Nelineární řešiče

Nelineární výpočty obecně vedou k systému nelineárních algebraických rovnic, které je třeba vyřešit. Robustnost nelineárního řešiče je klíčovou součástí výpočetního procesu v rámci analýzy konečných prvků. Nelineární metoda převádí nelineární problém na posloupnost lineárních problémů, které jsou poté řešeny lineárním řešičem. K dispozici je šest metod pro řešení nelineárního algebraického systému rovnic.

Newton-Raphsonova metoda

V případě souvislé pravé strany se upřednostňuje nelineární Newtonova-Raphsonova metoda. Podle této metody se tangenciální tuhostní matice počítá jako funkce aktuálního stavu deformace a v každém cyklu iterace se invertuje. Ve většině případů se tato metoda vyznačuje rychlou (kvadratickou) konvergencí.

Newton-Raphsonova vizualizace

Picardova metoda

V případě nespojitostí lze jako robustnější volbu použít Picardovu metodu. Tato metoda je také známá jako metoda iteračního výpočtu s pevným bodem nebo sečnová metoda. Lze ji považovat za aproximaci Newtonovy metody pomocí konečných rozdílů. Posuzuje se rozdíl mezi aktuálním iteračním cyklem a počátečním iteračním cyklem v aktuálním kroku zatížení. Metoda obecně nekonverguje tak rychle jako Newtonova metoda, ale u některých nelineárních problémů může být robustnější.

Picardova vizualizace

Newton–Raphsonova metoda kombinovaná s Picardovou metodou

Cílem této kombinované metody je spojit výhody obou metod. Pro počáteční aproximaci se používá Picardova metoda, aby se zabránilo počáteční nestabilitě. Poté se používá rychlá Newtonova-Raphsonova metoda. Společně umožňují dosáhnout robustní a relativně rychlé aproximace.

V nastavení lze definovat poměry jednotlivých metod.

Newton-Raphsonova metoda s konstantní tuhostní maticí

Tuto verzi Newtonovy-Raphsonovy metody lze zvolit pro výpočty podle analýzy velkých deformací. Matice tuhosti se vytvoří pouze jednou v prvním kroku iterace a poté se použije ve všech následujících výpočetních smyčkách (je tedy konstantní). Výpočet tak probíhá rychleji, ale není tak stabilní jako výpočty podle běžné nebo modifikované Newtonovy-Raphsonovy metody.

Pro nižší stupně volnosti je Newtonova-Raphsonova metoda obvykle efektivnější. Pro malé odchylky sklonu ve funkci má obvykle výhodu metoda konstantní tuhosti. Pokud však sklon prochází drastickými změnami, doporučuje se obvykle Newtonova-Raphsonova metoda.

Modifikovaná Newton-Raphsonova metoda

Tato metoda se používá k provedení postkritické analýzy, kde je nutné překonat rozsah nestability. Pokud je zjištěna nestabilita a matice tuhosti nelze invertovat, program použije matici tuhosti z posledního stabilního iteračního kroku. Program pokračuje ve výpočtu pomocí této matice, dokud není znovu dosaženo rozsahu stability.

Ve srovnání s (běžnou) Newton-Raphsonovou metodou má modifikovaná Newton-Raphsonova metoda tendenci konvergovat pomaleji (lineárně) s větším počtem, ale výpočetně nenáročných iterací a je robustnější pro extrémní nelinearity (jako je tvorba křehkých trhlin), kde by Newton-Raphsonova metoda mohla selhat.

Modifikovaná-Newton-Raphsonova vizualizace

Dynamická Relaxace

Poslední metoda je vhodná pro výpočty podle analýzy velkých deformací a pro řešení problémů týkajících se postkritické analýzy. V tomto přístupu je zaveden umělý časový parametr. S přihlédnutím k setrvačnosti a tlumení lze neúčinnost řešit jako dynamický problém. Toto řešení využívá explicitní metodu časové integrace; matice tuhosti není invertována. Při výpočtu pomocí dynamické relaxace nesmí mít žádná část modelu nulovou měrnou hmotnost. Tato metoda zahrnuje Rayleighovo tlumení, které lze definovat pomocí konstant α a β podle následující rovnice s časovými derivacemi: