Rigidez para superfícies multicamadas

Modelos de materiais

1. Os modelos de material são a base para compor superfícies multicamadas com o objetivo de obter uma rigidez de superfície eficaz. O módulo Superfícies multicamadas permite combinar livremente os modelos de material no programa RFEM 6. A base dos modelos de material é descrita nos capítulos {%>Comportamento de material não linear do manual do RFEM.

1. É criada uma seleção das possíveis combinações dos modelos de material no modelo "Modelos multicamadas" (ver coluna à direita), o qual pode ser descarregado para um estudo mais aprofundado das combinações.

1. A seguinte lista apresenta uma seleção das possíveis combinações:
2. * Camadas isotrópicas (por exemplo, betão - aço)
3. * Camadas ortotrópicas (por exemplo, madeira laminada cruzada)
4. * Isotrópico - ortotrópico (por exemplo, aço - GFRP)
5. * Isotrópico plástico - isotrópico (por exemplo, betão - aço)
6. * Isotrópico elástico não linear - ortotrópico (por exemplo, betão - madeira)
7. * Isotrópico - ortotrópico plástico (por exemplo, betão - madeira)
8. * Dano isotrópico - ortotrópico (por exemplo, betão - madeira)

1. #banner.text@Para combinar materiais não-lineares, {%>https://www.dlubal.com/pt/produtos/modulos-para-rfem-6-e-rstab-9/adicional -analysis/nonlinear-material-behavior O comportamento de material não linear]] deveria estar ativado.

1. == Rigidez para superfícies multicamadas sem sólidos ==

1. A opção de cálculo mais simples no módulo Superfícies multicamadas consiste em definir diferentes camadas de superfície no tipo de espessura 'Camadas' sem sólidos. No entanto, também pode aqui combinar livremente os modelos de material.

1. Uma vez definidas as camadas, o módulo Superfícies multicamadas cria uma matriz de rigidez global da superfície. No RFEM, as forças internas e as deformações são calculadas para esta superfície. No respetivo módulo de dimensionamento, como o de dimensionamento de madeira ou a análise tensão-deformação, esses esforços internos são depois divididos nas camadas existentes. Geralmente, as forças internas são apresentadas como três pontos de integração por posição.

1. 

   Processo de cálculo para superfícies multicamada

1. Este artigo explica como calcular a matriz de rigidez para materiais isotrópicos e ortotrópicos.

1. === Cálculo da matriz de rigidez ===

1. Os modelos de material são baseados nas seguintes condições (ver Capítulo {%>
2. * Todos os valores de rigidez ≥ 0
3. * A matriz de rigidez geral da superfície tem de ser definida como positiva.
4. * Equação de base isotrópica:

1. $E=2G\left(1+\nu \right)$

   E	módulo de elasticidade
   G	módulo de corte
   ν	deformação transversal

   Módulo de elasticidade, módulo de corte e relação de Poisson ' s
2. * Equação ortotrópica de base:

1. $\frac{{\nu }_{yx}}{E_y}=\frac{{\nu }_{xy}}{E_x}$

   Relação de deformação transversal

1. == Matriz de rigidez local de cada camada ==

1. * Isotrópico
2. $d_i\text{'}=\left[\begin{array}{ccc}d{\text{'}}_{11,i}& d{\text{'}}_{12,i}& 0\\ & d{\text{'}}_{22,i}& 0\\ sym.& & d{\text{'}}_{33,i}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\frac{E_i}{1-{\nu }_i^2}& \frac{{\nu }_i{E}_i}{1-{\nu }_i^2}& 0\\ & \frac{E_i}{1-{\nu }_i^2}& 0\\ sym.& & G_i\end{array}\right] i=1,...,n mit G_i=\frac{E_i}{2\left(1+{\nu }_i\right)}$

