I calcoli non lineari in generale producono un sistema di equazioni algebriche non lineari che devono essere risolte. La robustezza del solutore non lineare è una parte cruciale del processo di calcolo nel contesto dell'analisi agli elementi finiti. Il metodo non lineare trasforma il problema non lineare in una sequenza di problemi lineari, che vengono quindi risolti da un solutore lineare. Sono disponibili sei metodi per risolvere il sistema di equazioni algebriche non lineari.
Newton-Raphson
Il metodo non lineare di Newton-Raphson è preferito in caso di termini noti a destra continui. In questo metodo, la matrice di rigidezza tangenziale è calcolata come funzione dello stato di deformazione corrente e invertita in ogni ciclo di iterazione. Nella maggior parte dei casi, il metodo presenta una rapida convergenza (quadratica).
Picard
In caso di discontinuità, il metodo Picard può essere utilizzato come scelta più robusta. Questo metodo è anche conosciuto come metodo di iterazione del punto fisso o metodo delle secanti. Può essere considerato come un'approssimazione a differenze finite del metodo di Newton. La differenza è considerata tra il ciclo d'iterazione corrente e il ciclo d'iterazione iniziale nel passo di carico corrente. Il metodo generalmente non converge così rapidamente come il metodo di Newton, ma può risultare più robusto per alcuni problemi non lineari.
Newton–Raphson combinato con Picard
L'idea di questo metodo combinato è di unire i vantaggi di entrambi i metodi. Per l'approssimazione iniziale si utilizza il metodo Picard per evitare instabilità iniziali. Successivamente, si utilizza il veloce metodo di Newton-Raphson. Insieme, si può ottenere un'approssimazione robusta e relativamente veloce.
Nelle impostazioni si possono definire le proporzioni dei rispettivi metodi.
Newton-Raphson con matrice di rigidezza costante
Questa versione del metodo di Newton-Raphson può essere selezionata per i calcoli in base all'analisi delle grandi deformazioni. La matrice di rigidezza è creata solo una volta nel primo passaggio di iterazione e quindi utilizzata in tutti i successivi cicli di calcolo (quindi costante). In tal modo, il calcolo risulta più veloce ma non è stabile quanto i calcoli secondo il metodo Newton-Raphson normale o modificato.
Per gradi di libertà inferiori, il metodo di Newton-Raphson tende ad essere più efficiente. Per piccole variazioni della pendenza nella funzione, il metodo a rigidezza costante di solito ha il vantaggio. Se la pendenza subisce cambiamenti drastici, tuttavia, il metodo Newton-Raphson è solitamente consigliato.
Newton-Raphson modificato
Questo metodo è usato per eseguire l'analisi postcritica dove deve essere superata una gamma con instabilità. Se è disponibile un'instabilità e non è possibile invertire la matrice di rigidezza, il programma utilizza la matrice di rigidezza dell'ultimo passaggio di iterazione stabile. Il programma continua a calcolare con questa matrice fino a quando non si raggiunge di nuovo un intervallo di stabilità.
Rispetto a (regolare) Newton-Raphson, il Newton-Raphson modificato tende a convergere più lentamente (lineare) con iterazioni più numerose ma computazionalmente poco costose ed è più robusto per estreme non linearità (come spaccature fragili) dove Newton-Raphson potrebbe fallire.
Rilassamento dinamico
L'ultimo metodo è adatto per calcoli secondo l'analisi delle grandi deformazioni e per risolvere problemi riguardanti l'analisi postcritica. In questo approccio, si introduce un parametro temporale artificiale. Considerando l'inerzia e lo smorzamento, il guasto può essere gestito come un problema dinamico. Questo approccio utilizza il metodo di integrazione temporale esplicita; la matrice di rigidezza non viene invertita. Nessuna parte del modello può avere un peso specifico di zero quando si calcola con il rilassamento dinamico. Questo metodo include lo smorzamento di Rayleigh che può essere definito per mezzo delle costanti α e β secondo la seguente equazione con le derivate temporali:
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M |
Concentrated (diagonal) mass matrix |
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C |
Diagonal damping matrix |
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K |
Stiffness matrix |
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f |
Vector of external forces |
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u |
Discretized displacement vector |