Rigidités pour les surfaces multicouches

Modèles de matériau

1. Les modèles de matériau constituent la base de la composition de surfaces multicouches afin d'obtenir une rigidité de surface efficace. Le module complémentaire Surfaces multicouches vous permet de combiner librement des modèles de matériau dans le programme RFEM 6. La base des modèles de matériau est décrite dans les chapitres Matériaux et Comportement non linéaire du matériau du manuel de RFEM.

1. Une sélection des combinaisons possibles des modèles de matériau est créée dans le modèle « Modèles multicouches » (voir la colonne de droite), que vous pouvez télécharger pour une étude plus approfondie des combinaisons.

1. La liste suivante affiche une sélection des combinaisons possibles :
2. * Couches isotropes (par exemple béton - acier)
3. * Couches orthotropes (par exemple en bois lamellé-croisé)
4. * Isotrope - orthotrope (par exemple acier - PRV)
5. * Isotrope plastique - Isotrope (par exemple béton - acier)
6. * Isotrope non linéaire élastique - Orthotrope (par exemple béton - bois)
7. * Isotrope - Orthotrope plastique (par ex. béton - bois)
8. * Endommagement isotrope - Orthotrope (par exemple béton - bois)

1. #banner.text@Pour la combinaison de matériaux non linéaires, les {%} https://www.dlubal.com/fr/produits/les-modules-complementaires-pour-rfem-6-et-rstab-9/-analyses/nonlinear-material-behavior Le comportement non linéaire du matériau ]] doit être activé.

1. == Rigidités pour des surfaces multicouches sans solides ==

1. L'option de calcul la plus simple dans le module complémentaire Surfaces multicouches consiste à définir différentes couches de surface dans le type d'épaisseur 'Couches' sans solides. Cependant, vous pouvez également combiner librement les modèles de matériau ici.

1. Une fois les couches définies, le module complémentaire Surfaces multicouches crée une matrice de rigidité globale de la surface. Dans RFEM, les efforts internes et les déformations sont calculés pour cette surface. Dans le module complémentaire de vérification correspondant, tel que « Vérification du bois » ou « Analyse contrainte-déformation », ces efforts internes sont ensuite divisés dans les couches existantes. Les efforts internes sont généralement affichés sous forme de trois points d'intégration par position.

1. 

   Processus de calcul pour les surfaces multicouches

1. Cet article explique comment calculer la matrice de rigidité pour les matériaux isotropes et orthotropes.

1. === Calcul de la matrice de rigidité ===

1. Les modèles de matériau sont basés sur les conditions suivantes (voir le chapitre Matériaux du manuel de RFEM) :
2. * Toutes les valeurs de rigidité ≥ 0
3. * La matrice de rigidité globale de la surface doit être définie positive.
4. * Équation de base isotrope :

1. $E=2G\left(1+\nu \right)$

   E	Module d'élasticité
   G	Module de cisaillement
   ν	Coefficient de poisson

   Module d'élasticité, module de cisaillement et coefficient de Poisson
2. * Équation orthotrope de base :

1. $\frac{{\nu }_{yx}}{E_y}=\frac{{\nu }_{xy}}{E_x}$

   Relation de déformation transversale

1. ==== Matrice de rigidité locale de chaque couche ====

1. * Isotrope
2. $d_i\text{'}=\left[\begin{array}{ccc}d{\text{'}}_{11,i}& d{\text{'}}_{12,i}& 0\\ & d{\text{'}}_{22,i}& 0\\ sym.& & d{\text{'}}_{33,i}\end{array},),=,\left[\begin{array}{ccc}\frac{E_i}{1-{\nu }_i^2}& \frac{{\nu }_i{E}_i}{1-{\nu }_i^2}& 0\\ & \frac{E_i}{1-{\nu }_i^2}& 0\\ sym.& & G_i\end{array},), ,i,=,1,,,.,.,.,,,n, ,m,i,t, ,G_i,=,\frac{E_i}{2\left(1+{\nu }_i\right)}\right]\right]$

   Couche de matrice de rigidité isotrope

1. * Orthotrope
2. $d_i\text{'}=\left[\begin{array}{ccc}d{\text{'}}_{11,i}& d{\text{'}}_{12,i}& 0\\ & d{\text{'}}_{22,i}& 0\\ sym.& & d{\text{'}}_{33,i}\end{array},),=,\left[\begin{array}{ccc}\frac{E_{x,i}}{1-{\nu }_{xy,i}^2{\displaystyle \frac{E_{y,i}}{E_{x,i}}}}& \frac{{\nu }_{xy,i}{E}_{y,i}}{1-{\nu }_{xy,i}^2{\displaystyle \frac{E_{y,i}}{E_{x,i}}}}& 0\\ & \frac{E_{y,i}}{1-{\nu }_{xy,i}^2{\displaystyle \frac{E_{y,i}}{E_{x,i}}}}& 0\\ sym.& & G_{xy,i}\end{array},), ,i,=,1,,,.,.,.,,,n\right]\right]$

   Couche de matrice de rigidité orthotrope

1. #banner.text@Pour un matériau orthotrope, le module de cisaillement dans le plan du vitrage (G_xy ) est défini à l'aide des valeurs de matériau, tandis que pour un matériau isotrope, il est déterminé à partir du module d'élasticité et de la déformation transversale. Le coefficient de Poisson 's avec le principe « position-cause » est donc important pour un matériau orthotrope.

1. Les rigidités de cisaillement pour un matériau orthotrope sont les suivantes :

1. #table.uni#
2. width=10%|largeur=90%
3. G_xy |Module de cisaillement dans le plan du voile (par ex. 690 N/mm² pour C24)
4. G_xz | Module de cisaillement en direction x sur l'épaisseur (par ex. 690 N/mm² pour C24)

_Gyz | Module de cisaillement en direction y sur l'épaisseur (par exemple 690 N/mm² pour le C24), aussi appelé « module de cisaillement roulant ».

1. De plus, un matériau orthotrope a la particularité que les rigidités directionnelles peuvent être définies dans une surface. Dans le cas par défaut, l'orientation locale de la surface ou de la couche dans la direction x correspond à la rigidité dans la direction x. Cependant, comme celui-ci peut être défini librement à l'aide de l'angle β dans le type d'épaisseur 'Couches', il est nécessaire de transformer les rigidités en conséquence.

1. $d_i=\left[\begin{array}{ccc}{d}_{11,i}& d_{12,i}& d_{13,i}\\ & d_{22,i}& d_{23,i}\\ sym.& & d_{33,i}\end{array},),=,T_{3x3,i}^T,d,{\text{'}}_i,T_{3x3,i}\right]$

   Rigidités de transformation

1. $T_{3x3,i}=\left[\begin{array}{ccc}c²& s²& cs\\ s²& c²& -cs\\ -2cs& 2cs& c²-s²\end{array},), ,m,i,t, ,c,=,\cos ,(,{\beta }_i,),,, ,s,=,\sin ,(,{\beta }_i,)\right]$

   Matrice de transformation

1. Élément additionné de chaque couche :
2. $d_{11,i}=c^{4}d{\text{'}}_{11,i}+2c²s²d{\text{'}}_{12,i}+s^{4}d{\text{'}}_{22,i}+4c²s²d{\text{'}}_{33,i}$
   
   $d_{12,i}=c^2{s}^{2}d{\text{'}}_{11,i}+s^{4}d{\text{'}}_{12,i}+c^{4}d{\text{'}}_{12,i}+c²s²d{\text{'}}_{22,i}-4c²s²d{\text{'}}_{33,i}$
   
   $d_{13,i}=c^{3}sd{\text{'}}_{11,i}+c{s}^{3}d{\text{'}}_{12,i}-c^{3}sd{\text{'}}_{12,i}-c{s}^{3}d{\text{'}}_{22,i}-2c^{3}sd{\text{'}}_{33,i}+2c{s}^{3}d{\text{'}}_{33,i}$
   
