Rigidezze per superfici multistrato

Modelli di materiale

1. I modelli dei materiali sono la base per comporre superfici multistrato per ottenere un'efficace rigidezza della superficie. L'add-on Superfici multistrato consente di combinare liberamente i modelli di materiale nel programma RFEM 6. La base dei modelli dei materiali è descritta nei capitoli Materials e Comportamento non lineare del materiale del manuale di RFEM.

1. Una selezione delle possibili combinazioni dei modelli di materiale viene creata nel modello "Modelli multistrato" (vedi colonna a destra), che è possibile scaricare per un ulteriore studio delle combinazioni.

1. Il seguente elenco mostra una selezione delle possibili combinazioni:
2. * Strati isotropi (ad esempio calcestruzzo - acciaio)
3. * Strati ortotropi (ad esempio legno a strati incrociati)
4. * Isotropo - ortotropo (ad esempio acciaio - GFRP)
5. * Isotropo Plastico - Isotropo (ad es. Calcestruzzo - Acciaio)
6. * Isotropo elastico non lineare - Ortotropo (ad es. Calcestruzzo - Legno)
7. * Isotropo - Plastico ortotropo (ad es. Calcestruzzo - Legno)
8. * Danno isotropo - Ortotropo (ad es. Calcestruzzo - Legno)

1. #banner.text@Per la combinazione di materiali non lineari, -analyses/nonlinear-material-behavior Il comportamento non-lineare del materiale dovrebbe essere attivato.

1. == Rigidezze per superfici multistrato senza solidi ==

1. L'opzione di calcolo più semplice nell'add-on Superfici multistrato è quella di definire diversi strati di superficie nel tipo di spessore 'Strati' senza solidi. Tuttavia, qui puoi anche combinare liberamente i modelli dei materiali.

1. Una volta definiti gli strati, l'add-on Superfici multistrato crea una matrice di rigidezza globale della superficie. In RFEM, le forze interne e gli spostamenti generalizzati sono calcolati per questa superficie. Nel rispettivo add-on di verifica, come Verifica legno o Analisi tensioni-deformazioni, queste forze interne vengono quindi divise negli strati esistenti. Di solito, le forze interne sono visualizzate come tre punti di integrazione per posizione.

1. 

   Processo di calcolo per superfici multistrato

1. Questo articolo spiega come calcolare la matrice di rigidezza per materiali isotropi e ortotropi.

1. === Calcolo della matrice di rigidezza ===

1. I modelli dei materiali si basano sulle seguenti condizioni (vedere il Capitolo Materiali del manuale di RFEM):
2. * Tutti i valori di rigidezza ≥ 0
3. * La matrice di rigidezza complessiva della superficie deve essere definita positiva.
4. * Equazione di base isotropa:

1. $E=2G\left(1+\nu \right)$

   E	modulo di elasticità
   [LinkToImage01]	modulo di taglio
   ν	deformazione trasversale

   Modulo di elasticità, modulo di taglio e coefficiente di Poisson's
2. * Equazione ortotropa di base:

1. $\frac{{\nu }_{yx}}{E_y}=\frac{{\nu }_{xy}}{E_x}$

   Relazione di deformazione trasversale

1. ==== Matrice di rigidezza locale di ogni strato ====

1. * Isotropo
2. $d_i\text{'}=\left[\begin{array}{ccc}d{\text{'}}_{11,i}& d{\text{'}}_{12,i}& 0\\ & d{\text{'}}_{22,i}& 0\\ sym.& & d{\text{'}}_{33,i}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\frac{E_i}{1-{\nu }_i^2}& \frac{{\nu }_i{E}_i}{1-{\nu }_i^2}& 0\\ & \frac{E_i}{1-{\nu }_i^2}& 0\\ sym.& & G_i\end{array}\right] i=1,...,n mit G_i=\frac{E_i}{2\left(1+{\nu }_i\right)}$

   Strato della matrice di rigidezza isotropo

1. * Ortotropo
2. $d_i\text{'}=\left[\begin{array}{ccc}d{\text{'}}_{11,i}& d{\text{'}}_{12,i}& 0\\ & d{\text{'}}_{22,i}& 0\\ sym.& & d{\text{'}}_{33,i}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\frac{E_{x,i}}{1-{\nu }_{xy,i}^2{\displaystyle \frac{E_{y,i}}{E_{x,i}}}}& \frac{{\nu }_{xy,i}{E}_{y,i}}{1-{\nu }_{xy,i}^2{\displaystyle \frac{E_{y,i}}{E_{x,i}}}}& 0\\ & \frac{E_{y,i}}{1-{\nu }_{xy,i}^2{\displaystyle \frac{E_{y,i}}{E_{x,i}}}}& 0\\ sym.& & G_{xy,i}\end{array}\right] i=1,...,n$

   Strato della matrice di rigidezza ortotropo

1. #banner.text@Per il materiale ortotropo, il modulo di taglio nel piano del pannello (G_xy ) è definito mediante i valori del materiale mentre per il materiale isotropo è determinato dal modulo di elasticità e dalla deformazione trasversale. Pertanto, il rapporto di Poisson's con il principio della "posizione-causa" è importante per il materiale ortotropo.

1. Le rigidezze a taglio per il materiale ortotropo sono le seguenti:

1. #table.uni#
2. larghezza=10%|larghezza=90%
3. G_xy |Modulo di taglio nel piano della parete (ad esempio 690 N/mm² per C24)
4. G_xz | Modulo di taglio in direzione x sopra lo spessore (ad esempio 690 N/mm² per C24)

_Gyz | Modulo di taglio in direzione y sullo spessore (ad esempio 690 N/mm² per C24) – chiamato anche "modulo di taglio per rotolamento".

1. Inoltre, il materiale ortotropo ha la caratteristica speciale che le rigidezze direzionali possono essere definite in una superficie. Nel caso di default, l'orientamento locale della superficie o dello strato in direzione x corrisponde alla rigidezza in direzione x. Tuttavia, poiché questo può essere definito liberamente tramite l'angolo β nel tipo di spessore 'Strati', è necessario trasformare le rigidezze di conseguenza.

1. $d_i=\left[\begin{array}{ccc}{d}_{11,i}& d_{12,i}& d_{13,i}\\ & d_{22,i}& d_{23,i}\\ sym.& & d_{33,i}\end{array}\right]=T_{3x3,i}^{T}d{\text{'}}_i{T}_{3x3,i}$

   Rigidezze di trasformazione

1. $T_{3x3,i}=\left[\begin{array}{ccc}c²& s²& cs\\ s²& c²& -cs\\ -2cs& 2cs& c²-s²\end{array}\right] mit c=\cos \left({\beta }_i\right), s=\sin \left({\beta }_i\right)$

   Matrice di trasformazione

1. Elemento sommato di ogni strato:
2. $d_{11,i}=c^{4}d{\text{'}}_{11,i}+2c²s²d{\text{'}}_{12,i}+s^{4}d{\text{'}}_{22,i}+4c²s²d{\text{'}}_{33,i}$
   
   $d_{12,i}=c^2{s}^{2}d{\text{'}}_{11,i}+s^{4}d{\text{'}}_{12,i}+c^{4}d{\text{'}}_{12,i}+c²s²d{\text{'}}_{22,i}-4c²s²d{\text{'}}_{33,i}$
   
   $d_{13,i}=c^{3}sd{\text{'}}_{11,i}+c{s}^{3}d{\text{'}}_{12,i}-c^{3}sd{\text{'}}_{12,i}-c{s}^{3}d{\text{'}}_{22,i}-2c^{3}sd{\text{'}}_{33,i}+2c{s}^{3}d{\text{'}}_{33,i}$
   
   $d_{22,i}=s^{4}d{\text{'}}_{11,i}+2c²s²d{\text{'}}_{12,i}+c^{4}d{\text{'}}_{22,i}+4c²s²d{\text{'}}_{33,i}$
   
   $d_{23,i}=c{s}^{3}d{\text{'}}_{11,i}+c^{3}sd{\text{'}}_{12,i}-c{s}^{3}d{\text{'}}_{12,i}-c^{3}sd{\text{'}}_{22,i}+2c^{3}sd{\text{'}}_{33,i}-2c{s}^{3}d{\text{'}}_{33,i}$
   
   $d_{33,i}=c^2{s}^{2}d{\text{'}}_{11,i}-2c²s²d{\text{'}}_{12,i}+c^2{s}^{2}d{\text{'}}_{22,i}+{\left(c^2-s^2\right)}^{2}d{\text{'}}_{33,i}$

   Singoli termini per turno

1. === Elementi flettenti e torsionali [Nm] ===

1. Gli elementi della matrice per la flessione e la torsione sono riportati nelle equazioni seguenti.

1. $D_{11}=\sum _{i=1}^n\frac{z_{max,i}^3-z_{min,i}^3}{3}{d}_{11,i}$

   Rigidezza flessionale in x

1. $D_{12}=\sum _{i=1}^n\frac{z_{max,i}^3-z_{min,i}^3}{3}{d}_{12,i}$

   Termine eccentrico (12)

1. $D_{22}=\sum _{i=1}^n\frac{z_{max,i}^3-z_{min,i}^3}{3}{d}_{22,i}$

   Rigidezza flessionale in y

1. $D_{13}=\sum _{i=1}^n\frac{z_{max,i}^3-z_{min,i}^3}{3}{d}_{13,i}$

   Termine eccentrico (13)

1. $D_{23}=\sum _{i=1}^n\frac{z_{max,i}^3-z_{min,i}^3}{3}{d}_{23,i}$

   Termine eccentrico (23)

1. $D_{33}=\sum _{i=1}^n\frac{z_{max,i}^3-z_{min,i}^3}{3}{d}_{33,i}$

   rigidezza torsionale

1. Se è presente un solo strato del tipo di spessore 'Strati', il calcolo si basa sui parametri descritti nel manuale di RFEM]].

1. Per il taglio (elemento D44/55) si applicano diverse equazioni nel tipo di spessore 'Strati'. Sono descritti nella sezione Shear nel piano della soletta.

1. === Termini di eccentricità [Nm/m] ===

1. Per le piastre asimmetriche, sorgono i termini di eccentricità. Una superficie asimmetrica può essere, ad esempio, in un progetto di resistenza al fuoco a causa della carbonizzazione su un lato di una piastra di legno a strati incrociati. Gli elementi della matrice sono i seguenti:

1. $D_{16}=\sum _{i=1}^n\frac{z_{max,i}^2-z_{min,i}^2}{2}{d}_{11,i}$

   Elemento di eccentricità D16

1. $D_{17}=\sum _{i=1}^n\frac{z_{max,i}^2-z_{min,i}^2}{2}{d}_{12,i}$

   Elemento di eccentricità D17

1. $D_{18}=\sum _{i=1}^n\frac{z_{max,i}^2-z_{min,i}^2}{2}{d}_{13,i}$

   Elemento di eccentricità D18

1. $D_{27}=\sum _{i=1}^n\frac{z_{max,i}^2-z_{min,i}^2}{2}{d}_{22,i}$

   Elemento di eccentricità D27

1. $D_{28}=\sum _{i=1}^n\frac{z_{max,i}^2-z_{min,i}^2}{2}{d}_{23,i}$

   Elemento di eccentricità D28

1. $D_{38}=\sum _{i=1}^n\frac{z_{max,i}^2-z_{min,i}^2}{2}{d}_{33,i}$

   Elemento di eccentricità D38

1. === Piano dello strato [N/m] ===

1. Nel piano "Pane Wall", le rigidezze normali sono rappresentate nel piano del pannello di vetro. La forza di taglio nel pannello è calcolata utilizzando l'elemento D88. Gli elementi della matrice sono i seguenti:

1. $D_{66}=\sum _{i=1}^n{t}_i{d}_{11,i}$

   Rigidezza assiale x D66

1. $D_{67}=\sum _{i=1}^n{t}_i{d}_{12,i}$

   Rigidezza normale Eccentrico D67

1. $D_{68}=\sum _{i=1}^n{t}_i{d}_{13,i}$

   Rigidezza normale Eccentrico D68

1. $D_{77}=\sum _{i=1}^n{t}_i{d}_{22,i}$

   Rigidezza assiale y D77

1. $D_{78}=\sum _{i=1}^n{t}_i{d}_{23,i}$

   Rigidezza normale Eccentrico D78

1. $D_{88}=\sum _{i=1}^n{t}_i{d}_{33,i}$

   Taglio della piastra D88

1. === Taglio nel piano della soletta [N/m] ===

1. Per determinare la rigidezza a taglio per un materiale ortotropo, è necessario ruotare le rigidezze in base al loro orientamento rispetto all'asse della superficie locale. Questo deve essere fatto per ogni strato del tipo di spessore 'Strati'. In una struttura a strati semplice con un orientamento di 0° dello strato di copertura e un orientamento di 90° dello strato sottostante, c'è un'elevata rigidezza a taglio, che deve essere considerata di conseguenza per il modello multistrato. L'immagine seguente (Fonte [1]) lo mostra utilizzando un esempio di una piastra di legno a strati incrociati.

1. 

   Deformazione a taglio (Fonte: Servizio informazioni Legname)

1. Nella teoria del laminato, la rigidezza a taglio di una struttura stratificata viene calcolata trasformando tutte le componenti di flessione e di taglio nelle rispettive direzioni di ogni strato. È possibile trovare ulteriori informazioni a riguardo nella letteratura elencata di seguito.

1. 

   Steifigkeitsorientierung

1. Utilizzando la trasformazione della rigidezza mostrata nella figura, si sommano le rigidezze. Questa somma è anche nota come "integrale di Grashoff".

1. $D_{44,calc}^{"}=\frac{1}{{\int }_{-t/2}^{t/2}{\displaystyle \frac{{\displaystyle G_{22}^{"}\left(z\right)}}{{\displaystyle G_{11}^{"}\left(z\right)G_{22}^{"}\left(z\right)-{G_{12}^{"}}^2\left(z\right)}}}{\left({\displaystyle \frac{{\int }_z^{t/2}{E}_x^{"}\left(\overline{z}\right)(\overline{z}-z_{0,x})d\overline{z}}{{\int }_{-t/2}^{t/2}{E}_x^{"}\left(\overline{z}\right){(\overline{z}-z_{0,x})}^{2}d\overline{z}}}\right)}^{2}dz}$

   Rigidezza a taglio in direzione x

1. Per calcolare la rigidezza nelle direzioni x e y, viene calcolato un baricentro di rigidezza per ogni struttura di una superficie multistrato.

1. $z_{0,x}=\frac{{\int }_{-t/2}^{t/2}{E}_x^{"}\left(\overline{z}\right)\overline{z}d\overline{z}}{{\int }_{-t/2}^{t/2}{E}_x^{"}\left(\overline{z}\right)d\overline{z}}=\frac{I_1}{I_0}$

   Centro di rigidezza in x

1. $D_{55,calc}^{"}=\frac{1}{{\int }_{-t/2}^{t/2}{\displaystyle \frac{G_{11}^{"}\left(z\right)}{G_{11}^{"}\left(z\right)G_{22}^{"}\left(z\right)-{G_{12}^{"}}^2\left(z\right)}}{\left({\displaystyle \frac{{\int }_z^{t/2}{E}_y^{"}\left(\overline{z}\right)(\overline{z}-z_{0,x})d\overline{z}}{{\int }_{-t/2}^{t/2}{E}_y^{"}\left(\overline{z}\right){(\overline{z}-z_{0,x})}^{2}d\overline{z}}}\right)}^{2}dz}$

   Rigidezza a taglio in direzione y

1. Centro di rigidezza in direzione y:
2. $z_{0,x}=\frac{{\int }_{-t/2}^{t/2}{E}_y^{"}\left(\overline{z}\right)\overline{z}d\overline{z}}{{\int }_{-t/2}^{t/2}{E}_y^{"}\left(\overline{z}\right)d\overline{z}}=\frac{I_1}{I_0}$

   Centro di rigidezza in direzione y

1. Per determinare l'orientamento per posizione nel calcolo della rigidezza a taglio, le rigidezze sono determinate secondo le seguenti equazioni.

1. $G_{11,i}^{"}={\cos }^2(\phi -{ß}_i)G_{xz,i}+{\sin }^2(\phi -{ß}_i)G_{yz,i}$

   Rigidezza a taglio orientata G11

1. G sta per la rigidezza a taglio degli strati al fine di evitare errori per gli elementi della matrice di rigidezza (D).

1. La rigidezza a taglio di ogni strato può anche essere visualizzata in forma matriciale come segue:

1. $\left[\begin{array}{cc}{G}_{11}& G_{12}\\ G_{21}& G_{22}\end{array}\right]$

   Matrice di rigidezza a taglio

1. $G_{22,i}^{"}={\sin }^2(\phi -{ß}_i)G_{xz,i}+{\cos }^2(\phi -{ß}_i)G_{yz,i}$

   Rigidezza a taglio orientata G22

1. La rigidezza a taglio eccentrica nella seguente equazione sarebbe sempre zero e quindi irrilevante per la struttura simmetrica di legno lamellare a strati incrociati (0°/90°/0°) menzionata sopra. Ad esempio, nel caso di legno lamellare a strati incrociati DLT ( Diagonal Laminated Timber ), questo elemento di eccentricità non è zero e quindi gioca un ruolo importante.

