在线手册 RFEM 6 | 多层结构

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Dipl.-Ing. (FH) Bastian Kuhn

2023-10-19

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多层面模块

分析方法

输入

结果

计算示例

多层曲面的刚度

材料模型

材料模型是将多层结构组合成有效面刚度的基础。借助多层结构附加模块，可以在 RFEM 6 程序中自由组合材料模型。材料模型的基础知识在 RFEM 手册的材料和非线性材料行为章节中进行了说明。

材料模型组合方式的一部分示例已建模在"多层模型"中（见右侧栏），您可以下载该模型以进一步研究这些组合。

以下列表展示了可能组合的部分示例：

各向同性层（例如混凝土 - 钢）
正交各向异性层（例如正交胶合木）
各向同性 - 正交各向异性（例如钢 - 玻璃纤维）
各向同性塑性 - 各向同性（例如混凝土 - 钢）
各向同性非线性弹性 - 正交各向异性（例如混凝土 - 木）
各向同性 - 正交各向异性塑性（例如混凝土 - 木）
各向同性损伤 - 正交各向异性（例如混凝土 - 木）

重要

组合非线性材料时，必须启用非线性材料行为附加模块。

无实体的多层结构刚度

在多层结构附加模块中，较简单的计算方式是在厚度类型"层"中定义不同的面层而不使用实体。但在此情况下，同样可以自由组合材料模型。

定义好各层后，多层结构附加模块会生成该面的全局刚度矩阵。RFEM 会计算该面的内力和变形。在相应的设计附加模块（例如木结构设计或应力-应变分析）中，这些内力随后会被分配到相应的各层中。通常，内力在每层的三个积分点处输出。

多层表面计算流程

下面将说明各向同性和正交各向异性材料刚度矩阵的计算。

刚度矩阵的计算

材料模型适用以下条件（另见 RFEM 手册的材料章节）：

所有刚度值 ≥ 0
面的总刚度矩阵必须为正定矩阵。
各向同性基本方程：

E = 2 G (1 + ν)

E	弹性模量
G	剪切模量
ν	泊松比

弹性模量、剪切模量和泊松比

正交各向异性基本方程：

\frac{ν_{y x}}{E_{y}} = \frac{ν_{x y}}{E_{x}}

横向应变关系

每层的局部刚度矩阵

各向同性

d_{i}' = [\begin{matrix} d'_{11, i} & d'_{12, i} & 0 \\ d'_{22, i} & 0 \\ s y m . & d'_{33, i} \end{matrix}] = [\begin{matrix} \frac{E_{i}}{1 - ν_{i}^{2}} & \frac{ν_{i} E_{i}}{1 - ν_{i}^{2}} & 0 \\ \frac{E_{i}}{1 - ν_{i}^{2}} & 0 \\ s y m . & G_{i} \end{matrix}] i = 1, . . ., n m i t G_{i} = \frac{E_{i}}{2 (1 + ν_{i})}

各向同性刚度矩阵层

正交各向异性

d_{i}' = [\begin{matrix} d'_{11, i} & d'_{12, i} & 0 \\ d'_{22, i} & 0 \\ s y m . & d'_{33, i} \end{matrix}] = [\begin{matrix} \frac{E_{x, i}}{1 - ν_{x y, i}^{2} \frac{E_{y, i}}{E_{x, i}}} & \frac{ν_{x y, i} E_{y, i}}{1 - ν_{x y, i}^{2} \frac{E_{y, i}}{E_{x, i}}} & 0 \\ \frac{E_{y, i}}{1 - ν_{x y, i}^{2} \frac{E_{y, i}}{E_{x, i}}} & 0 \\ s y m . & G_{x y, i} \end{matrix}] i = 1, . . ., n

各向异性刚度矩阵层

信息

对于正交各向异性材料，板平面内的剪切模量（G_xy）通过材料值定义，而对于各向同性材料，则由弹性模量和横向应变确定。因此，对于正交各向异性材料，横向应变关系遵循"位置-原因"原则非常重要。

正交各向异性材料的剪切刚度如下：

G_xy	板平面内的剪切模量（例如 C24 为 690 N/mm²）
G_xz	沿 x 方向贯穿厚度的剪切模量（例如 C24 为 690 N/mm²）
G_yz	沿 y 方向贯穿厚度的剪切模量（例如 C24 为 690 N/mm²） – 也称为"滚动剪切模量"

