多层面的刚度

材料模型

根据材料模型可以计算多层结构的面的有效刚度。使用“多层面”模块，您可以在 RFEM 6 中自由组合各种材料模型。材料模型的基础在章节 材料 和 RFEM 手册中的材料非线性。

在“多层结构”对话框中可以选择各种材料模型的组合（见右侧列），您可以下载该模型以进一步研究各种组合。

以下列出了一些可能的组合：

1. * 各向同性层（例如混凝土 - 钢筋）
2. * 正交各向异性层（例如正交胶合木）
3. * 各向同性 - 正交各向异性(例如钢 - RFRP)
4. * 各向同性塑性 - 各向同性(例如混凝土 - 钢)
5. * 各向同性非线性弹性 - 正交各向异性(例如混凝土 - 木材)
6. * 各向同性 - 正交各向异性塑性(例如混凝土 - 木材)
7. * 各向同性损伤 - 正交各向异性(例如混凝土 - 木材)

1. #banner.text@对于非线性材料的组合，默认使用{%!应激活-analyses/nonlinear-material-behavior非线性材料行为]]。

1. == 多层面无实体的刚度 ==

在“多层面”模块中更简单的计算选项是以厚度类型 '层' 定义不包含实体的面。当然，你也可以在这里自由组合材料模型。

定义层后，使用多层面模块会创建一个全局的面刚度矩阵。在 RFEM 中计算该面的内力和变形。在相应的设计模块（例如木结构设计或应力-应变分析）中，这些内力会分解到现有的各层中。内力通常每个位置三个积分点显示。

1. 

   多层结构面的计算过程

本文将介绍如何计算各向同性和正交各向异性材料的刚度矩阵。

1. === 计算刚度矩阵 ===

材料模型是基于以下条件（见 RFEM 手册]]手册的]]

1. * 所有刚度值 ≥ 0
2. * 面的总刚度矩阵必须是正定的。
3. * 基本方程各向同性：

1. $E=2G\left(1+\nu \right)$

   E	弹性模量
   G	剪切模量
   ν	泊松比

   弹性模量、剪切模量和泊松比
2. * 基本正交各向异性公式：

1. $\frac{{\nu }_{yx}}{E_y}=\frac{{\nu }_{xy}}{E_x}$

   横向应变关系

1. ==== 每层的局部刚度矩阵 ====

1. * 各向同性

1. * 正交各向异性

1. #banner.text@正交各向异性材料的板平面内的剪切模量 (G_xy ) 由材料的参数决定，各向同性材料的材料在板平面的剪切模量 G xy 由弹性模量和横向应变求得。因此根据“位置-原因”原理确定泊松比对于计算各向异性材料非常重要。

正交各向异性材料的剪切刚度如下：

1. #table.uni#

宽度=10%|宽度=90%

1. G_xy |墙平面上的剪切模量（例如 C24 为 690 N/mm²）

_xz |沿厚度方向 x 方向的剪切模量（例如 C24 为 690 N/mm²）

1. G_yz |沿厚度方向的剪切模量（例如 C24 为 690 N/mm²），也称为滚剪模量。

此外，正交各向异性材料的一个特点是，可以在一个面上定义方向上的刚度。面或层的局部 x 方向方向对应于 x 方向上的刚度。因为在'层'厚度类型中可以通过角度 β 自由定义，所以需要相应地转换刚度。

1. $d_i=\left[\begin{array}{ccc}{d}_{11,i}& d_{12,i}& d_{13,i}\\ & d_{22,i}& d_{23,i}\\ sym.& & d_{33,i}\end{array},),=,T_{3x3,i}^T,d,{\text{'}}_i,T_{3x3,i}\right]$

   转换刚度

1. $T_{3x3,i}=\left[\begin{array}{ccc}c²& s²& cs\\ s²& c²& -cs\\ -2cs& 2cs& c²-s²\end{array},), ,m,i,t, ,c,=,\cos ,(,{\beta }_i,),,, ,s,=,\sin ,(,{\beta }_i,)\right]$

   变换矩阵

每层单元的总和：

1. $d_{11,i}=c^{4}d{\text{'}}_{11,i}+2c²s²d{\text{'}}_{12,i}+s^{4}d{\text{'}}_{22,i}+4c²s²d{\text{'}}_{33,i}$
   
