Нелинейные решатели

Нелинейные расчеты в общем приводят к системе нелинейных алгебраических уравнений, которые необходимо решить. Надежность нелинейного решателя является ключевой частью процесса расчета в рамках анализа методом конечных элементов. Нелинейный метод преобразует нелинейную задачу в последовательность линейных задач, которые затем решаются линейным решателем. Для решения нелинейной системы алгебраических уравнений доступно шесть методов.

Метод Ньютона-Рафсона

Метод Ньютона-Рафсона предпочтителен в случае непрерывной правой части. В этом методе касательная матрица жесткости вычисляется как функция текущего состояния деформации и инвертируется на каждом шаге итерации. В большинстве случаев метод характеризуется быстрой (квадратичной) сходимостью.

Визуализация Ньютона-Рафсона

Метод Пикара

В случае разрывов метод Пикара может быть использован как более надежный выбор. Этот метод также известен как метод фиктивной точки или метод секущих. Он может быть рассмотрен как приближение методом конечных разностей от метода Ньютона. Разница рассматривается между текущим циклом итераций и начальным циклом в текущем шаге нагрузки. В общем случае метод не сходится так быстро, как метод Ньютона, но он может быть более надежным для некоторых нелинейных задач.

Визуализация Пикара

Метод Ньютона-Рафсона в сочетании с методом Пикара

Идея этого комбинированного метода заключается в объединении преимуществ обоих методов. Для начального приближения используется метод Пикара, чтобы избежать начальных нестабильностей. Затем используется быстрый метод Ньютона-Рафсона. Вместе можно достичь надежного и относительно быстрого приближения.

В настройках можно определить пропорции соответствующих методов.

Метод Ньютона-Рафсона с постоянной матрицей жесткости

Эта версия метода Ньютона-Рафсона может быть выбрана для расчётов согласно анализу больших деформаций. Матрица жесткости создается только один раз на первом шаге итерации, а затем используется во всех последующих циклах расчёта (поэтому она постоянна). Таким образом, расчёт проходит быстрее, но не так стабилен, как расчёты по обычному или модифицированному методу Ньютона-Рафсона.

Для меньших степеней свободы метод Ньютона-Рафсона, как правило, более эффективен. Для небольших изменений наклона функции метод постоянной жесткости обычно имеет преимущество. Однако, если наклон испытвает резкие изменения, обычно рекомендуется метод Ньютона-Рафсона.

Модифицированный метод Ньютона-Рафсона

Этот метод используется для проведения после-критического анализа, где необходимо преодолеть диапазон нестабильности. Если имеется нестабильность и матрица жесткости не может быть инвертирована, программа использует матрицу жесткости последнего стабильного шага итерации. Программа продолжает расчет с этой матрицей до достижении снова диапазона стабильности.

По сравнению с обычным методом Ньютона-Рафсона, модифицированный метод Ньютона-Рафсона обычно сходится медленнее (линейно) с большим количеством, но вычислительно недорогих итераций и более надежен при крайних нелинейностях (таких как хрупкое разрушение), где метод Ньютона-Рафсона может потерпеть неудачу.

Модифицированная визуализация Ньютона-Рафсона

Динамическая релаксация

Последний метод подходит для расчетов согласно анализа больших деформаций и для решения задач по посткритическому анализу. В этом подходе вводится искусственный временной параметр. Принимая во внимание инерцию и демпфирование, разрушение можно рассматривать как динамическую проблему. Этот подход использует метод явного интегрирования по времени; матрица жесткости не инвертируется. Ни одна часть модели не может иметь нулевой удельный вес при расчёте методом динамической релаксации. Этот метод включает демпфирование Релея, которое можно определить с помощью констант α и β в соответствии со следующим уравнением с временными производными: