Онлайновые руководства RFEM 6 | Многослойные поверхности

Назад к руководствам онлайн

3886x

003626

Dipl.-Ing. (FH) Bastian Kuhn

2023-10-19

Выбрать руководство

Обзор

Дополнение к многослойным поверхностям

Теория

Ввод данных

Результаы

Примеры расчёта

Жесткости для многослойных поверхностей

Модели материалов

Основой для объединения многослойных поверхностей в эффективную жёсткость поверхности являются модели материалов. С помощью адд-она «Многослойные поверхности» модели материалов можно свободно комбинировать в программе RFEM 6. Основы моделей материалов описаны в главах Материалы и Нелинейная работа материалов руководства по RFEM.

Примеры возможных комбинаций моделей материалов созданы в модели «Многослойные модели» (см. правую колонку), которую можно скачать для дальнейшего изучения комбинаций.

Следующий список показывает выбор возможных комбинаций:

Изотропные слои (например, бетон — сталь)
Ортотропные слои (например, поперечно-клеёная древесина)
Изотропный — ортотропный (например, сталь — стеклопластик)
Изотропный пластичный — изотропный (например, бетон — сталь)
Изотропный нелинейно упругий — ортотропный (например, бетон — древесина)
Изотропный — ортотропный пластичный (например, бетон — древесина)
Изотропный с повреждением — ортотропный (например, бетон — древесина)

Важный

Для комбинирования нелинейных материалов должен быть активирован адд-он Нелинейная работа материалов.

Жёсткости многослойных поверхностей без объёмных тел

Более простой вариант расчёта в адд-оне «Многослойные поверхности» — определение различных слоёв поверхности в типе толщины «Слои» без объёмных тел. Но и здесь модели материалов можно свободно комбинировать.

После определения слоёв адд-он «Многослойные поверхности» создаёт общую матрицу жёсткости поверхности. В RFEM для этой поверхности рассчитываются внутренние силы и деформации. В соответствующем адд-оне расчёта, например «Расчёт деревянных конструкций» или «Расчёт напряжений и деформаций», эти внутренние силы затем распределяются по имеющимся слоям. Обычно внутренние силы выводятся в трёх точках интегрирования на каждый слой.

Расчётный поток для многослойных поверхностей

Расчёт многослойных поверхностей

Ниже поясняется расчёт матрицы жёсткости для изотропного и ортотропного материалов.

Расчёт матрицы жёсткости

В качестве основ моделей материалов действуют следующие условия (см. также главу Материалы руководства по RFEM):

Все значения жёсткости ≥ 0
Общая матрица жёсткости поверхности должна быть положительно определённой.
Основное уравнение для изотропии:

E = 2 G (1 + ν)

E	Мод. упруг.
G	модуль сдвига
ν	поперечная деформация

Модуль упругости, модуль сдвига и коэффициент Пуассона

Основное уравнение для ортотропии:

\frac{ν_{y x}}{E_{y}} = \frac{ν_{x y}}{E_{x}}

Отношение поперечной деформации

Локальная матрица жёсткости каждого слоя

Изотропия

d_{i}' = [\begin{matrix} d'_{11, i} & d'_{12, i} & 0 \\ d'_{22, i} & 0 \\ s y m . & d'_{33, i} \end{matrix}] = [\begin{matrix} \frac{E_{i}}{1 - ν_{i}^{2}} & \frac{ν_{i} E_{i}}{1 - ν_{i}^{2}} & 0 \\ \frac{E_{i}}{1 - ν_{i}^{2}} & 0 \\ s y m . & G_{i} \end{matrix}] i = 1, . . ., n m i t G_{i} = \frac{E_{i}}{2 (1 + ν_{i})}

Слой матрицы жесткости изотропный

Ортотропия

d_{i}' = [\begin{matrix} d'_{11, i} & d'_{12, i} & 0 \\ d'_{22, i} & 0 \\ s y m . & d'_{33, i} \end{matrix}] = [\begin{matrix} \frac{E_{x, i}}{1 - ν_{x y, i}^{2} \frac{E_{y, i}}{E_{x, i}}} & \frac{ν_{x y, i} E_{y, i}}{1 - ν_{x y, i}^{2} \frac{E_{y, i}}{E_{x, i}}} & 0 \\ \frac{E_{y, i}}{1 - ν_{x y, i}^{2} \frac{E_{y, i}}{E_{x, i}}} & 0 \\ s y m . & G_{x y, i} \end{matrix}] i = 1, . . ., n

Слой матрицы жесткости ортотропный

Инфо

Для ортотропного материала модуль сдвига в плоскости пластины (G_xy) задаётся через характеристики материала, тогда как для изотропного материала он определяется из модуля упругости и поперечного сжатия. Поэтому для ортотропного материала важна зависимость поперечного сжатия по принципу «где — что» (Ort-Ursache).

