Manuales en línea RFEM 6 | Superficies multicapa

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Dipl.-Ing. (FH) Bastian Kuhn

19-10-2023

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Complemento Superficies multicapa

Teoría

Datos

Resultados

Ejemplos de cálculo

Rigideces para superficies multicapa

Modelos de material

La base para la composición de superficies multicapa en una rigidez de superficie efectiva son los modelos de material. Con el Add-On Superficies multicapa, los modelos de material se pueden combinar libremente en el programa RFEM 6. Los fundamentos de los modelos de material se describen en los capítulos Materiales y Comportamiento material no lineal del manual de RFEM.

Una selección de las posibilidades de combinación de los modelos de material se ha creado en el modelo "Modelos multicapa" (véase la columna derecha), que puede descargar para estudiar más a fondo las combinaciones.

La siguiente lista muestra una selección de combinaciones posibles:

Capas isotrópicas (p. ej., hormigón - acero)
Capas ortótropas (p. ej., madera contralaminada)
Isotrópico - ortótropo (p. ej., acero - PRFV)
Isotrópico plástico - isotrópico (p. ej., hormigón - acero)
Isotrópico no lineal elástico - ortótropo (p. ej., hormigón - madera)
Isotrópico - ortótropo plástico (p. ej., hormigón - madera)
Isotrópico con daño - ortótropo (p. ej., hormigón - madera)

Importante

Para la combinación de materiales no lineales, debe estar activado el Add-On Comportamiento material no lineal.

Rigideces en superficies multicapa sin sólido

La variante de cálculo más sencilla en el Add-On Superficies multicapa consiste en definir diferentes capas de superficie en el tipo de espesor 'Capas' sin sólido. Pero también aquí se pueden combinar libremente los modelos de material.

Una vez definidas las capas, el Add-On Superficies multicapa genera una matriz de rigidez global de la superficie. En RFEM se calculan para esta superficie los esfuerzos internos y las deformaciones. En el Add-On de cálculo correspondiente, por ejemplo cálculo de madera o análisis tensión-deformación, estos esfuerzos internos se reparten entonces en las capas existentes. Normalmente, los esfuerzos internos se muestran en tres puntos de integración por posición.

Flujo de cálculo para superficies multicapa

A continuación se explica el cálculo de la matriz de rigidez para material isotrópico y ortótropo.

Cálculo de la matriz de rigidez

Como fundamentos de los modelos de material se aplican las siguientes condiciones (véase también el capítulo Materiales del manual de RFEM):

Todos los valores de rigidez ≥ 0
La matriz de rigidez global de la superficie debe ser definida positiva.
Ecuación fundamental isotrópica:

E = 2 G (1 + ν)

E	Módulo de elasticidad
G	Módulo de cortante
ν	deformación transversal

Módulo de elasticidad, módulo de cortante y coeficiente de Poisson

Ecuación fundamental ortótropa:

\frac{ν_{y x}}{E_{y}} = \frac{ν_{x y}}{E_{x}}

Relación de la deformación transversal

Matriz de rigidez local de cada capa

Isotrópico

d_{i}' = [\begin{matrix} d'_{11, i} & d'_{12, i} & 0 \\ d'_{22, i} & 0 \\ s y m . & d'_{33, i} \end{matrix}] = [\begin{matrix} \frac{E_{i}}{1 - ν_{i}^{2}} & \frac{ν_{i} E_{i}}{1 - ν_{i}^{2}} & 0 \\ \frac{E_{i}}{1 - ν_{i}^{2}} & 0 \\ s y m . & G_{i} \end{matrix}] i = 1, . . ., n m i t G_{i} = \frac{E_{i}}{2 (1 + ν_{i})}

Rigidez de la capa de la matriz isótropa

Ortótropo

d_{i}' = [\begin{matrix} d'_{11, i} & d'_{12, i} & 0 \\ d'_{22, i} & 0 \\ s y m . & d'_{33, i} \end{matrix}] = [\begin{matrix} \frac{E_{x, i}}{1 - ν_{x y, i}^{2} \frac{E_{y, i}}{E_{x, i}}} & \frac{ν_{x y, i} E_{y, i}}{1 - ν_{x y, i}^{2} \frac{E_{y, i}}{E_{x, i}}} & 0 \\ \frac{E_{y, i}}{1 - ν_{x y, i}^{2} \frac{E_{y, i}}{E_{x, i}}} & 0 \\ s y m . & G_{x y, i} \end{matrix}] i = 1, . . ., n

Matriz de rigidez ortótropa

Información

En el material ortótropo, el módulo de cortante en el plano del muro (G_xy) se define mediante las propiedades del material, mientras que en el material isotrópico se determina a partir del módulo de elasticidad y de la deformación transversal. Por ello, en el material ortótropo es importante la relación de deformación transversal según el principio "locus-causa".

Las rigideces a cortante para material ortótropo son las siguientes:

G_xy	Módulo de cortante en el plano del muro (p. ej., 690 N/mm² para C24)
G_xz	Módulo de cortante en dirección x a través del espesor (p. ej., 690 N/mm² para C24)
G_yz	Módulo de cortante en dirección y a través del espesor (p. ej., 690 N/mm² para C24) – también denominado "módulo de cortante de rodillo"

En el material ortótropo existe además la particularidad de que se pueden definir rigideces direccionales en una superficie. En el caso estándar, la orientación local de la superficie o capa en dirección x corresponde a la rigidez en dirección x. Dado que esta puede definirse libremente mediante el ángulo β en el tipo de espesor 'Capas', es necesario transformar las rigideces correspondientemente.

d_{i} = [\begin{matrix} d_{11, i} & d_{12, i} & d_{13, i} \\ d_{22, i} & d_{23, i} \\ s y m . & d_{33, i} \end{matrix}] = T_{3 x 3, i}^{T} d'_{i} T_{3 x 3, i}

Rigidez de transformación

T_{3 x 3, i} = [\begin{matrix} c ² & s ² & c s \\ s ² & c ² & - c s \\ - 2 c s & 2 c s & c ² - s ² \end{matrix}] m i t c = \cos (β_{i}), s = \sin (β_{i})

Matriz de transformación

Elemento sumado de cada capa:

d_{11, i} = c^{4} d'_{11, i} + 2 c ² s ² d'_{12, i} + s^{4} d'_{22, i} + 4 c ² s ² d'_{33, i}

d_{12, i} = c^{2} s^{2} d'_{11, i} + s^{4} d'_{12, i} + c^{4} d'_{12, i} + c ² s ² d'_{22, i} - 4 c ² s ² d'_{33, i}

d_{13, i} = c^{3} s d'_{11, i} + c s^{3} d'_{12, i} - c^{3} s d'_{12, i} - c s^{3} d'_{22, i} - 2 c^{3} s d'_{33, i} + 2 c s^{3} d'_{33, i}

d_{22, i} = s^{4} d'_{11, i} + 2 c ² s ² d'_{12, i} + c^{4} d'_{22, i} + 4 c ² s ² d'_{33, i}

d_{23, i} = c s^{3} d'_{11, i} + c^{3} s d'_{12, i} - c s^{3} d'_{12, i} - c^{3} s d'_{22, i} + 2 c^{3} s d'_{33, i} - 2 c s^{3} d'_{33, i}

d_{33, i} = c^{2} s^{2} d'_{11, i} - 2 c ² s ² d'_{12, i} + c^{2} s^{2} d'_{22, i} + {(c^{2} - s^{2})}^{2} d'_{33, i}

Términos individuales por turno

Elementos de flexión y torsión [Nm]

Los elementos de matriz para flexión y torsión se indican en las siguientes ecuaciones.

D_{11} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{3} - z_{m i n, i}^{3}}{3} d_{11, i}

Rigidez a la flexión en x

D_{12} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{3} - z_{m i n, i}^{3}}{3} d_{12, i}

Término de excentricidad (12)

D_{22} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{3} - z_{m i n, i}^{3}}{3} d_{22, i}

Rigidez a la flexión en y

D_{13} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{3} - z_{m i n, i}^{3}}{3} d_{13, i}

Término de excentricidad (13)

D_{23} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{3} - z_{m i n, i}^{3}}{3} d_{23, i}

Término de excentricidad (23)

D_{33} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{3} - z_{m i n, i}^{3}}{3} d_{33, i}

rigidez a torsión

Si solo hay una capa en el tipo de espesor 'Capas', el cálculo se realiza según las ecuaciones explicadas en el manual de RFEM.

Para el cortante (elementos D44/55) se aplican en el tipo de espesor 'Capas' otras ecuaciones. Se presentan en el apartado Cortante en el plano de la placa.

Términos de excentricidad [Nm/m]

En placas asimétricas surgen términos de excentricidad. Una superficie asimétrica puede darse, por ejemplo, en el cálculo de protección contra incendios debido a una carbonización unilateral de un panel de madera contralaminada. Los elementos de matriz son los siguientes:

D_{16} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{2} - z_{m i n, i}^{2}}{2} d_{11, i}

Elemento de excentricidad D16

D_{17} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{2} - z_{m i n, i}^{2}}{2} d_{12, i}

Elemento de excentricidad D17

D_{18} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{2} - z_{m i n, i}^{2}}{2} d_{13, i}

Elemento de excentricidad D18

D_{27} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{2} - z_{m i n, i}^{2}}{2} d_{22, i}

Elemento de excentricidad D27

D_{28} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{2} - z_{m i n, i}^{2}}{2} d_{23, i}

Elemento de excentricidad D28

D_{38} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{2} - z_{m i n, i}^{2}}{2} d_{33, i}

Elemento de excentricidad D38

Plano del muro [N/m]

En el plano del muro se tratan las rigideces normales en el plano del muro. Con el elemento D88 se calcula el cortante del muro, es decir, el esfuerzo cortante en el muro. Los elementos de matriz son los siguientes:

D_{66} = \sum_{i = 1}^{n} t_{i} d_{11, i}

Rigidez axial x D66

D_{67} = \sum_{i = 1}^{n} t_{i} d_{12, i}

Rigidez normal Excéntrica D67

D_{68} = \sum_{i = 1}^{n} t_{i} d_{13, i}

Rigidez normal Excéntrica D68

D_{77} = \sum_{i = 1}^{n} t_{i} d_{22, i}

Rigidez axial y D77

D_{78} = \sum_{i = 1}^{n} t_{i} d_{23, i}

Rigidez normal Excéntrica D78

D_{88} = \sum_{i = 1}^{n} t_{i} d_{33, i}

Placa a cortante D88

Cortante en el plano de la placa [N/m]

Para determinar la rigidez a cortante, en un material ortótropo las rigideces deben girarse según su orientación respecto al eje local de la superficie. Esto debe realizarse para cada posición del tipo de espesor 'Capas'. En una estructura de capas sencilla con orientación de 0° de la capa superior y orientación de 90° de la capa subyacente, resulta una gran flexibilidad a cortante que debe considerarse correspondientemente en el modelo multicapa. En la siguiente imagen (fuente [1]) se muestra esto en el ejemplo de un panel de madera contralaminada.

Ilustración de una deformación por cortante en madera contralaminada proporcionada por Informationsdienst Holz

Deformación por corte (Fuente: Informationsdienst Holz)

En la teoría de laminados, la rigidez a cortante de una estructura estratificada se calcula mediante la transformación de todos los componentes de flexión y cortante en las direcciones correspondientes de cada posición. Encontrará más información al respecto, entre otros, en la literatura indicada más abajo.

Visualización de la orientación de los ejes de rigidez en un laminado para la optimización de las propiedades del material.

Orientación de rigidez

Mediante la transformación de la rigidez representada en la imagen se suman las rigideces. Esta sumatoria también se conoce con el término "integral de Grashoff".

D_{44, c a l c}^{"} = \frac{1}{\int_{- t / 2}^{t / 2} \frac{G_{22}^{"} (z)}{G_{11}^{"} (z) G_{22}^{"} (z) - {G_{12}^{"}}^{2} (z)} {(\frac{\int_{z}^{t / 2} E_{x}^{"} (\bar{z}) (\bar{z} - z_{0, x}) d \bar{z}}{\int_{- t / 2}^{t / 2} E_{x}^{"} (\bar{z}) {(\bar{z} - z_{0, x})}^{2} d \bar{z}})}^{2} d z}

Rigidez a cortante en dirección x

Para el cálculo de la rigidez en dirección x e y, se calcula para cada estructura de una superficie multicapa un denominado centro de gravedad de rigidez.

z_{0, x} = \frac{\int_{- t / 2}^{t / 2} E_{x}^{"} (z) z d z}{\int_{- t / 2}^{t / 2} E_{x}^{"} (z) d z} = \frac{I_{1}}{I_{0}}

Centro de rigidez en x

D_{55, c a l c}^{"} = \frac{1}{\int_{- t / 2}^{t / 2} \frac{G_{11}^{"} (z)}{G_{11}^{"} (z) G_{22}^{"} (z) - {G_{12}^{"}}^{2} (z)} {(\frac{\int_{z}^{t / 2} E_{y}^{"} (\bar{z}) (\bar{z} - z_{0, x}) d \bar{z}}{\int_{- t / 2}^{t / 2} E_{y}^{"} (\bar{z}) {(\bar{z} - z_{0, x})}^{2} d \bar{z}})}^{2} d z}

Rigidez a cortante en dirección y

Centro de gravedad de rigidez en dirección y:

z_{0, x} = \frac{\int_{- t / 2}^{t / 2} E_{y}^{"} (z) z d z}{\int_{- t / 2}^{t / 2} E_{y}^{"} (z) d z} = \frac{I_{1}}{I_{0}}

Centro de rigidez en dirección y

Para considerar en el cálculo de la rigidez a cortante la orientación de cada posición, las rigideces se registran según las siguientes ecuaciones.

G_{11, i}^{"} = \cos^{2} (φ - ß_{i}) G_{x z, i} + \sin^{2} (φ - ß_{i}) G_{y z, i}

Rigidez a cortante orientada G11

G representa aquí la rigidez a cortante de las capas, para evitar una confusión con los elementos de la matriz de rigidez (D).

También la rigidez a cortante de cada posición puede representarse en forma matricial de la siguiente manera:

[\begin{matrix} G_{11} & G_{12} \\ G_{21} & G_{22} \end{matrix}]

Matriz de rigidez a cortante

G_{22, i}^{"} = \sin^{2} (φ - ß_{i}) G_{x z, i} + \cos^{2} (φ - ß_{i}) G_{y z, i}

Rigidez a cortante orientada G22

La rigidez a cortante excéntrica en la siguiente ecuación sería siempre nula para la estructura simétrica mencionada al principio de una madera contralaminada (0°/90°/0°) y, por tanto, no relevante. Sin embargo, en una madera contralaminada DLT encolada diagonalmente (Diagonal Laminated Timber), este término de excentricidad no es nulo y, por lo tanto, desempeña un papel importante.

G_{12}^{"} = (G_{x z, i} - G_{y z, i}) \sin (φ - ß_{i}) \cos (φ - ß_{i})

Rigidez a cortante orientada excéntrica G12

Encontrará más información, entre otros, en [4] y en un vídeo de YouTube.

Cálculo de la rigidez a cortante

La rigidez a cortante se determina en los siguientes pasos:

En primer lugar, se determina el ángulo de la rigidez máxima. El ángulo φ muestra el cambio del sistema de coordenadas local x de la superficie hacia la dirección orientada x".
Todas las rigideces se giran según las ecuaciones presentadas anteriormente hacia la dirección orientada x".
La matriz de rigidez del muro de cada posición (3 x 3) se transforma del sistema de coordenadas local x', y' al sistema girado x", y". Además del cálculo de la rigidez a cortante direccional de cada capa individual, esto también se realiza para los módulos de elasticidad de cada capa.

$E_{x, i}^{"} = d_{12, i}^{"} + \frac{2 d_{12, i}^{"} d_{13, i}^{"} d_{23, i}^{"} - d_{22, i}^{"} {(d_{13, i}^{"})}^{2} - d_{33, i}^{"} {(d_{12, i}^{"})}^{2}}{d_{22, i}^{"} d_{33, i}^{"} - {(d_{23, i}^{"})}^{2}}$

Módulo de elasticidad orientado en dirección x

$E_{y, i}^{"} = d_{22, i}^{"} + \frac{2 d_{12, i}^{"} d_{13, i}^{"} d_{23, i}^{"} - d_{11, i}^{"} {(d_{23, i}^{"})}^{2} - d_{33, i}^{"} {(d_{12, i}^{"})}^{2}}{d_{11, i}^{"} d_{33, i}^{"} - {(d_{13, i}^{"})}^{2}}$

Módulo de elasticidad orientado en dirección y
La rigidez a cortante se calcula con las ecuaciones descritas anteriormente (integral de Grashoff). La rigidez a cortante se calcula a partir de los componentes individuales.

$I = \int_{- h / 2}^{h / 2} d_{11} (z) {(z - z_{0, x})}^{2} d z = \sum_{i = 1}^{n} d_{11, i} \frac{{(z_{m a x, i} - z_{0, x})}^{3} - {(z_{m i n, i} - z_{0, x})}^{3}}{3}$

Segundo momento de inercia en dirección x

$χ_{i} = d_{11, i} \frac{{(z_{m a x, i} - z_{0, x})}^{2}}{2} + \sum_{k = i + 1}^{n} d_{11, k} \frac{{(z_{m a x, i} - z_{0, x})}^{2} - {(z_{m i n, i} - z_{0, x})}^{2}}{2}$

Rigidez equivalente por capa (en x)

Aquí se muestran las ecuaciones solo para la dirección x (D44). Para la dirección y, esto se aplica de forma análoga. La rigidez equivalente (componente de Steiner) se calcula para cada posición.
Las rigideces calculadas para la dirección orientada de una estructura completa se recalculan finalmente mediante las relaciones angulares y se indican como rigideces originarias D44, D55 y D45 en la matriz de rigidez.

$D_{44} = \cos^{2} (φ) D_{44}^{"} + \sin^{2} (φ) D_{55}^{"}$

Rigidez a cortante recalculada D44

$D_{55} = \sin^{2} (φ) D_{44}^{"} + \cos^{2} (φ) D_{55}^{"}$

Rigidez a cortante recalculada D55

$D_{45} = \sin (φ) \cos (φ) (D_{44}^{"} - D_{55}^{"})$

Rigidez a cortante recalculada D45

Aumento de la rigidez a cortante

Dado que mediante el modelado de laminados como superficie también son posibles geometrías con bandas de superficie muy estrechas, al calcular tales geometrías problemáticas debe aumentarse correspondientemente la rigidez a cortante.

En la siguiente ecuación se muestra esto para la dirección X.

D_{44}^{"} = \max (D_{44, calc}^{"}, \frac{48}{5 l ²} \frac{1}{\frac{1}{\sum_{i = 1}^{n} E_{x, i}^{"} \frac{t_{i}^{3}}{12}} - \frac{1}{\sum_{i = 1}^{n} E_{x, i}^{"} \frac{z_{\max, i}^{3} - z_{\min, i}^{3}}{3}}})

Rigidez a cortante máxima

La longitud l en la ecuación anterior significa aquí la longitud más corta de una caja que puede colocarse sobre la geometría correspondiente.

En el modelo "Rigidez a cortante" (véase la columna derecha) se compara una superficie estrecha de un ancho de 10 cm con una superficie idéntica de 20 cm.

La rigidez a cortante de la superficie estrecha es de D44 = 15253 kN/m frente a D44 = 5970,8 kN/m de la superficie más ancha. Con una carga idéntica, la deformación de la superficie más rígida es menor y la carga de cortante mayor.

Rigideces en superficies multicapa con sólidos integrados

En el futuro será posible en el Add-On Superficies multicapa definir sólidos junto con superficies. En este tipo también se exporta una superficie a RFEM. Dado que la generación de las rigideces y la descomposición de los esfuerzos internos es más laboriosa, esto se explica por separado.

Referencias

Construcción con madera contralaminada, elementos de madera maciza portantes para paredes, techos y tejados.
Estructuras superficiales planas: fundamentos del modelado y cálculo de muros y losas
Jones, R. M. (s.f.). Mechanics of Composite Materials (2ª ed.). Taylor & Francis Inc., Filadelfia.
Arnold, M.: "Propiedades mecánicas de la madera laminada diagonalmente (DLT) con respecto a las losas de madera maciza apoyadas en punto". Tesis doctoral en elaboración. Cátedra de Estructuras de madera y construcción de edificios, Universidad Técnica de Múnich, 2023.

Capítulo principal

Teoría

Modelo

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Modelos multicapa

Modelo multicapa en rigidizador a cortante

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rigidez a cortante