость должна увеличиваться.

Следующее уравнение изображает это для X-направления

D_{44}^{"} = \max (D_{44, calc}^{"}, \frac{48}{5 l ²} \frac{1}{\frac{1}{\sum_{i = 1}^{n} E_{x, i}^{"} \frac{t_{i}^{3}}{12}} - \frac{1}{\sum_{i = 1}^{n} E_{x, i}^{"} \frac{z_{\max, i}^{3} - z_{\min, i}^{3}}{3}}})

Максимальная жёсткость на сдвиг

В данном уравнении длина l означает здесь кратчайшую длину ящика, который можно наложить на соответствующую геометрию.

В другой модели, которую можно скачать справа, сравнена узкая поверхность шириной 10 см с аналогичной поверхностью шириной 20 см.

Сдвиговая жесткость узкой поверхности составляет D44=15253кН/м по сравнению с D44=5970,8кН/м более широкой поверхности. В результате, несмотря на одинаковую нагрузку, деформация более жесткой поверхности меньше, а сдвиговая нагрузка больше.

Жёсткости многослойных поверхностей с интегрированными объемами

В будущем в расширении многослойные поверхности также будет возможным определение объемов вместе с поверхностями. В этом типе также будет экспортироваться поверхность в RFEM. Поскольку генерация жесткостей и разложение внутренних сил сложнее, это будет рассмотрено отдельно.

Ссылки

Строительство из клееной древесины Несущие деревянные элементы для стен, перекрытий и крыш - Серия 4 Часть 6 Эпизод 1. Справочная служба Holz, Берлин, 2016
Плоские конструктивные системы: Основы моделирования и расчёта стенок и плит
Джоунс, Р. М. (н.д.). Механика композиционных материалов (2-е изд.). Taylor & Francis Inc., Филадельфия.
Arnold, M.: Механические свойства диагонально клееной древесины (DLT) в отношении плит из массивной древесины с точечной опорой. Диссертация в стадии соасставления. Кафедра древесных конструкций и инженерного проектирования, Мюнхенский технический университет, планируется к 2023 году.

Исходная глава

Теория

Модель

585x

23x

Многослойные модели

Многослойная модель в жёсткости на сдвиг

70x

жесткость на сдвиг