7993x

001669

Dipl.-Ing. (FH) Gerhard Rehm

2026-05-06

Потеря устойчивости плоской формы изгиба в деревянных конструкциях | Примеры 2

В предыдущей статье Потеря устойчивости при изгибно-крутильном выпучивании в деревянных конструкциях | Примеры 1 была на простых примерах объяснена практическая методика определения критического изгибающего момента M_crit или критического изгибного напряжения σ_crit для опрокидывания изгибаемой балки. В этой статье критический изгибающий момент определяется с учетом упругого основания, возникающего из системы раскрепления.

Бикнуло-изгибное выпучивание в деревянном строительстве - примеры 1

Статическая модель

Для системы, показанной на следующем рисунке, следует исследовать фермы на опрокидывание. В плоскости кровли расположены шесть ферм как параллельные балки длиной 18 м и два раскрепляющих связевых блока. Балки на фронтонных сторонах поддерживаются стойками и не учитываются при расчете. На фермы действует расчетная нагрузка q_d величиной 10 кН/м. В первую очередь требуется определить критический момент бикнуло-изгибного выпучивания. Проверка по предельному состоянию несущей способности, а также по предельному состоянию эксплуатационной пригодности далее не рассматривается.

1 Статическая модель

Данные модели

GL24h	-	-	Материал согласно EN 14080
L	18	m	Длина балки
b	120	mm	Ширина балки
h	1.200	mm	Высота балки
I_z	172.800.000	mm⁴	Момент инерции
I_T	647.654.753	mm⁴	Крутильный момент инерции
q_d	10	kN/m	Расчетная нагрузка
a_z	600	mm	Положение нагрузки
e	600	mm	Положение опирания

Инфо

Хотя в последующих уравнениях для E и G индекс с указанием 5%-ных квантильных значений явно не приведен, они все же были соответствующим образом учтены.

Шарнирно опертая однопролетная балка без промежуточных опор

Однопролетная балка на шарнирных опорах без промежуточных опор

2 Однопролетная балка на вилочных опорах без промежуточных опор

Для полноты рассмотрения сначала исследуется ферма без бокового удержания (см. рис. 02). Эквивалентная длина стержня при приложении нагрузки к верхней стороне фермы с a₁ = 1,13 и a₂ = 1,44 определяется как:

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot (1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{E_{0, 05} \cdot I_{z}}{G_{0, 05} \cdot I_{T}}})} = 17, 79 m

l_ef	Длина заменяющего стержня
L	Длина балки, расстояние бокового крепления
a₁,a₂	Коэффициенты потери устойчивости при кручении
a_z	Расстояние приложения нагрузки от центра сдвига
E_0,05	5 % квантиль модуля упругости
G_0,05	5 % квантиль модуля сдвига
I_z	Момент инерции относительно слабой оси
I_T	Момент инерции при кручении

Длина эквивалентного стержня

Критический изгибающий момент затем можно рассчитать следующим образом:

M_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0, 05} \cdot I_{z} \cdot G_{0, 05} \cdot I_{T}}}{l_{ef}} = 134, 52 kNm

M_crit	Критический момент изгиба
E_0,05	5 % квантиль модуля упругости
G_0,05	5 % квантиль модуля сдвига
I_z	Момент инерции относительно слабой оси
I_T	Момент инерции при кручении
l_ef	Длина заменяющего стержня

Критический момент изгиба

В этих примерах не учитывается увеличение произведения 5%-ных квантилей характеристик жесткости из-за гомогенизации клееных деревянных балок.

Изгибающий момент, действующий на фермы, составляет:

M_{d} = \frac{q_{d} \cdot L^{2}}{8} = 405, 00 kNm

M_d	Расчетный момент
q_d	Расчетная нагрузка
L	Длина балки

Расчетный момент

Анализ собственных значений дает в результате коэффициент потери устойчивости 0,32. Отсюда следует критический изгибающий момент

M_{crit} = α \cdot M_{d} = 0, 32 \cdot 405, 00 kNm = 136, 39 kNm

Критический момент изгиба из решателя собственных значений

и, таким образом, он идентичен результату аналитического решения.

Подробная проверка с выводом критического коэффициента нагрузки и критического изгибающего момента

3 Деталь проверки с выводом критического коэффициента нагрузки и критического изгибающего момента

Как и ожидалось для этой нераскрепленной, стройной фермы, действующий изгибающий момент больше (в 3 раза), чем критический изгибающий момент, и, следовательно, ферма недостаточно удерживается от опрокидывания. Однако этому должен противодействовать раскрепляющий связевой блок, который теперь учитывается в расчете.

Шарнирно опертая однопролетная балка с жесткими промежуточными опорами

Однопролётная балка на шарнирных опорах с жёсткими промежуточными подпорками

4 Однопролётная балка на шарнирных опорах с жёсткими промежуточными раскреплениями

Если раскрепляющий связевой блок достаточно жесткий, на практике часто используют расстояние между боковыми удерживающими элементами (например, прогонами) в качестве эквивалентной длины стержня для проверки на опрокидывание. Такой подход уже был показан в предыдущей статье Biegedrillknicken im Holzbau | Beispiele 1.

Потеря устойчивости плоской формы изгиба в деревянных конструкциях | Примеры 1

В качестве L, таким образом, принимается 2,25 м. Для a₁ = 1,00 и a₂ = 0,00 получается:

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot (1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{E_{0, 05} \cdot I_{z}}{G_{0, 05} \cdot I_{T}}})} = 2, 25 m

l_ef	Длина заменяющего стержня
L	Длина балки, расстояние бокового крепления
a₁,a₂	Коэффициенты потери устойчивости при кручении
a_z	Расстояние точки приложения нагрузки от центра сдвига
E_0,05	5 % квантиль модуля упругости
G_0,05	5 % квантиль модуля сдвига
I_z	Момент инерции относительно слабой оси
I_T	Момент инерции при кручении

Длина заменяющего стержня

Для критического изгибающего момента получаем:

M_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0, 05} \cdot I_{z} \cdot G_{0, 05} \cdot I_{T}}}{l_{ef}} = 1.063, 51 kNm

M_crit	Критический момент изгиба
E_0,05	5 % квантиль модуля упругости
G_0,05	Квантиль 5 % модуля сдвига
I_z	Момент инерции относительно слабой оси
I_T	Момент инерции при кручении
l_ef	Длина заменяющего стержня

Критический момент изгиба

Поскольку изгибающий момент, действующий на балку, меньше критического изгибающего момента, балка при предположении жестких промежуточных опор не подвержена опасности потери устойчивости при опрокидывании.

Анализ собственных значений с надстройкой Деревянные конструкции дает в результате коэффициент потери устойчивости 2,86. Отсюда следует критический изгибающий момент

M_{crit} = α \cdot M_{d} = 2, 86 \cdot 40, 50 kNm = 1.158, 92 kNm

M_crit	Критический момент изгиба
α	Коэффициент потери устойчивости
M_d	Расчётный момент

Критический изгибающий момент

5 Деталь проверки с выводом критического коэффициента нагрузки и критического изгибающего момента

И здесь оба метода очень хорошо согласуются.

Шарнирно опертая однопролетная балка с упругим упором стержней

Однопролётная балка с шарнирным опиранием и упругим стержневым основанием

6 Однопролётная балка на вилочных опорах с упругой постелью стержня

Как поясняется в Biegedrillknicken im Holzbau - Theorie, в [1 ] для упруго опертых стержней определение эквивалентной длины стержня расширяется с коэффициентами α и β.

Это позволяет учитывать сдвиговую жесткость раскрепляющего связевого блока для опрокидывания ферм.

Сдвиговая жесткость кровельного связевого блока

Определение сдвиговой жесткости связевого блока может выполняться, например, согласно [2] рис. 6.34. Как видно из него, она зависит от типа связевого блока, от жесткости диагоналей и стоек на растяжение, от наклона диагоналей и податливости крепежных элементов. Для показанного на рис. 01 раскрепляющего связевого блока сдвиговая жесткость определяется как:

s_{id} = E_{D} \cdot A_{D} \cdot \sin {(α)}^{2} \cdot \cos (α)

s_id	Идеальная жесткость на сдвиг раскрепляющей связи
E_D	5 % квантиль модуля упругости диагоналей
A_D	Площадь поперечного сечения диагоналей
α	Угол между диагональю и поясами