对于正交各向异性材料，还有一个特点：可以在面中定义方向性刚度。在标准情况下，面或层在 x 方向上的局部朝向对应于 x 方向的刚度。但由于可以通过厚度类型"层"中的角度 β 自由定义朝向，因此需要相应地对刚度进行变换。

d_{i} = [\begin{matrix} d_{11, i} & d_{12, i} & d_{13, i} \\ d_{22, i} & d_{23, i} \\ s y m . & d_{33, i} \end{matrix}] = T_{3 x 3, i}^{T} d'_{i} T_{3 x 3, i}

转换刚度

T_{3 x 3, i} = [\begin{matrix} c ² & s ² & c s \\ s ² & c ² & - c s \\ - 2 c s & 2 c s & c ² - s ² \end{matrix}] m i t c = \cos (β_{i}), s = \sin (β_{i})

变换矩阵

每层的累加单元：

d_{11, i} = c^{4} d'_{11, i} + 2 c ² s ² d'_{12, i} + s^{4} d'_{22, i} + 4 c ² s ² d'_{33, i}

d_{12, i} = c^{2} s^{2} d'_{11, i} + s^{4} d'_{12, i} + c^{4} d'_{12, i} + c ² s ² d'_{22, i} - 4 c ² s ² d'_{33, i}

d_{13, i} = c^{3} s d'_{11, i} + c s^{3} d'_{12, i} - c^{3} s d'_{12, i} - c s^{3} d'_{22, i} - 2 c^{3} s d'_{33, i} + 2 c s^{3} d'_{33, i}

d_{22, i} = s^{4} d'_{11, i} + 2 c ² s ² d'_{12, i} + c^{4} d'_{22, i} + 4 c ² s ² d'_{33, i}

d_{23, i} = c s^{3} d'_{11, i} + c^{3} s d'_{12, i} - c s^{3} d'_{12, i} - c^{3} s d'_{22, i} + 2 c^{3} s d'_{33, i} - 2 c s^{3} d'_{33, i}

d_{33, i} = c^{2} s^{2} d'_{11, i} - 2 c ² s ² d'_{12, i} + c^{2} s^{2} d'_{22, i} + {(c^{2} - s^{2})}^{2} d'_{33, i}

每个班次的单个术语

受弯和扭转单元 [Nm]

受弯和扭转的矩阵单元由以下公式给出。

D_{11} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{3} - z_{m i n, i}^{3}}{3} d_{11, i}

x 方向的抗弯刚度

D_{12} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{3} - z_{m i n, i}^{3}}{3} d_{12, i}

偏心项 (12)

D_{22} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{3} - z_{m i n, i}^{3}}{3} d_{22, i}

y方向抗弯刚度

D_{13} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{3} - z_{m i n, i}^{3}}{3} d_{13, i}

偏心项 (13)

D_{23} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{3} - z_{m i n, i}^{3}}{3} d_{23, i}

偏心项 (23)

D_{33} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{3} - z_{m i n, i}^{3}}{3} d_{33, i}

抗扭刚度

当厚度类型"层"中仅有一层时，按 RFEM 手册中说明的公式进行计算。

对于剪切（单元 D44/55），厚度类型"层"采用不同的公式。这些公式在板平面内的剪切一节中介绍。

偏心项 [Nm/m]

对于非对称板会产生偏心项。例如，在防火设计中，正交胶合木板单面烧损时会形成非对称面。矩阵单元如下：

D_{16} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{2} - z_{m i n, i}^{2}}{2} d_{11, i}

偏心元素 D16

D_{17} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{2} - z_{m i n, i}^{2}}{2} d_{12, i}

偏心元素 D17

D_{18} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{2} - z_{m i n, i}^{2}}{2} d_{13, i}

偏心元素 D18

D_{27} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{2} - z_{m i n, i}^{2}}{2} d_{22, i}

偏心元素 D27

D_{28} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{2} - z_{m i n, i}^{2}}{2} d_{23, i}

偏心元素 D28

D_{38} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{2} - z_{m i n, i}^{2}}{2} d_{33, i}

偏心元素 D38

板平面 [N/m]

在板平面中处理板平面内的法向刚度。通过单元 D88 计算板内剪切，即板内的剪力。矩阵单元如下：

D_{66} = \sum_{i = 1}^{n} t_{i} d_{11, i}

轴向刚度 x D66

D_{67} = \sum_{i = 1}^{n} t_{i} d_{12, i}

法向刚度偏心 D67

D_{68} = \sum_{i = 1}^{n} t_{i} d_{13, i}

法向刚度偏心 D68

D_{77} = \sum_{i = 1}^{n} t_{i} d_{22, i}

轴向刚度 y D77

D_{78} = \sum_{i = 1}^{n} t_{i} d_{23, i}

法向刚度偏心 D78

D_{88} = \sum_{i = 1}^{n} t_{i} d_{33, i}

板受剪 D88

板平面内的剪切 [N/m]

