Sztywności dla powierzchni wielowarstwowych

Modele materiałowe

1. Modele materiałowe są podstawą do tworzenia powierzchni wielowarstwowych w celu uzyskania efektywnej sztywności powierzchni. Rozszerzenie Powierzchnie wielowarstwowe umożliwia swobodne łączenie modeli materiałowych w programie RFEM 6. Podstawy modeli materiałowych są opisane w rozdziałach Materiały i Nieliniowe zachowanie materiału instrukcji obsługi programu RFEM.

1. Wybór możliwych kombinacji modeli materiałowych jest tworzony w modelu "Modele wielowarstwowe" (patrz prawa kolumna), który można pobrać w celu dalszej analizy kombinacji.

1. Poniższa lista przedstawia wybór możliwych kombinacji:
2. * Warstwy izotropowe (np. beton - stal)
3. * Warstwy ortotropowe (np. drewno klejone krzyżowo)
4. * Izotropowy - ortotropowy (np. stal - GFRP)
5. * Izotropowy plastyczny - izotropowy (np. beton - stal)
6. * Izotropowy nieliniowy sprężysty - ortotropowy (np. beton - drewno)
7. * Izotropowy - ortotropowy plastyczny (np. beton - drewno)
8. * Uszkodzenie izotropowe - Ortotropowe (np. Beton - Drewno)

1. #banner.text@W przypadku kombinacji materiałów nieliniowych https://www.dlubal.com/pl/produkty/rozszerzenia-dla-rfem-6-i-rstab-9/dodatkowy -analyses/nonlinear-material-behaviour Nieliniowe zachowanie materiału]] powinno być aktywowane.

1. == sztywności dla powierzchni wielowarstwowych bez brył ==

1. Prostszą opcją obliczeń w rozszerzeniu Powierzchnie wielowarstwowe jest zdefiniowanie różnych warstw powierzchni w grubości typu 'Warstwy' bez brył. Tutaj można jednak dowolnie łączyć modele materiałowe.

1. Po zdefiniowaniu warstw rozszerzenie Powierzchnie wielowarstwowe tworzy globalną macierz sztywności powierzchni. W programie RFEM obliczane są siły wewnętrzne i odkształcenia dla tej powierzchni. W odpowiednim rozszerzeniu, takim jak Projektowanie drewna lub Analiza naprężeniowo-odkształceniowa, te siły wewnętrzne są następnie dzielone na istniejące warstwy. Siły wewnętrzne są zazwyczaj przedstawiane w postaci trzech punktów całkowania dla każdej pozycji.

1. 

   Proces obliczeń dla powierzchni wielowarstwowych

1. W tym artykule wyjaśniono, jak obliczyć macierz sztywności dla materiałów izotropowych i ortotropowych.

1. === Obliczanie macierzy sztywności ===

1. Modele materiałowe są oparte na następujących warunkach (patrz rozdział [[#/pl/pliki-do-pobrania-i-informacje/dokumenty/instrukcje-online/rfem-6/000034 Materiały w instrukcji obsługi programu RFEM):
2. * Wszystkie wartości sztywności ≥ 0
3. * Macierz sztywności ogólnej powierzchni musi być dodatnio określona.
4. * Podstawowe równanie izotropowe:

1. $E=2G\left(1+\nu \right)$

   E	moduł sprężystości
   [SCHOOL.NUMBEROFSINGLEUSERLICENCES]	moduł ścinania
   ν	odkształcenie poprzeczne

   Moduł sprężystości, moduł ścinania i współczynnik Poissona{
2. * Podstawowe równanie ortotropowe:

1. $\frac{{\nu }_{yx}}{E_y}=\frac{{\nu }_{xy}}{E_x}$

   Zależność odkształcenia poprzecznego

1. ==== Lokalna macierz sztywności każdej warstwy ====

1. * Izotropowy
2. $d_i\text{'}=\left[\begin{array}{ccc}d{\text{'}}_{11,i}& d{\text{'}}_{12,i}& 0\\ & d{\text{'}}_{22,i}& 0\\ sym.& & d{\text{'}}_{33,i}\end{array},),=,\left[\begin{array}{ccc}\frac{E_i}{1-{\nu }_i^2}& \frac{{\nu }_i{E}_i}{1-{\nu }_i^2}& 0\\ & \frac{E_i}{1-{\nu }_i^2}& 0\\ sym.& & G_i\end{array},), ,i,=,1,,,.,.,.,,,n, ,m,i,t, ,G_i,=,\frac{E_i}{2\left(1+{\nu }_i\right)}\right]\right]$