   $d_{12,i}=c^2{s}^{2}d{\text{'}}_{11,i}+s^{4}d{\text{'}}_{12,i}+c^{4}d{\text{'}}_{12,i}+c²s²d{\text{'}}_{22,i}-4c²s²d{\text{'}}_{33,i}$
   
   $d_{13,i}=c^{3}sd{\text{'}}_{11,i}+c{s}^{3}d{\text{'}}_{12,i}-c^{3}sd{\text{'}}_{12,i}-c{s}^{3}d{\text{'}}_{22,i}-2c^{3}sd{\text{'}}_{33,i}+2c{s}^{3}d{\text{'}}_{33,i}$
   
   $d_{22,i}=s^{4}d{\text{'}}_{11,i}+2c²s²d{\text{'}}_{12,i}+c^{4}d{\text{'}}_{22,i}+4c²s²d{\text{'}}_{33,i}$
   
   $d_{23,i}=c{s}^{3}d{\text{'}}_{11,i}+c^{3}sd{\text{'}}_{12,i}-c{s}^{3}d{\text{'}}_{12,i}-c^{3}sd{\text{'}}_{22,i}+2c^{3}sd{\text{'}}_{33,i}-2c{s}^{3}d{\text{'}}_{33,i}$
   
   $d_{33,i}=c^2{s}^{2}d{\text{'}}_{11,i}-2c²s²d{\text{'}}_{12,i}+c^2{s}^{2}d{\text{'}}_{22,i}+{\left(}^{c^2-s^2}d{\text{'}}_{33,i}$

   每个班次的单个术语

1. === 弯扭单元 [Nm] ===

受弯和受扭的矩阵元素在下面的公式中给出。

1. $D_{11}=\sum _{i=1}^n\frac{z_{max,i}^3-z_{min,i}^3}{3}{d}_{11,i}$

   x 方向的抗弯刚度

1. $D_{12}=\sum _{i=1}^n\frac{z_{max,i}^3-z_{min,i}^3}{3}{d}_{12,i}$

   偏心项 (12)

1. $D_{22}=\sum _{i=1}^n\frac{z_{max,i}^3-z_{min,i}^3}{3}{d}_{22,i}$

   y方向抗弯刚度

1. $D_{13}=\sum _{i=1}^n\frac{z_{max,i}^3-z_{min,i}^3}{3}{d}_{13,i}$

   偏心项 (13)

1. $D_{23}=\sum _{i=1}^n\frac{z_{max,i}^3-z_{min,i}^3}{3}{d}_{23,i}$

   偏心项 (23)

