Tuhosti pro vícevrstvé plochy

Materiálové modely

1. Materiálové modely jsou základem pro skládání vícevrstvých ploch pro získání účinné tuhosti plochy. Addon Vícevrstvé plochy umožňuje libovolně kombinovat materiálové modely v programu RFEM 6. Základy materiálových modelů jsou popsány v kapitolách Materials a Nelineární chování materiálu manuálu k programu RFEM.

1. Výběr možných kombinací materiálových modelů se vytvoří v modelu "Vícevrstvé modely" (viz sloupec vpravo), který si můžete stáhnout pro další studium kombinací.

1. Následující seznam ukazuje výběr možných kombinací:
2. * Izotropní vrstvy (např. beton - ocel)
3. * Ortotropní vrstvy (např. křížem lepené dřevo)
4. * Izotropní - ortotropní (např. ocel - sklolaminát)
5. * Izotropní plastický - izotropní (např. beton - ocel)
6. * Izotropní nelineární elastický - ortotropní (např. beton - dřevo)
7. * Izotropní - ortotropní plastický (např. beton - dřevo)
8. * Izotropní poškození - ortotropní (např. beton - dřevo)

1. #banner.text@Pro kombinace nelineárních materiálů se použije -analyses/nonlinear-material-behavior Nelineární chování materiálu by mělo být aktivováno.

1. == Tuhosti pro vícevrstvé plochy bez těles ==

1. Jednodušší možností výpočtu v addonu Vícevrstvé plochy je zadání různých plošných vrstev v typu tloušťky 'Vrstvy' bez těles. Materiálové modely zde ovšem můžete libovolně kombinovat.

1. Jakmile jsou vrstvy definovány, vytvoří addon Vícevrstvé plochy globální matici tuhosti plochy. V programu RFEM se pro tuto plochu spočítají vnitřní síly a deformace. V příslušném addonu pro posouzení, jako je Posouzení dřevěných konstrukcí nebo Analýza napětí-přetvoření, se pak tyto vnitřní síly rozdělí do existujících vrstev. Obvykle se vnitřní síly zobrazí jako tři integrační body pro každou pozici.

1. 

   Proces výpočtu pro vícevrstvé plochy

1. V tomto příspěvku vysvětlíme, jak vypočítat matici tuhosti pro izotropní a ortotropní materiály.

1. === Výpočet matice tuhosti ===

1. Materiálové modely vycházejí z následujících podmínek (viz kapitola Materiály manuálu k programu RFEM):
2. * Všechny hodnoty tuhosti ≥ 0
3. * Celková matice tuhosti plochy musí být kladně definitní.
4. * Základní rovnice izotropní:

1. $E=2G\left(1+\nu \right)$

   E	modul pružnosti
   G	smykový modul
   ν	Poissonův součinitel

   Modul pružnosti, Smykový modul a Poissonův poměr
2. * Základní ortotropní rovnice:

1. $\frac{{\nu }_{yx}}{E_y}=\frac{{\nu }_{xy}}{E_x}$

   Vztah příčného přetvoření

1. ==== Lokální matice tuhosti pro každou vrstvu ====

1. * Izotropní
2. $d_i\text{'}=\left[\begin{array}{ccc}d{\text{'}}_{11,i}& d{\text{'}}_{12,i}& 0\\ & d{\text{'}}_{22,i}& 0\\ sym.& & d{\text{'}}_{33,i}\end{array},),=,\left[\begin{array}{ccc}\frac{E_i}{1-{\nu }_i^2}& \frac{{\nu }_i{E}_i}{1-{\nu }_i^2}& 0\\ & \frac{E_i}{1-{\nu }_i^2}& 0\\ sym.& & G_i\end{array},), ,i,=,1,,,.,.,.,,,n, ,m,i,t, ,G_i,=,\frac{E_i}{2\left(1+{\nu }_i\right)}\right]\right]$

   Vrstva matice tuhosti izotropní

1. * Ortotropní
2. $d_i\text{'}=\left[\begin{array}{ccc}d{\text{'}}_{11,i}& d{\text{'}}_{12,i}& 0\\ & d{\text{'}}_{22,i}& 0\\ sym.& & d{\text{'}}_{33,i}\end{array},),=,\left[\begin{array}{ccc}\frac{E_{x,i}}{1-{\nu }_{xy,i}^2{\displaystyle \frac{E_{y,i}}{E_{x,i}}}}& \frac{{\nu }_{xy,i}{E}_{y,i}}{1-{\nu }_{xy,i}^2{\displaystyle \frac{E_{y,i}}{E_{x,i}}}}& 0\\ & \frac{E_{y,i}}{1-{\nu }_{xy,i}^2{\displaystyle \frac{E_{y,i}}{E_{x,i}}}}& 0\\ sym.& & G_{xy,i}\end{array},), ,i,=,1,,,.,.,.,,,n\right]\right]$

   Vrstva matrice tuhosti ortotropní

1. #banner.text@U ortotropního materiálu se smykový modul v rovině tabule (G_xy ) stanoví pomocí hodnot materiálu, zatímco u izotropního materiálu se stanoví z modulu pružnosti a příčného protažení. Proto je pro ortotropní materiál důležitý Poissonův' součinitel podle principu „location-cause“.

1. Smyková tuhost pro ortotropní materiál je následující:

1. #table.uni#
2. šířka=10%|šířka=90%
3. G_xy |Smykový modul v rovině stěny (např. 690 N/mm² pro C24)
4. G_xz | Smykový modul ve směru x přes tloušťku (např. 690 N/mm² pro C24)
5. G_yz | Smykový modul ve směru y přes tloušťku (např. 690 N/mm² pro C24) - také nazývaný "modul valivého smyku".

1. Kromě toho má ortotropní materiál tu výhodu, že v ploše lze definovat směrovou tuhost. Ve standardním případě odpovídá lokální orientace plochy nebo vrstvy ve směru x tuhosti ve směru x. Vzhledem k tomu, že to lze libovolně definovat pomocí úhlu β v typu tloušťky 'Vrstvy', je třeba tuhosti odpovídajícím způsobem transformovat.

1. $d_i=\left[\begin{array}{ccc}{d}_{11,i}& d_{12,i}& d_{13,i}\\ & d_{22,i}& d_{23,i}\\ sym.& & d_{33,i}\end{array},),=,T_{3x3,i}^T,d,{\text{'}}_i,T_{3x3,i}\right]$

   Transformační tuhosti

1. $T_{3x3,i}=\left[\begin{array}{ccc}c²& s²& cs\\ s²& c²& -cs\\ -2cs& 2cs& c²-s²\end{array},), ,m,i,t, ,c,=,\cos ,(,{\beta }_i,),,, ,s,=,\sin ,(,{\beta }_i,)\right]$

   Transformační matice

1. Součet prvků každé vrstvy:
2. $d_{11,i}=c^{4}d{\text{'}}_{11,i}+2c²s²d{\text{'}}_{12,i}+s^{4}d{\text{'}}_{22,i}+4c²s²d{\text{'}}_{33,i}$
   
   $d_{12,i}=c^2{s}^{2}d{\text{'}}_{11,i}+s^{4}d{\text{'}}_{12,i}+c^{4}d{\text{'}}_{12,i}+c²s²d{\text{'}}_{22,i}-4c²s²d{\text{'}}_{33,i}$
   
   $d_{13,i}=c^{3}sd{\text{'}}_{11,i}+c{s}^{3}d{\text{'}}_{12,i}-c^{3}sd{\text{'}}_{12,i}-c{s}^{3}d{\text{'}}_{22,i}-2c^{3}sd{\text{'}}_{33,i}+2c{s}^{3}d{\text{'}}_{33,i}$
   
   $d_{22,i}=s^{4}d{\text{'}}_{11,i}+2c²s²d{\text{'}}_{12,i}+c^{4}d{\text{'}}_{22,i}+4c²s²d{\text{'}}_{33,i}$
   
   $d_{23,i}=c{s}^{3}d{\text{'}}_{11,i}+c^{3}sd{\text{'}}_{12,i}-c{s}^{3}d{\text{'}}_{12,i}-c^{3}sd{\text{'}}_{22,i}+2c^{3}sd{\text{'}}_{33,i}-2c{s}^{3}d{\text{'}}_{33,i}$
   
   $d_{33,i}=c^2{s}^{2}d{\text{'}}_{11,i}-2c²s²d{\text{'}}_{12,i}+c^2{s}^{2}d{\text{'}}_{22,i}+{\left(}^{c^2-s^2}d{\text{'}}_{33,i}$