   Warstwa macierzy sztywności izotropowa

1. * Ortotropowy
2. $d_i\text{'}=\left[\begin{array}{ccc}d{\text{'}}_{11,i}& d{\text{'}}_{12,i}& 0\\ & d{\text{'}}_{22,i}& 0\\ sym.& & d{\text{'}}_{33,i}\end{array},),=,\left[\begin{array}{ccc}\frac{E_{x,i}}{1-{\nu }_{xy,i}^2{\displaystyle \frac{E_{y,i}}{E_{x,i}}}}& \frac{{\nu }_{xy,i}{E}_{y,i}}{1-{\nu }_{xy,i}^2{\displaystyle \frac{E_{y,i}}{E_{x,i}}}}& 0\\ & \frac{E_{y,i}}{1-{\nu }_{xy,i}^2{\displaystyle \frac{E_{y,i}}{E_{x,i}}}}& 0\\ sym.& & G_{xy,i}\end{array},), ,i,=,1,,,.,.,.,,,n\right]\right]$

   Ortotropowa warstwa macierzy sztywności

1. #banner.text@W przypadku materiału ortotropowego moduł sprężystości w płaszczyźnie szyby (G_xy ) jest definiowany za pomocą wartości materiałowych, natomiast w przypadku materiału izotropowego - na podstawie modułu sprężystości i odkształcenia poprzecznego. Dlatego też współczynnik Poissona oparty na zasadzie "położenie-przyczyna" jest istotny dla materiału ortotropowego.

1. Sztywności na ścinanie dla materiału ortotropowego są następujące:

1. #tabela.uni#
2. szerokość=10%|szerokość=90%
3. G_xy | Moduł ścinania w płaszczyźnie ściany (np. 690 N/mm² dla C24)
4. G_xz | Moduł ścinania w kierunku x na grubości (np. 690 N/mm² dla C24)
5. G-_yz | Moduł ścinania w kierunku y na grubości (np. 690 N/mm² dla klasy C24) - nazywany również "modułem ścinania tocznego".

1. Ponadto materiał ortotropowy ma tę szczególną cechę, że można definiować w powierzchni sztywności kierunkowe. W przypadku domyślnym lokalna orientacja powierzchni lub warstwy w kierunku x odpowiada sztywności w kierunku x. Ponieważ można to jednak zdefiniować dowolnie za pomocą kąta β typu grubości 'Warstwy', należy odpowiednio przekształcić sztywności.

1. $d_i=\left[\begin{array}{ccc}{d}_{11,i}& d_{12,i}& d_{13,i}\\ & d_{22,i}& d_{23,i}\\ sym.& & d_{33,i}\end{array},),=,T_{3x3,i}^T,d,{\text{'}}_i,T_{3x3,i}\right]$

   Sztywności transformacji

1. $T_{3x3,i}=\left[\begin{array}{ccc}c²& s²& cs\\ s²& c²& -cs\\ -2cs& 2cs& c²-s²\end{array},), ,m,i,t, ,c,=,\cos ,(,{\beta }_i,),,, ,s,=,\sin ,(,{\beta }_i,)\right]$

   Macierz transformacji

1. Zsumowany element każdej warstwy:
2. $d_{11,i}=c^{4}d{\text{'}}_{11,i}+2c²s²d{\text{'}}_{12,i}+s^{4}d{\text{'}}_{22,i}+4c²s²d{\text{'}}_{33,i}$
   
   $d_{12,i}=c^2{s}^{2}d{\text{'}}_{11,i}+s^{4}d{\text{'}}_{12,i}+c^{4}d{\text{'}}_{12,i}+c²s²d{\text{'}}_{22,i}-4c²s²d{\text{'}}_{33,i}$
   
   $d_{13,i}=c^{3}sd{\text{'}}_{11,i}+c{s}^{3}d{\text{'}}_{12,i}-c^{3}sd{\text{'}}_{12,i}-c{s}^{3}d{\text{'}}_{22,i}-2c^{3}sd{\text{'}}_{33,i}+2c{s}^{3}d{\text{'}}_{33,i}$
   
   $d_{22,i}=s^{4}d{\text{'}}_{11,i}+2c²s²d{\text{'}}_{12,i}+c^{4}d{\text{'}}_{22,i}+4c²s²d{\text{'}}_{33,i}$
   
   $d_{23,i}=c{s}^{3}d{\text{'}}_{11,i}+c^{3}sd{\text{'}}_{12,i}-c{s}^{3}d{\text{'}}_{12,i}-c^{3}sd{\text{'}}_{22,i}+2c^{3}sd{\text{'}}_{33,i}-2c{s}^{3}d{\text{'}}_{33,i}$
   
