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Dipl.-Ing. (FH) Bastian Kuhn, M.Sc.

2023-10-19

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计算示例

多层结构面的刚度

材料模型

多层面板组成有效板刚度的基础是材料模型。利用附加组件多层面板，可以在RFEM 6程序中自由组合材料模型。材料模型的基本知识在RFEM手册的章节Materialien和Nichtlineares Materialverhalten中描述。

可以在模型"多层模型"中找到材料模型组合的选择（见右栏），您可以下载以进一步研究这些组合。

以下是可能组合的选择：

各向同性层（例如：混凝土 - 钢）
正交各向异性层（例如：交错层压木材）
各向同性 - 正交各向异性（例如：钢 - 玻璃纤维增强塑料）
各向同性塑性 - 各向同性（例如：混凝土 - 钢）
各向同性非线性弹性 - 正交各向异性（例如：混凝土 - 木材）
各向同性 - 正交各向异性塑性（例如：混凝土 - 木材）
各向同性损伤 - 正交各向异性（例如：混凝土 - 木材）

信息

对于非线性材料的组合，必须激活附加组件非线性材料行为。

无体积多层面板的刚度

在附加组件多层面板中，更简单的计算方法是定义为'层'厚度类型的不同面板层，而无需体积。但即使如此，材料模型仍然可以自由组合。

当层定义后，附加组件多层面板生成一个全球板刚度矩阵。在RFEM中，计算该板上的内力和变形。在每个设计附加组件中，例如木材设计或应力-应变计算，这些内力随后被划分到各自的层上。通常在每层的三个积分点输出内力。

多层表面计算流程

下面将解释各向同性和正交各向异性材料的刚度矩阵计算。

刚度矩阵的计算

材料模型的基础条件如下（参见RFEM手册章节Materialien）：

所有刚度值 ≥ 0
板的全局刚度矩阵必须是正定的。
各向同性基本方程：

E = 2 G (1 + ν)

E	弹性模量
G	剪切模量
ν	泊松比

弹性模量、剪切模量和泊松比

正交各向异性基本方程：

\frac{ν_{y x}}{E_{y}} = \frac{ν_{x y}}{E_{x}}

横向应变关系

每层的局部刚度矩阵

各向同性

d_{i}' = [\begin{matrix} d'_{11, i} & d'_{12, i} & 0 \\ d'_{22, i} & 0 \\ s y m . & d'_{33, i} \end{matrix}] = [\begin{matrix} \frac{E_{i}}{1 - ν_{i}^{2}} & \frac{ν_{i} E_{i}}{1 - ν_{i}^{2}} & 0 \\ \frac{E_{i}}{1 - ν_{i}^{2}} & 0 \\ s y m . & G_{i} \end{matrix}] i = 1, . . ., n m i t G_{i} = \frac{E_{i}}{2 (1 + ν_{i})}

各向同性刚度矩阵层

正交各向异性

d_{i}' = [\begin{matrix} d'_{11, i} & d'_{12, i} & 0 \\ d'_{22, i} & 0 \\ s y m . & d'_{33, i} \end{matrix}] = [\begin{matrix} \frac{E_{x, i}}{1 - ν_{x y, i}^{2} \frac{E_{y, i}}{E_{x, i}}} & \frac{ν_{x y, i} E_{y, i}}{1 - ν_{x y, i}^{2} \frac{E_{y, i}}{E_{x, i}}} & 0 \\ \frac{E_{y, i}}{1 - ν_{x y, i}^{2} \frac{E_{y, i}}{E_{x, i}}} & 0 \\ s y m . & G_{x y, i} \end{matrix}] i = 1, . . ., n

各向异性刚度矩阵层

信息

对于正交各向异性材料，剪切模量在片内（G_xy）通过材料值定义，而各向同性材料则通过E模块和泊松比计算。因此，对于正交各向异性材料，泊松比关系中“位置-原因”原则很重要。

正交各向异性材料的剪切刚度如下：

G_xy	片内剪切模量（例如：690 N/mm²对C24）
G_xz	剪切模量沿厚度的x方向（例如：690N/mm²对C24）
G_yz	剪切模量沿厚度的y方向（例如：690 N/mm²对C24）– 也被称为“滚动剪切模量”

