Online manuály RFEM 6 | Vícevrstvé plochy

Zpět k online manuálům

3906x

003626

Dipl.-Ing. (FH) Bastian Kuhn

19.10.2023

Vybrat manuál

Přehled

Addon Vícevrstvé plochy

Teorie

Vstup

Výsledky

Příklady výpočtů

Tuhosti pro vícevrstvé plochy

Materiálové modely

Základem pro složení vícevrstvých ploch do účinné tuhosti plochy jsou materiálové modely. S doplňkem Vrstvené plochy lze materiálové modely v programu RFEM 6 libovolně kombinovat. Základy materiálových modelů jsou popsány v kapitolách Materiály a Nelineární chování materiálu příručky RFEM.

Výběr možností kombinace materiálových modelů je vytvořen v modelu "Modely vrstev" (viz pravý sloupec), který si můžete ke dalšímu studiu kombinací stáhnout.

Následující seznam ukazuje výběr možných kombinací:

Izotropní vrstvy (např. beton – ocel)
Ortotropní vrstvy (např. křížem lepené dřevo)
Izotropní – ortotropní (např. ocel – GFK)
Izotropní plastický – izotropní (např. beton – ocel)
Izotropní nelineárně pružný – ortotropní (např. beton – dřevo)
Izotropní – ortotropní plastický (např. beton – dřevo)
Izotropní poškození – ortotropní (např. beton – dřevo)

Důležité

Pro kombinaci nelineárních materiálů musí být aktivován doplněk Nelineární chování materiálu.

Tuhosti u vrstvených ploch bez těles

Jednodušší výpočtová varianta v doplňku Vrstvené plochy je definování různých vrstev plochy v typu tloušťky 'Vrstvy' bez těles. I zde lze však materiálové modely libovolně kombinovat.

Jakmile jsou vrstvy definovány, vytvoří doplněk Vrstvené plochy globální matici tuhosti plochy. V RFEM se pro tuto plochu počítají vnitřní síly a deformace. V příslušném doplňku posouzení, například Posouzení dřevěných konstrukcí nebo Analýza napětí-přetvoření, se tyto vnitřní síly rozdělí na jednotlivé existující vrstvy. Vnitřní síly se obvykle vypisují ve třech integračních bodech na pozici.

Postup výpočtu pro vícevrstvé plochy

Níže je vysvětlen výpočet matice tuhosti při izotropním a ortotropním materiálu.

Výpočet matice tuhosti

Jako základy materiálových modelů platí následující podmínky (viz také kapitola Materiály příručky RFEM):

Všechny hodnoty tuhosti ≥ 0
Globální matice tuhosti plochy musí být pozitivně definitní.
Základní rovnice izotropie:

E = 2 G (1 + ν)

E	Modul pružnosti
G	Smykový modul
ν	Poissonův součinitel

Modul pružnosti, Smykový modul a Poissonův poměr

Základní rovnice ortotropie:

\frac{ν_{y x}}{E_{y}} = \frac{ν_{x y}}{E_{x}}

Vztah příčného přetvoření

Místní matice tuhosti každé vrstvy

Izotropní

d_{i}' = [\begin{matrix} d'_{11, i} & d'_{12, i} & 0 \\ d'_{22, i} & 0 \\ s y m . & d'_{33, i} \end{matrix}] = [\begin{matrix} \frac{E_{i}}{1 - ν_{i}^{2}} & \frac{ν_{i} E_{i}}{1 - ν_{i}^{2}} & 0 \\ \frac{E_{i}}{1 - ν_{i}^{2}} & 0 \\ s y m . & G_{i} \end{matrix}] i = 1, . . ., n m i t G_{i} = \frac{E_{i}}{2 (1 + ν_{i})}

Vrstva matice tuhosti izotropní

Ortotropní

d_{i}' = [\begin{matrix} d'_{11, i} & d'_{12, i} & 0 \\ d'_{22, i} & 0 \\ s y m . & d'_{33, i} \end{matrix}] = [\begin{matrix} \frac{E_{x, i}}{1 - ν_{x y, i}^{2} \frac{E_{y, i}}{E_{x, i}}} & \frac{ν_{x y, i} E_{y, i}}{1 - ν_{x y, i}^{2} \frac{E_{y, i}}{E_{x, i}}} & 0 \\ \frac{E_{y, i}}{1 - ν_{x y, i}^{2} \frac{E_{y, i}}{E_{x, i}}} & 0 \\ s y m . & G_{x y, i} \end{matrix}] i = 1, . . ., n

Vrstva matrice tuhosti ortotropní

Informace

U ortotropního materiálu se smykový modul v rovině desky (G_xy) definuje přes hodnoty materiálu, zatímco u izotropního materiálu se určuje z modulu pružnosti a příčného přetvoření. Proto je u ortotropního materiálu vztah příčného přetvoření důležitý podle principu "místo-příčina".