   $d_{33,i}=c^2{s}^{2}d{\text{'}}_{11,i}-2c²s²d{\text{'}}_{12,i}+c^2{s}^{2}d{\text{'}}_{22,i}+{\left(}^{c^2-s^2}d{\text{'}}_{33,i}$

   Poszczególne warunki na zmianę

1. === Elementy zginane i skręcanie [Nm] ===

1. W poniższych równaniach podane są elementy macierzy dla zginania i skręcania.

1. $D_{11}=\sum _{i=1}^n\frac{z_{max,i}^3-z_{min,i}^3}{3}{d}_{11,i}$

   Sztywność na zginanie w x

1. $D_{12}=\sum _{i=1}^n\frac{z_{max,i}^3-z_{min,i}^3}{3}{d}_{12,i}$

   Wyrażenie mimośrodu (12)

1. $D_{22}=\sum _{i=1}^n\frac{z_{max,i}^3-z_{min,i}^3}{3}{d}_{22,i}$

   Sztywność na zginanie w y

1. $D_{13}=\sum _{i=1}^n\frac{z_{max,i}^3-z_{min,i}^3}{3}{d}_{13,i}$

   Wyrażenie mimośrodu (13)

1. $D_{23}=\sum _{i=1}^n\frac{z_{max,i}^3-z_{min,i}^3}{3}{d}_{23,i}$

   Wyrażenie mimośrodu (23)

1. $D_{33}=\sum _{i=1}^n\frac{z_{max,i}^3-z_{min,i}^3}{3}{d}_{33,i}$

   sztywność skrętna

1. W przypadku tylko jednej warstwy grubości typu 'Warstwy', obliczenia opierają się na parametrach opisanych w instrukcji do programu RFEM]].

1. Dla ścinania (Element D44/55) stosuje się różne równania w typie grubości 'Warstwy'. Są one opisane w rozdziale w płaszczyźnie Ścinanie w płaszczyźnie płyty.

1. === Wyrazy mimośrodu [Nm/m] ===

1. W przypadku płyt niesymetrycznych powstają warunki mimośrodowe. Asymetryczna powierzchnia może być obliczana na przykład z uwagi na jednostronne zwęglenie drewnianej płyty klejonej krzyżowo. Elementy macierzy są następujące:

1. $D_{16}=\sum _{i=1}^n\frac{z_{max,i}^2-z_{min,i}^2}{2}{d}_{11,i}$

   Element mimośrodu D16

1. $D_{17}=\sum _{i=1}^n\frac{z_{max,i}^2-z_{min,i}^2}{2}{d}_{12,i}$

   Element mimośrodu D17

1. $D_{18}=\sum _{i=1}^n\frac{z_{max,i}^2-z_{min,i}^2}{2}{d}_{13,i}$

   Element mimośrodu D18

1. $D_{27}=\sum _{i=1}^n\frac{z_{max,i}^2-z_{min,i}^2}{2}{d}_{22,i}$

   Element mimośrodowy D27

1. $D_{28}=\sum _{i=1}^n\frac{z_{max,i}^2-z_{min,i}^2}{2}{d}_{23,i}$

   Element mimośrodowy D28

1. $D_{38}=\sum _{i=1}^n\frac{z_{max,i}^2-z_{min,i}^2}{2}{d}_{33,i}$

   Element mimośrodu D38

1. === Płaszczyzna warstwy [N/m] ===

1. W płaszczyźnie "Ściana szyby" sztywności normalne są przedstawione w płaszczyźnie tafli szkła. Siła tnąca w szybie jest obliczana za pomocą elementu D88. Elementy macierzy są następujące:

1. $D_{66}=\sum _{i=1}^n{t}_i{d}_{11,i}$

   Sztywność osiowa x D66

1. $D_{67}=\sum _{i=1}^n{t}_i{d}_{12,i}$

   Sztywność normalna Mimośród D67

1. $D_{68}=\sum _{i=1}^n{t}_i{d}_{13,i}$

   Sztywność normalna Mimośród D68

1. $D_{77}=\sum _{i=1}^n{t}_i{d}_{22,i}$

   Sztywność osiowa y D77

1. $D_{78}=\sum _{i=1}^n{t}_i{d}_{23,i}$

   Sztywność normalna Mimośród D78

1. $D_{88}=\sum _{i=1}^n{t}_i{d}_{33,i}$

   Ścinanie płyty D88

1. === Ścinanie w płaszczyźnie płyty [N/m] ===

1. Aby określić sztywność na ścinanie dla materiału ortotropowego, należy obrócić sztywności zgodnie z ich orientacją względem lokalnej osi powierzchni. Należy to zrobić dla każdej warstwy grubości typu 'Warstwy'. W prostej konstrukcji warstwowej, w której warstwa wierzchnia jest zorientowana pod kątem 0° i warstwa leżąca poniżej 90°, występuje duża sztywność na ścinanie, którą należy odpowiednio uwzględnić w przypadku modelu wielowarstwowego. Poniższy rysunek (Źródło [1]) pokazuje to na przykładzie płyty z drewna klejonego krzyżowo.