1. $G_{12}^{"}=(G_{xz,i}-G_{yz,i})\sin (\phi -{ß}_i)\cos (\phi -{ß}_i)$

   Rigidezza a taglio eccentrico orientato G12

1. Ulteriori informazioni sono disponibili in [4] e in questo YouTube video.

1. ==== Calcolo della rigidezza a taglio ====

1. La rigidezza a taglio è determinata nei seguenti passaggi:

1. #In primo luogo, viene determinato l'angolo di rigidezza massima. L'angolo φ mostra la modifica del sistema di coordinate locale x della superficie rispetto alla direzione orientata x .
2. #Tutte le rigidezze sono ruotate nella direzione orientata ''x'' secondo le equazioni presentate sopra .
3. #La matrice di rigidezza del pannello di ogni strato (3 x 3) viene trasformata dal sistema di coordinate locale x', y' al sistema ruotato x'', y" . Oltre a calcolare la a taglio diretto di ogni singolo strato, questo viene fatto anche per i moduli di elasticità di ogni strato.
   $E_{x,i}^{"}=d_{12,i}^{"}+\frac{2d_{12,i}^{"}{d}_{13,i}^{"}{d}_{23,i}^{"}-d_{22,i}^{"}{\left(d_{13,i}^{"}\right)}^2-d_{33,i}^{"}{\left(d_{12,i}^{"}\right)}^2}{d_{22,i}^{"}{d}_{33,i}^{"}-{\left(d_{23,i}^{"}\right)}^2}$

   Modulo di elasticità orientato in direzione x
   $E_{y,i}^{"}=d_{22,i}^{"}+\frac{2d_{12,i}^{"}{d}_{13,i}^{"}{d}_{23,i}^{"}-d_{11,i}^{"}{\left(d_{23,i}^{"}\right)}^2-d_{33,i}^{"}{\left(d_{12,i}^{"}\right)}^2}{d_{11,i}^{"}{d}_{33,i}^{"}-{\left(d_{13,i}^{"}\right)}^2}$

   Modulo di elasticità orientato in direzione y
4. #La rigidezza a taglio è calcolata con le equazioni (integrale di Grashoff) descritte sopra. La rigidezza a taglio è calcolata utilizzando le singole parti.
   $I={\int }_{-h/2}^{h/2}{d}_{11}\left(z\right){(z-z_{0,x})}^{2}dz=\sum _{i=1}^n{d}_{11,i}\frac{{(z_{max,i}-z_{0,x})}^3-{(z_{min,i}-z_{0,x})}^3}{3}$

   Secondo momento dell'area in direzione x
   ${\chi }_i=d_{11,i}\frac{{(z_{max,i}-z_{0,x})}^2}{2}+\sum _{k=i+1}^n{d}_{11,k}\frac{{(z_{max,i}-z_{0,x})}^2-{(z_{min,i}-z_{0,x})}^2}{2}$

   Rigidezza equivalente per strato (in x)
   Qui, le equazioni sono visualizzate solo per la direzione x (D44). Lo stesso vale per la direzione y. La rigidezza equivalente (componente Stinter) è calcolata per ogni strato.
5. #Infine, le rigidezze calcolate per la direzione orientata dell'intera struttura vengono ricalcolate utilizzando le relazioni angolari e mostrate come rigidezze originali D44, D55 e D45 nella matrice di rigidezza.
   $D_{44}={\cos }^2\left(\phi \right)D_{44}^{"}+{\sin }^2\left(\phi \right)D_{55}^{"}$

   Rigidezza a taglio ricalcolata D44
   $D_{55}={\sin }^2\left(\phi \right)D_{44}^{"}+{\cos }^2\left(\phi \right)D_{55}^{"}$

   Rigidezza a taglio ricalcolata D55
   $D_{45}=\sin \left(\phi \right)\cos \left(\phi \right)(D_{44}^{"}-D_{55}^{"})$

   Rigidezza a taglio ricalcolata D45