   Jednotlivé termíny za směnu

1. === Ohybové a torzní prvky [Nm] ===

1. Prvky matice pro ohyb a kroucení jsou uvedeny v následujících rovnicích.

1. $D_{11}=\sum _{i=1}^n\frac{z_{max,i}^3-z_{min,i}^3}{3}{d}_{11,i}$

   Ohybová tuhost v x

1. $D_{12}=\sum _{i=1}^n\frac{z_{max,i}^3-z_{min,i}^3}{3}{d}_{12,i}$

   Člen excentricity (12)

1. $D_{22}=\sum _{i=1}^n\frac{z_{max,i}^3-z_{min,i}^3}{3}{d}_{22,i}$

   Ohybová tuhost v y

1. $D_{13}=\sum _{i=1}^n\frac{z_{max,i}^3-z_{min,i}^3}{3}{d}_{13,i}$

   Člen excentricity (13)

1. $D_{23}=\sum _{i=1}^n\frac{z_{max,i}^3-z_{min,i}^3}{3}{d}_{23,i}$

   Člen excentricity (23)

1. $D_{33}=\sum _{i=1}^n\frac{z_{max,i}^3-z_{min,i}^3}{3}{d}_{33,i}$

   Torzní tuhost

1. Pokud existuje pouze jedna vrstva typu tloušťky 'Vrstvy', je výpočet založen na parametrech popsaných v manuálu k programu RFEM]].

1. Pro smyk (prvek D44/55) platí pro typ tloušťky 'Vrstvy' jiné rovnice. Jsou popsány v sekci Smyk v rovině desky.

1. === Výrazy excentricity [Nm/m] ===

1. U nesymetrických desek se používají členy excentricity. Asymetrická plocha může být například při posouzení požární odolnosti z důvodu jednostranného zuhelnatění desky z křížem lepeného dřeva. Prvky matice jsou následující:

1. $D_{16}=\sum _{i=1}^n\frac{z_{max,i}^2-z_{min,i}^2}{2}{d}_{11,i}$

   Prvek excentricity D16

1. $D_{17}=\sum _{i=1}^n\frac{z_{max,i}^2-z_{min,i}^2}{2}{d}_{12,i}$

   Prvek excentricity D17

1. $D_{18}=\sum _{i=1}^n\frac{z_{max,i}^2-z_{min,i}^2}{2}{d}_{13,i}$

   Prvek excentricity D18

1. $D_{27}=\sum _{i=1}^n\frac{z_{max,i}^2-z_{min,i}^2}{2}{d}_{22,i}$

   Prvek excentricity D27

1. $D_{28}=\sum _{i=1}^n\frac{z_{max,i}^2-z_{min,i}^2}{2}{d}_{23,i}$

   Prvek excentricity D28

1. $D_{38}=\sum _{i=1}^n\frac{z_{max,i}^2-z_{min,i}^2}{2}{d}_{33,i}$

   Prvek excentricity D38

1. === Rovina vrstvy [N/m] ===

1. V rovině "Stěna tabule" jsou normálové tuhosti znázorněny v rovině skleněné tabule. Posouvající síla v zasklení se počítá pomocí prvku D88. Prvky matice jsou následující:

1. $D_{66}=\sum _{i=1}^n{t}_i{d}_{11,i}$

   Osová tuhost x D66

1. $D_{67}=\sum _{i=1}^n{t}_i{d}_{12,i}$

   Normálová tuhost Excentrická D67

1. $D_{68}=\sum _{i=1}^n{t}_i{d}_{13,i}$

   Normálová tuhost Excentrická D68

1. $D_{77}=\sum _{i=1}^n{t}_i{d}_{22,i}$

   Osová tuhost y D77

1. $D_{78}=\sum _{i=1}^n{t}_i{d}_{23,i}$

   Normálová tuhost Excentrická D78

1. $D_{88}=\sum _{i=1}^n{t}_i{d}_{33,i}$

   Smyk desek D88

1. === Smyk v rovině desky [N/m] ===

1. Pro stanovení smykové tuhosti pro ortotropní materiál je třeba tuhosti natočit podle jejich orientace k lokální ose plochy. To je třeba provést pro každou vrstvu typu tloušťky 'Vrstvy'. V jednoduché skladbě vrstev s orientací krycí vrstvy 0° a 90° orientace spodní vrstvy je vysoká smyková tuhost, kterou je třeba u vícevrstvého modelu zohlednit. Na následujícím obrázku (zdroj [1]) je to znázorněno na příkladu desky z křížem lepeného dřeva.