1. 

   Odkształcenie przy ścinaniu (źródło: (Służba informacji o drewnie)

1. W teorii laminatów sztywność konstrukcji warstwowej na ścinanie jest obliczana poprzez przekształcenie wszystkich składowych zginania i ścinania w odpowiednich kierunkach każdej warstwy. Więcej informacji na ten temat można znaleźć w literaturze wymienionej poniżej.

1. 

   Orientacja konstrukcji

1. Stosując transformację sztywności pokazaną na rysunku, sztywności są sumowane. Sumowanie to jest również znane jako „całka Grashoffa”.

1. $D_{44,calc}^{"}=\frac{1}{{\int }_{-t/2}^{t/2}{\displaystyle \frac{{\displaystyle G_{22}^{"}\left(z\right)}}{{\displaystyle G_{11}^{"}\left(z\right)G_{22}^{"}\left(z\right)-{G_{12}^{"}}^2\left(z\right)}}}{\left(}^{{\displaystyle \frac{{\int }_z^{t/2}{E}_x^{"}\left(\overline{z}\right)(\overline{z}-z_{0,x})d\overline{z}}{{\int }_{-t/2}^{t/2}{E}_x^{"}\left(\overline{z}\right){(\overline{z}-z_{0,x})}^{2}d\overline{z}}}}dz}$

   Sztywność na ścinanie w kierunku x

1. W celu obliczenia sztywności w kierunku x i y dla każdej konstrukcji powierzchni wielowarstwowej obliczany jest środek sztywności.

1. $z_{0,x}=\frac{{\int }_{-t/2}^{t/2}{E}_x^{"}\left(\overline{z}\right)\overline{z}d\overline{z}}{{\int }_{-t/2}^{t/2}{E}_x^{"}\left(\overline{z}\right)d\overline{z}}=\frac{I_1}{I_0}$

   Środek sztywności w x

1. $D_{55,calc}^{"}=\frac{1}{{\int }_{-t/2}^{t/2}{\displaystyle \frac{G_{11}^{"}\left(z\right)}{G_{11}^{"}\left(z\right)G_{22}^{"}\left(z\right)-{G_{12}^{"}}^2\left(z\right)}}{\left(}^{{\displaystyle \frac{{\int }_z^{t/2}{E}_y^{"}\left(\overline{z}\right)(\overline{z}-z_{0,x})d\overline{z}}{{\int }_{-t/2}^{t/2}{E}_y^{"}\left(\overline{z}\right){(\overline{z}-z_{0,x})}^{2}d\overline{z}}}}dz}$

   Sztywność ścinania w kierunku y

1. Środek sztywności w kierunku y:
2. $z_{0,x}=\frac{{\int }_{-t/2}^{t/2}{E}_y^{"}\left(\overline{z}\right)\overline{z}d\overline{z}}{{\int }_{-t/2}^{t/2}{E}_y^{"}\left(\overline{z}\right)d\overline{z}}=\frac{I_1}{I_0}$

   Środek sztywności w kierunku y

1. Aby określić orientację dla poszczególnych pozycji w obliczeniach sztywności na ścinanie, sztywności są określane zgodnie z poniższymi równaniami.

1. $G_{11,i}^{"}={\cos }^2(\phi -{ß}_i)G_{xz,i}+{\sin }^2(\phi -{ß}_i)G_{yz,i}$

   Zorientowana sztywność na ścinanie G11

1. G oznacza sztywność warstw na ścinanie w celu uniknięcia pomyłek dla elementów macierzy sztywności (D).

1. Sztywność na ścinanie każdej warstwy można również wyświetlić w postaci macierzy w następujący sposób:

1. $\left[\begin{array}{cc}{G}_{11}& G_{12}\\ G_{21}& G_{22}\end{array},)\right]$

   Macierz sztywności na ścinanie

1. $G_{22,i}^{"}={\sin }^2(\phi -{ß}_i)G_{xz,i}+{\cos }^2(\phi -{ß}_i)G_{yz,i}$

   Zorientowana sztywność na ścinanie G22

1. Sztywność mimośrodowa na ścinanie w poniższym równaniu zawsze będzie wynosić zero, a zatem nie ma znaczenia dla symetrycznej konstrukcji drewna klejonego krzyżowo (0°/90°/0°) wspomnianej powyżej. Na przykład w przypadku drewna klejonego ukośnie DLT ( Diagonal Laminated Timber ), ten element mimośrodu nie wynosi zero i dlatego odgrywa ważną rolę.