Жёсткости на сдвиг для ортотропного материала следующие:

G_xy	Модуль сдвига в плоскости пластины (например, 690 Н/мм² для C24)
G_xz	Модуль сдвига в направлении x по толщине (например, 690 Н/мм² для C24)
G_yz	Модуль сдвига в направлении y по толщине (например, 690 Н/мм² для C24) — также называется «модуль межслойного сдвига»

Для ортотропного материала есть ещё одна особенность: в поверхности можно задавать направленные жёсткости. В стандартном случае локальная ориентация поверхности или слоя в направлении x соответствует жёсткости в направлении x. Однако поскольку её можно свободно задать через угол β в типе толщины «Слои», необходимо соответствующим образом преобразовать жёсткости.

d_{i} = [\begin{matrix} d_{11, i} & d_{12, i} & d_{13, i} \\ d_{22, i} & d_{23, i} \\ s y m . & d_{33, i} \end{matrix}] = T_{3 x 3, i}^{T} d'_{i} T_{3 x 3, i}

Трансформационные жесткости

T_{3 x 3, i} = [\begin{matrix} c ² & s ² & c s \\ s ² & c ² & - c s \\ - 2 c s & 2 c s & c ² - s ² \end{matrix}] m i t c = \cos (β_{i}), s = \sin (β_{i})

Матрица трансформации

Суммированный элемент каждого слоя:

d_{11, i} = c^{4} d'_{11, i} + 2 c ² s ² d'_{12, i} + s^{4} d'_{22, i} + 4 c ² s ² d'_{33, i}

d_{12, i} = c^{2} s^{2} d'_{11, i} + s^{4} d'_{12, i} + c^{4} d'_{12, i} + c ² s ² d'_{22, i} - 4 c ² s ² d'_{33, i}

d_{13, i} = c^{3} s d'_{11, i} + c s^{3} d'_{12, i} - c^{3} s d'_{12, i} - c s^{3} d'_{22, i} - 2 c^{3} s d'_{33, i} + 2 c s^{3} d'_{33, i}

d_{22, i} = s^{4} d'_{11, i} + 2 c ² s ² d'_{12, i} + c^{4} d'_{22, i} + 4 c ² s ² d'_{33, i}

d_{23, i} = c s^{3} d'_{11, i} + c^{3} s d'_{12, i} - c s^{3} d'_{12, i} - c^{3} s d'_{22, i} + 2 c^{3} s d'_{33, i} - 2 c s^{3} d'_{33, i}

d_{33, i} = c^{2} s^{2} d'_{11, i} - 2 c ² s ² d'_{12, i} + c^{2} s^{2} d'_{22, i} + {(c^{2} - s^{2})}^{2} d'_{33, i}

Индивидуальные сроки в смену

Элементы изгиба и кручения [Нм]

Элементы матрицы для изгиба и кручения приведены в следующих уравнениях.

D_{11} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{3} - z_{m i n, i}^{3}}{3} d_{11, i}

Жесткость на изгиб в x

D_{12} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{3} - z_{m i n, i}^{3}}{3} d_{12, i}

Срок эксцентриситета (12)

D_{22} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{3} - z_{m i n, i}^{3}}{3} d_{22, i}

Жесткость на изгиб, y

D_{13} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{3} - z_{m i n, i}^{3}}{3} d_{13, i}

Условие эксцентриситета (13)

D_{23} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{3} - z_{m i n, i}^{3}}{3} d_{23, i}

Условие эксцентриситета (23)

D_{33} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{3} - z_{m i n, i}^{3}}{3} d_{33, i}

жесткость на кручение

При наличии лишь одного слоя в типе толщины «Слои» расчёт выполняется по уравнениям, пояснённым в руководстве по RFEM.