   Rigidez camada de matriz isotrópica

1. * Ortotrópico
2. $d_i\text{'}=\left[\begin{array}{ccc}d{\text{'}}_{11,i}& d{\text{'}}_{12,i}& 0\\ & d{\text{'}}_{22,i}& 0\\ sym.& & d{\text{'}}_{33,i}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\frac{E_{x,i}}{1-{\nu }_{xy,i}^2{\displaystyle \frac{E_{y,i}}{E_{x,i}}}}& \frac{{\nu }_{xy,i}{E}_{y,i}}{1-{\nu }_{xy,i}^2{\displaystyle \frac{E_{y,i}}{E_{x,i}}}}& 0\\ & \frac{E_{y,i}}{1-{\nu }_{xy,i}^2{\displaystyle \frac{E_{y,i}}{E_{x,i}}}}& 0\\ sym.& & G_{xy,i}\end{array}\right] i=1,...,n$

   Rigidez camada de matriz ortotrópica

1. #banner.text@Para material ortotrópico, o módulo de corte no plano do painel (G_xy ) é definido através dos valores do material, enquanto que para material isotrópico é determinado a partir do módulo de elasticidade e da extensão transversal. Portanto, a relação de Poisson' com o princípio da "localização-causa" é importante para materiais ortotrópicos.

1. A resistência ao corte para o material ortotrópico é a seguinte:

1. #table.uni#
2. largura=10%|largura=90%
3. G_xy |Módulo de corte no plano da parede (por exemplo, 690 N/mm² para C24)
4. G_xz | Módulo de corte na direção x sobre a espessura (por exemplo, 690 N/mm² para C24)

_GYZ | Módulo de corte na direção y sobre a espessura (por exemplo, 690 N/mm² para C24) – também designado de "módulo de corte por rolamento".

1. Além do mais, os materiais ortotrópicos tem a particularidade de as rigidezes direcionais poderem ser definidas numa superfície. No caso por defeito, a orientação local da superfície ou camada na direção x corresponde à rigidez na direção x. No entanto, uma vez que esta pode ser definida livremente através do ângulo β no tipo de espessura 'Camadas', é necessário transformar a rigidez em conformidade.

1. $d_i=\left[\begin{array}{ccc}{d}_{11,i}& d_{12,i}& d_{13,i}\\ & d_{22,i}& d_{23,i}\\ sym.& & d_{33,i}\end{array}\right]=T_{3x3,i}^{T}d{\text{'}}_i{T}_{3x3,i}$

   Rigidez de transformação

1. $T_{3x3,i}=\left[\begin{array}{ccc}c²& s²& cs\\ s²& c²& -cs\\ -2cs& 2cs& c²-s²\end{array}\right] mit c=\cos \left({\beta }_i\right), s=\sin \left({\beta }_i\right)$

   Matriz de transformação

1. Elemento somado de cada camada:
2. $d_{11,i}=c^{4}d{\text{'}}_{11,i}+2c²s²d{\text{'}}_{12,i}+s^{4}d{\text{'}}_{22,i}+4c²s²d{\text{'}}_{33,i}$
   
   $d_{12,i}=c^2{s}^{2}d{\text{'}}_{11,i}+s^{4}d{\text{'}}_{12,i}+c^{4}d{\text{'}}_{12,i}+c²s²d{\text{'}}_{22,i}-4c²s²d{\text{'}}_{33,i}$
   
   $d_{13,i}=c^{3}sd{\text{'}}_{11,i}+c{s}^{3}d{\text{'}}_{12,i}-c^{3}sd{\text{'}}_{12,i}-c{s}^{3}d{\text{'}}_{22,i}-2c^{3}sd{\text{'}}_{33,i}+2c{s}^{3}d{\text{'}}_{33,i}$
   
   $d_{22,i}=s^{4}d{\text{'}}_{11,i}+2c²s²d{\text{'}}_{12,i}+c^{4}d{\text{'}}_{22,i}+4c²s²d{\text{'}}_{33,i}$
   
   $d_{23,i}=c{s}^{3}d{\text{'}}_{11,i}+c^{3}sd{\text{'}}_{12,i}-c{s}^{3}d{\text{'}}_{12,i}-c^{3}sd{\text{'}}_{22,i}+2c^{3}sd{\text{'}}_{33,i}-2c{s}^{3}d{\text{'}}_{33,i}$
   
   $d_{33,i}=c^2{s}^{2}d{\text{'}}_{11,i}-2c²s²d{\text{'}}_{12,i}+c^2{s}^{2}d{\text{'}}_{22,i}+{\left(c^2-s^2\right)}^{2}d{\text{'}}_{33,i}$