1. $G_{12}^{"}=(G_{xz,i}-G_{yz,i})\sin (\phi -{ß}_i)\cos (\phi -{ß}_i)$

   Sztywność na ścinanie mimośrodowe G12

1. Więcej informacji można znaleźć w [4] oraz w tym wideo na YouTube.

1. ==== Obliczanie sztywności na ścinanie ====

1. Sztywność na ścinanie jest określana w następujących krokach:

1. #Najpierw wyznaczany jest kąt maksymalnej sztywności. Kąt φ pokazuje zmianę lokalnego układu współrzędnych x powierzchni w odniesieniu do kierunku zorientowanego x .
2. #Wszystkie sztywności są obracane w kierunku zorientowanym ''x'' zgodnie z równaniami przedstawionymi powyżej .
3. #Macierz sztywności szyby każdej warstwy (3 x 3) jest przekształcana z lokalnego układu współrzędnych x', y' na układ obrócony x'', y" . Oprócz obliczania skierowanej sztywności na ścinanie każdej pojedynczej warstwy, jest to również obliczane dla modułów sprężystości każdej warstwy.
   $E_{x,i}^{"}=d_{12,i}^{"}+\frac{2d_{12,i}^{"}{d}_{13,i}^{"}{d}_{23,i}^{"}-d_{22,i}^{"}{\left(d_{13,i}^{"}\right)}^2-d_{33,i}^{"}{\left(d_{12,i}^{"}\right)}^2}{d_{22,i}^{"}{d}_{33,i}^{"}-{\left(d_{23,i}^{"}\right)}^2}$

   Zorientowany moduł sprężystości w kierunku x
   $E_{y,i}^{"}=d_{22,i}^{"}+\frac{2d_{12,i}^{"}{d}_{13,i}^{"}{d}_{23,i}^{"}-d_{11,i}^{"}{\left(d_{23,i}^{"}\right)}^2-d_{33,i}^{"}{\left(d_{12,i}^{"}\right)}^2}{d_{11,i}^{"}{d}_{33,i}^{"}-{\left(d_{13,i}^{"}\right)}^2}$

   Zorientowany moduł sprężystości w kierunku y
4. #Sztywność na ścinanie jest obliczana za pomocą opisanych powyżej. Sztywność na ścinanie oblicza się na podstawie poszczególnych części.
   $I={\int }_{-h/2}^{h/2}{d}_{11}\left(z\right){(z-z_{0,x})}^{2}dz=\sum _{i=1}^n{d}_{11,i}\frac{{(z_{max,i}-z_{0,x})}^3-{(z_{min,i}-z_{0,x})}^3}{3}$

   Moment bezwładności przekroju w kierunku x
   ${\chi }_i=d_{11,i}\frac{{(z_{max,i}-z_{0,x})}^2}{2}+\sum _{k=i+1}^n{d}_{11,k}\frac{{(z_{max,i}-z_{0,x})}^2-{(z_{min,i}-z_{0,x})}^2}{2}$

   Równoważna sztywność na warstwę (w x)
   W tym miejscu równania są wyświetlane tylko dla kierunku x (D44). To samo dotyczy kierunku y. Dla każdej warstwy obliczana jest sztywność równoważna (składowa Stintera).
5. #Na koniec, obliczone sztywności dla zorientowanego kierunku całej konstrukcji są ponownie obliczane z wykorzystaniem zależności kątowych i wyświetlane jako oryginalne sztywności D44, D55 i D45 w macierzy sztywności.
   $D_{44}={\cos }^2\left(\phi \right)D_{44}^{"}+{\sin }^2\left(\phi \right)D_{55}^{"}$

   Ponownie obliczona sztywność na ścinanie D44
   $D_{55}={\sin }^2\left(\phi \right)D_{44}^{"}+{\cos }^2\left(\phi \right)D_{55}^{"}$

   Ponownie obliczona sztywność na ścinanie D55
   $D_{45}=\sin \left(\phi \right)\cos \left(\phi \right)(D_{44}^{"}-D_{55}^{"})$

   Ponownie obliczona sztywność na ścinanie D45