1. 

   Smyková deformace (Zdroj: Informační servis Dřevo)

1. V laminátové teorii se smyková tuhost vícevrstvé konstrukce počítá tak, že se transformují všechny ohybové a smykové složky v příslušných směrech každé vrstvy. Další informace najdete v níže uvedené literatuře.

1. 

   Steifigkeitsorientierung

1. Pomocí transformace tuhosti znázorněné na obrázku se tuhosti sečtou. Tato suma je známá také jako "Grashoffův integrál".

1. $D_{44,calc}^{"}=\frac{1}{{\int }_{-t/2}^{t/2}{\displaystyle \frac{{\displaystyle G_{22}^{"}\left(z\right)}}{{\displaystyle G_{11}^{"}\left(z\right)G_{22}^{"}\left(z\right)-{G_{12}^{"}}^2\left(z\right)}}}{\left(}^{{\displaystyle \frac{{\int }_z^{t/2}{E}_x^{"}\left(\overline{z}\right)(\overline{z}-z_{0,x})d\overline{z}}{{\int }_{-t/2}^{t/2}{E}_x^{"}\left(\overline{z}\right){(\overline{z}-z_{0,x})}^{2}d\overline{z}}}}dz}$

   Smyková tuhost ve směru x

1. Pro výpočet tuhosti ve směru x a y se pro každou konstrukci vícevrstvé plochy spočítá těžiště tuhosti.

1. $z_{0,x}=\frac{{\int }_{-t/2}^{t/2}{E}_x^{"}\left(\overline{z}\right)\overline{z}d\overline{z}}{{\int }_{-t/2}^{t/2}{E}_x^{"}\left(\overline{z}\right)d\overline{z}}=\frac{I_1}{I_0}$

   Střed tuhosti v x

1. $D_{55,calc}^{"}=\frac{1}{{\int }_{-t/2}^{t/2}{\displaystyle \frac{G_{11}^{"}\left(z\right)}{G_{11}^{"}\left(z\right)G_{22}^{"}\left(z\right)-{G_{12}^{"}}^2\left(z\right)}}{\left(}^{{\displaystyle \frac{{\int }_z^{t/2}{E}_y^{"}\left(\overline{z}\right)(\overline{z}-z_{0,x})d\overline{z}}{{\int }_{-t/2}^{t/2}{E}_y^{"}\left(\overline{z}\right){(\overline{z}-z_{0,x})}^{2}d\overline{z}}}}dz}$

   Smyková tuhost ve směru y

1. Střed tuhosti ve směru y:
2. $z_{0,x}=\frac{{\int }_{-t/2}^{t/2}{E}_y^{"}\left(\overline{z}\right)\overline{z}d\overline{z}}{{\int }_{-t/2}^{t/2}{E}_y^{"}\left(\overline{z}\right)d\overline{z}}=\frac{I_1}{I_0}$

   Střed tuhosti ve směru y

1. Pro stanovení orientace pro jednotlivé polohy při výpočtu smykové tuhosti se tuhosti stanoví podle následujících rovnic.

1. $G_{11,i}^{"}={\cos }^2(\phi -{ß}_i)G_{xz,i}+{\sin }^2(\phi -{ß}_i)G_{yz,i}$

   Orientovaná smyková tuhost G11

1. G znamená smykovou tuhost vrstev, abychom se vyhnuli chybám u prvků matice tuhosti (D).

1. Smykovou tuhost každé vrstvy lze také zobrazit ve formě matice následovně:

1. $\left[\begin{array}{cc}{G}_{11}& G_{12}\\ G_{21}& G_{22}\end{array},)\right]$

   Matice smykové tuhosti

1. $G_{22,i}^{"}={\sin }^2(\phi -{ß}_i)G_{xz,i}+{\cos }^2(\phi -{ß}_i)G_{yz,i}$

   Orientovaná smyková tuhost G22

1. Excentrická smyková tuhost by v následující rovnici byla vždy nulová, a proto by pro výše uvedenou symetrickou konstrukci z křížem lepeného dřeva (0°/90°/0°) irelevantní. Například v případě diagonálně lepeného křížem lepeného dřeva DLT ( Diagonal Laminated Timber ) není tento prvek excentricity nulový, a hraje proto důležitou roli.