Smykové tuhosti pro ortotropní materiál jsou následující:

G_xy	Smykový modul v rovině desky (např. 690 N/mm² pro C24)
G_xz	Smykový modul ve směru x přes tloušťku (např. 690 N/mm² pro C24)
G_yz	Smykový modul ve směru y přes tloušťku (např. 690 N/mm² pro C24) – označuje se také jako "smykový modul při rolování"

U ortotropního materiálu vyplývá dále zvláštnost, že v ploše lze definovat orientované tuhosti. Ve standardním případě odpovídá místní orientace plochy nebo vrstvy ve směru x tuhosti ve směru x. Protože však tato může být v typu tloušťky 'Vrstvy' volně definována přes úhel β, je nutné tuhosti odpovídajícím způsobem transformovat.

d_{i} = [\begin{matrix} d_{11, i} & d_{12, i} & d_{13, i} \\ d_{22, i} & d_{23, i} \\ s y m . & d_{33, i} \end{matrix}] = T_{3 x 3, i}^{T} d'_{i} T_{3 x 3, i}

Transformační tuhosti

T_{3 x 3, i} = [\begin{matrix} c ² & s ² & c s \\ s ² & c ² & - c s \\ - 2 c s & 2 c s & c ² - s ² \end{matrix}] m i t c = \cos (β_{i}), s = \sin (β_{i})

Transformační matice

Sčítaný prvek každé vrstvy:

d_{11, i} = c^{4} d'_{11, i} + 2 c ² s ² d'_{12, i} + s^{4} d'_{22, i} + 4 c ² s ² d'_{33, i}

d_{12, i} = c^{2} s^{2} d'_{11, i} + s^{4} d'_{12, i} + c^{4} d'_{12, i} + c ² s ² d'_{22, i} - 4 c ² s ² d'_{33, i}

d_{13, i} = c^{3} s d'_{11, i} + c s^{3} d'_{12, i} - c^{3} s d'_{12, i} - c s^{3} d'_{22, i} - 2 c^{3} s d'_{33, i} + 2 c s^{3} d'_{33, i}

d_{22, i} = s^{4} d'_{11, i} + 2 c ² s ² d'_{12, i} + c^{4} d'_{22, i} + 4 c ² s ² d'_{33, i}

d_{23, i} = c s^{3} d'_{11, i} + c^{3} s d'_{12, i} - c s^{3} d'_{12, i} - c^{3} s d'_{22, i} + 2 c^{3} s d'_{33, i} - 2 c s^{3} d'_{33, i}

d_{33, i} = c^{2} s^{2} d'_{11, i} - 2 c ² s ² d'_{12, i} + c^{2} s^{2} d'_{22, i} + {(c^{2} - s^{2})}^{2} d'_{33, i}

Jednotlivé termíny za směnu

Prvky ohybu a kroucení [Nm]

Prvky matice pro ohyb a kroucení jsou uvedeny v následujících rovnicích.

D_{11} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{3} - z_{m i n, i}^{3}}{3} d_{11, i}

Ohybová tuhost v x

D_{12} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{3} - z_{m i n, i}^{3}}{3} d_{12, i}

Člen excentricity (12)

D_{22} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{3} - z_{m i n, i}^{3}}{3} d_{22, i}

Ohybová tuhost v y

D_{13} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{3} - z_{m i n, i}^{3}}{3} d_{13, i}

Člen excentricity (13)

D_{23} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{3} - z_{m i n, i}^{3}}{3} d_{23, i}

Člen excentricity (23)

D_{33} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{3} - z_{m i n, i}^{3}}{3} d_{33, i}

Torzní tuhost

Pouze jedné vrstvě v typu tloušťky 'Vrstvy' probíhá výpočet podle rovnic vysvětlených v příručce RFEM.

