Rigidez para superficies multicapa

Modelos de materiales

1. Los modelos de materiales son la base para la composición de superficies multicapa para obtener una rigidez superficial eficaz. El complemento Superficies multicapa le permite combinar libremente los modelos de materiales en el programa RFEM 6. La base de los modelos de materiales se describe en los capítulos Materiales y Comportamiento no lineal del material del manual de RFEM.

1. Se crea una selección de las combinaciones posibles de los modelos de materiales en el modelo "Modelos multicapa" (ver la columna de la derecha), que puede descargar para un estudio más detallado de las combinaciones.

1. La siguiente lista muestra una selección de las combinaciones posibles:
2. * Capas isótropas (p. ej. hormigón - acero)
3. * Capas ortótropas (p. ej. madera contralaminada)
4. * Isótropo - ortótropo (p. ej. acero - PRFV)
5. * Isótropo Plástico - Isótropo (p. ej. Hormigón - Acero)
6. * Isótropo elástico no lineal - ortótropo (p. ej. hormigón - madera)
7. * Isótropo - Ortótropo Plástico (p. ej. Hormigón - Madera)
8. * Daño isótropo - Ortótropo (p. ej. Hormigón - Madera)

1. #banner.text@Para la combinación de materiales no lineales, el -analyses/nonlinear-material-behavior Comportamiento no lineal del material debe estar activado.

1. == Rigideces para superficies multicapa sin sólidos ==

1. La opción de cálculo más simple en el complemento Superficies multicapa es definir diferentes capas de superficie en el tipo de espesor 'Capas' sin sólidos. Sin embargo, aquí también puede combinar libremente los modelos de material.

1. Una vez que se definen las capas, el complemento Superficies multicapa crea una matriz de rigidez global de la superficie. En RFEM, los esfuerzos internos y las deformaciones se calculan para esta superficie. En el complemento de cálculo respectivo, como Cálculo de madera o Análisis tensión-deformación, estos esfuerzos internos se dividen en las capas existentes. Normalmente, los esfuerzos internos se muestran como tres puntos de integración por posición.

1. 

   Proceso de cálculo para superficies multicapa

1. Este artículo explica cómo calcular la matriz de rigidez para materiales isótropos y ortótropos.

1. === Cálculo de la matriz de rigidez ===

1. Los modelos de materiales se basan en las siguientes condiciones (véase el capítulo Materiales del manual de RFEM):
2. * Todos los valores de rigidez ≥ 0
3. * La matriz de rigidez total de la superficie debe ser definida positiva.
4. * Ecuación básica isótropa:

1. $E=2G\left(1+\nu \right)$

   E	Módulo de elasticidad
   G	Módulo de cortante
   ν	Coeficiente de Poisson

   Módulo de elasticidad, módulo de cortante y coeficiente de Poisson
2. * Ecuación ortótropa básica:

1. $\frac{{\nu }_{yx}}{E_y}=\frac{{\nu }_{xy}}{E_x}$

   Relación de la deformación transversal

1. ==== Matriz de rigidez local de cada capa ====

1. * Isótropo
2. $d_i\text{'}=\left[\begin{array}{ccc}d{\text{'}}_{11,i}& d{\text{'}}_{12,i}& 0\\ & d{\text{'}}_{22,i}& 0\\ sym.& & d{\text{'}}_{33,i}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\frac{E_i}{1-{\nu }_i^2}& \frac{{\nu }_i{E}_i}{1-{\nu }_i^2}& 0\\ & \frac{E_i}{1-{\nu }_i^2}& 0\\ sym.& & G_i\end{array}\right] i=1,...,n mit G_i=\frac{E_i}{2\left(1+{\nu }_i\right)}$

   Rigidez de la capa de la matriz isótropa

1. * Ortótropo
2. $d_i\text{'}=\left[\begin{array}{ccc}d{\text{'}}_{11,i}& d{\text{'}}_{12,i}& 0\\ & d{\text{'}}_{22,i}& 0\\ sym.& & d{\text{'}}_{33,i}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\frac{E_{x,i}}{1-{\nu }_{xy,i}^2{\displaystyle \frac{E_{y,i}}{E_{x,i}}}}& \frac{{\nu }_{xy,i}{E}_{y,i}}{1-{\nu }_{xy,i}^2{\displaystyle \frac{E_{y,i}}{E_{x,i}}}}& 0\\ & \frac{E_{y,i}}{1-{\nu }_{xy,i}^2{\displaystyle \frac{E_{y,i}}{E_{x,i}}}}& 0\\ sym.& & G_{xy,i}\end{array}\right] i=1,...,n$

   Matriz de rigidez ortótropa

1. #banner.text@Para el material ortótropo, el módulo de cortante en el plano del panel (G_xy ) se define por medio de los valores del material, mientras que para el material isótropo se determina a partir del módulo de elasticidad y la deformación transversal. Por lo tanto, el coeficiente de Poisson' con el principio de "ubicación-causa" es importante para el material ortótropo.

1. Las rigideces a cortante para el material ortótropo son las siguientes:

1. #table.uni#
2. ancho=10 %|ancho=90 %
3. G_xy |Módulo de cortante en el plano del muro (p. ej. 690 N/mm² para C24)

_Gxz | Módulo de cortante en dirección x sobre el espesor (p. ej. 690 N/mm² para C24)
_Gyz | Módulo de cortante en dirección y sobre el espesor (p. ej. 690 N/mm² para C24), también llamado "módulo de cortante por rodadura".

1. Además, el material ortótropo tiene la característica especial de que se pueden definir las rigideces direccionales en una superficie. En el caso predeterminado, la orientación local de la superficie o capa en la dirección x corresponde a la rigidez en la dirección x. Sin embargo, dado que esto se puede definir libremente por medio del ángulo β en el tipo de espesor 'Capas', es necesario transformar las rigideces en consecuencia.

1. $d_i=\left[\begin{array}{ccc}{d}_{11,i}& d_{12,i}& d_{13,i}\\ & d_{22,i}& d_{23,i}\\ sym.& & d_{33,i}\end{array}\right]=T_{3x3,i}^{T}d{\text{'}}_i{T}_{3x3,i}$

   Rigidez de transformación

1. $T_{3x3,i}=\left[\begin{array}{ccc}c²& s²& cs\\ s²& c²& -cs\\ -2cs& 2cs& c²-s²\end{array}\right] mit c=\cos \left({\beta }_i\right), s=\sin \left({\beta }_i\right)$

   Matriz de transformación

1. Elemento sumado de cada capa:
2. $d_{11,i}=c^{4}d{\text{'}}_{11,i}+2c²s²d{\text{'}}_{12,i}+s^{4}d{\text{'}}_{22,i}+4c²s²d{\text{'}}_{33,i}$
   
   $d_{12,i}=c^2{s}^{2}d{\text{'}}_{11,i}+s^{4}d{\text{'}}_{12,i}+c^{4}d{\text{'}}_{12,i}+c²s²d{\text{'}}_{22,i}-4c²s²d{\text{'}}_{33,i}$
   
   $d_{13,i}=c^{3}sd{\text{'}}_{11,i}+c{s}^{3}d{\text{'}}_{12,i}-c^{3}sd{\text{'}}_{12,i}-c{s}^{3}d{\text{'}}_{22,i}-2c^{3}sd{\text{'}}_{33,i}+2c{s}^{3}d{\text{'}}_{33,i}$
   
   $d_{22,i}=s^{4}d{\text{'}}_{11,i}+2c²s²d{\text{'}}_{12,i}+c^{4}d{\text{'}}_{22,i}+4c²s²d{\text{'}}_{33,i}$
   
   $d_{23,i}=c{s}^{3}d{\text{'}}_{11,i}+c^{3}sd{\text{'}}_{12,i}-c{s}^{3}d{\text{'}}_{12,i}-c^{3}sd{\text{'}}_{22,i}+2c^{3}sd{\text{'}}_{33,i}-2c{s}^{3}d{\text{'}}_{33,i}$
   
   $d_{33,i}=c^2{s}^{2}d{\text{'}}_{11,i}-2c²s²d{\text{'}}_{12,i}+c^2{s}^{2}d{\text{'}}_{22,i}+{\left(c^2-s^2\right)}^{2}d{\text{'}}_{33,i}$

   Términos individuales por turno

1. === Elementos de flexión y torsión [Nm] ===

1. Los elementos de la matriz para flexión y torsión se dan en las siguientes ecuaciones.

1. $D_{11}=\sum _{i=1}^n\frac{z_{max,i}^3-z_{min,i}^3}{3}{d}_{11,i}$

   Rigidez a la flexión en x

1. $D_{12}=\sum _{i=1}^n\frac{z_{max,i}^3-z_{min,i}^3}{3}{d}_{12,i}$

   Término de excentricidad (12)

1. $D_{22}=\sum _{i=1}^n\frac{z_{max,i}^3-z_{min,i}^3}{3}{d}_{22,i}$

   Rigidez a la flexión en y

1. $D_{13}=\sum _{i=1}^n\frac{z_{max,i}^3-z_{min,i}^3}{3}{d}_{13,i}$

   Término de excentricidad (13)

1. $D_{23}=\sum _{i=1}^n\frac{z_{max,i}^3-z_{min,i}^3}{3}{d}_{23,i}$

   Término de excentricidad (23)

1. $D_{33}=\sum _{i=1}^n\frac{z_{max,i}^3-z_{min,i}^3}{3}{d}_{33,i}$

   rigidez a torsión

1. Si solo hay una capa del tipo de espesor 'Capas', el cálculo se basa en los parámetros descritos en el manual de RFEM]].

1. Para el cortante (elemento D44/55) se aplican ecuaciones diferentes en el tipo de espesor 'Capas'. Se describen en la sección Cortante en el plano de la losa.

1. === Términos de excentricidad [Nm/m] ===

1. Para placas asimétricas, surgen términos de excentricidad. Una superficie asimétrica puede ser, por ejemplo, en un cálculo de resistencia al fuego debido a la carbonización de un lado de una placa de madera contralaminada. Los elementos de la matriz son los siguientes:

1. $D_{16}=\sum _{i=1}^n\frac{z_{max,i}^2-z_{min,i}^2}{2}{d}_{11,i}$

   Elemento de excentricidad D16

1. $D_{17}=\sum _{i=1}^n\frac{z_{max,i}^2-z_{min,i}^2}{2}{d}_{12,i}$

   Elemento de excentricidad D17

1. $D_{18}=\sum _{i=1}^n\frac{z_{max,i}^2-z_{min,i}^2}{2}{d}_{13,i}$

   Elemento de excentricidad D18

1. $D_{27}=\sum _{i=1}^n\frac{z_{max,i}^2-z_{min,i}^2}{2}{d}_{22,i}$

   Elemento de excentricidad D27

1. $D_{28}=\sum _{i=1}^n\frac{z_{max,i}^2-z_{min,i}^2}{2}{d}_{23,i}$

   Elemento de excentricidad D28

1. $D_{38}=\sum _{i=1}^n\frac{z_{max,i}^2-z_{min,i}^2}{2}{d}_{33,i}$

   Elemento de excentricidad D38

1. === Plano de capa [N/m] ===

1. En el plano "Muro de panel", las rigideces normales se representan en el plano del panel de vidrio. El esfuerzo cortante en el panel se calcula utilizando el elemento D88. Los elementos de la matriz son los siguientes:

1. $D_{66}=\sum _{i=1}^n{t}_i{d}_{11,i}$

   Rigidez axial x D66

1. $D_{67}=\sum _{i=1}^n{t}_i{d}_{12,i}$

   Rigidez normal Excéntrica D67

1. $D_{68}=\sum _{i=1}^n{t}_i{d}_{13,i}$

   Rigidez normal Excéntrica D68

1. $D_{77}=\sum _{i=1}^n{t}_i{d}_{22,i}$

   Rigidez axial y D77

1. $D_{78}=\sum _{i=1}^n{t}_i{d}_{23,i}$

   Rigidez normal Excéntrica D78

1. $D_{88}=\sum _{i=1}^n{t}_i{d}_{33,i}$

   Placa a cortante D88

1. === Cortante en el plano de la losa [N/m] ===

1. Para determinar la rigidez a cortante para un material ortótropo, tiene que girar las rigideces según su orientación respecto al eje local de la superficie. Esto se debe hacer para cada capa del tipo de espesor 'Capas'. En una estructura de capas simple con una orientación de 0° de la capa de recubrimiento y una orientación de 90° de la capa subyacente, hay una rigidez a cortante alta, que se debe considerar en consecuencia para el modelo multicapa. La siguiente imagen (fuente [1]) muestra esto utilizando un ejemplo de una placa de madera contralaminada.

1. 

   Deformación a cortante (Fuente: Servicio de información de madera)

1. En la teoría laminada, la rigidez a cortante de una estructura en capas se calcula transformando todos los componentes de flexión y cortante en las direcciones respectivas de cada capa. Puede encontrar más información al respecto en la bibliografía que se detalla a continuación.

1. 

   Steifigkeitsorientierung

1. Al usar la transformación de la rigidez que se muestra en la figura, se suman las rigideces. Esta sumatoria también se conoce como la "integral de Grashoff".

1. $D_{44,calc}^{"}=\frac{1}{{\int }_{-t/2}^{t/2}{\displaystyle \frac{{\displaystyle G_{22}^{"}\left(z\right)}}{{\displaystyle G_{11}^{"}\left(z\right)G_{22}^{"}\left(z\right)-{G_{12}^{"}}^2\left(z\right)}}}{\left({\displaystyle \frac{{\int }_z^{t/2}{E}_x^{"}\left(\overline{z}\right)(\overline{z}-z_{0,x})d\overline{z}}{{\int }_{-t/2}^{t/2}{E}_x^{"}\left(\overline{z}\right){(\overline{z}-z_{0,x})}^{2}d\overline{z}}}\right)}^{2}dz}$

   Rigidez a cortante en dirección x

1. Para calcular la rigidez en las direcciones x e y, se calcula un centro de gravedad de la rigidez para cada estructura de una superficie multicapa.

1. $z_{0,x}=\frac{{\int }_{-t/2}^{t/2}{E}_x^{"}\left(\overline{z}\right)\overline{z}d\overline{z}}{{\int }_{-t/2}^{t/2}{E}_x^{"}\left(\overline{z}\right)d\overline{z}}=\frac{I_1}{I_0}$

   Centro de rigidez en x

1. $D_{55,calc}^{"}=\frac{1}{{\int }_{-t/2}^{t/2}{\displaystyle \frac{G_{11}^{"}\left(z\right)}{G_{11}^{"}\left(z\right)G_{22}^{"}\left(z\right)-{G_{12}^{"}}^2\left(z\right)}}{\left({\displaystyle \frac{{\int }_z^{t/2}{E}_y^{"}\left(\overline{z}\right)(\overline{z}-z_{0,x})d\overline{z}}{{\int }_{-t/2}^{t/2}{E}_y^{"}\left(\overline{z}\right){(\overline{z}-z_{0,x})}^{2}d\overline{z}}}\right)}^{2}dz}$

   Rigidez a cortante en dirección y

1. Centro de rigidez en dirección y:
2. $z_{0,x}=\frac{{\int }_{-t/2}^{t/2}{E}_y^{"}\left(\overline{z}\right)\overline{z}d\overline{z}}{{\int }_{-t/2}^{t/2}{E}_y^{"}\left(\overline{z}\right)d\overline{z}}=\frac{I_1}{I_0}$

   Centro de rigidez en dirección y

1. Para determinar la orientación por posición en el cálculo de la rigidez a cortante, las rigideces se determinan según las siguientes ecuaciones.

1. $G_{11,i}^{"}={\cos }^2(\phi -{ß}_i)G_{xz,i}+{\sin }^2(\phi -{ß}_i)G_{yz,i}$

   Rigidez a cortante orientada G11

1. G representa la rigidez a cortante de las capas para evitar errores para los elementos de la matriz de rigidez (D).

1. La rigidez a cortante de cada capa también se puede mostrar en forma de matriz como a continuación:

1. $\left[\begin{array}{cc}{G}_{11}& G_{12}\\ G_{21}& G_{22}\end{array}\right]$

   Matriz de rigidez a cortante

1. $G_{22,i}^{"}={\sin }^2(\phi -{ß}_i)G_{xz,i}+{\cos }^2(\phi -{ß}_i)G_{yz,i}$

   Rigidez a cortante orientada G22

1. La rigidez a cortante excéntrica en la siguiente ecuación siempre sería cero y, por lo tanto, irrelevante para la estructura simétrica de madera contralaminada (0°/90°/0°) mencionada anteriormente. En el caso de la madera contralaminada encolada diagonalmente DLT ( Diagonal Laminated Timber ), por ejemplo, este elemento de excentricidad no es nulo y, por lo tanto, juega un papel importante.

1. $G_{12}^{"}=(G_{xz,i}-G_{yz,i})\sin (\phi -{ß}_i)\cos (\phi -{ß}_i)$

   Rigidez a cortante orientada excéntrica G12

1. Puede encontrar más información en [4] y en este vídeo de YouTube.

1. ==== Cálculo de la rigidez a cortante ====

1. La rigidez a cortante se determina en los siguientes pasos:

1. #Primero, se determina el ángulo de máxima rigidez. El ángulo φ muestra la modificación del sistema de coordenadas local x de la superficie con respecto a la dirección orientada x .
2. #Todas las rigideces se giran en la dirección orientada ''x'' según las ecuaciones presentadas anteriormente .
3. #La matriz de rigidez del panel de cada capa (3 x 3) se transforma del sistema de coordenadas local x', y' al sistema girado x'', y" . Además de calcular la rigidez a cortante dirigida de cada capa individual, esto también se realiza para los módulos de elasticidad de cada capa.
   $E_{x,i}^{"}=d_{12,i}^{"}+\frac{2d_{12,i}^{"}{d}_{13,i}^{"}{d}_{23,i}^{"}-d_{22,i}^{"}{\left(d_{13,i}^{"}\right)}^2-d_{33,i}^{"}{\left(d_{12,i}^{"}\right)}^2}{d_{22,i}^{"}{d}_{33,i}^{"}-{\left(d_{23,i}^{"}\right)}^2}$

   Módulo de elasticidad orientado en dirección x
   $E_{y,i}^{"}=d_{22,i}^{"}+\frac{2d_{12,i}^{"}{d}_{13,i}^{"}{d}_{23,i}^{"}-d_{11,i}^{"}{\left(d_{23,i}^{"}\right)}^2-d_{33,i}^{"}{\left(d_{12,i}^{"}\right)}^2}{d_{11,i}^{"}{d}_{33,i}^{"}-{\left(d_{13,i}^{"}\right)}^2}$

   Módulo de elasticidad orientado en dirección y
4. #La rigidez a cortante se calcula con las ecuaciones (integral de Grashoff) descritas anteriormente. La rigidez a cortante se calcula utilizando las partes individuales.
   $I={\int }_{-h/2}^{h/2}{d}_{11}\left(z\right){(z-z_{0,x})}^{2}dz=\sum _{i=1}^n{d}_{11,i}\frac{{(z_{max,i}-z_{0,x})}^3-{(z_{min,i}-z_{0,x})}^3}{3}$

   Segundo momento de inercia en dirección x
   ${\chi }_i=d_{11,i}\frac{{(z_{max,i}-z_{0,x})}^2}{2}+\sum _{k=i+1}^n{d}_{11,k}\frac{{(z_{max,i}-z_{0,x})}^2-{(z_{min,i}-z_{0,x})}^2}{2}$

   Rigidez equivalente por capa (en x)
   Aquí, las ecuaciones solo se muestran para la dirección x (D44). Lo mismo se aplica a la dirección y. La rigidez equivalente (componente de Stinter) se calcula para cada capa.
5. #Finalmente, las rigideces calculadas para la dirección orientada de toda la estructura se vuelven a calcular utilizando las relaciones angulares y se muestran como las rigideces originales D44, D55 y D45 en la matriz de rigidez.
   $D_{44}={\cos }^2\left(\phi \right)D_{44}^{"}+{\sin }^2\left(\phi \right)D_{55}^{"}$

   Rigidez a cortante recalculada D44
   $D_{55}={\sin }^2\left(\phi \right)D_{44}^{"}+{\cos }^2\left(\phi \right)D_{55}^{"}$

   Rigidez a cortante recalculada D55
   $D_{45}=\sin \left(\phi \right)\cos \left(\phi \right)(D_{44}^{"}-D_{55}^{"})$

   Rigidez a cortante recalculada D45