Идеальная жесткость поперечной связи

Здесь E_D — модуль упругости диагоналей, а A_D — их площадь поперечного сечения. Однако приведенное выше уравнение не учитывает податливость крепежных элементов диагоналей. Ее и удлинение диагоналей можно учесть через фиктивную площадь поперечного сечения A_D'. Тогда:

s_{id} = E_{D} \cdot A_{D}' \cdot \sin {(α)}^{2} \cdot \cos (α) = 44.864 kN

s_id	Идеальная сдвиговая жёсткость системы связей
E_D	5 % квантиль модуля упругости диагоналей
A_D'	Фиктивная площадь поперечного сечения диагоналей
α	Угол между диагональю и поясами

Идеальная сдвиговая жесткость связевого раскоса

где

A_{D}' = \frac{A_{D}}{1 + \frac{E_{D} \cdot A_{D}}{L_{D}} \cdot \sum \frac{1}{K_{ser}}} = 12.548 {mm}^{2}

A_D'	Фиктивная площадь поперечного сечения диагоналей
A_D	Площадь поперечного сечения диагоналей
E_D	5 % квантиль модуля упругости диагоналей
L_D	Длина диагоналей
K_ser	Модуль перемещения соединения

Мнимая площадь поперечного сечения диагоналей

Диагонали имеют размеры b/h = 120/200 мм и длину L_D 4,59 м. Модуль смещения соединения с каждой стороны диагоналей принимается равным 110.000 Н/мм.

Таким образом, условная площадь составляет

A_D' = 12.548 мм²

и, следовательно, сдвиговая жесткость одного связевого блока при угле диагоналей к поясу 60,64 °,

s_{id} = E_{D} \cdot A_{D}' \cdot \sin {(α)}^{2} \cdot \cos (α) = 44.864 kN

s_id	Идеальная сдвиговая жёсткость системы связей
E_D	5 % квантиль модуля упругости диагоналей
A_D'	Фиктивная площадь поперечного сечения диагоналей
α	Угол между диагональю и поясами

Идеальная сдвиговая жесткость связевого раскоса

Отсюда можно преобразовать упругое опирание на один связевой блок согласно формуле 7.291 из [2] следующим образом:

K_{y}' = s_{id} \cdot \frac{π^{2}}{L^{2}}

K_{y}' = 44.864 kN \cdot \frac{π^{2}}{{(18 m)}^{2}} = 1.367 \frac{kN}{m^{2}} = 1, 367 \frac{N}{{mm}^{2}}

K_y'	Эластичное закрепление стержня на каждую связь
s_id	Идеальная жесткость на сдвиг раскрепляющей связи
L	Длина связи

Упругое основание стержня на отдельных связях

Для двух связевых блоков и шести ферм на одну ферму доступна следующая жесткость пружины:

K_{y} = \frac{2 \cdot K_{y}'}{6} = 455, 6 kN / m^{2} = 0, 456 N / {mm}^{2}

K_y	Эластичное опирание стержня на ферму
K_y'	Упругая опора стержней на каждую связь

Упругая опора стержня на каждую балку

При условии, что K_G = ∞, K_θ = 0, K_y = 0,456 Н/мм², e = 600 мм, a₁ = 1,13 и a₂ = 1,44, эквивалентная длина стержня составляет:

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot (1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{E_{0, 05} \cdot I_{z}}{G_{0, 05} \cdot I_{T}}})} \cdot \frac{1}{α \cdot β} = 0, 13 m

l_ef	Длина заменяющего стержня
L	Длина балки, расстояние бокового крепления
a₁,a₂	Коэффициенты опрокидывания
a_z	Расстояние приложения нагрузки от центра сдвига
E_0,05	5 % квантиль модуля упругости
G_0,05	5 % квантиль модуля сдвига
I_z	Момент инерции относительно слабой оси
I_T	Момент инерции при кручении
α, β	Коэффициенты для учета заделки стержня

Длина заменяющего стержня

Тем самым критический изгибающий момент принимает утопическое значение:

M_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0, 05} \cdot I_{z} \cdot G_{0, 05} \cdot I_{T}}}{l_{ef}} = 18.482, 84 kNm

M_crit	Критический момент изгиба
E_0,05	5 % квантиль модуля упругости
G_0,05	5 % квантиль модуля сдвига
I_z	Момент инерции относительно слабой оси
I_T	Момент инерции при кручении
l_ef	Длина заменяющего стержня

Критический момент изгиба

Следовало бы ожидать значение, близкое к системе с жесткими промежуточными опорами.
Как поясняется в Biegedrillknicken im Holzbau - Theorie, применение расширенной формулы с α и β ограничено в применении.

Строго говоря, она действительно действует только при отклонении по большой синусоиде. То есть тогда, когда упор очень мягкий. В данном примере это уже не выполняется. Многоузловые собственные формы, которые при больших жесткостях пружины приводят к наименьшей потере устойчивости, в указанном уравнении не учтены, поскольку оно основано на одночленных синусоидальных предпосылках.

Как видно на рис. 7, из анализа собственных значений следует многоузловая собственная форма при коэффициенте потери устойчивости 3,49.

Результат анализа собственных форм для однопролётной балки с шарнирным опиранием на концах и упругим стержневым основанием

7 Результат анализа собственных форм для шарнирно-опертой однопролетной балки с упругим стержневым основанием

Для сравнения можно применить метод, выведенный проф. д-ром Хайнрихом Кройцингером (2020). Критический изгибающий момент рассчитывается следующим образом:

M_{crit} = \frac{(2 \cdot e \cdot c^{*} - a_{z}^{*} \cdot B^{*}) + \sqrt{{(2 \cdot e \cdot c^{*} - a_{z}^{*} \cdot B^{*})}^{2} + 4 \cdot 1, 0 \cdot (B^{*} \cdot T^{*} - e^{*} \cdot {c^{*}}^{2})}}{2}

c^{*} = K_{y} \cdot \frac{L^{2}}{π^{2} \cdot n^{2}}

a_{z}^{*} = \frac{a_{z}}{n^{2}}

B^{*} = E_{0, 05} \cdot I_{Z} \cdot \frac{π^{2} \cdot n^{2}}{L^{2}} + c^{*}

T^{*} = G_{0, 05} \cdot I_{T} + c^{*} \cdot e^{2}

n = 1, 2, 3 . . .

M_crit	Критический момент изгиба
a_z	Расстояние приложения нагрузки от центра сдвига
e	Расстояние от опирания стержня до центра сдвига
K_y	Эластичное опирание стержня на каждый прогон
L	Длина балки
n	n-я собственная форма
E_0,05	5 % квантиль модуля упругости
I_z	Момент инерции относительно слабой оси
G_0,05	5 %-квантили модуля сдвига
I_T	Момент инерции при кручении

Критический изгибающий момент

Константа n обозначает 1-е, 2-е, 3-е... собственное решение. Следовательно, необходимо исследовать несколько собственных решений, и из них определяющим является наименьший критический изгибающий момент. Для n = 1…30 получаются следующие критические изгибающие моменты.

n	M_crit [кНм]	n	M_crit[кНм]
1	9.523,25	16	2.214,63
2	4.281,26	17	2.339,17
3	2.294,32	18	2.464,92
4	1.605,56	19	2.591,63
5	1.354,68	20	2.719,14
6	1.282,70	21	2.847,30
7	1.294,12	22	2.976,00
8	1.348,81	23	3.105,16
9	1.428,05	24	3.234,71
10	1.522,29	25	3.364,60
11	1.626,24	26	3.494,77
12	1.736,77	27	3.625,20
13	1.851,94	28	3.755,84
14	1.970,50	29	3.886,67
15	2.091,60	30	4.017,68

Для n = 6 M_crit минимален и составляет 1.282,70 кНм.

Решение по собственным значениям из надстройки Деревянные конструкции (см. рис. 7) дает:

M_{crit} = α \cdot M_{d} = 3, 49 \cdot 40, 50 kNm = 1.413, 71 kNm

M_crit	Критический момент изгиба
α	Коэффициент нагрузки ветвления
M_d	Расчетный момент

Критический момент изгиба

Оба результата показывают хорошее совпадение. Однако аналитическое решение находится на безопасной стороне, поскольку в этом методе упрощенно принимается постоянное распределение изгибающего момента. Постоянному критическому изгибающему моменту M_crit затем соответствует критическая нагрузка q_crit.

q_{crit} = \frac{M_{crit} \cdot 8}{L^{2}}

q_crit	Критическая нагрузка
M_crit	Критический изгибающий момент
L	Длина балки

Критическая нагрузка

Поскольку упругое опирание в данном примере следует считать очень жестким и равномерно распределенным по длине фермы, получаются несколько более высокие критические изгибающие моменты, чем при жесткой одиночной опоре.

Проверка деформации кровельного связевого блока

Согласно [3] разделу 9.2.5.3 (2), раскрепляющие связевые блоки должны быть настолько жесткими, чтобы горизонтальное смещение не превышало L/500. Расчет должен выполняться с расчетными значениями жесткостей (см. [1] раздел NCI к 9.2.5.3).

Для k_crit = 0,195, H = 5 м и q_p = 0,65 кН/м² в качестве давления порывистого ветра получаются следующие нагрузки (см. [3] раздел 9.2.5.3):

N_{d} = (1 - k_{crit}) \cdot \frac{M_{d}}{h} = 271, 68 kN

N_d	Стабилизирующая сила для сжатого пояса
k_crit	Коэффициент потери устойчивости при кручении
M_d	Расчетный момент
h	Высота балки

Сила стабилизации для сжатого пояса

q_{d} = \sqrt{\frac{15}{L}} \cdot \frac{n \cdot N_{d}}{k_{f, 3} \cdot L} = 2, 76 kN / m

q_d	Нагрузка на раскрепление
n	Количество ферм
L	Длина балки
k_f,3	Коэффициент модификации для сопротивления раскрепления

Нагрузка от раскрепления

q_{d, Wind} = γ_{Q} \cdot (c_{pe, D} + c_{pe, E}) \cdot q_{p} \cdot \frac{H}{2} = 1, 5 \cdot (0, 7 + 0, 3) \cdot 0, 65 \cdot \frac{5}{2} = 2, 44 kN / m

q_d,Wind	Расчетная нагрузка от ветра
γ_Q	Частный коэффициент надежности для переменного воздействия
c_pe	Коэффициент внешнего давления
q_p	Скоростное давление порыва
h	Высота здания

Расчетная нагрузка от ветра

Деформация раскрепляющего связевого блока показана на рис. 8. При этом нагрузки были еще раз уменьшены вдвое, поскольку имеются два раскрепляющих связевых блока.

Горизонтальное отклонение раскрепляющей системы

8 Горизонтальное смещение связевого раскрепления

Допустимая деформация составляет:

\frac{L}{500} = \frac{18 m}{500} = 36, 00 mm \geq 4, 74 mm

Допустимая деформация

Это подтверждает предположение об очень жестком связевом блоке и согласуется с практически идентичными критическими изгибающими моментами системы с жесткой промежуточной опорой и системы с упругим упором стержней.

Итог

System	M_{crit,analytisch}	M_{crit,Eigenwert}
без промежуточной опоры	134,52 кНм	136,39 кНм
с жесткими промежуточными опорами	1.063,51 кНм	1.158,92 кНм
с упругим упором стержней	1.282,70 кНм	1413,71 кНм

Было показано, какими возможностями в деревянном строительстве можно исследовать опрокидывание изгибаемых элементов. Для распространенных методов следует учитывать, что раскрепляющие связевые блоки должны быть достаточно жесткими, чтобы можно было принимать жесткие опоры. Соответственно были показаны варианты на случай, если это предположение не выполняется. В целом изгибаемые элементы и раскрепляющие связевые блоки согласно соответствующим нормам должны быть еще проверены на несущую способность и эксплуатационную пригодность. Однако это не является предметом данной статьи.

Автор

Герхард работает в Product Engineering в области деревянного строительства и дополнительно оказывает поддержку в Customer Support. Он использует свой опыт разработки для практичных и реализуемых решений.

Ссылки

DIN. (2013). Национальное приложение – Еврокод 5: Проектирование деревянных конструкций - Часть 1‑1: Allgemeines - Allgemeine Regeln und Regeln für den Hochbau; DIN EN 1995-1-1/NA:2013-08
Petersen, C.: Статика и устойчивость строительных конструкций, 2-е изд. Висбаден: Vieweg, 1982
Еврокод 5: Проектирование деревянных конструкций - Часть 1‑1: Общее - Общие правила и правила для надземных сооружений; DIN EN 1995‑1‑1:2010‑12

Скачивания

Модель статьи базы знаний | Примеры 2

1,05 MB

;