1. $D_{33}=\sum _{i=1}^n\frac{z_{max,i}^3-z_{min,i}^3}{3}{d}_{33,i}$

   抗扭刚度

如果只有一层的厚度类型为 '层'，则根据 RFEM 手册 ]] 中描述的参数进行计算。

对于受剪的构件（单元 D44/55），在类型 '层' 中应用不同的公式。在板平面的剪力]]部分中对它们进行了介绍。

1. === 偏心术语[Nm/m] ===

对于非对称板，会出现偏心项。例如在抗火验算中可能由于正交胶合木板的单面碳化而产生不对称面。其矩阵元素如下：

1. $D_{16}=\sum _{i=1}^n\frac{z_{max,i}^2-z_{min,i}^2}{2}{d}_{11,i}$

   偏心元素 D16

1. $D_{17}=\sum _{i=1}^n\frac{z_{max,i}^2-z_{min,i}^2}{2}{d}_{12,i}$

   偏心元素 D17

1. $D_{18}=\sum _{i=1}^n\frac{z_{max,i}^2-z_{min,i}^2}{2}{d}_{13,i}$

   偏心元素 D18

1. $D_{27}=\sum _{i=1}^n\frac{z_{max,i}^2-z_{min,i}^2}{2}{d}_{22,i}$

   偏心元素 D27

1. $D_{28}=\sum _{i=1}^n\frac{z_{max,i}^2-z_{min,i}^2}{2}{d}_{23,i}$

   偏心元素 D28

1. $D_{38}=\sum _{i=1}^n\frac{z_{max,i}^2-z_{min,i}^2}{2}{d}_{33,i}$

   偏心元素 D38

1. === 层平面[N/m] ===

墙面法向刚度显示在玻璃板平面上。窗玻璃中的剪力用单元 D88 计算。其矩阵元素如下：

1. $D_{66}=\sum _{i=1}^n{t}_i{d}_{11,i}$

   轴向刚度 x D66

1. $D_{67}=\sum _{i=1}^n{t}_i{d}_{12,i}$

   法向刚度 偏心 D67

1. $D_{68}=\sum _{i=1}^n{t}_i{d}_{13,i}$

   法向刚度 偏心 D68

1. $D_{77}=\sum _{i=1}^n{t}_i{d}_{22,i}$

   轴向刚度 y D77

1. $D_{78}=\sum _{i=1}^n{t}_i{d}_{23,i}$

   法向刚度 偏心 D78

1. $D_{88}=\sum _{i=1}^n{t}_i{d}_{33,i}$

   板受剪 D88

1. === 板平面的剪力[N/m] ===

用户可以在面的局部坐标轴上旋转各向异性材料的面，来确定材料的剪切刚度。对厚度类型为'层'的每一层都完成此操作。在简单的层结构中（表层结构的倾角为 0°，底层结构的倾角为 90°），其抗剪刚度很高，对于多层结构的模型必须要相应地考虑到这一点。下图（来源 [1]）以正交胶合木板为例进行了说明。

1. 

   剪切变形（来源： 信息服务木材）

在层压板-理论中，层压结构的抗剪刚度是通过每层方向上的所有弯曲和剪切分量相互转换来计算的。更多相关信息，请参阅下方的参考文献。

1. 

   Steifigkeitimorientierung

图中显示了刚度转换中的刚度叠加。这个积分就是 Grashoff 积分。

1. $D_{44,calc}^{"}=\frac{1}{{\int }_{-t/2}^{t/2}{\displaystyle \frac{{\displaystyle G_{22}^{"}\left(z\right)}}{{\displaystyle G_{11}^{"}\left(z\right)G_{22}^{"}\left(z\right)-{G_{12}^{"}}^2\left(z\right)}}}{\left(}^{{\displaystyle \frac{{\int }_z^{t/2}{E}_x^{"}\left(\overline{z}\right)(\overline{z}-z_{0,x})d\overline{z}}{{\int }_{-t/2}^{t/2}{E}_x^{"}\left(\overline{z}\right){(\overline{z}-z_{0,x})}^{2}d\overline{z}}}}dz}$

   x 方向的抗剪刚度

为了计算 x 和 y 方向上的刚度，需要对多层结构的面的每个结构计算一个刚度重心。

1. $z_{0,x}=\frac{{\int }_{-t/2}^{t/2}{E}_x^{"}\left(\overline{z}\right)\overline{z}d\overline{z}}{{\int }_{-t/2}^{t/2}{E}_x^{"}\left(\overline{z}\right)d\overline{z}}=\frac{I_1}{I_0}$

   x 方向刚度中心

1. $D_{55,calc}^{"}=\frac{1}{{\int }_{-t/2}^{t/2}{\displaystyle \frac{G_{11}^{"}\left(z\right)}{G_{11}^{"}\left(z\right)G_{22}^{"}\left(z\right)-{G_{12}^{"}}^2\left(z\right)}}{\left(}^{{\displaystyle \frac{{\int }_z^{t/2}{E}_y^{"}\left(\overline{z}\right)(\overline{z}-z_{0,x})d\overline{z}}{{\int }_{-t/2}^{t/2}{E}_y^{"}\left(\overline{z}\right){(\overline{z}-z_{0,x})}^{2}d\overline{z}}}}dz}$

   y 方向抗剪强度

1. y方向上的刚度中心：
2. $z_{0,x}=\frac{{\int }_{-t/2}^{t/2}{E}_y^{"}\left(\overline{z}\right)\overline{z}d\overline{z}}{{\int }_{-t/2}^{t/2}{E}_y^{"}\left(\overline{z}\right)d\overline{z}}=\frac{I_1}{I_0}$

   y 方向刚度中心

为了在计算每个位置的抗剪刚度时确定方向，按照下面的公式来确定刚度。

1. $G_{11,i}^{"}={\cos }^2(\phi -{ß}_i)G_{xz,i}+{\sin }^2(\phi -{ß}_i)G_{yz,i}$

   方向剪切刚度 G11

1. G 表示层的剪切刚度，以避免刚度矩阵中的元素出现错误。

各层的抗剪刚度也可以用矩阵的形式显示，如下：

1. $\left[\begin{array}{cc}{G}_{11}& G_{12}\\ G_{21}& G_{22}\end{array},)\right]$