Pro smyk (prvky D44/55) platí v typu tloušťky 'Vrstvy' jiné rovnice. Představují se v kapitole Smyk v rovině desky.

Členy excentricity [Nm/m]

U nesymetrických desek vznikají členy excentricity. Nesymetrická plocha může například vzniknout při výpočtu požární odolnosti jednostranným zuhelnatěním desky z křížem lepeného dřeva. Prvky matice jsou následující:

D_{16} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{2} - z_{m i n, i}^{2}}{2} d_{11, i}

Prvek excentricity D16

D_{17} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{2} - z_{m i n, i}^{2}}{2} d_{12, i}

Prvek excentricity D17

D_{18} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{2} - z_{m i n, i}^{2}}{2} d_{13, i}

Prvek excentricity D18

D_{27} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{2} - z_{m i n, i}^{2}}{2} d_{22, i}

Prvek excentricity D27

D_{28} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{2} - z_{m i n, i}^{2}}{2} d_{23, i}

Prvek excentricity D28

D_{38} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{z_{m a x, i}^{2} - z_{m i n, i}^{2}}{2} d_{33, i}

Prvek excentricity D38

Rovina desky [N/m]

V rovině desky se řeší normálové tuhosti v rovině desky. Prvkem D88 se počítá smyk desky – tedy smyková síla v desce. Prvky matice jsou následující:

D_{66} = \sum_{i = 1}^{n} t_{i} d_{11, i}

Osová tuhost x D66

D_{67} = \sum_{i = 1}^{n} t_{i} d_{12, i}

Normálová tuhost Excentrická D67

D_{68} = \sum_{i = 1}^{n} t_{i} d_{13, i}

Normálová tuhost Excentrická D68

D_{77} = \sum_{i = 1}^{n} t_{i} d_{22, i}

Osová tuhost y D77

D_{78} = \sum_{i = 1}^{n} t_{i} d_{23, i}

Normálová tuhost Excentrická D78

D_{88} = \sum_{i = 1}^{n} t_{i} d_{33, i}

Smyk desek D88

Smyk v rovině desky [N/m]

Pro určení smykové tuhosti je nutné u ortotropního materiálu otáčet tuhosti podle jejich zarovnání vůči místní ose plochy. To je nutné provést pro každou pozici typu tloušťky 'Vrstvy'. U jednoduchého vrstveného uspořádání s 0° orientací krajní vrstvy a 90° orientací vrstvy pod ní vzniká velká smyková poddajnost, kterou je třeba u modelu vrstev odpovídajícím způsobem zohlednit. Na následujícím obrázku (zdroj [1]) je to vidět na příkladu desky z křížem lepeného dřeva.

Znázornění smykové deformace v křížem lepeném dřevě, poskytnuté informační službou pro dřevo.

Smykové zkreslení (Zdroj: Informationsdienst Holz)

V teorii laminátů se smyková tuhost vrstveného uspořádání počítá přes transformaci všech ohybových a smykových podílů do příslušných směrů každé pozice. Další informace k tomuto tématu najdete mimo jiné v níže uvedené literatuře.

Vizualizace uspořádání os tuhosti ve vrstveném materiálu za účelem optimalizace materiálových vlastností

Orientace tuhosti

Přes transformaci tuhosti znázorněnou na obrázku se tuhosti sečtou. Toto sčítání je známé také pod pojmem "Grashoffův integrál".

D_{44, c a l c}^{"} = \frac{1}{\int_{- t / 2}^{t / 2} \frac{G_{22}^{"} (z)}{G_{11}^{"} (z) G_{22}^{"} (z) - {G_{12}^{"}}^{2} (z)} {(\frac{\int_{z}^{t / 2} E_{x}^{"} (\bar{z}) (\bar{z} - z_{0, x}) d \bar{z}}{\int_{- t / 2}^{t / 2} E_{x}^{"} (\bar{z}) {(\bar{z} - z_{0, x})}^{2} d \bar{z}})}^{2} d z}

Smyková tuhost ve směru x

Pro výpočet tuhosti ve směru x a y se pro každé uspořádání vrstvené plochy počítá takzvané těžiště tuhosti.

