与 RFEM 6 按照 DIN 4017 进行基底抗剪强度验算

为了使用 RFEM 6 进行计算验证，采用了 DIN 4017, Beiblatt 1 (2006) [1] 中描述的一个示例。考虑一个在分层地基上承受中心和垂直载荷的基础，将其结果与在 RFEM 6 中计算的值进行对比。此研究的目标是确定基础底板下方土壤的地基破坏阻力。

模型描述

所用基础为矩形，尺寸为 4.0 m × 5.0 m，厚度为 1.0 m。基础顶部位于地表以下 1.0 m，因此基础底板位于 2.0 m 深度。地下水位也在地表以下 2.0 m，正好位于基础底板高度。几何形状及土层和相关参数如下所示。

基础几何

土壤层及参数

土层

根据 DIN 4017, Beiblatt 1 (2006) 的手工计算

决定性土壤参数 φ_m 的迭代确定

根据 DIN 4017 [2]，当层状地基的独立摩擦角 φ' 的个体值与公共算术平均值 φ_av 的偏差不超过 5° 时，可以进行摩擦角 φ' 的平均值计算。

在此示例中，基础下方存在三层土壤。摩擦角 φ'₂ = 30°，φ'₃ = 25° 和 φ'₄ = 22.5°。算术平均值为 φ_av = ∑ φ'_i/n = (30 + 25 + 22.5)/3 = 25.83°。

从平均值来看，偏差小于 5°。

滑块和层结构 - 基础

第 1 步迭代（开始于 φ_m,0 = 25.83°; α = β = δ = 0）：

ϵ₁ = asin(−sin(β)/sin(φ_A,k)) = asin(−sin(0.00°)/sin(25.83°)) = 0.00° – 依据 A.2 ϵ₂ = asin(−sin(δ)/sin(φ_A,k)) = asin(−sin(0.00°)/sin(25.83°)) = 0.00° – 依据 A.5 ϑ₁ = 45° − φ_m,0/2 − (ϵ₁ + β)/2 = 45° − 25.83°/2 − 0 = 32.1° – A.1 ϑ₂ = ϑ₃ = 45° + φ_m,0/2 − (ϵ₂ + β)/2 = 45° + 25.83°/2 − 0 = 57.9° – A.3 υ = 180° − α − β − ϑ₁ − ϑ₂ = 180° − 0° − 0° − 32.1° − 57.9° = 90° – A.6 r₂ = B'/(2⋅cos(ϑ₂)) = 4.00 m/(2⋅cos(57.9°)) = 3.76 m – A.7 r₁ = r₂⋅e^{(0.5π⋅tan(φ_m,0))} = 3.76 m⋅e^{(0.5π⋅tan(25.83°))} = 8.03 m – A.8 l_s = (r₁ − r₂)/sin(φ) = (3.76 m − 8.03 m)/sin(25.83°) = 9.80 m – A.17

根据此附录的图 3 计算的滑动线总长度：

Σl = r₂ + r₁ + l_s = 3.76 + 8.03 + 9.81 = 21.60 m l₁ = (z₃ − d)/(sin(ψ₂)) = 1.50/0.847 = 1.77 m l₂ = (z₄ − z₃)/(sin(ψ₂)) = 1.50/0.847 = 1.77 m l₄ = (z₃ − d)/(sin(ψ₁)) = 1.50/0.531 = 2.82 m l₅ = (z₄ − z₃)/(sin(ψ₁)) = 1.50/0.531 = 2.82 m l₃ + l₆ + l_s = Σl − (l₁ + l₂ + l₄ + l₅) = 21.60 m − 2⋅(1.77 + 2.82) = 12.42 m φ'₂ = (4.59⋅30.0° + 4.59⋅25.0° + 12.42⋅22.5°)/21.60 = 24.6° c'₂ = (4.59⋅5.00 + 12.42⋅2.00)/21.60 = 2.2 kN/m²

以 φ'₂ = 24.6° 进行下一步迭代。

第 2 步迭代（以 φ_m,1 = 24.6°; α = β = δ = 0）：

ϵ₁ = ϵ₂ = 0.00° ϑ₁ = 45° − 24.6°/2 − 0 = 32.7° ϑ₂ = ϑ₃ = 45° + 24.6°/2 − 0 = 57.3° υ = 180° − 0° − 0° − 32.7° − 57.3° = 90° r₂ = 4.00 m/(2⋅cos(57.3°)) = 3.70 m r₁ = 3.70 m⋅e^{(0.5π⋅tan(24.6°))} = 7.60 m l_s = |7.60 − 3.70| m/sin(24.6°) = 9.36 m Σl = 3.70 + 7.60 + 9.36 = 20.66 m l₁ = l₂ = 1.50/0.842 = 1.78 m l₄ = l₅ = 1.50/0.540 = 2.78 m l₃ + l₆ + l_s = Σl − (l₁ + l₂ + l₄ + l₅) = 20.66 − 2⋅(1.78 + 2.78) = 11.54 m

加权平均：

φ'₃ = ((l₁ + l₄)⋅30.0° + (l₂ + l₅)⋅25.0° + (l₃ + l₆ + l_s)⋅22.5°)/Σl = ((1.78 + 2.78)⋅30.0° + (1.78 + 2.78)⋅25.0° + 11.54⋅22.5°)/20.66 = 24.71° c'₃ = ((l₁ + l₄)⋅5.00 + (l₃ + l₆ + l_s)⋅2.00)/Σl = ((1.78 + 2.78)⋅5.00 + 11.54⋅2.00)/20.66 = 2.22 kN/m²