   $d_{22,i}=s^{4}d{\text{'}}_{11,i}+2c²s²d{\text{'}}_{12,i}+c^{4}d{\text{'}}_{22,i}+4c²s²d{\text{'}}_{33,i}$
   
   $d_{23,i}=c{s}^{3}d{\text{'}}_{11,i}+c^{3}sd{\text{'}}_{12,i}-c{s}^{3}d{\text{'}}_{12,i}-c^{3}sd{\text{'}}_{22,i}+2c^{3}sd{\text{'}}_{33,i}-2c{s}^{3}d{\text{'}}_{33,i}$
   
   $d_{33,i}=c^2{s}^{2}d{\text{'}}_{11,i}-2c²s²d{\text{'}}_{12,i}+c^2{s}^{2}d{\text{'}}_{22,i}+{\left(}^{c^2-s^2}d{\text{'}}_{33,i}$

   Termes individuels par équipe

1. === Éléments en flexion et torsion [Nm] ===

1. Les éléments de matrice pour la flexion et la torsion sont donnés dans les équations ci-dessous :

1. $D_{11}=\sum _{i=1}^n\frac{z_{max,i}^3-z_{min,i}^3}{3}{d}_{11,i}$

   Rigidité en flexion en x

1. $D_{12}=\sum _{i=1}^n\frac{z_{max,i}^3-z_{min,i}^3}{3}{d}_{12,i}$

   Terme d'excentrement (12)

1. $D_{22}=\sum _{i=1}^n\frac{z_{max,i}^3-z_{min,i}^3}{3}{d}_{22,i}$

   Rigidité en flexion en y

1. $D_{13}=\sum _{i=1}^n\frac{z_{max,i}^3-z_{min,i}^3}{3}{d}_{13,i}$

   Terme d'excentrement (13)

1. $D_{23}=\sum _{i=1}^n\frac{z_{max,i}^3-z_{min,i}^3}{3}{d}_{23,i}$

   Terme d'excentrement (23)

1. $D_{33}=\sum _{i=1}^n\frac{z_{max,i}^3-z_{min,i}^3}{3}{d}_{33,i}$

   rigidité en torsion

1. S'il n'y a qu'une seule couche du type d'épaisseur 'Couches', le calcul est basé sur les paramètres décrits dans le manuel de RFEM]].

1. Pour le cisaillement (élément D44/55), des équations différentes sont appliquées dans le type d'épaisseur 'Couches'. Elles sont décrites dans la section {%}#cisaillement-dans-le-plan Cisaillement dans le plan de dalle]].

1. === Termes d'excentrement [Nm/m] ===

1. Les termes d'excentrement apparaissent dans le cas de plaques asymétriques. Une surface asymétrique peut être, par exemple, dans une vérification de la résistance au feu due à la carbonisation unilatérale d’une plaque en bois lamellé-croisé. Les éléments de la matrice sont les suivants :

1. $D_{16}=\sum _{i=1}^n\frac{z_{max,i}^2-z_{min,i}^2}{2}{d}_{11,i}$

   Élément d'excentrement D16

1. $D_{17}=\sum _{i=1}^n\frac{z_{max,i}^2-z_{min,i}^2}{2}{d}_{12,i}$

   Élément d'excentrement D17

1. $D_{18}=\sum _{i=1}^n\frac{z_{max,i}^2-z_{min,i}^2}{2}{d}_{13,i}$

   Élément d'excentrement D18

1. $D_{27}=\sum _{i=1}^n\frac{z_{max,i}^2-z_{min,i}^2}{2}{d}_{22,i}$

   Élément d'excentrement D27

1. $D_{28}=\sum _{i=1}^n\frac{z_{max,i}^2-z_{min,i}^2}{2}{d}_{23,i}$

   Élément d'excentrement D28

1. $D_{38}=\sum _{i=1}^n\frac{z_{max,i}^2-z_{min,i}^2}{2}{d}_{33,i}$

   Élément d'excentrement D38

1. === Plan de couche [N/m] ===

1. Dans le plan « Paroi du vitrage », les rigidités normales sont représentées dans le plan du vitrage. L’effort tranchant dans la vitre est calculé à l’aide de l’élément D88. Les éléments de la matrice sont les suivants :