为了确定剪切刚度，对于正交各向异性材料，必须根据其相对于局部面轴的朝向对刚度进行旋转。这必须对厚度类型"层"中的每一层进行。对于面层朝向为 0°、下层朝向为 90° 的简单层结构，会产生较大的剪切柔度，在多层模型中必须相应地予以考虑。下图（来源 [1]）以正交胶合木板为例说明了这一点。

剪切变形 (来源: Informationsdienst Holz)

在层合板理论中，分层结构的剪切刚度是通过将所有受弯和剪切分量变换到每一层的相应方向来计算的。有关详细信息，请参见下文列出的文献。

刚度方向

通过图中所示的刚度变换，对各刚度进行累加。这种累加也以"Grashoff 积分"这一术语为人所知。

D_{44, c a l c}^{"} = \frac{1}{\int_{- t / 2}^{t / 2} \frac{G_{22}^{"} (z)}{G_{11}^{"} (z) G_{22}^{"} (z) - {G_{12}^{"}}^{2} (z)} {(\frac{\int_{z}^{t / 2} E_{x}^{"} (\bar{z}) (\bar{z} - z_{0, x}) d \bar{z}}{\int_{- t / 2}^{t / 2} E_{x}^{"} (\bar{z}) {(\bar{z} - z_{0, x})}^{2} d \bar{z}})}^{2} d z}

x 方向的抗剪刚度

为了计算 x 和 y 方向的刚度，对于每个多层结构面会计算一个所谓的刚度重心。

z_{0, x} = \frac{\int_{- t / 2}^{t / 2} E_{x}^{"} (z) z d z}{\int_{- t / 2}^{t / 2} E_{x}^{"} (z) d z} = \frac{I_{1}}{I_{0}}

x 方向刚度中心

D_{55, c a l c}^{"} = \frac{1}{\int_{- t / 2}^{t / 2} \frac{G_{11}^{"} (z)}{G_{11}^{"} (z) G_{22}^{"} (z) - {G_{12}^{"}}^{2} (z)} {(\frac{\int_{z}^{t / 2} E_{y}^{"} (\bar{z}) (\bar{z} - z_{0, x}) d \bar{z}}{\int_{- t / 2}^{t / 2} E_{y}^{"} (\bar{z}) {(\bar{z} - z_{0, x})}^{2} d \bar{z}})}^{2} d z}

y 方向抗剪强度

y 方向的刚度重心：

z_{0, x} = \frac{\int_{- t / 2}^{t / 2} E_{y}^{"} (z) z d z}{\int_{- t / 2}^{t / 2} E_{y}^{"} (z) d z} = \frac{I_{1}}{I_{0}}

y 方向刚度中心

为了在计算剪切刚度时考虑每一层的朝向，按照以下公式对刚度进行处理。

G_{11, i}^{"} = \cos^{2} (φ - ß_{i}) G_{x z, i} + \sin^{2} (φ - ß_{i}) G_{y z, i}

方向剪切刚度 G11

此处 G 表示各层的剪切刚度，以避免与刚度矩阵的单元（D）混淆。

每层的剪切刚度也可以用矩阵形式表示如下：

[\begin{matrix} G_{11} & G_{12} \\ G_{21} & G_{22} \end{matrix}]

抗剪刚度矩阵

G_{22, i}^{"} = \sin^{2} (φ - ß_{i}) G_{x z, i} + \cos^{2} (φ - ß_{i}) G_{y z, i}

方向剪切刚度 G22

以下公式中的偏心剪切刚度对于开头提到的正交胶合木对称结构（0°/90°/0°）始终为零，因此不相关。但对于例如斜向胶合的正交胶合木 DLT（Diagonal Laminated Timber），该偏心项不为零，因此起着重要作用。

G_{12}^{"} = (G_{x z, i} - G_{y z, i}) \sin (φ - ß_{i}) \cos (φ - ß_{i})

偏心抗剪刚度 G12

更多信息请参见 [4] 和一个 YouTube 视频。

剪切刚度的计算

剪切刚度按以下步骤确定：

首先确定最大刚度的角度。角度 φ 表示面的局部坐标系 x 相对于定向方向 x" 的变化。
根据上面介绍的公式，将所有刚度旋转到定向方向 x"。
将每层的板刚度矩阵（3 x 3）从局部坐标系 x'、y' 变换到旋转后的坐标系 x"、y"。除了计算每个单层的方向性剪切刚度之外，还对每层的弹性模量进行此操作。