z_{0, x} = \frac{\int_{- t / 2}^{t / 2} E_{x}^{"} (z) z d z}{\int_{- t / 2}^{t / 2} E_{x}^{"} (z) d z} = \frac{I_{1}}{I_{0}}

Střed tuhosti v x

D_{55, c a l c}^{"} = \frac{1}{\int_{- t / 2}^{t / 2} \frac{G_{11}^{"} (z)}{G_{11}^{"} (z) G_{22}^{"} (z) - {G_{12}^{"}}^{2} (z)} {(\frac{\int_{z}^{t / 2} E_{y}^{"} (\bar{z}) (\bar{z} - z_{0, x}) d \bar{z}}{\int_{- t / 2}^{t / 2} E_{y}^{"} (\bar{z}) {(\bar{z} - z_{0, x})}^{2} d \bar{z}})}^{2} d z}

Smyková tuhost ve směru y

Těžiště tuhosti ve směru y:

z_{0, x} = \frac{\int_{- t / 2}^{t / 2} E_{y}^{"} (z) z d z}{\int_{- t / 2}^{t / 2} E_{y}^{"} (z) d z} = \frac{I_{1}}{I_{0}}

Střed tuhosti ve směru y

Aby bylo možné při výpočtu smykové tuhosti zachytit orientaci každé pozice, zachycují se tuhosti podle následujících rovnic.

G_{11, i}^{"} = \cos^{2} (φ - ß_{i}) G_{x z, i} + \sin^{2} (φ - ß_{i}) G_{y z, i}

Orientovaná smyková tuhost G11

G zde představuje smykovou tuhost vrstev, aby se vyloučila záměna s prvky matice tuhosti (D).

I smyková tuhost každé pozice může být znázorněna maticově takto:

[\begin{matrix} G_{11} & G_{12} \\ G_{21} & G_{22} \end{matrix}]

Matice smykové tuhosti

G_{22, i}^{"} = \sin^{2} (φ - ß_{i}) G_{x z, i} + \cos^{2} (φ - ß_{i}) G_{y z, i}

Orientovaná smyková tuhost G22

Excentrická smyková tuhost v následující rovnici by byla pro zmíněné symetrické uspořádání křížem lepeného dřeva (0°/90°/0°) vždy nulová, a tedy nerelevantní. U například diagonálně lepeného křížem lepeného dřeva DLT (Diagonal Laminated Timber) však tento člen excentricity není nulový a hraje proto důležitou roli.

G_{12}^{"} = (G_{x z, i} - G_{y z, i}) \sin (φ - ß_{i}) \cos (φ - ß_{i})

Excentricky orientovaná smyková tuhost G12

Další informace najdete mimo jiné v [4] a ve videu na YouTube.

Výpočet smykové tuhosti

Smyková tuhost se určuje v následujících krocích:

Nejprve se určí úhel maximální tuhosti. Úhel φ ukazuje změnu místního souřadného systému x plochy na orientovaný směr x".
Všechny tuhosti se podle výše uvedených rovnic otočí do orientovaného směru x".
Matice tuhosti desky každé pozice (3 x 3) se transformuje z místního souřadného systému x', y' do otočeného systému x", y". Kromě výpočtu orientované smykové tuhosti každé jednotlivé vrstvy se to provede i pro moduly pružnosti každé vrstvy.

$E_{x, i}^{"} = d_{12, i}^{"} + \frac{2 d_{12, i}^{"} d_{13, i}^{"} d_{23, i}^{"} - d_{22, i}^{"} {(d_{13, i}^{"})}^{2} - d_{33, i}^{"} {(d_{12, i}^{"})}^{2}}{d_{22, i}^{"} d_{33, i}^{"} - {(d_{23, i}^{"})}^{2}}$

Orientovaný modul pružnosti ve směru x

$E_{y, i}^{"} = d_{22, i}^{"} + \frac{2 d_{12, i}^{"} d_{13, i}^{"} d_{23, i}^{"} - d_{11, i}^{"} {(d_{23, i}^{"})}^{2} - d_{33, i}^{"} {(d_{12, i}^{"})}^{2}}{d_{11, i}^{"} d_{33, i}^{"} - {(d_{13, i}^{"})}^{2}}$

Orientovaný modul pružnosti ve směru y
Smyková tuhost se počítá podle výše popsaných rovnic (Grashoffův integrál). Smyková tuhost se počítá přes jednotlivé podíly.

$I = \int_{- h / 2}^{h / 2} d_{11} (z) {(z - z_{0, x})}^{2} d z = \sum_{i = 1}^{n} d_{11, i} \frac{{(z_{m a x, i} - z_{0, x})}^{3} - {(z_{m i n, i} - z_{0, x})}^{3}}{3}$

Moment setrvačnosti plochy ve směru x

$χ_{i} = d_{11, i} \frac{{(z_{m a x, i} - z_{0, x})}^{2}}{2} + \sum_{k = i + 1}^{n} d_{11, k} \frac{{(z_{m a x, i} - z_{0, x})}^{2} - {(z_{m i n, i} - z_{0, x})}^{2}}{2}$

Ekvivalentní tuhost na vrstvu (v x)

Zde jsou rovnice ukázány pouze pro směr x (D44). Pro směr y to platí analogicky. Ekvivalentní tuhost (Steinerův podíl) se počítá pro každou pozici.
Vypočtené tuhosti pro orientovaný směr celkového uspořádání se nakonec přepočítají přes úhlové vztahy a uvádějí se jako původní tuhosti D44, D55 a D45 v matici tuhosti.

$D_{44} = \cos^{2} (φ) D_{44}^{"} + \sin^{2} (φ) D_{55}^{"}$

Přepočítaná smyková tuhost D44

$D_{55} = \sin^{2} (φ) D_{44}^{"} + \cos^{2} (φ) D_{55}^{"}$

Přepočítaná smyková tuhost D55

$D_{45} = \sin (φ) \cos (φ) (D_{44}^{"} - D_{55}^{"})$

Přepočítaná smyková tuhost D45

Zvýšení smykové tuhosti

Protože modelováním laminátů jako plochy jsou možné i geometrie s velmi úzkými pásy plochy, je nutné při výpočtu takových problematických geometrií smykovou tuhost odpovídajícím způsobem zvětšit.

V následující rovnici je to znázorněno pro směr X.

D_{44}^{"} = \max (D_{44, calc}^{"}, \frac{48}{5 l ²} \frac{1}{\frac{1}{\sum_{i = 1}^{n} E_{x, i}^{"} \frac{t_{i}^{3}}{12}} - \frac{1}{\sum_{i = 1}^{n} E_{x, i}^{"} \frac{z_{\max, i}^{3} - z_{\min, i}^{3}}{3}}})

Maximální smyková tuhost

Délka l ve výše uvedené rovnici zde znamená nejkratší délku rámečku, který lze položit přes příslušnou geometrii.

V modelu "Smyková tuhost" (viz pravý sloupec) se úzká plocha o šířce 10 cm porovnává s identickou plochou o šířce 20 cm.

Smyková tuhost úzké plochy činí D44 = 15253 kN/m oproti D44 = 5970,8 kN/m širší plochy. Při identickém zatížení je deformace tužší plochy menší a smykové zatížení větší.

Tuhosti u vrstvených ploch s integrovanými tělesy

V budoucnu bude v doplňku Vrstvené plochy možné definovat tělesa společně s plochami. U tohoto typu se do RFEM rovněž exportuje plocha. Protože generování tuhostí a rozklad vnitřních sil je náročnější, bude to vysvětleno zvlášť.

Reference

Stavby z křížem lepeného dřeva
Nosné prvky z masivního dřeva pro stěny, stropy a střechy – řada 4, díl 6, svazek 1
Informační služba Holz, Berlín, 2016
Ploché povrchové nosné konstrukce: Základy modelování a výpočtu stěn a desek
Jones, R. M. (n.d.). Mechanics of Composite Materials (2nd ed.). Taylor & Francis Inc., Philadelphia.
Arnold, M. (2024). Mechanical Properties of Diagonal Laminated Timber (DLT) with Respect to Point-Supported Mass Timber Slabs (dizertace). Munich, Technical University of Munich – Předseda pro dřevěné konstrukce a stavbu budov.

Nadřazená kapitola

Teorie

Model

896x

29x

Vícevrstvé modely

179x

10x

Smyková tuhost