Nelineární řešiče

Nelineární výpočty obecně vedou k systému nelineárních algebraických rovnic, které je třeba vyřešit. Robustnost nelineárního řešiče je klíčovou součástí výpočetního procesu v rámci metody konečných prvků. Nelineární metoda transformuje nelineární problém na posloupnost lineárních problémů, které jsou následně vyřešeny lineárním řešičem. Existuje šest dostupných metod pro řešení nelineárního, algebraického systému rovnic.

Newton-Raphson

Nelineární metoda Newton-Raphson se upřednostňuje v případě spojité pravé strany. V této metodě se tangenciální tuhostní matice vypočítá jako funkce současného stavu deformace a při každém iteračním cyklu se inverzuje. Ve většině případů se metoda vyznačuje rychlou (kvadratickou) konvergencí.

Newton-Raphsonova vizualizace

Picard

V případě nespojitostí lze jako robustnější volbu použít metodu Picard. Tato metoda je také známá jako metoda fixního bodu nebo metoda sečných. Můžeme ji považovat za konečně. diferencované přiblížení metody Newton. Rozdíl je vyhodnocen mezi současným iteračním cyklem a počátečním iteračním cyklem v současném zatížení. Obecně metoda nekonverguje tak rychle jako metoda Newton, ale může být robustnější pro některé nelineární problémy.

Picardova vizualizace

Newton–Raphson Kombinovaný s Picard

Myšlenkou této kombinační metody je spojit výhody obou metod. Pro počáteční aproximaci se používá metoda Picard, aby se předešlo počáteční nestabilitě. Poté se použije rychlá metoda Newton-Raphson. Společně lze dosáhnout robustní a relativně rychlé aproximace.

V nastaveních lze definovat poměry příslušných metod.

Newton-Raphson s Konstantní Tuhostní Maticí

Tato verze metody Newton-Raphson může být vybrána pro výpočty podle analýzy velkých deformací. Tuhostní matice je vytvořena pouze jednou v prvním iteračním kroku, poté použita ve všech následných výpočetních smyčkách (tudíž konstantní). Výpočty tak probíhají rychleji, ale nejsou tak stabilní jako výpočty podle normální nebo modifikované metody Newton-Raphson.

Pro nižší stupně volnosti má metoda Newton-Raphson tendenci být účinnější. Pro malé změny sklonu v funkci má metoda Konstantní Tuhosti obvykle výhodu. Pokud však sklon zažívá drastické změny, obvykle se doporučuje Newton-Raphson.

Modifikovaný Newton-Raphson

Tato metoda se používá k provedení postkritické analýzy, kde musí být překonáno rozmezí s nestabilitou. Pokud je k dispozici nestabilita a tuhostní matice nemůže být invertována, program použije tuhostní matici z posledního stabilního iteračního kroku. Program pokračuje ve výpočtu s touto maticí, dokud není znovu dosaženo stabilní oblasti.

Ve srovnání s (běžným) Newton-Raphson má Modifikovaný Newton-Raphson tendenci konvergovat pomaleji (lineárně) s více ale výpočetně nenákladnými iteracemi a je robustnější pro extrémní nelinearity (jako je křehké praskání), kde by Newton-Raphson mohl selhat.

Modifikovaná-Newton-Raphsonova vizualizace

Dynamická Relaxace

Poslední metoda je vhodná pro výpočty podle analýzy velkých deformací a pro řešení problémů týkajících se postkritické analýzy. V tomto přístupu je zaveden umělý časový parametr. Vzhledem k setrvačnosti a tlumení může být porucha řešena jako dynamický problém. Tento přístup používá explicitní metodu časové integrace; tuhostní matice není invertována. Žádná část modelu nesmí mít při výpočtu s dynamickou relaxací specifickou hmotnost rovnou nule. Tato metoda zahrnuje tlumení Rayleigha, které může být definováno pomocí konstant α a β podle následující rovnice s časovými derivacemi: