Онлайн-руководства RFEM 6 | Многослойные поверхности

Назад к руководствам онлайн

1300x

003626

Dipl.-Ing. (FH) Bastian Kuhn, M.Sc.

2023-10-19

Выбрать руководство

Обзор

Дополнение к многослойным поверхностям

Способ расчёта

Ввод данных

Результаты

Примеры расчёта

Жесткости для многослойных поверхностей

Модели материала

Модели материала являются основой при составлении многослойных поверхностей для получения эффективной жесткости поверхности. Аддон Многослойные поверхности позволяет свободно комбинировать модели материалов в программе RFEM 6. Основа моделей материала описана в главах Материалы и Нелинейная работа материала руководства пользователя RFEM.

Выбор возможных сочетаний моделей материалов создан в модели «Многослойные модели» (см. колонку справа), которую можно скачать для дальнейшего изучения сочетаний.

Следующий список показывает выбор возможных сочетаний:

Изотропные слои (например, бетон - сталь)
Ортотропные слои (например, поперечно-клеёная древесина)
Изотропная - ортотропная (например, сталь - стеклопластик)
Изотропная пластичная - изотропная (например, бетон - сталь)
Изотропная нелинейная упругая - ортотропная (например, бетон - древесина)
Изотропная - ортотропная пластическая (например, бетон - древесина)
Изотропное повреждение - ортотропная (например, бетон - древесина)

Инфо

Для комбинирования нелинейных материалов -analys/nonlinear-material-behavior Нелинейная работа материала]] должна быть активирована.

Жесткости для многослойных поверхностей без тел

Более простым вариантом расчета в аддоне «Многослойные поверхности» является задание различных слоев поверхности с типом толщины 'Слои' без тел. Однако, здесь также можно свободно комбинировать модели материалов.

После задания слоев, аддон Многослойные поверхности создаёт глобальную матрицу жёсткости поверхности. В программе RFEM для данной поверхности рассчитываются внутренние силы и деформации. В соответствующем аддоне, например, в «Расчёт деревянных конструкций» или «Расчёт напряжений-деформаций», эти внутренние силы делятся на существующие слои. Обычно внутренние силы отображаются в виде трех точек интеграции на каждую позицию.

Процесс расчета многослойных поверхностей

В этой статье объясняется, как рассчитать матрицу жесткости для изотропных и ортотропных материалов.

вычисление матрицы жесткости

Модели материала основаны на следующих условиях (см.главу Материалы руководства RFEM):

Все значения жесткости ≥ 0
Общая матрица жесткости поверхности должна быть задана положительной.
Основное уравнение изотропности:

E = 2 G (1 + ν)

E	Мод. упруг.
[LinkToImage06]	модуль сдвига
ν	Коэффициент Пуассона

Модуль упругости, модуль сдвига и коэффициент Пуассона

Основное уравнение ортотропной функции:

\frac{ν_{y x}}{E_{y}} = \frac{ν_{x y}}{E_{x}}

Отношение поперечной деформации

Местная матрица жесткости каждого слоя

Изотропный

d_{i}' = [\begin{matrix} d'_{11, i} & d'_{12, i} & 0 \\ d'_{22, i} & 0 \\ s y m . & d'_{33, i} \end{matrix}] = [\begin{matrix} \frac{E_{i}}{1 - ν_{i}^{2}} & \frac{ν_{i} E_{i}}{1 - ν_{i}^{2}} & 0 \\ \frac{E_{i}}{1 - ν_{i}^{2}} & 0 \\ s y m . & G_{i} \end{matrix}] i = 1, . . ., n m i t G_{i} = \frac{E_{i}}{2 (1 + ν_{i})}

Слой матрицы жесткости изотропный

ортотропный

d_{i}' = [\begin{matrix} d'_{11, i} & d'_{12, i} & 0 \\ d'_{22, i} & 0 \\ s y m . & d'_{33, i} \end{matrix}] = [\begin{matrix} \frac{E_{x, i}}{1 - ν_{x y, i}^{2} \frac{E_{y, i}}{E_{x, i}}} & \frac{ν_{x y, i} E_{y, i}}{1 - ν_{x y, i}^{2} \frac{E_{y, i}}{E_{x, i}}} & 0 \\ \frac{E_{y, i}}{1 - ν_{x y, i}^{2} \frac{E_{y, i}}{E_{x, i}}} & 0 \\ s y m . & G_{x y, i} \end{matrix}] i = 1, . . ., n

Слой матрицы жесткости ортотропный

Инфо

Для ортотропного материала модуль сдвига в плоскости пластины (G_xy ) определяется с помощью значений материала, тогда как для изотропного материала он определяется из модуля упругости и поперечной деформации. Поэтому для ортотропных материалов важен коэффициент Пуассона и принцип «место-причина».