   Condições individuais por turno

1. === Elementos de flexão e torção [Nm] ===

1. Os elementos da matriz para a flexão e torção são dados nas equações abaixo.

1. $D_{11}=\sum _{i=1}^n\frac{z_{max,i}^3-z_{min,i}^3}{3}{d}_{11,i}$

   Rigidez de flexão em x

1. $D_{12}=\sum _{i=1}^n\frac{z_{max,i}^3-z_{min,i}^3}{3}{d}_{12,i}$

   Termo de excentricidade (12)

1. $D_{22}=\sum _{i=1}^n\frac{z_{max,i}^3-z_{min,i}^3}{3}{d}_{22,i}$

   Rigidez à flexão em y

1. $D_{13}=\sum _{i=1}^n\frac{z_{max,i}^3-z_{min,i}^3}{3}{d}_{13,i}$

   Termo de excentricidade (13)

1. $D_{23}=\sum _{i=1}^n\frac{z_{max,i}^3-z_{min,i}^3}{3}{d}_{23,i}$

   Termo de excentricidade (23)

1. $D_{33}=\sum _{i=1}^n\frac{z_{max,i}^3-z_{min,i}^3}{3}{d}_{33,i}$

   Rigidez à rotação

1. Se existe apenas uma camada do tipo de espessura 'Camadas', o cálculo é baseado nos parâmetros descritos no manual do RFEM]].

1. Para o corte (elemento D44/55) aplicam-se equações diferentes no tipo de espessura 'Camadas'. Estes encontram-se descritos na secção {%>

1. === Termos de excentricidade [Nm/m] ===

1. Para placas assimétricas surgem os termos de excentricidade. Uma superfície assimétrica pode, por exemplo, estar no dimensionamento de uma resistência ao fogo devido à queima lateral de uma placa de madeira laminada cruzada. Os elementos da matriz são os seguintes:

1. $D_{16}=\sum _{i=1}^n\frac{z_{max,i}^2-z_{min,i}^2}{2}{d}_{11,i}$

   Elemento de excentricidade D16

1. $D_{17}=\sum _{i=1}^n\frac{z_{max,i}^2-z_{min,i}^2}{2}{d}_{12,i}$

   Elemento de excentricidade D17

1. $D_{18}=\sum _{i=1}^n\frac{z_{max,i}^2-z_{min,i}^2}{2}{d}_{13,i}$

   Excentricidade Elemento D18

1. $D_{27}=\sum _{i=1}^n\frac{z_{max,i}^2-z_{min,i}^2}{2}{d}_{22,i}$

   Elemento de excentricidade D27

1. $D_{28}=\sum _{i=1}^n\frac{z_{max,i}^2-z_{min,i}^2}{2}{d}_{23,i}$

   Elemento de excentricidade D28

1. $D_{38}=\sum _{i=1}^n\frac{z_{max,i}^2-z_{min,i}^2}{2}{d}_{33,i}$

   Elemento de excentricidade D38

1. === Plano de camada [N/m] ===

1. No plano "Parede do painel", as rigidezes normais são representadas no plano do painel de vidro. A força de corte no painel é calculada utilizando o elemento D88. Os elementos da matriz são os seguintes:

1. $D_{66}=\sum _{i=1}^n{t}_i{d}_{11,i}$

   Rigidez axial x D66

1. $D_{67}=\sum _{i=1}^n{t}_i{d}_{12,i}$

   Rigidez normal excêntrico D67

1. $D_{68}=\sum _{i=1}^n{t}_i{d}_{13,i}$

   Rigidez normal excêntrico D68

1. $D_{77}=\sum _{i=1}^n{t}_i{d}_{22,i}$

   Rigidez axial y D77

1. $D_{78}=\sum _{i=1}^n{t}_i{d}_{23,i}$

   Rigidez normal excêntrico D78

1. $D_{88}=\sum _{i=1}^n{t}_i{d}_{33,i}$

   Corte de placa D88

1. === Corte no plano da laje [N/m] ===

1. Para determinar a resistência ao corte para um material ortotrópico, tem de rodar a resistência de acordo com a sua orientação em relação ao eixo de superfície local. Isto tem de ser feito para cada camada do tipo de espessura 'Camadas'. Numa estrutura de camada simples com uma orientação de 0 graus da camada de cobertura e uma orientação de 90 graus da camada subjacente, existe uma rigidez ao corte elevada, a qual tem de ser considerada em conformidade para o modelo multicamadas. A imagem a seguir (Fonte {%>

1. 

