Manuais online RFEM 6 | Superfícies multicamada

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Dipl.-Ing. (FH) Bastian Kuhn

2023-10-19

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Vista geral

Módulo Superfícies multicamadas

Teoria

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Exemplos de cálculo

Rigidezas para superfícies multicamadas

Modelos de material

A base para a composição de superfícies multicamadas numa rigidez de superfície efetiva são os modelos de material. Com o Add-On Superfícies multicamadas, os modelos de material podem ser combinados livremente no programa RFEM 6. Os fundamentos dos modelos de material estão descritos nos capítulos Materiais e Comportamento de material não linear do manual do RFEM.

Uma seleção das possibilidades de combinação dos modelos de material está criada no modelo "Modelos multicamadas" (ver coluna à direita), que pode ser descarregado para um estudo mais aprofundado das combinações.

A lista seguinte mostra uma seleção de combinações possíveis:

Camadas isotrópicas (p. ex. betão - aço)
Camadas ortotrópicas (p. ex. madeira laminada cruzada)
Isotrópico - ortotrópico (p. ex. aço - PRFV)
Isotrópico Plástico - Isotrópico (p. ex. betão - aço)
Isotrópico Não Linear Elástico - Ortotrópico (p. ex. betão - madeira)
Isotrópico - Ortotrópico Plástico (p. ex. betão - madeira)
Isotrópico Dano - Ortotrópico (p. ex. betão - madeira)

Importante

Para a combinação de materiais não lineares, o Add-On Comportamento de material não linear tem de estar ativado.

Rigidezes em superfícies multicamadas sem volume

A variante de cálculo mais simples no Add-On Superfícies multicamadas é definir diferentes camadas de superfície no tipo de espessura 'Camadas' sem volume. Mas também aqui os modelos de material podem ser combinados livremente.

Quando as camadas estão definidas, o Add-On Superfícies multicamadas cria uma matriz de rigidez global da superfície. No RFEM são calculados os esforços internos e as deformações desta superfície. No respetivo módulo de dimensionamento, como por exemplo o dimensionamento de madeira ou a análise tensão-deformação, estes esforços internos são então distribuídos pelas camadas existentes. Normalmente, os esforços internos são indicados em três pontos de integração por posição.

Processo de cálculo de superfícies multicamada

A seguir é explicado o cálculo da matriz de rigidez para material isotrópico e ortotrópico.

Cálculo da matriz de rigidez

Como fundamentos dos modelos de material aplicam-se as seguintes condições (ver também o capítulo Materiais do manual do RFEM):

Todos os valores de rigidez ≥ 0
A matriz de rigidez global da superfície tem de ser definida positiva.
Equação fundamental Isotrópico:

E = 2 G (1 + ν)

E	Módulo de elasticidade.
G	módulo de corte
ν	Coeficiente de Poisson

Módulo de elasticidade, módulo de corte e relação de Poisson ' s

Equação fundamental Ortotrópico:

\frac{ν_{y x}}{E_{y}} = \frac{ν_{x y}}{E_{x}}

Relação de deformação transversal

Matriz de rigidez local de cada camada

Isotrópico

d_{i}' = [\begin{matrix} d'_{11, i} & d'_{12, i} & 0 \\ d'_{22, i} & 0 \\ s y m . & d'_{33, i} \end{matrix}] = [\begin{matrix} \frac{E_{i}}{1 - ν_{i}^{2}} & \frac{ν_{i} E_{i}}{1 - ν_{i}^{2}} & 0 \\ \frac{E_{i}}{1 - ν_{i}^{2}} & 0 \\ s y m . & G_{i} \end{matrix}] i = 1, . . ., n m i t G_{i} = \frac{E_{i}}{2 (1 + ν_{i})}

Rigidez camada de matriz isotrópica

Ortotrópico

d_{i}' = [\begin{matrix} d'_{11, i} & d'_{12, i} & 0 \\ d'_{22, i} & 0 \\ s y m . & d'_{33, i} \end{matrix}] = [\begin{matrix} \frac{E_{x, i}}{1 - ν_{x y, i}^{2} \frac{E_{y, i}}{E_{x, i}}} & \frac{ν_{x y, i} E_{y, i}}{1 - ν_{x y, i}^{2} \frac{E_{y, i}}{E_{x, i}}} & 0 \\ \frac{E_{y, i}}{1 - ν_{x y, i}^{2} \frac{E_{y, i}}{E_{x, i}}} & 0 \\ s y m . & G_{x y, i} \end{matrix}] i = 1, . . ., n

Rigidez camada de matriz ortotrópica

Informação

No material ortotrópico, o módulo de corte no plano da placa (G_xy) é definido através dos valores do material, enquanto que no material isotrópico é determinado a partir do módulo de elasticidade e da deformação transversal. Por isso, no material ortotrópico, a relação de deformação transversal é importante com o princípio "Ort-Ursache".

