Instrukcje online RFEM 6 | Powierzchnie wielowarstwowe

Powrót do Instrukcji online

3886x

003626

Dipl.-Ing. (FH) Bastian Kuhn

2023-10-19

Wybór ręczny

Przegląd

Rozszerzenie Powierzchnie wielowarstwowe

Teoria

Dane wejściowe

Wyniki

Przykłady obliczeń

Sztywności dla powierzchni wielowarstwowej

Modele materiałowe

Podstawą składania wielowarstwowych powierzchni w efektywną sztywność powierzchni są modele materiałowe. Za pomocą dodatku Powierzchnie wielowarstwowe modele materiałowe można swobodnie łączyć w programie RFEM 6. Podstawy modeli materiałowych opisano w rozdziałach Materiały oraz Nieliniowe zachowanie materiału podręcznika RFEM.

Wybór możliwości kombinowania modeli materiałowych został utworzony w modelu „Modele wielowarstwowe" (zob. prawa kolumna), który można pobrać w celu dalszego badania kombinacji.

Poniższa lista przedstawia wybór możliwych kombinacji:

Warstwy izotropowe (np. beton – stal)
Warstwy ortotropowe (np. drewno klejone krzyżowo)
Izotrop – ortotrop (np. stal – GFK)
Izotrop plastyczny – izotrop (np. beton – stal)
Izotrop nieliniowo sprężysty – ortotrop (np. beton – drewno)
Izotrop – ortotrop plastyczny (np. beton – drewno)
Izotrop uszkodzeniowy – ortotrop (np. beton – drewno)

Ważne

Do łączenia materiałów nieliniowych musi być aktywowany dodatek Nieliniowe zachowanie materiału.

Sztywności przy powierzchniach wielowarstwowych bez brył

Prostszą wariantem obliczeniowym w dodatku Powierzchnie wielowarstwowe jest zdefiniowanie różnych warstw powierzchni w typie grubości „Warstwy" bez brył. Również tutaj można jednak swobodnie łączyć modele materiałowe.

Po zdefiniowaniu warstw dodatek Powierzchnie wielowarstwowe tworzy globalną macierz sztywności powierzchni. Dla tej powierzchni w RFEM obliczane są siły wewnętrzne i deformacje. W odpowiednim dodatku do projektowania, na przykład Projektowanie konstrukcji drewnianych lub Analiza naprężeniowo-odkształceniowa, siły wewnętrzne są następnie rozdzielane na poszczególne istniejące warstwy. Zwykle siły wewnętrzne są podawane w trzech punktach całkowania na każde położenie.

Przebieg obliczeń dla powierzchni wielowarstwowych

Proces obliczania powierzchni wielowarstwowych

Poniżej wyjaśniono obliczanie macierzy sztywności dla materiału izotropowego i ortotropowego.

Obliczanie macierzy sztywności

Jako podstawy modeli materiałowych obowiązują następujące warunki (zob. również rozdział Materiały podręcznika RFEM):

Wszystkie wartości sztywności ≥ 0
Globalna macierz sztywności powierzchni musi być dodatnio określona.
Równanie podstawowe izotropowości:

E = 2 G (1 + ν)

E	Moduł sprężystości
G	Moduł ścinania
ν	Współczynnik Poissona

Moduł sprężystości, moduł ścinania i współczynnik Poissona{

Równanie podstawowe ortotropowości:

\frac{ν_{y x}}{E_{y}} = \frac{ν_{x y}}{E_{x}}

Zależność odkształcenia poprzecznego

Lokalna macierz sztywności każdej warstwy

Izotrop

d_{i}' = [\begin{matrix} d'_{11, i} & d'_{12, i} & 0 \\ d'_{22, i} & 0 \\ s y m . & d'_{33, i} \end{matrix}] = [\begin{matrix} \frac{E_{i}}{1 - ν_{i}^{2}} & \frac{ν_{i} E_{i}}{1 - ν_{i}^{2}} & 0 \\ \frac{E_{i}}{1 - ν_{i}^{2}} & 0 \\ s y m . & G_{i} \end{matrix}] i = 1, . . ., n m i t G_{i} = \frac{E_{i}}{2 (1 + ν_{i})}

Warstwa macierzy sztywności izotropowa

Ortotrop

d_{i}' = [\begin{matrix} d'_{11, i} & d'_{12, i} & 0 \\ d'_{22, i} & 0 \\ s y m . & d'_{33, i} \end{matrix}] = [\begin{matrix} \frac{E_{x, i}}{1 - ν_{x y, i}^{2} \frac{E_{y, i}}{E_{x, i}}} & \frac{ν_{x y, i} E_{y, i}}{1 - ν_{x y, i}^{2} \frac{E_{y, i}}{E_{x, i}}} & 0 \\ \frac{E_{y, i}}{1 - ν_{x y, i}^{2} \frac{E_{y, i}}{E_{x, i}}} & 0 \\ s y m . & G_{x y, i} \end{matrix}] i = 1, . . ., n

Ortotropowa warstwa macierzy sztywności

Informacje

Przy materiale ortotropowym moduł ścinania w płaszczyźnie płyty (G_xy) jest definiowany za pomocą wartości materiałowych, natomiast przy materiale izotropowym jest wyznaczany z modułu sprężystości i odkształcenia poprzecznego. Dlatego przy materiale ortotropowym ważna jest relacja odkształcenia poprzecznego z zasadą „przyczyna-skutek".

Sztywności na ścinanie dla materiału ortotropowego są następujące:

G_xy	Moduł ścinania w płaszczyźnie płyty (np. 690 N/mm² dla C24)
G_xz	Moduł ścinania w kierunku x przez grubość (np. 690 N/mm² dla C24)
G_yz	Moduł ścinania w kierunku y przez grubość (np. 690 N/mm² dla C24) – nazywany również „modułem ścinania walcowego"

Przy materiale ortotropowym pojawia się dodatkowo osobliwość polegająca na tym, że można zdefiniować ukierunkowane sztywności w powierzchni. W przypadku standardowym lokalna orientacja powierzchni lub warstwy w kierunku x odpowiada sztywności w kierunku x. Ponieważ można ją jednak dowolnie zdefiniować za pomocą kąta β w typie grubości „Warstwy", konieczne jest odpowiednie przekształcenie sztywności.

d_{i} = [\begin{matrix} d_{11, i} & d_{12, i} & d_{13, i} \\ d_{22, i} & d_{23, i} \\ s y m . & d_{33, i} \end{matrix}] = T_{3 x 3, i}^{T} d'_{i} T_{3 x 3, i}

Sztywności transformacji

T_{3 x 3, i} = [\begin{matrix} c ² & s ² & c s \\ s ² & c ² & - c s \\ - 2 c s & 2 c s & c ² - s ² \end{matrix}] m i t c = \cos (β_{i}), s = \sin (β_{i})

Macierz transformacji

Zsumowany element każdej warstwy:

d_{11, i} = c^{4} d'_{11, i} + 2 c ² s ² d'_{12, i} + s^{4} d'_{22, i} + 4 c ² s ² d'_{33, i}

d_{12, i} = c^{2} s^{2} d'_{11, i} + s^{4} d'_{12, i} + c^{4} d'_{12, i} + c ² s ² d'_{22, i} - 4 c ² s ² d'_{33, i}

d_{13, i} = c^{3} s d'_{11, i} + c s^{3} d'_{12, i} - c^{3} s d'_{12, i} - c s^{3} d'_{22, i} - 2 c^{3} s d'_{33, i} + 2 c s^{3} d'_{33, i}

d_{22, i} = s^{4} d'_{11, i} + 2 c ² s ² d'_{12, i} + c^{4} d'_{22, i} + 4 c ² s ² d'_{33, i}

d_{23, i} = c s^{3} d'_{11, i} + c^{3} s d'_{12, i} - c s^{3} d'_{12, i} - c^{3} s d'_{22, i} + 2 c^{3} s d'_{33, i} - 2 c s^{3} d'_{33, i}

d_{33, i} = c^{2} s^{2} d'_{11, i} - 2 c ² s ² d'_{12, i} + c^{2} s^{2} d'_{22, i} + {(c^{2} - s^{2})}^{2} d'_{33, i}

Poszczególne warunki na zmianę

Elementy zginania i skręcania [Nm]

Elementy macierzy dla zginania i skręcania podano w poniższych równaniach.

D_{11} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{3} - z_{m i n, i}^{3}}{3} d_{11, i}

Sztywność na zginanie w x

D_{12} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{3} - z_{m i n, i}^{3}}{3} d_{12, i}

Wyrażenie mimośrodu (12)

D_{22} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{3} - z_{m i n, i}^{3}}{3} d_{22, i}

Sztywność na zginanie w y

D_{13} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{3} - z_{m i n, i}^{3}}{3} d_{13, i}

Wyrażenie mimośrodu (13)

D_{23} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{3} - z_{m i n, i}^{3}}{3} d_{23, i}

Wyrażenie mimośrodu (23)

D_{33} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{3} - z_{m i n, i}^{3}}{3} d_{33, i}

sztywność skrętna

Przy tylko jednej warstwie w typie grubości „Warstwy" obliczenia prowadzone są według równań wyjaśnionych w podręczniku RFEM.

Dla ścinania (elementy D44/55) w typie grubości „Warstwy" obowiązują inne równania. Zostaną one przedstawione w rozdziale Ścinanie w płaszczyźnie płyty.

Wyrazy mimośrodowości [Nm/m]

Przy płytach niesymetrycznych powstają wyrazy mimośrodowości. Niesymetryczna powierzchnia może na przykład wystąpić przy obliczeniach ochrony przeciwpożarowej wskutek jednostronnego zwęglania panelu z drewna klejonego krzyżowo. Elementy macierzy są następujące:

D_{16} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{2} - z_{m i n, i}^{2}}{2} d_{11, i}

Element mimośrodu D16

D_{17} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{2} - z_{m i n, i}^{2}}{2} d_{12, i}

Element mimośrodu D17

D_{18} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{2} - z_{m i n, i}^{2}}{2} d_{13, i}

Element mimośrodu D18

D_{27} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{2} - z_{m i n, i}^{2}}{2} d_{22, i}

Element mimośrodowy D27

D_{28} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{2} - z_{m i n, i}^{2}}{2} d_{23, i}

Element mimośrodowy D28

D_{38} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{2} - z_{m i n, i}^{2}}{2} d_{33, i}

Element mimośrodu D38

Płaszczyzna płyty [N/m]

W płaszczyźnie płyty traktowane są sztywności normalne w płaszczyźnie płyty. Za pomocą elementu D88 obliczane jest ścinanie płyty – czyli siła tnąca w płycie. Elementy macierzy są następujące:

D_{66} = \sum_{i = 1}^{n} t_{i} d_{11, i}

Sztywność osiowa x D66

D_{67} = \sum_{i = 1}^{n} t_{i} d_{12, i}

Sztywność normalna Mimośród D67

D_{68} = \sum_{i = 1}^{n} t_{i} d_{13, i}

Sztywność normalna Mimośród D68

D_{77} = \sum_{i = 1}^{n} t_{i} d_{22, i}

Sztywność osiowa y D77

D_{78} = \sum_{i = 1}^{n} t_{i} d_{23, i}

Sztywność normalna Mimośród D78

D_{88} = \sum_{i = 1}^{n} t_{i} d_{33, i}

Ścinanie płyty D88

Ścinanie w płaszczyźnie płyty [N/m]

Aby wyznaczyć sztywność na ścinanie, przy materiale ortotropowym należy obrócić sztywności odpowiednio do ich orientacji względem lokalnej osi powierzchni. Należy to zrobić dla każdego położenia typu grubości „Warstwy". Przy prostym układzie warstw z orientacją 0° warstwy licowej i 90° orientacją warstwy pod nią powstaje duża podatność na ścinanie, która musi być odpowiednio uwzględniona w modelu wielowarstwowym. Na poniższym obrazie (źródło [1]) widać to na przykładzie panelu z drewna klejonego krzyżowo.

Ilustracja odkształcenia ścinającego w drewnie klejonym krzyżowo, udostępniona przez Informationsdienst Holz

Odkształcenie ścinania (źródło: Informationsdienst Holz)

W teorii laminatów sztywność na ścinanie ułożonego warstwowo zestawu oblicza się poprzez transformację wszystkich udziałów zginania i ścinania do odpowiednich kierunków każdego położenia. Więcej informacji na ten temat można znaleźć m.in. w podanej poniżej literaturze.

Wizualizacja orientacji osi sztywności w laminacie celem optymalizacji właściwości materiału

Orientacja sztywności

Za pomocą przedstawionej na obrazie transformacji sztywności sztywności są sumowane. To sumowanie jest znane również pod pojęciem „całki Grashoffa".

D_{44, c a l c}^{"} = \frac{1}{\int_{- t / 2}^{t / 2} \frac{G_{22}^{"} (z)}{G_{11}^{"} (z) G_{22}^{"} (z) - {G_{12}^{"}}^{2} (z)} {(\frac{\int_{z}^{t / 2} E_{x}^{"} (\bar{z}) (\bar{z} - z_{0, x}) d \bar{z}}{\int_{- t / 2}^{t / 2} E_{x}^{"} (\bar{z}) {(\bar{z} - z_{0, x})}^{2} d \bar{z}})}^{2} d z}

Sztywność na ścinanie w kierunku x

Do obliczenia sztywności w kierunku x i y dla każdego układu powierzchni wielowarstwowej oblicza się tak zwany środek ciężkości sztywności.

z_{0, x} = \frac{\int_{- t / 2}^{t / 2} E_{x}^{"} (z) z d z}{\int_{- t / 2}^{t / 2} E_{x}^{"} (z) d z} = \frac{I_{1}}{I_{0}}

Środek sztywności w x

D_{55, c a l c}^{"} = \frac{1}{\int_{- t / 2}^{t / 2} \frac{G_{11}^{"} (z)}{G_{11}^{"} (z) G_{22}^{"} (z) - {G_{12}^{"}}^{2} (z)} {(\frac{\int_{z}^{t / 2} E_{y}^{"} (\bar{z}) (\bar{z} - z_{0, x}) d \bar{z}}{\int_{- t / 2}^{t / 2} E_{y}^{"} (\bar{z}) {(\bar{z} - z_{0, x})}^{2} d \bar{z}})}^{2} d z}

Sztywność ścinania w kierunku y

Środek ciężkości sztywności w kierunku y:

z_{0, x} = \frac{\int_{- t / 2}^{t / 2} E_{y}^{"} (z) z d z}{\int_{- t / 2}^{t / 2} E_{y}^{"} (z) d z} = \frac{I_{1}}{I_{0}}

Środek sztywności w kierunku y

Aby w obliczaniu sztywności na ścinanie uchwycić orientację każdego położenia, sztywności są ujmowane według następujących równań.

G_{11, i}^{"} = \cos^{2} (φ - ß_{i}) G_{x z, i} + \sin^{2} (φ - ß_{i}) G_{y z, i}

Zorientowana sztywność na ścinanie G11

G oznacza tutaj sztywność na ścinanie warstw, aby wykluczyć pomylenie z elementami macierzy sztywności (D).