对于正交各向异性材料，在一个板内可以定义定向刚度。标准情况下，板或层在x方向的局部定向与x方向的刚度一致。由于这些可以通过'层'厚度类型中的β角度自由定义，因此有必要相应地转换刚度。

d_{i} = [\begin{matrix} d_{11, i} & d_{12, i} & d_{13, i} \\ d_{22, i} & d_{23, i} \\ s y m . & d_{33, i} \end{matrix}] = T_{3 x 3, i}^{T} d'_{i} T_{3 x 3, i}

转换刚度

T_{3 x 3, i} = [\begin{matrix} c ² & s ² & c s \\ s ² & c ² & - c s \\ - 2 c s & 2 c s & c ² - s ² \end{matrix}] m i t c = \cos (β_{i}), s = \sin (β_{i})

变换矩阵

每层的累加元素：

d_{11, i} = c^{4} d'_{11, i} + 2 c ² s ² d'_{12, i} + s^{4} d'_{22, i} + 4 c ² s ² d'_{33, i}

d_{12, i} = c^{2} s^{2} d'_{11, i} + s^{4} d'_{12, i} + c^{4} d'_{12, i} + c ² s ² d'_{22, i} - 4 c ² s ² d'_{33, i}

d_{13, i} = c^{3} s d'_{11, i} + c s^{3} d'_{12, i} - c^{3} s d'_{12, i} - c s^{3} d'_{22, i} - 2 c^{3} s d'_{33, i} + 2 c s^{3} d'_{33, i}

d_{22, i} = s^{4} d'_{11, i} + 2 c ² s ² d'_{12, i} + c^{4} d'_{22, i} + 4 c ² s ² d'_{33, i}

d_{23, i} = c s^{3} d'_{11, i} + c^{3} s d'_{12, i} - c s^{3} d'_{12, i} - c^{3} s d'_{22, i} + 2 c^{3} s d'_{33, i} - 2 c s^{3} d'_{33, i}

d_{33, i} = c^{2} s^{2} d'_{11, i} - 2 c ² s ² d'_{12, i} + c^{2} s^{2} d'_{22, i} + {(c^{2} - s^{2})}^{2} d'_{33, i}

每个班次的单个术语

弯曲和扭转元素 [Nm]

弯曲和扭转的矩阵元素在下列方程中给出。

D_{11} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{3} - z_{m i n, i}^{3}}{3} d_{11, i}

x 方向的抗弯刚度

D_{12} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{3} - z_{m i n, i}^{3}}{3} d_{12, i}

偏心项 (12)

D_{22} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{3} - z_{m i n, i}^{3}}{3} d_{22, i}

y方向抗弯刚度

D_{13} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{3} - z_{m i n, i}^{3}}{3} d_{13, i}

偏心项 (13)

D_{23} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{3} - z_{m i n, i}^{3}}{3} d_{23, i}

偏心项 (23)

D_{33} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{3} - z_{m i n, i}^{3}}{3} d_{33, i}

抗扭刚度

如果”层“厚度类型中仅有一层，计算根据RFEM-Handbuch中描述的方程进行。

对于剪切（元素D44/55），在'层'厚度类型中使用其它方程。这些在章节平面内剪切中介绍。

偏心项 [Nm/m]

在不对称板中存在偏心项。一个不对称板例如在防火计算中由单方面的交叉层压木板的烧蚀产生。矩阵元素如下：

D_{16} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{2} - z_{m i n, i}^{2}}{2} d_{11, i}

偏心元素 D16

D_{17} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{2} - z_{m i n, i}^{2}}{2} d_{12, i}

偏心元素 D17

D_{18} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{2} - z_{m i n, i}^{2}}{2} d_{13, i}

偏心元素 D18

D_{27} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{2} - z_{m i n, i}^{2}}{2} d_{22, i}

偏心元素 D27

D_{28} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{2} - z_{m i n, i}^{2}}{2} d_{23, i}

偏心元素 D28

D_{38} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{2} - z_{m i n, i}^{2}}{2} d_{33, i}

偏心元素 D38

板面内 [N/m]

在板面内处理板的面内正交刚度。通过元素D88计算板的面内剪切——即板内的横向力。矩阵元素如下：

D_{66} = \sum_{i = 1}^{n} t_{i} d_{11, i}

轴向刚度 x D66

D_{67} = \sum_{i = 1}^{n} t_{i} d_{12, i}

法向刚度偏心 D67

D_{68} = \sum_{i = 1}^{n} t_{i} d_{13, i}

法向刚度偏心 D68

D_{77} = \sum_{i = 1}^{n} t_{i} d_{22, i}

轴向刚度 y D77

D_{78} = \sum_{i = 1}^{n} t_{i} d_{23, i}

法向刚度偏心 D78

D_{88} = \sum_{i = 1}^{n} t_{i} d_{33, i}

板受剪 D88

平面内剪切 [N/m]