   Deformação de corte (Fonte: Serviço de informação sobre madeira)

1. Na teoria laminada, a rigidez ao corte de uma estrutura em camadas é calculada através da transformação de todos os componentes de flexão e corte nas respetivas direções de cada camada. Pode encontrar mais informação sobre o assunto na literatura abaixo.

1. 

   Steifigkeitrientierung

1. Utilizando a transformação da rigidez apresentada na figura, as rigidezes são adicionadas. Esta soma também é conhecida como "integral de Grashoff".

1. $D_{44,calc}^{"}=\frac{1}{{\int }_{-t/2}^{t/2}{\displaystyle \frac{{\displaystyle G_{22}^{"}\left(z\right)}}{{\displaystyle G_{11}^{"}\left(z\right)G_{22}^{"}\left(z\right)-{G_{12}^{"}}^2\left(z\right)}}}{\left({\displaystyle \frac{{\int }_z^{t/2}{E}_x^{"}\left(\overline{z}\right)(\overline{z}-z_{0,x})d\overline{z}}{{\int }_{-t/2}^{t/2}{E}_x^{"}\left(\overline{z}\right){(\overline{z}-z_{0,x})}^{2}d\overline{z}}}\right)}^{2}dz}$

   Rigidez de corte na direção x

1. Para calcular a rigidez nas direções x e y, é calculado um centro de gravidade para cada estrutura de uma superfície multicamada.

1. $z_{0,x}=\frac{{\int }_{-t/2}^{t/2}{E}_x^{"}\left(\overline{z}\right)\overline{z}d\overline{z}}{{\int }_{-t/2}^{t/2}{E}_x^{"}\left(\overline{z}\right)d\overline{z}}=\frac{I_1}{I_0}$

   Centro de rigidez em x

1. $D_{55,calc}^{"}=\frac{1}{{\int }_{-t/2}^{t/2}{\displaystyle \frac{G_{11}^{"}\left(z\right)}{G_{11}^{"}\left(z\right)G_{22}^{"}\left(z\right)-{G_{12}^{"}}^2\left(z\right)}}{\left({\displaystyle \frac{{\int }_z^{t/2}{E}_y^{"}\left(\overline{z}\right)(\overline{z}-z_{0,x})d\overline{z}}{{\int }_{-t/2}^{t/2}{E}_y^{"}\left(\overline{z}\right){(\overline{z}-z_{0,x})}^{2}d\overline{z}}}\right)}^{2}dz}$

   Rigidez ao corte na direção y

1. Centro de rigidez na direção y:
2. $z_{0,x}=\frac{{\int }_{-t/2}^{t/2}{E}_y^{"}\left(\overline{z}\right)\overline{z}d\overline{z}}{{\int }_{-t/2}^{t/2}{E}_y^{"}\left(\overline{z}\right)d\overline{z}}=\frac{I_1}{I_0}$

   Centro de rigidez na direção y

1. Para determinar a orientação por posição no cálculo da rigidez ao corte, as rigidezes são determinadas de acordo com as seguintes equações.

1. $G_{11,i}^{"}={\cos }^2(\phi -{ß}_i)G_{xz,i}+{\sin }^2(\phi -{ß}_i)G_{yz,i}$

   Rigidez ao corte orientado G11

1. G representa a rigidez ao corte das camadas, de forma a evitar erros nos elementos da matriz de rigidez (D).

1. A rigidez ao corte de cada camada também pode ser exibida na forma de matriz da seguinte forma:

1. $\left[\begin{array}{cc}{G}_{11}& G_{12}\\ G_{21}& G_{22}\end{array}\right]$

   Matriz de rigidez ao corte

1. $G_{22,i}^{"}={\sin }^2(\phi -{ß}_i)G_{xz,i}+{\cos }^2(\phi -{ß}_i)G_{yz,i}$

   Rigidez ao corte orientado G22

1. A rigidez de corte excêntrica na equação seguinte seria sempre zero e, portanto, irrelevante para a estrutura simétrica de madeira laminada cruzada (0°/90°/0°) mencionada acima. No caso de madeira laminada cruzada DLT ( madeira laminada diagonal ), por exemplo, este elemento de excentricidade não é zero e, portanto, desempenha um papel importante.