Również sztywność na ścinanie każdego położenia można przedstawić w postaci macierzowej w następujący sposób:

[\begin{matrix} G_{11} & G_{12} \\ G_{21} & G_{22} \end{matrix}]

Macierz sztywności na ścinanie

G_{22, i}^{"} = \sin^{2} (φ - ß_{i}) G_{x z, i} + \cos^{2} (φ - ß_{i}) G_{y z, i}

Zorientowana sztywność na ścinanie G22

Mimośrodowa sztywność na ścinanie w poniższym równaniu byłaby dla wspomnianego na wstępie symetrycznego układu drewna klejonego krzyżowo (0°/90°/0°) zawsze zerowa, a zatem nieistotna. Przy na przykład diagonalnie klejonym drewnie DLT („Diagonal Laminated Timber") ten wyraz mimośrodowości nie jest jednak zerowy i odgrywa więc ważną rolę.

G_{12}^{"} = (G_{x z, i} - G_{y z, i}) \sin (φ - ß_{i}) \cos (φ - ß_{i})

Sztywność na ścinanie mimośrodowe G12

Więcej informacji można znaleźć m.in. w [4] oraz w filmie na YouTube.

Obliczanie sztywności na ścinanie

Sztywność na ścinanie wyznaczana jest w następujących krokach:

Najpierw wyznaczany jest kąt maksymalnej sztywności. Kąt φ pokazuje zmianę lokalnego układu współrzędnych x powierzchni względem zorientowanego kierunku x".
Wszystkie sztywności są obracane do zorientowanego kierunku x" według powyższych równań.
Macierz sztywności płyty każdego położenia (3 x 3) jest transformowana z lokalnego układu współrzędnych x', y' do układu obróconego x", y". Oprócz obliczenia ukierunkowanej sztywności na ścinanie każdej pojedynczej warstwy dokonuje się tego również dla modułów sprężystości każdej warstwy.

$E_{x, i}^{"} = d_{12, i}^{"} + \frac{2 d_{12, i}^{"} d_{13, i}^{"} d_{23, i}^{"} - d_{22, i}^{"} {(d_{13, i}^{"})}^{2} - d_{33, i}^{"} {(d_{12, i}^{"})}^{2}}{d_{22, i}^{"} d_{33, i}^{"} - {(d_{23, i}^{"})}^{2}}$

Zorientowany moduł sprężystości w kierunku x

$E_{y, i}^{"} = d_{22, i}^{"} + \frac{2 d_{12, i}^{"} d_{13, i}^{"} d_{23, i}^{"} - d_{11, i}^{"} {(d_{23, i}^{"})}^{2} - d_{33, i}^{"} {(d_{12, i}^{"})}^{2}}{d_{11, i}^{"} d_{33, i}^{"} - {(d_{13, i}^{"})}^{2}}$

Zorientowany moduł sprężystości w kierunku y
Sztywność na ścinanie obliczana jest według powyżej opisanych równań (całka Grashoffa). Sztywność na ścinanie jest obliczana za pomocą poszczególnych udziałów.

$I = \int_{- h / 2}^{h / 2} d_{11} (z) {(z - z_{0, x})}^{2} d z = \sum_{i = 1}^{n} d_{11, i} \frac{{(z_{m a x, i} - z_{0, x})}^{3} - {(z_{m i n, i} - z_{0, x})}^{3}}{3}$

Moment bezwładności przekroju w kierunku x

$χ_{i} = d_{11, i} \frac{{(z_{m a x, i} - z_{0, x})}^{2}}{2} + \sum_{k = i + 1}^{n} d_{11, k} \frac{{(z_{m a x, i} - z_{0, x})}^{2} - {(z_{m i n, i} - z_{0, x})}^{2}}{2}$

Równoważna sztywność na warstwę (w x)

Równania pokazano tutaj tylko dla kierunku x (D44). Dla kierunku y obowiązuje to analogicznie. Równoważna sztywność (udział Steinera) jest obliczana dla każdego położenia.
Obliczone sztywności dla zorientowanego kierunku całego układu są na koniec przeliczane z powrotem za pomocą zależności kątowych i podawane jako pierwotne sztywności D44, D55 i D45 w macierzy sztywności.