要确定剪切刚度，对于正交各向异性材料需要根据其相对于局部板轴的定向旋转刚度。此操作必须对于每一层的'层'厚度类型执行。对于一个简单的层次结构，面板层为0°定向，下面的层为90°定向的情况，导致一个大的剪切柔性，必须在多层模型中相应考虑。在下面的图中（来源[1]）可在一块交叉层压木板上看到。

剪切变形 (来源: Informationsdienst Holz)

在层板理论中，分层结构的剪切刚度通过在每层方向上转换所有弯曲和剪切部分来计算。关于这一点的更多信息，可以在下面的文献中找到。

刚度方向

通过图中展示的刚度转换，将刚度进行累加。这种累加也被称为“Grashoff积分”。

D_{44, c a l c}^{"} = \frac{1}{\int_{- t / 2}^{t / 2} \frac{G_{22}^{"} (z)}{G_{11}^{"} (z) G_{22}^{"} (z) - {G_{12}^{"}}^{2} (z)} {(\frac{\int_{z}^{t / 2} E_{x}^{"} (\bar{z}) (\bar{z} - z_{0, x}) d \bar{z}}{\int_{- t / 2}^{t / 2} E_{x}^{"} (\bar{z}) {(\bar{z} - z_{0, x})}^{2} d \bar{z}})}^{2} d z}

x 方向的抗剪刚度

对于多层板在x和y方向的刚度计算，每种面板结构计算出一个所谓的刚度重心。

z_{0, x} = \frac{\int_{- t / 2}^{t / 2} E_{x}^{"} (z) z d z}{\int_{- t / 2}^{t / 2} E_{x}^{"} (z) d z} = \frac{I_{1}}{I_{0}}

x 方向刚度中心

D_{55, c a l c}^{"} = \frac{1}{\int_{- t / 2}^{t / 2} \frac{G_{11}^{"} (z)}{G_{11}^{"} (z) G_{22}^{"} (z) - {G_{12}^{"}}^{2} (z)} {(\frac{\int_{z}^{t / 2} E_{y}^{"} (\bar{z}) (\bar{z} - z_{0, x}) d \bar{z}}{\int_{- t / 2}^{t / 2} E_{y}^{"} (\bar{z}) {(\bar{z} - z_{0, x})}^{2} d \bar{z}})}^{2} d z}

y 方向抗剪强度

y方向的刚度重心：

z_{0, x} = \frac{\int_{- t / 2}^{t / 2} E_{y}^{"} (z) z d z}{\int_{- t / 2}^{t / 2} E_{y}^{"} (z) d z} = \frac{I_{1}}{I_{0}}

y 方向刚度中心

为了在剪切刚度的计算中纳入每层的定向，刚度根据以下方程表达。

G_{11, i}^{"} = \cos^{2} (φ - ß_{i}) G_{x z, i} + \sin^{2} (φ - ß_{i}) G_{y z, i}

方向剪切刚度 G11

G代表每层的剪切刚度，以避免与刚度矩阵（D）的元素混淆。

每层的剪切刚度也可以用矩阵形式表示如下：

[\begin{matrix} G_{11} & G_{12} \\ G_{21} & G_{22} \end{matrix}]

抗剪刚度矩阵

G_{22, i}^{"} = \sin^{2} (φ - ß_{i}) G_{x z, i} + \cos^{2} (φ - ß_{i}) G_{y z, i}

方向剪切刚度 G22

对于先前提及的对称结构（0°/90°/0°）的交叉层压木板中的偏心剪切刚度总是0，因此不相关。而对于例如对角粘合的DLT（对角层压木材）情况，该偏心项则不为0，因此非常重要。

G_{12}^{"} = (G_{x z, i} - G_{y z, i}) \sin (φ - ß_{i}) \cos (φ - ß_{i})

偏心抗剪刚度 G12

更多信息见[4]以及一个YouTube-视频。

剪切刚度的计算

剪切刚度按以下步骤求出：

首先确定最大刚度的角度。角度φ表示局部板坐标系x到定向方向x''的变化。
所有刚度按上面介绍的方程旋转到定向方向x''。
每层的片刚度矩阵（3 x 3）从局部坐标系x', y'转换入旋转系统x'', y"。除了计算每个层的定向剪切刚度外，还需对此进行弹性模量的计算。