   抗剪刚度矩阵

1. $G_{22,i}^{"}={\sin }^2(\phi -{ß}_i)G_{xz,i}+{\cos }^2(\phi -{ß}_i)G_{yz,i}$

   方向剪切刚度 G22

因为上面提到的对称正交胶合木 (0°/90°/0°) 结构，以下公式中的偏心剪切刚度为零。例如对角胶合木正交胶合木 DLT（对角线层压木），该 偏心 不为零，因此非常重要。

1. $G_{12}^{"}=(G_{xz,i}-G_{yz,i})\sin (\phi -{ß}_i)\cos (\phi -{ß}_i)$

   偏心抗剪刚度 G12

更多信息可以在 [[]]#Refer [4]]] 和 YouTube 视频 中找到。

1. ==== 计算抗剪刚度 ====

程序按照以下步骤计算截面刚度：

1. #首先确定最大刚度的角度。角度 φ 表示面的局部坐标系 x 相对于定向方向的变化[LinkToImage02][SCHOOL.FAX] [SCHOOL.INSTITUTION]
2. #所有的刚度在 orient 方向上旋转''[LinkToImage02][SCHOOL.FAX]''根据 上面 给出的 公式。
3. #将每一层(3 x 3)的板件刚度矩阵从局部坐标系x',y'转换到旋转后的坐标系x'', y" [SCHOOL.INSTITUTION] #directed-stiffness 抗剪刚度]]和每一层的弹性模量都需要计算
   $E_{x,i}^{"}=d_{12,i}^{"}+\frac{2d_{12,i}^{"}{d}_{13,i}^{"}{d}_{23,i}^{"}-d_{22,i}^{"}{\left(d_{13,i}^{"}\right)}^2-d_{33,i}^{"}{\left(d_{12,i}^{"}\right)}^2}{d_{22,i}^{"}{d}_{33,i}^{"}-{\left(d_{23,i}^{"}\right)}^2}$

   x 方向弹性模量
   $E_{y,i}^{"}=d_{22,i}^{"}+\frac{2d_{12,i}^{"}{d}_{13,i}^{"}{d}_{23,i}^{"}-d_{11,i}^{"}{\left(d_{23,i}^{"}\right)}^2-d_{33,i}^{"}{\left(d_{12,i}^{"}\right)}^2}{d_{11,i}^{"}{d}_{33,i}^{"}-{\left(d_{13,i}^{"}\right)}^2}$

   y-方向弹性模量
4. #剪切刚度通过上面的 Grashoff 积分公式 [[]] 计算得出。抗剪刚度是使用各个构件计算的。
   $I={\int }_{-h/2}^{h/2}{d}_{11}\left(z\right){(z-z_{0,x})}^{2}dz=\sum _{i=1}^n{d}_{11,i}\frac{{(z_{max,i}-z_{0,x})}^3-{(z_{min,i}-z_{0,x})}^3}{3}$

   沿 x 方向的惯性矩
   ${\chi }_i=d_{11,i}\frac{{(z_{max,i}-z_{0,x})}^2}{2}+\sum _{k=i+1}^n{d}_{11,k}\frac{{(z_{max,i}-z_{0,x})}^2-{(z_{min,i}-z_{0,x})}^2}{2}$

   每层等效刚度 (in x)
   在这里，只显示 x 方向 (D44) 的方程。这同样适用于 y 方向。程序会为每一层计算等效刚度（Stinter 分量）。
5. #最后，将整个结构在该方向上的计算刚度通过角度关系重新计算，并在刚度矩阵中显示为原始刚度D44，D55和D45。
   $D_{44}={\cos }^2\left(\phi \right)D_{44}^{"}+{\sin }^2\left(\phi \right)D_{55}^{"}$

   重新计算的抗剪刚度 D44
   $D_{55}={\sin }^2\left(\phi \right)D_{44}^{"}+{\cos }^2\left(\phi \right)D_{55}^{"}$

   重新计算的抗剪刚度 D55
   $D_{45}=\sin \left(\phi \right)\cos \left(\phi \right)(D_{44}^{"}-D_{55}^{"})$

   重新计算的抗剪刚度 D45

1. == 集成实体的多层面刚度 ==

将来，在“多层面”模块中还可以将面与实体一起定义。使用此类型的面会被导出到 RFEM 中。刚度的产生和内力的分解比较耗时，这里将单独介绍。