Жёсткости на сдвиг для ортотропного материала следующие:

G_xy	Модуль сдвига в плоскости панели (например, 690 Н/мм² для C24)
G_xz	Модуль сдвига по толщине в направлении x (например, 690 Н/мм² для C24)
G_yz	Модуль сдвига в направлении y по толщине (например, 690 Н/мм² для C24) - также называемый «модуль сдвига качения».

Кроме того, ортотропный материал имеет ту особенность, что направленная жесткость может быть задана на поверхности. По умолчанию местная ориентация поверхности или слоя в направлении x соответствует жесткости в направлении x. Поскольку она может быть свободно задана с помощью угла β в типе толщины 'Layers', необходимо соответствующим образом преобразовать жесткости.

d_{i} = [\begin{matrix} d_{11, i} & d_{12, i} & d_{13, i} \\ d_{22, i} & d_{23, i} \\ s y m . & d_{33, i} \end{matrix}] = T_{3 x 3, i}^{T} d'_{i} T_{3 x 3, i}

Трансформационные жесткости

T_{3 x 3, i} = [\begin{matrix} c ² & s ² & c s \\ s ² & c ² & - c s \\ - 2 c s & 2 c s & c ² - s ² \end{matrix}] m i t c = \cos (β_{i}), s = \sin (β_{i})

Матрица трансформации

Суммарный элемент каждого слоя:

d_{11, i} = c^{4} d'_{11, i} + 2 c ² s ² d'_{12, i} + s^{4} d'_{22, i} + 4 c ² s ² d'_{33, i}

d_{12, i} = c^{2} s^{2} d'_{11, i} + s^{4} d'_{12, i} + c^{4} d'_{12, i} + c ² s ² d'_{22, i} - 4 c ² s ² d'_{33, i}

d_{13, i} = c^{3} s d'_{11, i} + c s^{3} d'_{12, i} - c^{3} s d'_{12, i} - c s^{3} d'_{22, i} - 2 c^{3} s d'_{33, i} + 2 c s^{3} d'_{33, i}

d_{22, i} = s^{4} d'_{11, i} + 2 c ² s ² d'_{12, i} + c^{4} d'_{22, i} + 4 c ² s ² d'_{33, i}

d_{23, i} = c s^{3} d'_{11, i} + c^{3} s d'_{12, i} - c s^{3} d'_{12, i} - c^{3} s d'_{22, i} + 2 c^{3} s d'_{33, i} - 2 c s^{3} d'_{33, i}

d_{33, i} = c^{2} s^{2} d'_{11, i} - 2 c ² s ² d'_{12, i} + c^{2} s^{2} d'_{22, i} + {(c^{2} - s^{2})}^{2} d'_{33, i}

Индивидуальные сроки в смену

Изгибаемые и крутящие элементы [Нм]

Элементы матрицы для изгиба и кручения приведены в уравнениях ниже.

D_{11} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{3} - z_{m i n, i}^{3}}{3} d_{11, i}

Жесткость на изгиб в x

D_{12} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{3} - z_{m i n, i}^{3}}{3} d_{12, i}

Срок эксцентриситета (12)

D_{22} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{3} - z_{m i n, i}^{3}}{3} d_{22, i}

Жесткость на изгиб, y

D_{13} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{3} - z_{m i n, i}^{3}}{3} d_{13, i}

Условие эксцентриситета (13)

D_{23} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{3} - z_{m i n, i}^{3}}{3} d_{23, i}

Условие эксцентриситета (23)

D_{33} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{3} - z_{m i n, i}^{3}}{3} d_{33, i}

жесткость на кручение

Если имеется только один слой толщины типа 'Слои', то расчет основан на параметрах, описанных в руководстве RFEM]].