Для сдвига (элементы D44/55) в типе толщины «Слои» действуют другие уравнения. Они представлены в разделе Сдвиг в плоскости плиты.

Члены эксцентриситета [Нм/м]

У несимметричных плит возникают члены эксцентриситета. Несимметричная поверхность может возникнуть, например, при огнестойком расчёте из-за одностороннего обугливания плиты из поперечно-клеёной древесины. Элементы матрицы следующие:

D_{16} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{2} - z_{m i n, i}^{2}}{2} d_{11, i}

Элемент эксцентриситета D16

D_{17} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{2} - z_{m i n, i}^{2}}{2} d_{12, i}

Элемент эксцентриситета D17

D_{18} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{2} - z_{m i n, i}^{2}}{2} d_{13, i}

Элемент эксцентриситета D18

D_{27} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{2} - z_{m i n, i}^{2}}{2} d_{22, i}

Элемент эксцентриситета D27

D_{28} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{2} - z_{m i n, i}^{2}}{2} d_{23, i}

Элемент эксцентриситета D28

D_{38} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{2} - z_{m i n, i}^{2}}{2} d_{33, i}

Элемент эксцентриситета D38

Плоскость пластины [Н/м]

В плоскости пластины рассматриваются нормальные жёсткости в плоскости пластины. С помощью элемента D88 рассчитывается сдвиг пластины — то есть поперечная сила в пластине. Элементы матрицы следующие:

D_{66} = \sum_{i = 1}^{n} t_{i} d_{11, i}

Осевая жесткость x D66

D_{67} = \sum_{i = 1}^{n} t_{i} d_{12, i}

Нормальная жесткость Эксцентричный D67

D_{68} = \sum_{i = 1}^{n} t_{i} d_{13, i}

Нормальная жесткость Эксцентричная D68

D_{77} = \sum_{i = 1}^{n} t_{i} d_{22, i}

Осевая жесткость y D77

D_{78} = \sum_{i = 1}^{n} t_{i} d_{23, i}

Нормальная жесткость Эксцентричная D78

D_{88} = \sum_{i = 1}^{n} t_{i} d_{33, i}

Сдвиг плиты D88

Сдвиг в плоскости плиты [Н/м]

Для определения жёсткости на сдвиг у ортотропного материала жёсткости необходимо повернуть в соответствии с их ориентацией относительно локальной оси поверхности. Это должно выполняться для каждого слоя типа толщины «Слои». При простой слоистой структуре с ориентацией 0° верхнего слоя и 90° нижележащего слоя возникает большая податливость на сдвиг, которую нужно соответственно учитывать в многослойной модели. На следующем рисунке (источник [1]) это показано на примере плиты из поперечно-клеёной древесины.

Иллюстрация сдвиговой деформации в клеёной деревянной панели, предоставленная Информационной службой по дереву.

Сдвиговая деформация (Источник: Holzbiblioothek)

В теории ламинатов жёсткость на сдвиг слоистой структуры рассчитывается путём преобразования всех изгибных и сдвиговых составляющих в соответствующие направления каждого слоя. Дополнительную информацию вы найдёте, в частности, в указанной ниже литературе.

Визуализация ориентации осей жёсткости в ламинате для оптимизации свойств материала

Ориентация жёсткости

С помощью показанного на рисунке преобразования жёсткостей выполняется суммирование жёсткостей. Это суммирование известно также под названием «интеграл Грашофа».

D_{44, c a l c}^{"} = \frac{1}{\int_{- t / 2}^{t / 2} \frac{G_{22}^{"} (z)}{G_{11}^{"} (z) G_{22}^{"} (z) - {G_{12}^{"}}^{2} (z)} {(\frac{\int_{z}^{t / 2} E_{x}^{"} (\bar{z}) (\bar{z} - z_{0, x}) d \bar{z}}{\int_{- t / 2}^{t / 2} E_{x}^{"} (\bar{z}) {(\bar{z} - z_{0, x})}^{2} d \bar{z}})}^{2} d z}

Жёсткость на сдвиг вдоль x

Для расчёта жёсткости в направлениях x и y для каждой структуры многослойной поверхности рассчитывается так называемый центр жёсткости.

z_{0, x} = \frac{\int_{- t / 2}^{t / 2} E_{x}^{"} (z) z d z}{\int_{- t / 2}^{t / 2} E_{x}^{"} (z) d z} = \frac{I_{1}}{I_{0}}