1. $D_{66}=\sum _{i=1}^n{t}_i{d}_{11,i}$

   Rigidité axiale x D66

1. $D_{67}=\sum _{i=1}^n{t}_i{d}_{12,i}$

   Rigidité normale Excentrique D67

1. $D_{68}=\sum _{i=1}^n{t}_i{d}_{13,i}$

   Rigidité normale Excentrique D68

1. $D_{77}=\sum _{i=1}^n{t}_i{d}_{22,i}$

   Rigidité axiale y D77

1. $D_{78}=\sum _{i=1}^n{t}_i{d}_{23,i}$

   Rigidité normale Excentrique D78

1. $D_{88}=\sum _{i=1}^n{t}_i{d}_{33,i}$

   Cisaillement de plaque D88

1. === Cisaillement dans le plan de la dalle [N/m] ===

1. Pour déterminer la rigidité de cisaillement d'un matériau orthotrope, vous devez faire pivoter les rigidités selon leur orientation par rapport à l'axe de surface local. Cela doit être fait pour chaque couche d'épaisseur 'Couches'. Dans une structure à couches simples avec une orientation à 0 ° de la couche de revêtement et une orientation à 90 ° de la couche sous-jacente, la rigidité de cisaillement est élevée et doit être considérée en conséquence pour le modèle multicouche. L'image suivante (Source [1]) le montre à l'aide d'un exemple de plaque en bois lamellé-croisé.

1. 

   Déformation de cisaillement (Source: Service d'information bois)

1. Dans la théorie des stratifiés, la rigidité au cisaillement d'une structure en couches est calculée en modifiant tous les composants de flexion et de cisaillement dans les directions respectives de chaque couche. De plus amples informations sont disponibles dans l'ouvrage ci-dessous.

1. 

   Orientations de calcul

1. Les rigidités sont ajoutées à l'aide de la transformation de la rigidité affichée sur la figure. Cette sommation est également connue sous le nom d'« intégrale de Grassoff ».

1. $D_{44,calc}^{"}=\frac{1}{{\int }_{-t/2}^{t/2}{\displaystyle \frac{{\displaystyle G_{22}^{"}\left(z\right)}}{{\displaystyle G_{11}^{"}\left(z\right)G_{22}^{"}\left(z\right)-{G_{12}^{"}}^2\left(z\right)}}}{\left(}^{{\displaystyle \frac{{\int }_z^{t/2}{E}_x^{"}\left(\overline{z}\right)(\overline{z}-z_{0,x})d\overline{z}}{{\int }_{-t/2}^{t/2}{E}_x^{"}\left(\overline{z}\right){(\overline{z}-z_{0,x})}^{2}d\overline{z}}}}dz}$

   Rigidité de cisaillement dans la direction x

1. Afin de calculer la rigidité dans les directions x et y, un centre de gravité de rigidité est calculé pour chaque structure d'une surface multicouche.

1. $z_{0,x}=\frac{{\int }_{-t/2}^{t/2}{E}_x^{"}\left(\overline{z}\right)\overline{z}d\overline{z}}{{\int }_{-t/2}^{t/2}{E}_x^{"}\left(\overline{z}\right)d\overline{z}}=\frac{I_1}{I_0}$

   Centre de rigidité en x

1. $D_{44,calc}^{"}=\frac{1}{{\int }_{-t/2}^{t/2}{\displaystyle \frac{{\displaystyle G_{22}^{"}\left(z\right)}}{{\displaystyle G_{11}^{"}\left(z\right)G_{22}^{"}\left(z\right)-{G_{12}^{"}}^2\left(z\right)}}}{\left(}^{{\displaystyle \frac{{\int }_z^{t/2}{E}_x^{"}\left(\overline{z}\right)(\overline{z}-z_{0,x})d\overline{z}}{{\int }_{-t/2}^{t/2}{E}_x^{"}\left(\overline{z}\right){(\overline{z}-z_{0,x})}^{2}d\overline{z}}}}dz}$