As rigidezes ao corte para material ortotrópico são as seguintes:

G_xy	Módulo de corte no plano da placa (p. ex. 690 N/mm² para C24)
G_xz	Módulo de corte na direção x através da espessura (p. ex. 690 N/mm² para C24)
G_yz	Módulo de corte na direção y através da espessura (p. ex. 690 N/mm² para C24) – também designado por "módulo de corte de enrolamento"

No material ortotrópico verifica-se ainda a particularidade de poderem ser definidas rigidezes direcionais numa superfície. No caso padrão, a orientação local da superfície ou da camada na direção x corresponde à rigidez na direção x. Como esta pode, no entanto, ser definida livremente através do ângulo β no tipo de espessura 'Camadas', é necessário transformar as rigidezes em conformidade.

d_{i} = [\begin{matrix} d_{11, i} & d_{12, i} & d_{13, i} \\ d_{22, i} & d_{23, i} \\ s y m . & d_{33, i} \end{matrix}] = T_{3 x 3, i}^{T} d'_{i} T_{3 x 3, i}

Rigidez de transformação

T_{3 x 3, i} = [\begin{matrix} c ² & s ² & c s \\ s ² & c ² & - c s \\ - 2 c s & 2 c s & c ² - s ² \end{matrix}] m i t c = \cos (β_{i}), s = \sin (β_{i})

Matriz de transformação

Elemento somado de cada camada:

d_{11, i} = c^{4} d'_{11, i} + 2 c ² s ² d'_{12, i} + s^{4} d'_{22, i} + 4 c ² s ² d'_{33, i}

d_{12, i} = c^{2} s^{2} d'_{11, i} + s^{4} d'_{12, i} + c^{4} d'_{12, i} + c ² s ² d'_{22, i} - 4 c ² s ² d'_{33, i}

d_{13, i} = c^{3} s d'_{11, i} + c s^{3} d'_{12, i} - c^{3} s d'_{12, i} - c s^{3} d'_{22, i} - 2 c^{3} s d'_{33, i} + 2 c s^{3} d'_{33, i}

d_{22, i} = s^{4} d'_{11, i} + 2 c ² s ² d'_{12, i} + c^{4} d'_{22, i} + 4 c ² s ² d'_{33, i}

d_{23, i} = c s^{3} d'_{11, i} + c^{3} s d'_{12, i} - c s^{3} d'_{12, i} - c^{3} s d'_{22, i} + 2 c^{3} s d'_{33, i} - 2 c s^{3} d'_{33, i}

d_{33, i} = c^{2} s^{2} d'_{11, i} - 2 c ² s ² d'_{12, i} + c^{2} s^{2} d'_{22, i} + {(c^{2} - s^{2})}^{2} d'_{33, i}

Condições individuais por turno

Elementos de flexão e torção [Nm]

Os elementos da matriz para flexão e torção são indicados nas equações seguintes.

D_{11} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{3} - z_{m i n, i}^{3}}{3} d_{11, i}

Rigidez de flexão em x

D_{12} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{3} - z_{m i n, i}^{3}}{3} d_{12, i}

Termo de excentricidade (12)

D_{22} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{3} - z_{m i n, i}^{3}}{3} d_{22, i}

Rigidez à flexão em y

D_{13} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{3} - z_{m i n, i}^{3}}{3} d_{13, i}

Termo de excentricidade (13)

D_{23} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{3} - z_{m i n, i}^{3}}{3} d_{23, i}

Termo de excentricidade (23)

D_{33} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{3} - z_{m i n, i}^{3}}{3} d_{33, i}

Rigidez à rotação

No caso de apenas uma camada no tipo de espessura 'Camadas', o cálculo é efetuado com base nas equações explicadas no manual do RFEM.

Para o corte (elementos D44/55), aplicam-se no tipo de espessura 'Camadas' outras equações. Estas são apresentadas na secção Corte no plano da placa.

Termos de excentricidade [Nm/m]

Em placas assimétricas resultam termos de excentricidade. Uma superfície assimétrica pode, por exemplo, ocorrer nos cálculos de resistência ao fogo através de uma carbonização unilateral de uma placa de madeira laminada cruzada. Os elementos da matriz são os seguintes:

D_{16} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{2} - z_{m i n, i}^{2}}{2} d_{11, i}

Elemento de excentricidade D16

D_{17} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{2} - z_{m i n, i}^{2}}{2} d_{12, i}

Elemento de excentricidade D17

D_{18} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{2} - z_{m i n, i}^{2}}{2} d_{13, i}

Excentricidade Elemento D18

D_{27} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{2} - z_{m i n, i}^{2}}{2} d_{22, i}

Elemento de excentricidade D27

D_{28} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{2} - z_{m i n, i}^{2}}{2} d_{23, i}

Elemento de excentricidade D28

D_{38} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{2} - z_{m i n, i}^{2}}{2} d_{33, i}

Elemento de excentricidade D38

Plano da placa [N/m]

No plano da placa são tratadas as rigidezes normais no plano da placa. Com o elemento D88 é calculado o corte da placa – ou seja, a força de corte na placa. Os elementos da matriz são os seguintes:

D_{66} = \sum_{i = 1}^{n} t_{i} d_{11, i}

Rigidez axial x D66

D_{67} = \sum_{i = 1}^{n} t_{i} d_{12, i}

Rigidez normal excêntrico D67

D_{68} = \sum_{i = 1}^{n} t_{i} d_{13, i}

Rigidez normal excêntrico D68

D_{77} = \sum_{i = 1}^{n} t_{i} d_{22, i}

Rigidez axial y D77

D_{78} = \sum_{i = 1}^{n} t_{i} d_{23, i}

Rigidez normal excêntrico D78

D_{88} = \sum_{i = 1}^{n} t_{i} d_{33, i}

Corte de placa D88

Corte no plano da placa [N/m]

Para a determinação da rigidez ao corte, num material ortotrópico as rigidezes têm de ser rodadas de acordo com a sua orientação relativamente ao eixo local da superfície. Isto tem de ser efetuado para cada posição do tipo de espessura 'Camadas'. Num estruturado simples de camadas com orientação de 0° da camada superior e orientação de 90° da camada subjacente resulta uma grande complacência ao corte, que tem de ser devidamente considerada no modelo multicamadas. Na imagem seguinte (fonte [1]) isto é visível no exemplo de uma placa de madeira laminada cruzada.

Ilustração de deformação de corte em madeira laminada cruzada, fornecida pelo Information Service Timber.

Deformação de corte (Fonte: Informationsdienst Holz)

Na teoria de laminados, a rigidez ao corte de um estruturado camadas é calculada através da transformação de todas as componentes de flexão e de corte nas respetivas direções de cada posição. Encontrará mais informações sobre este tema, entre outras, na literatura indicada abaixo.

Visualização da orientação dos eixos de rigidez num laminado para otimizar as propriedades do material.

Orientação de rigidez

Através da transformação da rigidez representada na imagem, as rigidezes são somadas. Esta soma é também conhecida pelo termo "Integral de Grashoff".

D_{44, c a l c}^{"} = \frac{1}{\int_{- t / 2}^{t / 2} \frac{G_{22}^{"} (z)}{G_{11}^{"} (z) G_{22}^{"} (z) - {G_{12}^{"}}^{2} (z)} {(\frac{\int_{z}^{t / 2} E_{x}^{"} (\bar{z}) (\bar{z} - z_{0, x}) d \bar{z}}{\int_{- t / 2}^{t / 2} E_{x}^{"} (\bar{z}) {(\bar{z} - z_{0, x})}^{2} d \bar{z}})}^{2} d z}

Rigidez de corte na direção x

Para o cálculo da rigidez nas direções x e y, é calculado para cada estruturado de uma superfície multicamadas um chamado centroide de rigidez.