Центр жёсткости вдоль x

D_{55, c a l c}^{"} = \frac{1}{\int_{- t / 2}^{t / 2} \frac{G_{11}^{"} (z)}{G_{11}^{"} (z) G_{22}^{"} (z) - {G_{12}^{"}}^{2} (z)} {(\frac{\int_{z}^{t / 2} E_{y}^{"} (\bar{z}) (\bar{z} - z_{0, x}) d \bar{z}}{\int_{- t / 2}^{t / 2} E_{y}^{"} (\bar{z}) {(\bar{z} - z_{0, x})}^{2} d \bar{z}})}^{2} d z}

Жесткость на сдвиг вдоль оси y

Центр жёсткости в направлении y:

z_{0, x} = \frac{\int_{- t / 2}^{t / 2} E_{y}^{"} (z) z d z}{\int_{- t / 2}^{t / 2} E_{y}^{"} (z) d z} = \frac{I_{1}}{I_{0}}

Центр жёсткости вдоль y

Чтобы при расчёте жёсткости на сдвиг учесть ориентацию каждого слоя, жёсткости записываются согласно следующим уравнениям.

G_{11, i}^{"} = \cos^{2} (φ - ß_{i}) G_{x z, i} + \sin^{2} (φ - ß_{i}) G_{y z, i}

Ориентированная жесткость на сдвиг G11

Здесь G обозначает жёсткость на сдвиг слоёв, чтобы исключить путаницу с элементами матрицы жёсткости (D).

Жёсткость на сдвиг каждого слоя также можно представить в матричной форме следующим образом:

[\begin{matrix} G_{11} & G_{12} \\ G_{21} & G_{22} \end{matrix}]

Матрица жёсткости на сдвиг

G_{22, i}^{"} = \sin^{2} (φ - ß_{i}) G_{x z, i} + \cos^{2} (φ - ß_{i}) G_{y z, i}

Ориентированная жесткость на сдвиг G22

Эксцентричная жёсткость на сдвиг в следующем уравнении для упомянутого в начале симметричного строения поперечно-клеёной древесины (0°/90°/0°) всегда равна нулю и, следовательно, не имеет значения. Однако, например, у поперечно-клеёной древесины DLT (Diagonal Laminated Timber), склеенной по диагонали, этот член эксцентриситета не равен нулю и поэтому играет важную роль.

G_{12}^{"} = (G_{x z, i} - G_{y z, i}) \sin (φ - ß_{i}) \cos (φ - ß_{i})

Внецентренно ориентированная жесткость на сдвиг G12

Дополнительную информацию вы найдёте, в частности, в [4] и в видео на YouTube.

Расчёт жёсткости на сдвиг

Жёсткость на сдвиг определяется в следующих шагах:

Сначала определяется угол максимальной жёсткости. Угол φ показывает изменение локальной системы координат x поверхности на ориентированное направление x".
Все жёсткости поворачиваются согласно представленным выше уравнениям в ориентированное направление x".
Матрица жёсткости пластины каждого слоя (3 x 3) преобразуется из локальной системы координат x', y' в повёрнутую систему x", y". Помимо расчёта направленной жёсткости на сдвиг каждого отдельного слоя, это выполняется также для модулей упругости каждого слоя.

$E_{x, i}^{"} = d_{12, i}^{"} + \frac{2 d_{12, i}^{"} d_{13, i}^{"} d_{23, i}^{"} - d_{22, i}^{"} {(d_{13, i}^{"})}^{2} - d_{33, i}^{"} {(d_{12, i}^{"})}^{2}}{d_{22, i}^{"} d_{33, i}^{"} - {(d_{23, i}^{"})}^{2}}$

Ориентированный модуль упругости в направлении x

$E_{y, i}^{"} = d_{22, i}^{"} + \frac{2 d_{12, i}^{"} d_{13, i}^{"} d_{23, i}^{"} - d_{11, i}^{"} {(d_{23, i}^{"})}^{2} - d_{33, i}^{"} {(d_{12, i}^{"})}^{2}}{d_{11, i}^{"} d_{33, i}^{"} - {(d_{13, i}^{"})}^{2}}$

Ориентированный модуль упругости в направлении y
Жёсткость на сдвиг рассчитывается по описанным выше уравнениям (интеграл Грашофа). Жёсткость на сдвиг рассчитывается по отдельным составляющим.