   Rigidité de cisaillement dans la direction x

1. Centre de rigidité dans la direction y :
2. $z_{0,x}=\frac{{\int }_{-t/2}^{t/2}{E}_y^{"}\left(\overline{z}\right)\overline{z}d\overline{z}}{{\int }_{-t/2}^{t/2}{E}_y^{"}\left(\overline{z}\right)d\overline{z}}=\frac{I_1}{I_0}$

   Centre de rigidité dans la direction y

1. Afin de déterminer l'orientation par position dans le calcul de la rigidité de cisaillement, les rigidités sont déterminées selon les équations suivantes :

1. $G_{11,i}^{"}={\cos }^2(\phi -{ß}_i)G_{xz,i}+{\sin }^2(\phi -{ß}_i)G_{yz,i}$

   Rigidité de cisaillement orientée G11

1. G représente la rigidité de cisaillement des couches afin d'éviter les erreurs sur les éléments de la matrice de rigidité (D).

1. La rigidité de cisaillement de chaque couche peut également être affichée sous forme de matrice :

1. $\left[\begin{array}{cc}{G}_{11}& G_{12}\\ G_{21}& G_{22}\end{array},)\right]$

   Matrice de rigidité en cisaillement

1. $G_{22,i}^{"}={\sin }^2(\phi -{ß}_i)G_{xz,i}+{\cos }^2(\phi -{ß}_i)G_{yz,i}$

   Rigidité de cisaillement orientée G22

1. La rigidité de cisaillement excentrique dans l'équation suivante serait toujours nulle et ne serait donc pas pertinente pour la structure symétrique en bois lamellé-croisé (0 °/90 °/0 °) mentionnée ci-dessus. Dans le cas du bois lamellé-croisé collé diagonalement DLT ( Diagonal Laminated Timber ), par exemple, cet élément d'excentrement n'est pas nul et joue donc un rôle important.

1. $G_{12}^{"}=(G_{xz,i}-G_{yz,i})\sin (\phi -{ß}_i)\cos (\phi -{ß}_i)$

   Rigidité de cisaillement orienté excentrement G12

1. Pour plus d'informations, veuillez consulter {%}#Refer [4]]] et dans cette vidéo YouTube.

1. ==== Calcul de la rigidité de cisaillement ====

1. La rigidité de cisaillement est déterminée dans les étapes suivantes :

1. #Tout d'abord, l'angle de rigidité maximale est déterminée. L'angle φ affiche la modification du système de coordonnées local x de la surface par rapport à la direction orientée X .
2. #Toutes les rigidités sont tournées dans la direction orientée ''X'' selon les équations ci-dessus .
3. #La matrice de rigidité du panneau de chaque couche (3 x 3) est transformée du système de coordonnées local x', y' vers le système de rotation x'', y" . En ».
4. #La rigidité de cisaillement est calculée à l'aide des équations (Gashoff intégrale) décrites ci-dessus. La rigidité de cisaillement est calculée à l'aide des pièces individuelles. [T38>
5. #Enfin, les rigidités calculées pour la direction orientée de l'ensemble de la structure sont recalculées à l'aide des relations angulaires et affichées comme les rigidités d'origine D44, D55 et D45 dans la matrice de rigidité.
   $D_{44}={\cos }^2\left(\phi \right)D_{44}^{"}+{\sin }^2\left(\phi \right)D_{55}^{"}$

   Rigidité de cisaillement D44 recalculée
   $D_{55}={\sin }^2\left(\phi \right)D_{44}^{"}+{\cos }^2\left(\phi \right)D_{55}^{"}$

   Rigidité de cisaillement D55 recalculée
   $D_{45}=\sin \left(\phi \right)\cos \left(\phi \right)(D_{44}^{"}-D_{55}^{"})$

   Rigidité de cisaillement D45 recalculée