结果：关键摩擦角几乎收敛于 φ_m ≈ 24.7°。

Gleitkörpers部分区域

三角形ABD ϑ₂ = ϑ₃ = 45° + 24.7°/2 = 57.35° A_a = tan(ϑ₂) ⋅ (B'/2)² = 1.56 ⋅ 4.00 m² = 6.24 m²

三角形BCE ϑ₁ = 45° − 24.7°/2 = 32.65° r₂ = 4.00 m/(2⋅cos(57.35°)) = 3.71 m r₁ = 3.71 m ⋅ e^{(π/2 ⋅ tan(24.7°))} = 7.64 m A_p = r₁² ⋅ sin(ϑ₁) ⋅ cos(ϑ₁) = 26.54 m²

螺旋曲线的部分区域 A_s = (r₁² − r₂²)/(4⋅tan(φ')) = 24.24 m²

面积总和 ΣA = 57.02 m²

Gleitkörpers中间重量

从部分区域和相应的层厚可以确定中间重量 γ'： γ' = (11.0⋅22.82 + 12.0⋅17.87 + 10.0⋅16.33) ÷ 57.02 = 11.0 kN/m³。

基础旁边和上方土壤的中间比重： γ = (0.50 m⋅18.0 kN/m³ + 1.50 m⋅18.5 kN/m³) ÷ 2.00 m = 18.375 kN/m³

地基破坏阻力的计算

现在可以确定承载力系数。

• N_q,0 = e^{(π⋅tan(24.7°))} ⋅ tan²(45° + 24.7°/2) = 10.33 [−]
• N_γ,0 = (10.33 − 1) ⋅ tan(24.7°) = 4.29 [−]
• N_c,0 = (10.33 − 1) ⋅ tan(24.7°) = 20.28 [−]

为了考虑基础几何形状的影响，额外需要形状系数：

• ν_q = 1 + 4.00 m/5.00 m ⋅ sin(24.7°) = 1.334 [−]
• ν_γ = 1 − 0.3 ⋅ 4.00 m/5.00 m = 0.760 [−]
• ν_c = (1.334 ⋅ 10.33 − 1)/(10.33 − 1) = 1.370 [−]

使用这些因素，计算出修正后的承载力系数：

• N_q = N_q,0 ⋅ ν_q = 10.33 ⋅ 1.334 = 13.78
• N_γ = N_γ,0 ⋅ ν_γ = 4.29 ⋅ 0.760 = 3.26
• N_c = N_c,0 ⋅ ν_c = 20.28 ⋅ 1.370 = 27.78

\[ \text{R}_n = 5{,}00\,\text{m}\cdot 4{,}00\,\text{m}\cdot \left( \underbrace{11{,}0\,\text{kN/m}^3\cdot 4{,}00\,\text{m}\cdot 3{,}26}_{\gamma' \cdot B' \cdot N_\gamma} +\underbrace{18{,}375\,\text{kN/m}^3\cdot 2\,\text{m}\cdot 13{,}78}_{\gamma \cdot t \cdot N_q} +\underbrace{2{,}2\,\text{kN/m}^2\cdot 27{,}78}_{c' \cdot N_c} \right) = 14\,233\,\text{kN}. \]

在 RFEM 6 中的计算

在 RFEM 6 中，几何形状、载荷和层参数是按同样的方式设置的。与附录方法不同的是，沿完整曲线的滑动线作为对数螺旋线被连续地积分（无切线和圆弧线段分割）。因此，滑动面的整个有效土壤面积被纳入平均值，各层的贡献被视为实际的面积贡献。

结果中间摩擦角：φ_m,RFEM = 25.03° 地基破坏阻力：R_k,RFEM = A ⋅ σ_R,k = 5.00 m ⋅ 4.00 m ⋅ 741.53 kN/m² = 14,830.64 kN

RFEM 中的第二持力层破坏验算

为什么 RFEM 得出 25.03°，而手工计算结果约为 24.7°—这对 R_k 有什么意义？

在手工计算（附录）中，滑动面被离散化，即分解为切线和圆弧段。这样得出的平均摩擦角是基于长度加权的；该方法是近似的，并通过迭代进行精细化（第 1 次迭代为 ≈ 24.6°，第 2 次迭代为 ≈ 24.71°）。

RFEM 6 则沿曲线连续地积分局部方向。因此，沿滑动面的土层面积被完全捕获（而不仅仅是通过段长度），参考方向得到了明确处理，并且螺旋曲线的曲率也被考虑在内，无需线性化。

在本例中效果：具有较高摩擦角（φ′ = 30°）的层对有效滑动面面积的贡献略高于离散近似。因此，加权平均值略微上移，导致 φ_m,RFEM = 25.03°（与手工计算的差异约为 0.27°）。

对阻力 R_k 的影响

稍高的 φ 非线性地放大了承载力系数，因此提高了阻力。

手工计算（附录）： 特征阻力应力 σ_R,k = 710.97 kN/m² 总阻力 R_k = 14,233 kN

RFEM 6: 特征阻力应力 σ_R,k = 741.53 kN/m² 总阻力 R_k = 14,830.64 kN

R_n 的差异约为 4.2%（相对于手工计算）。这在技术上是合理的，直接源于方法：沿真实曲线的离散长度加权 vs. 连续面积加权。

结果比较

结论

根据 DIN 4017 的计算和 RFEM 6 的结果非常吻合。小偏差可以通过方法解释（离散近似 vs. 连续积分）。对于实际应用，这意味着：RFEM 6 准确地实现了手工计算，减少了手动迭代的工作量，并提供了滑动线的更严格的数学处理，同时确保结果透明展示。