z_{0, x} = \frac{\int_{- t / 2}^{t / 2} E_{x}^{"} (z) z d z}{\int_{- t / 2}^{t / 2} E_{x}^{"} (z) d z} = \frac{I_{1}}{I_{0}}

Centro de rigidez em x

D_{55, c a l c}^{"} = \frac{1}{\int_{- t / 2}^{t / 2} \frac{G_{11}^{"} (z)}{G_{11}^{"} (z) G_{22}^{"} (z) - {G_{12}^{"}}^{2} (z)} {(\frac{\int_{z}^{t / 2} E_{y}^{"} (\bar{z}) (\bar{z} - z_{0, x}) d \bar{z}}{\int_{- t / 2}^{t / 2} E_{y}^{"} (\bar{z}) {(\bar{z} - z_{0, x})}^{2} d \bar{z}})}^{2} d z}

Rigidez ao corte na direção y

Centroide de rigidez na direção y:

z_{0, x} = \frac{\int_{- t / 2}^{t / 2} E_{y}^{"} (z) z d z}{\int_{- t / 2}^{t / 2} E_{y}^{"} (z) d z} = \frac{I_{1}}{I_{0}}

Centro de rigidez na direção y

Para registar na cálculo da rigidez ao corte a orientação de cada posição, as rigidezes são registadas de acordo com as equações seguintes.

G_{11, i}^{"} = \cos^{2} (φ - ß_{i}) G_{x z, i} + \sin^{2} (φ - ß_{i}) G_{y z, i}

Rigidez ao corte orientado G11

G representa aqui a rigidez ao corte das posições, para excluir uma confusão com os elementos da matriz de rigidez (D).

Também a rigidez ao corte de cada posição pode ser representada em forma de matriz, como se segue:

[\begin{matrix} G_{11} & G_{12} \\ G_{21} & G_{22} \end{matrix}]

Matriz de rigidez ao corte

G_{22, i}^{"} = \sin^{2} (φ - ß_{i}) G_{x z, i} + \cos^{2} (φ - ß_{i}) G_{y z, i}

Rigidez ao corte orientado G22

A rigidez ao corte excêntrica na equação seguinte seria, para o estruturado simétrico mencionado no início de uma madeira laminada cruzada (0°/90°/0°), sempre nula e, portanto, não relevante. Num madeira laminada cruzada DLT colada diagonalmente (Diagonal Laminated Timber), por exemplo, este termo de excentricidade não é nulo e desempenha, por isso, um papel importante.

G_{12}^{"} = (G_{x z, i} - G_{y z, i}) \sin (φ - ß_{i}) \cos (φ - ß_{i})

Rigidez ao corte orientado excentricamente G12

Encontrará mais informações, entre outras, em [4] e num vídeo do YouTube.

Cálculo da rigidez ao corte

A rigidez ao corte é determinada nos seguintes passos:

Primeiro é determinado o ângulo da rigidez máxima. O ângulo φ mostra a alteração do sistema de coordenadas local x da superfície para a direção orientada x".
Todas as rigidezes são rodadas para a direção orientada x" de acordo com as equações apresentadas acima.
A matriz de rigidez da placa de cada posição (3 x 3) é transformada do sistema de coordenadas local x', y' para o sistema rodado x", y". Além do cálculo da rigidez ao corte direcional de cada camada individual, isto é também realizado para os módulos de elasticidade de cada camada.

$E_{x, i}^{"} = d_{12, i}^{"} + \frac{2 d_{12, i}^{"} d_{13, i}^{"} d_{23, i}^{"} - d_{22, i}^{"} {(d_{13, i}^{"})}^{2} - d_{33, i}^{"} {(d_{12, i}^{"})}^{2}}{d_{22, i}^{"} d_{33, i}^{"} - {(d_{23, i}^{"})}^{2}}$

Módulo de elasticidade orientado na direção x

$E_{y, i}^{"} = d_{22, i}^{"} + \frac{2 d_{12, i}^{"} d_{13, i}^{"} d_{23, i}^{"} - d_{11, i}^{"} {(d_{23, i}^{"})}^{2} - d_{33, i}^{"} {(d_{12, i}^{"})}^{2}}{d_{11, i}^{"} d_{33, i}^{"} - {(d_{13, i}^{"})}^{2}}$

Módulo de elasticidade orientado na direção y
A rigidez ao corte é calculada com as equações descritas acima (Integral de Grashoff). A rigidez ao corte é calculada através das componentes individuais.