$E_{x, i}^{"} = d_{12, i}^{"} + \frac{2 d_{12, i}^{"} d_{13, i}^{"} d_{23, i}^{"} - d_{22, i}^{"} {(d_{13, i}^{"})}^{2} - d_{33, i}^{"} {(d_{12, i}^{"})}^{2}}{d_{22, i}^{"} d_{33, i}^{"} - {(d_{23, i}^{"})}^{2}}$

x 方向弹性模量

$E_{y, i}^{"} = d_{22, i}^{"} + \frac{2 d_{12, i}^{"} d_{13, i}^{"} d_{23, i}^{"} - d_{11, i}^{"} {(d_{23, i}^{"})}^{2} - d_{33, i}^{"} {(d_{12, i}^{"})}^{2}}{d_{11, i}^{"} d_{33, i}^{"} - {(d_{13, i}^{"})}^{2}}$

y-方向弹性模量
剪切刚度通过上述描述的(Grashoff-Integral)方程计算。剪切刚度通过各部分计算。

$I = \int_{- h / 2}^{h / 2} d_{11} (z) {(z - z_{0, x})}^{2} d z = \sum_{i = 1}^{n} d_{11, i} \frac{{(z_{m a x, i} - z_{0, x})}^{3} - {(z_{m i n, i} - z_{0, x})}^{3}}{3}$

沿 x 方向的惯性矩

$χ_{i} = d_{11, i} \frac{{(z_{m a x, i} - z_{0, x})}^{2}}{2} + \sum_{k = i + 1}^{n} d_{11, k} \frac{{(z_{m a x, i} - z_{0, x})}^{2} - {(z_{m i n, i} - z_{0, x})}^{2}}{2}$

每层等效刚度 (in x)

这里仅展示x方向（D44）的方程。对于y方向类似。等效刚度（Steiner部分）为每层计算。
最终，整个结构的定向方向计算出的刚度通过角度关系重新计算回原始刚度，并在刚度矩阵中显示为原始刚度D44、D55和D45。

$D_{44} = \cos^{2} (φ) D_{44}^{"} + \sin^{2} (φ) D_{55}^{"}$

重新计算的抗剪刚度 D44

$D_{55} = \sin^{2} (φ) D_{44}^{"} + \cos^{2} (φ) D_{55}^{"}$

重新计算的抗剪刚度 D55

$D_{45} = \sin (φ) \cos (φ) (D_{44}^{"} - D_{55}^{"})$

重新计算的抗剪刚度 D45

剪切刚度的增强

由于拉米纳作为板建模也可能处理具有非常窄板条的几何形状，因此在这种问题几何计算中必须相应地增加剪切刚度。

在下面的方程中，这种情况在X方向的表示

D_{44}^{"} = \max (D_{44, calc}^{"}, \frac{48}{5 l ²} \frac{1}{\frac{1}{\sum_{i = 1}^{n} E_{x, i}^{"} \frac{t_{i}^{3}}{12}} - \frac{1}{\sum_{i = 1}^{n} E_{x, i}^{"} \frac{z_{\max, i}^{3} - z_{\min, i}^{3}}{3}}})

最大抗剪刚度

方程中的长度l代表在该几何上放置的盒子的最短长度。

在右侧可以下载的另一个模型中，一个宽度为10cm的窄板与一个宽度为20cm的相同板进行了比较。

窄板的剪切刚度为D44=15253kN/m，相比之下，宽板的剪切刚度为D44=5970,8kN/m。因此，尽管负载相同，但较硬板的变形较小，而剪切负载较大。

带有集成体积的多层面板的刚度

未来在附加组件多层面板中，也将能够定义带有体积的面板。对于这种类型，也会将面板导出到RFEM。由于生成刚度和分解内力更复杂，将对此进行专门的说明。

参考

正交胶合木（CLT）墙、楼板和屋顶的承重实木构件木材信息服务，柏林，2016
平面板结构：建模和计算板和板的基础知识
Jones, R. M.（无年份）。《复合材料力学》（第2版）。Taylor & Francis Inc.，费城。
Arnold, M.：“点支撑木板结构正交胶合木性能研究”，慕尼黑工业大学木结构与建筑施工研究小组博士论文，预计2023年。

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分析方法

模型

585x

23x

多层模型

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抗剪刚度