1. $G_{12}^{"}=(G_{xz,i}-G_{yz,i})\sin (\phi -{ß}_i)\cos (\phi -{ß}_i)$

   Excentricky orientovaná smyková tuhost G12

1. Další informace najdete v [4] a v tomto videu na YouTube.

1. ==== Výpočet smykové tuhosti ====

1. Smyková tuhost se stanoví v následujících krocích:

1. #Nejprve se stanoví úhel maximální tuhosti. Úhel φ udává změnu lokálního souřadného systému x plochy vzhledem k orientovanému směru x .
2. #Všechny tuhosti jsou natočené v orientovaném směru ''x'' podle výše uvedených rovnic .
3. #Matice tuhosti panelu každé vrstvy (3 x 3) se transformuje z lokálního souřadného systému x',y' do natočeného systému x'', y" . Kromě výpočtu řízené smykové tuhosti každé jednotlivé vrstvy se tento výpočet provádí také pro moduly pružnosti každé vrstvy.
   $E_{x,i}^{"}=d_{12,i}^{"}+\frac{2d_{12,i}^{"}{d}_{13,i}^{"}{d}_{23,i}^{"}-d_{22,i}^{"}{\left(d_{13,i}^{"}\right)}^2-d_{33,i}^{"}{\left(d_{12,i}^{"}\right)}^2}{d_{22,i}^{"}{d}_{33,i}^{"}-{\left(d_{23,i}^{"}\right)}^2}$

   Orientovaný modul pružnosti ve směru x
   $E_{y,i}^{"}=d_{22,i}^{"}+\frac{2d_{12,i}^{"}{d}_{13,i}^{"}{d}_{23,i}^{"}-d_{11,i}^{"}{\left(d_{23,i}^{"}\right)}^2-d_{33,i}^{"}{\left(d_{12,i}^{"}\right)}^2}{d_{11,i}^{"}{d}_{33,i}^{"}-{\left(d_{13,i}^{"}\right)}^2}$

   Orientovaný modul pružnosti ve směru y
4. #Smyková tuhost se počítá pomocí výše popsaných rovnic (Grashoffův integrál). Smyková tuhost se počítá pomocí jednotlivých částí.
   $I={\int }_{-h/2}^{h/2}{d}_{11}\left(z\right){(z-z_{0,x})}^{2}dz=\sum _{i=1}^n{d}_{11,i}\frac{{(z_{max,i}-z_{0,x})}^3-{(z_{min,i}-z_{0,x})}^3}{3}$

   Moment setrvačnosti plochy ve směru x
   ${\chi }_i=d_{11,i}\frac{{(z_{max,i}-z_{0,x})}^2}{2}+\sum _{k=i+1}^n{d}_{11,k}\frac{{(z_{max,i}-z_{0,x})}^2-{(z_{min,i}-z_{0,x})}^2}{2}$

   Ekvivalentní tuhost na vrstvu (v x)
   Zde se zobrazí rovnice pouze pro směr x (D44). Totéž platí pro směr y. Pro každou vrstvu se spočítá ekvivalentní tuhost (Stinterova složka).
5. #Nakonec se vypočítané tuhosti pro orientovaný směr celé konstrukce přepočítají pomocí úhlových vztahů a v matici tuhosti se zobrazí jako původní tuhosti D44, D55 a D45.
   $D_{44}={\cos }^2\left(\phi \right)D_{44}^{"}+{\sin }^2\left(\phi \right)D_{55}^{"}$

   Přepočítaná smyková tuhost D44
   $D_{55}={\sin }^2\left(\phi \right)D_{44}^{"}+{\cos }^2\left(\phi \right)D_{55}^{"}$

   Přepočítaná smyková tuhost D55
   $D_{45}=\sin \left(\phi \right)\cos \left(\phi \right)(D_{44}^{"}-D_{55}^{"})$

   Přepočítaná smyková tuhost D45