$E_{x, i}^{"} = d_{12, i}^{"} + \frac{2 d_{12, i}^{"} d_{13, i}^{"} d_{23, i}^{"} - d_{22, i}^{"} {(d_{13, i}^{"})}^{2} - d_{33, i}^{"} {(d_{12, i}^{"})}^{2}}{d_{22, i}^{"} d_{33, i}^{"} - {(d_{23, i}^{"})}^{2}}$

x 方向弹性模量

$E_{y, i}^{"} = d_{22, i}^{"} + \frac{2 d_{12, i}^{"} d_{13, i}^{"} d_{23, i}^{"} - d_{11, i}^{"} {(d_{23, i}^{"})}^{2} - d_{33, i}^{"} {(d_{12, i}^{"})}^{2}}{d_{11, i}^{"} d_{33, i}^{"} - {(d_{13, i}^{"})}^{2}}$

y-方向弹性模量
使用上述公式积分）计算剪切刚度。剪切刚度由各分量计算。

$I = \int_{- h / 2}^{h / 2} d_{11} (z) {(z - z_{0, x})}^{2} d z = \sum_{i = 1}^{n} d_{11, i} \frac{{(z_{m a x, i} - z_{0, x})}^{3} - {(z_{m i n, i} - z_{0, x})}^{3}}{3}$

沿 x 方向的惯性矩

$χ_{i} = d_{11, i} \frac{{(z_{m a x, i} - z_{0, x})}^{2}}{2} + \sum_{k = i + 1}^{n} d_{11, k} \frac{{(z_{m a x, i} - z_{0, x})}^{2} - {(z_{m i n, i} - z_{0, x})}^{2}}{2}$

每层等效刚度 (in x)

此处仅展示 x 方向（D44）的公式。y 方向的计算类似。等效刚度（Steiner 分量）对每一层进行计算。
最后，通过角度关系将针对总结构定向方向计算出的刚度反算回去，并以原始刚度 D44、D55 和 D45 的形式显示在刚度矩阵中。

$D_{44} = \cos^{2} (φ) D_{44}^{"} + \sin^{2} (φ) D_{55}^{"}$

重新计算的抗剪刚度 D44

$D_{55} = \sin^{2} (φ) D_{44}^{"} + \cos^{2} (φ) D_{55}^{"}$

重新计算的抗剪刚度 D55

$D_{45} = \sin (φ) \cos (φ) (D_{44}^{"} - D_{55}^{"})$

重新计算的抗剪刚度 D45

剪切刚度的提高

由于通过将层合板建模为面，也可以创建具有非常窄条带的几何形状，因此在计算此类问题几何形状时，必须相应地提高剪切刚度。

以下公式展示了 X 方向的情况。

D_{44}^{"} = \max (D_{44, calc}^{"}, \frac{48}{5 l ²} \frac{1}{\frac{1}{\sum_{i = 1}^{n} E_{x, i}^{"} \frac{t_{i}^{3}}{12}} - \frac{1}{\sum_{i = 1}^{n} E_{x, i}^{"} \frac{z_{\max, i}^{3} - z_{\min, i}^{3}}{3}}})

最大抗剪刚度

上述公式中的长度 l 是指可以覆盖相应几何形状的箱体的最短长度。

在"剪切刚度"模型中（见右侧栏），将宽度为 10 cm 的窄面与宽度为 20 cm 的相同面进行比较。

窄面的剪切刚度为 D44 = 15253 kN/m，而较宽面的 D44 = 5970.8 kN/m。在相同荷载下，较刚硬面的变形较小，而剪切荷载较大。

包含实体的多层结构刚度

将来在多层结构附加模块中，可以将实体与面一起定义。在这种类型中，同样会向 RFEM 导出一个面。由于刚度的生成和内力的分解更为复杂，因此将对此进行单独说明。

参考

正交胶合木（CLT）墙、楼板和屋顶的承重实木构件木材信息服务，柏林，2016
平面板结构：建模和计算板和板的基础知识
Jones, R. M.（无年份）。《复合材料力学》（第2版）。Taylor & Francis Inc.，费城。
Arnold, M.：“点支撑木板结构正交胶合木性能研究”，慕尼黑工业大学木结构与建筑施工研究小组博士论文，预计2023年。

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分析方法

模型

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多层模型

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抗剪刚度