$I = \int_{- h / 2}^{h / 2} d_{11} (z) {(z - z_{0, x})}^{2} d z = \sum_{i = 1}^{n} d_{11, i} \frac{{(z_{m a x, i} - z_{0, x})}^{3} - {(z_{m i n, i} - z_{0, x})}^{3}}{3}$

Momento de inércia na direção x

$χ_{i} = d_{11, i} \frac{{(z_{m a x, i} - z_{0, x})}^{2}}{2} + \sum_{k = i + 1}^{n} d_{11, k} \frac{{(z_{m a x, i} - z_{0, x})}^{2} - {(z_{m i n, i} - z_{0, x})}^{2}}{2}$

Rigidez equivalente por camada (em x)

Aqui são mostradas as equações apenas para a direção x (D44). Para a direção y, isto aplica-se analogamente. A rigidez equivalente (componente de Steiner) é calculada para cada posição.
As rigidezes calculadas para a direção orientada de um estruturado global são, finalmente, recalculadas através das relações angulares e indicadas como rigidezes originárias D44, D55 e D45 na matriz de rigidez.

$D_{44} = \cos^{2} (φ) D_{44}^{"} + \sin^{2} (φ) D_{55}^{"}$

Rigidez ao corte recalculada D44

$D_{55} = \sin^{2} (φ) D_{44}^{"} + \cos^{2} (φ) D_{55}^{"}$

Rigidez ao corte recalculada D55

$D_{45} = \sin (φ) \cos (φ) (D_{44}^{"} - D_{55}^{"})$

Rigidez ao corte recalculada D45

Aumento da rigidez ao corte

Como, através de uma modelação de laminados como superfície, também são possíveis geometrias com faixas de superfície muito estreitas, no cálculo de tais geometrias problemáticas a rigidez ao corte tem de ser correspondentemente aumentada.

Na equação seguinte, isto é representado para a direção X.

D_{44}^{"} = \max (D_{44, calc}^{"}, \frac{48}{5 l ²} \frac{1}{\frac{1}{\sum_{i = 1}^{n} E_{x, i}^{"} \frac{t_{i}^{3}}{12}} - \frac{1}{\sum_{i = 1}^{n} E_{x, i}^{"} \frac{z_{\max, i}^{3} - z_{\min, i}^{3}}{3}}})

Resistência ao corte máxima

O comprimento l na equação acima significa aqui o comprimento mais curto de uma caixa, que pode ser colocada sobre a geometria respetiva.

No modelo "Rigidez ao corte" (ver coluna à direita), uma superfície estreita de uma largura de 10 cm é comparada com uma superfície idêntica de 20 cm.

A rigidez ao corte da superfície estreita é de D44 = 15253 kN/m em comparação com D44 = 5970,8 kN/m da superfície mais larga. Com carga idêntica, a deformação da superfície mais rígida é menor e a carga de corte é maior.

Rigidezes em superfícies multicamadas com volumes integrados

No futuro, será possível no Add-On Superfícies multicamadas definir sólidos em conjunto com superfícies. Neste tipo também é exportada uma superfície para o RFEM. Como a geração das rigidezes e a decomposição dos esforços internos é mais elaborada, isto será explicado separadamente.

Referências

Informationsdienst Holz. (2016), "Bauen mit Brettsperrholz Tragende Massivholzelemente für Wand, Decke und Dach" (Ser. 4, Part 6, Ep. 1). Berlim, Informationsdienst Holz.
Altenbach, H., Altenbach, J., & Naumenko, K. (2023), "Ebene Flächentragwerke: Grundlagen der Modellierung und Berechnung von Scheiben und Platten". Berlim, Springer Vieweg.
Jones, R. M. (n.d.). "Mechanics of Composite Materials" (2.ª ed.). Taylor & Francis Inc., Filadelfia.
Arnold, M. (2024), "Mechanical Properties of Diagonal Laminated Timber (DLT) with Respect to Point-Supported Mass Timber Slabs" (tese). Munique, Universidade Técnica de Munique – Cadeira de Construção de edifícios e estruturas de madeira.

Capítulo principal

Teoria

Modelo

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Modelos multicamadas

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rigidez de corte