$I = \int_{- h / 2}^{h / 2} d_{11} (z) {(z - z_{0, x})}^{2} d z = \sum_{i = 1}^{n} d_{11, i} \frac{{(z_{m a x, i} - z_{0, x})}^{3} - {(z_{m i n, i} - z_{0, x})}^{3}}{3}$

Момент инерции сечения вдоль x

$χ_{i} = d_{11, i} \frac{{(z_{m a x, i} - z_{0, x})}^{2}}{2} + \sum_{k = i + 1}^{n} d_{11, k} \frac{{(z_{m a x, i} - z_{0, x})}^{2} - {(z_{m i n, i} - z_{0, x})}^{2}}{2}$

Эквивалентная жесткость по слоям (in x)

Здесь уравнения показаны только для направления x (D44). Для направления y это действует аналогично. Эквивалентная жёсткость (составляющая Штейнера) рассчитывается для каждого слоя.
Наконец, рассчитанные жёсткости для ориентированного направления общей структуры пересчитываются обратно по угловым зависимостям и указываются как исходные жёсткости D44, D55 и D45 в матрице жёсткости.

$D_{44} = \cos^{2} (φ) D_{44}^{"} + \sin^{2} (φ) D_{55}^{"}$

Пересчитанная жесткость на сдвиг D44

$D_{55} = \sin^{2} (φ) D_{44}^{"} + \cos^{2} (φ) D_{55}^{"}$

Пересчитанная жёсткость на сдвиг D55

$D_{45} = \sin (φ) \cos (φ) (D_{44}^{"} - D_{55}^{"})$

Пересчитанная жёсткость на сдвиг D45

Увеличение жёсткости на сдвиг

Поскольку при моделировании ламинатов как поверхности возможны также геометрии с очень узкими полосами поверхности, при расчёте таких проблемных геометрий жёсткость на сдвиг необходимо соответственно увеличить.

В следующем уравнении это показано для направления X.

D_{44}^{"} = \max (D_{44, calc}^{"}, \frac{48}{5 l ²} \frac{1}{\frac{1}{\sum_{i = 1}^{n} E_{x, i}^{"} \frac{t_{i}^{3}}{12}} - \frac{1}{\sum_{i = 1}^{n} E_{x, i}^{"} \frac{z_{\max, i}^{3} - z_{\min, i}^{3}}{3}}})

Максимальная жёсткость на сдвиг

Длина l в указанном выше уравнении означает здесь кратчайшую длину прямоугольника, который можно наложить на соответствующую геометрию.

В модели «Жёсткость на сдвиг» (см. правую колонку) узкая поверхность шириной 10 см сравнивается с идентичной поверхностью 20 см.

Жёсткость на сдвиг узкой поверхности составляет D44 = 15253 кН/м по сравнению с D44 = 5970,8 кН/м более широкой поверхности. При одинаковой нагрузке деформация более жёсткой поверхности меньше, а нагрузка на сдвиг больше.

Жёсткости многослойных поверхностей с интегрированными объёмными телами

В будущем в адд-оне «Многослойные поверхности» станет возможным определять тела вместе с поверхностями. При этом типе в RFEM также экспортируется поверхность. Поскольку генерация жёсткостей и разложение внутренних сил являются более сложными, это будет рассмотрено отдельно.

Ссылки

Строительство из клееной древесины Несущие деревянные элементы для стен, перекрытий и крыш - Серия 4 Часть 6 Эпизод 1. Справочная служба Holz, Берлин, 2016
Плоские конструктивные системы: Основы моделирования и расчёта стенок и плит
Джоунс, Р. М. (н.д.). Механика композиционных материалов (2-е изд.). Taylor & Francis Inc., Филадельфия.
Arnold, M.: Механические свойства диагонально клееной древесины (DLT) в отношении плит из массивной древесины с точечной опорой. Диссертация в стадии соасставления. Кафедра древесных конструкций и инженерного проектирования, Мюнхенский технический университет, планируется к 2023 году.

Исходная глава

Теория

Модель

879x

29x

Многослойные модели

Многослойная модель в жёсткости на сдвиг

170x

10x

жесткость на сдвиг