1. $G_{12}^{"}=(G_{xz,i}-G_{yz,i})\sin (\phi -{ß}_i)\cos (\phi -{ß}_i)$

   Rigidez ao corte orientado excentricamente G12

1. Para mais informações, consulte {%>vídeo do YouTube.

1. ==== Cálculo da rigidez ao corte ==

1. A rigidez de corte é determinada nas seguintes etapas:

1. #Primeiro, é determinado o ângulo da rigidez máxima. O ângulo φ mostra a modificação do sistema de coordenadas local x da superfície em relação à direção orientada X troca de dados.
2. #Todas as rigidezes estão rodadas na direção orientada ''X'' de acordo com as equações apresentadas acima .
3. #A matriz de rigidez do painel de cada camada (3 x 3) é transformada do sistema de coordenadas local x', y' para o sistema rodado x'', y" troca de dados. Além do cálculo da {%>
   $E_{x,i}^{"}=d_{12,i}^{"}+\frac{2d_{12,i}^{"}{d}_{13,i}^{"}{d}_{23,i}^{"}-d_{22,i}^{"}{\left(d_{13,i}^{"}\right)}^2-d_{33,i}^{"}{\left(d_{12,i}^{"}\right)}^2}{d_{22,i}^{"}{d}_{33,i}^{"}-{\left(d_{23,i}^{"}\right)}^2}$

   Módulo de elasticidade orientado na direção x
   $E_{y,i}^{"}=d_{22,i}^{"}+\frac{2d_{12,i}^{"}{d}_{13,i}^{"}{d}_{23,i}^{"}-d_{11,i}^{"}{\left(d_{23,i}^{"}\right)}^2-d_{33,i}^{"}{\left(d_{12,i}^{"}\right)}^2}{d_{11,i}^{"}{d}_{33,i}^{"}-{\left(d_{13,i}^{"}\right)}^2}$

   Módulo de elasticidade orientado na direção y
4. #A rigidez de corte é calculada com as equações ]]#grashoff (integral de Grashoff)]] descrita acima. A rigidez ao corte é calculada através das partes individuais.
   $I={\int }_{-h/2}^{h/2}{d}_{11}\left(z\right){(z-z_{0,x})}^{2}dz=\sum _{i=1}^n{d}_{11,i}\frac{{(z_{max,i}-z_{0,x})}^3-{(z_{min,i}-z_{0,x})}^3}{3}$

   Momento de inércia na direção x
   ${\chi }_i=d_{11,i}\frac{{(z_{max,i}-z_{0,x})}^2}{2}+\sum _{k=i+1}^n{d}_{11,k}\frac{{(z_{max,i}-z_{0,x})}^2-{(z_{min,i}-z_{0,x})}^2}{2}$

   Rigidez equivalente por camada (em x)
   Aqui, as equações são apenas apresentadas para a direção x (D44). O mesmo se aplica à direção y. A rigidez equivalente (componente de Stinter) é calculada para cada camada.
5. #Por fim, as rigidezes calculadas para a direção orientada de toda a estrutura são recalculadas através das relações angulares e apresentadas como a rigidez original D44, D55 e D45 na matriz de rigidez.
   $D_{44}={\cos }^2\left(\phi \right)D_{44}^{"}+{\sin }^2\left(\phi \right)D_{55}^{"}$

   Rigidez ao corte recalculada D44
   $D_{55}={\sin }^2\left(\phi \right)D_{44}^{"}+{\cos }^2\left(\phi \right)D_{55}^{"}$

   Rigidez ao corte recalculada D55
   $D_{45}=\sin \left(\phi \right)\cos \left(\phi \right)(D_{44}^{"}-D_{55}^{"})$

   Rigidez ao corte recalculada D45