Для сдвига (элемент D44/55) применяются различные уравнения в толщине типа 'Слои'. Они описаны в разделе {%://#сдвиг-в-плоскости Сдвиг в плоскости плиты]].

Условия эксцентриситета [Нм/м]

У несимметричных пластин возникают эксцентриситеты. Образование асимметричной поверхности может быть, например, в расчете на огнестойкость из-за одностороннего обугливания поперечно-клеёной деревянной плиты. Элементы матрицы следующие:

D_{16} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{2} - z_{m i n, i}^{2}}{2} d_{11, i}

Элемент эксцентриситета D16

D_{17} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{2} - z_{m i n, i}^{2}}{2} d_{12, i}

Элемент эксцентриситета D17

D_{18} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{2} - z_{m i n, i}^{2}}{2} d_{13, i}

Элемент эксцентриситета D18

D_{27} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{2} - z_{m i n, i}^{2}}{2} d_{22, i}

Элемент эксцентриситета D27

D_{28} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{2} - z_{m i n, i}^{2}}{2} d_{23, i}

Элемент эксцентриситета D28

D_{38} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{2} - z_{m i n, i}^{2}}{2} d_{33, i}

Элемент эксцентриситета D38

Плоскость плиты [Н/м]

На плоскости «Панельная стена» отображаются нормальные жесткости в плоскости стеклопакета. Поперечная сила в панели рассчитывается с помощью элемента D88. Элементы матрицы следующие:

D_{66} = \sum_{i = 1}^{n} t_{i} d_{11, i}

Осевая жесткость x D66

D_{67} = \sum_{i = 1}^{n} t_{i} d_{12, i}

Нормальная жесткость Эксцентричный D67

D_{68} = \sum_{i = 1}^{n} t_{i} d_{13, i}

Нормальная жесткость Эксцентричная D68

D_{77} = \sum_{i = 1}^{n} t_{i} d_{22, i}

Осевая жесткость y D77

D_{78} = \sum_{i = 1}^{n} t_{i} d_{23, i}

Нормальная жесткость Эксцентричная D78

D_{88} = \sum_{i = 1}^{n} t_{i} d_{33, i}

Сдвиг плиты D88

Сдвиг в плоскости плиты [Н/м]

Чтобы определить жесткость на сдвиг для ортотропного материала, необходимо повернуть жесткости в соответствии с их ориентацией относительно местной оси поверхности. Это необходимо сделать для каждого слоя толщины типа 'Слои'. В простой многослойной структуре с ориентацией 0 ° поверхностного слоя и ориентацией нижележащего слоя 90 ° присутствует высокая жесткость при сдвиге, которую необходимо соответственно учитывать для многослойной модели. На следующем рисунке (Источник [1]) это показано на примере плиты из поперечно-клеёной древесины.

Деформация сдвига (Источник: Информационная древесина)

В теории слоистых материалов, жесткость на сдвиг многослойной конструкции рассчитывается путем преобразования всех компонентов изгиба и сдвига в соответствующих направлениях каждого слоя. Более подробную информацию вы можете найти в литературе, указанной ниже.

Ориентация на устойчивость

Используя преобразование жесткости, показанное на рисунке, жесткости складываются. Это суммирование также известно как «интеграл Грасгофа».

D_{44, c a l c}^{"} = \frac{1}{\int_{- t / 2}^{t / 2} \frac{G_{22}^{"} (z)}{G_{11}^{"} (z) G_{22}^{"} (z) - {G_{12}^{"}}^{2} (z)} {(\frac{\int_{z}^{t / 2} E_{x}^{"} (\bar{z}) (\bar{z} - z_{0, x}) d \bar{z}}{\int_{- t / 2}^{t / 2} E_{x}^{"} (\bar{z}) {(\bar{z} - z_{0, x})}^{2} d \bar{z}})}^{2} d z}

Жёсткость на сдвиг вдоль x

Чтобы рассчитать жесткость в направлениях x и y, для каждой конструкции многослойной поверхности рассчитывается центр жесткости.

z_{0, x} = \frac{\int_{- t / 2}^{t / 2} E_{x}^{"} (z) z d z}{\int_{- t / 2}^{t / 2} E_{x}^{"} (z) d z} = \frac{I_{1}}{I_{0}}

Центр жёсткости вдоль x

D_{55, c a l c}^{"} = \frac{1}{\int_{- t / 2}^{t / 2} \frac{G_{11}^{"} (z)}{G_{11}^{"} (z) G_{22}^{"} (z) - {G_{12}^{"}}^{2} (z)} {(\frac{\int_{z}^{t / 2} E_{y}^{"} (\bar{z}) (\bar{z} - z_{0, x}) d \bar{z}}{\int_{- t / 2}^{t / 2} E_{y}^{"} (\bar{z}) {(\bar{z} - z_{0, x})}^{2} d \bar{z}})}^{2} d z}

Жесткость на сдвиг вдоль оси y

Центр жёсткости вдоль y:

z_{0, x} = \frac{\int_{- t / 2}^{t / 2} E_{y}^{"} (z) z d z}{\int_{- t / 2}^{t / 2} E_{y}^{"} (z) d z} = \frac{I_{1}}{I_{0}}

Центр жёсткости вдоль y

Для определения ориентации по положению при расчете жесткости на сдвиг, жесткости определяются по следующим уравнениям.

G_{11, i}^{"} = \cos^{2} (φ - ß_{i}) G_{x z, i} + \sin^{2} (φ - ß_{i}) G_{y z, i}

Ориентированная жесткость на сдвиг G11

G означает жесткость слоев на сдвиг, во избежание ошибок у элементов матрицы жесткости (D).

Жесткость на сдвиг каждого слоя также можно отобразить в виде матрицы следующим образом:

[\begin{matrix} G_{11} & G_{12} \\ G_{21} & G_{22} \end{matrix}]

Матрица жёсткости на сдвиг

G_{22, i}^{"} = \sin^{2} (φ - ß_{i}) G_{x z, i} + \cos^{2} (φ - ß_{i}) G_{y z, i}

Ориентированная жесткость на сдвиг G22

Внецентренная жесткость при сдвиге в следующем уравнении всегда равна нулю и, таким образом, не имеет значения для упомянутой выше симметричной конструкции из поперечно-клееной древесины (0°/90°/0°). Например, у диагонально клееного поперечно-клееного бруса DLT ( Диагонально ламинированная древесина ) данный элемент эксцентриситета не равен нулю и, следовательно, играет важную роль.

G_{12}^{"} = (G_{x z, i} - G_{y z, i}) \sin (φ - ß_{i}) \cos (φ - ß_{i})

Внецентренно ориентированная жесткость на сдвиг G12

Дополнительную информацию можно найти в {%://#Refer [4]]] и в этом видео YouTube.

Вычисление жёсткости на сдвиг

Жесткость при сдвиге определяется следующим образом:

Сначала определяется угол максимальной жесткости. Угол φ показывает изменение местной системы координат поверхности x в зависимости от ориентированного направления х''.
Все жесткости повернуты в ориентированном направлении х'' согласно уравнениям, представленным выше.
Матрица жесткости пластины для каждого положения (3 x 3) преобразуется из местной системы координат x', y' в повернутую систему х'',y". Кроме расчета {%://#directed-stiffnessdirected-stiffness]] каждого отдельного слоя, это также выполняется для модулей упругости каждого слоя.

$E_{x, i}^{"} = d_{12, i}^{"} + \frac{2 d_{12, i}^{"} d_{13, i}^{"} d_{23, i}^{"} - d_{22, i}^{"} {(d_{13, i}^{"})}^{2} - d_{33, i}^{"} {(d_{12, i}^{"})}^{2}}{d_{22, i}^{"} d_{33, i}^{"} - {(d_{23, i}^{"})}^{2}}$

Ориентированный модуль упругости в направлении x

$E_{y, i}^{"} = d_{22, i}^{"} + \frac{2 d_{12, i}^{"} d_{13, i}^{"} d_{23, i}^{"} - d_{11, i}^{"} {(d_{23, i}^{"})}^{2} - d_{33, i}^{"} {(d_{12, i}^{"})}^{2}}{d_{11, i}^{"} d_{33, i}^{"} - {(d_{13, i}^{"})}^{2}}$

Ориентированный модуль упругости в направлении y
Жесткость при сдвиге рассчитывается по уравнениям (интеграл Грасгофа), описанным выше. Жесткость на сдвиг затем рассчитывается по отдельным частям.