$D_{44} = \cos^{2} (φ) D_{44}^{"} + \sin^{2} (φ) D_{55}^{"}$

Ponownie obliczona sztywność na ścinanie D44

$D_{55} = \sin^{2} (φ) D_{44}^{"} + \cos^{2} (φ) D_{55}^{"}$

Ponownie obliczona sztywność na ścinanie D55

$D_{45} = \sin (φ) \cos (φ) (D_{44}^{"} - D_{55}^{"})$

Ponownie obliczona sztywność na ścinanie D45

Zwiększenie sztywności na ścinanie

Ponieważ przez modelowanie laminatów jako powierzchni możliwe są również geometrie z bardzo wąskimi pasmami powierzchni, przy obliczaniu takich problematycznych geometrii należy odpowiednio zwiększyć sztywność na ścinanie.

W poniższym równaniu przedstawiono to dla kierunku X.

D_{44}^{"} = \max (D_{44, calc}^{"}, \frac{48}{5 l ²} \frac{1}{\frac{1}{\sum_{i = 1}^{n} E_{x, i}^{"} \frac{t_{i}^{3}}{12}} - \frac{1}{\sum_{i = 1}^{n} E_{x, i}^{"} \frac{z_{\max, i}^{3} - z_{\min, i}^{3}}{3}}})

Maksymalna sztywność na ścinanie

Długość l w powyższym równaniu oznacza tutaj najkrótszą długość prostopadłościanu, który można nałożyć na odpowiednią geometrię.

W modelu „Sztywność na ścinanie" (zob. prawa kolumna) wąska powierzchnia o szerokości 10 cm jest porównywana z identyczną powierzchnią o szerokości 20 cm.

Sztywność na ścinanie wąskiej powierzchni wynosi D44 = 15253 kN/m w porównaniu do D44 = 5970,8 kN/m szerszej powierzchni. Przy identycznym obciążeniu deformacja sztywniejszej powierzchni jest mniejsza, a obciążenie na ścinanie większe.

Sztywności przy powierzchniach wielowarstwowych ze zintegrowanymi bryłami

W przyszłości w dodatku Powierzchnie wielowarstwowe będzie możliwe zdefiniowanie brył wraz z powierzchniami. Przy tym typie również do RFEM eksportowana jest powierzchnia. Ponieważ generowanie sztywności i rozkład sił wewnętrznych jest bardziej złożony, zostanie to wyjaśnione osobno.

Odniesienia

Budownictwo z wykorzystaniem drewna klejonego krzyżowo. Nośne elementy z litego drewna na ściany, stropy i dachy - Seria 4 Część 6 Odcinek 1 Hamburger Informationsdienst Holz, Berlin, 2016
Płaskie konstrukcje powierzchniowe: Podstawy modelowania i obliczania tarcz i płyt
Jones, R. M. (b.d.). Mechanika materiałów kompozytowych (wyd. 2). Taylor & Francis Inc., Filadelfia.
Arnold, M.: "Właściwości mechaniczne drewna z warstwą krzyżową (DLT) w odniesieniu do stropów drewnianych podpartych punktowo". Rozprawa doktorska w trakcie opracowywania. Katedra Budownictwa Drewnianego i Budownictwa, Uniwersytet Techniczny w Monachium, oczekiwany w 2023 roku.

Rozdział nadrzędny

Teoria

Model

880x

29x

Modele wielowarstwowe

Model wielowarstwowy w usztywnieniu przy ścinaniu

172x

10x

Sztywność na ścinanie