$I = \int_{- h / 2}^{h / 2} d_{11} (z) {(z - z_{0, x})}^{2} d z = \sum_{i = 1}^{n} d_{11, i} \frac{{(z_{m a x, i} - z_{0, x})}^{3} - {(z_{m i n, i} - z_{0, x})}^{3}}{3}$

Момент инерции сечения вдоль x

$χ_{i} = d_{11, i} \frac{{(z_{m a x, i} - z_{0, x})}^{2}}{2} + \sum_{k = i + 1}^{n} d_{11, k} \frac{{(z_{m a x, i} - z_{0, x})}^{2} - {(z_{m i n, i} - z_{0, x})}^{2}}{2}$

Эквивалентная жесткость по слоям (in x)

Здесь уравнения показаны только для направления x (D44). То же самое относится к направлению y. Эквивалентная жесткость (компонент Stinter) рассчитывается для каждого слоя.
Жесткости, рассчитанные для ориентированного направления всей конструкции, наконец вычисляются с помощью угловых соотношений и отображаются в качестве исходных жесткостей D44, D55 и D45 в матрице жесткости.

$D_{44} = \cos^{2} (φ) D_{44}^{"} + \sin^{2} (φ) D_{55}^{"}$

Пересчитанная жесткость на сдвиг D44

$D_{55} = \sin^{2} (φ) D_{44}^{"} + \cos^{2} (φ) D_{55}^{"}$

Пересчитанная жёсткость на сдвиг D55

$D_{45} = \sin (φ) \cos (φ) (D_{44}^{"} - D_{55}^{"})$

Пересчитанная жёсткость на сдвиг D45

Увеличение жёсткости на сдвиг

Поскольку при моделировании ламинированных поверхностей как поверхностей возможны геометрии с очень узкими полосами поверхности, при расчете таких проблемных геометрий необходимо соответствующим образом увеличить жесткость на сдвиг.

Следующее уравнение показывает это для направления X

D_{44}^{"} = \max (D_{44, calc}^{"}, \frac{48}{5 l ²} \frac{1}{\frac{1}{\sum_{i = 1}^{n} E_{x, i}^{"} \frac{t_{i}^{3}}{12}} - \frac{1}{\sum_{i = 1}^{n} E_{x, i}^{"} \frac{z_{\max, i}^{3} - z_{\min, i}^{3}}{3}}})

Максимальная жёсткость на сдвиг

Длина l в вышеприведенном уравнении означает наименьшую длину коробки, которая может быть размещена по соответствующей геометрии.

В другой модели, которую можно скачать справа, сравнивались узкая поверхность шириной 10 см и идентичная поверхность шириной 20 см.

Жесткость при сдвиге узкой поверхности составляет D44 = 15 253 кН/м по сравнению с D44 = 5 970,8 кН/м более широкой поверхности. В результате деформация более жесткой поверхности меньше, а поперечная нагрузка выше, несмотря на идентичную нагрузку.

Жесткости для многослойных поверхностей с интегрированными телами

В будущем можно будет задавать тела вместе с поверхностями в аддоне Многослойные поверхности. В данном случае поверхность также экспортируется в программу RFEM. Поскольку создание жёсткости и разложение внутренних сил требует больше времени, мы поясним их отдельно.

Ссылки

Здание из кросс-ламинированной древесины - Деревянные элементы из несущей массы для стен, перекрытий и кровли - Серия 4 Часть 6 Часть 1. Информационная служба Holz
Плоские поверхностные конструкции: основы моделирования и расчёта стен и плит
тоннель (ноябрь) Механика композитных материалов (2-е изд.). Pipeline und & Frances Inc., Филадельфия
Arnold, M .: Механические характеристики диагонально-ламинированной древесины (DLT) по отношению к деревянным плитам с точечно-опорной массой .Диссертацияв процессе подготовки. Кафедра деревянных и строительных конструкций, Технический университет Мюнхена, Германияожидаемый2023

Исходная глава

Способ расчёта

model

446x

11x

Многослойные модели

Многослойная модель в жёсткости на сдвиг

11x

жесткость на сдвиг