Solucionadores não lineares

Cálculos não lineares em geral resultam em um sistema de equações algébricas não lineares que precisam ser resolvidas. A robustez do solucionador não linear é uma parte crucial do processo de cálculo no contexto da análise de elementos finitos. O método não linear transforma o problema não linear em uma sequência de problemas lineares, que são então resolvidos por um solucionador linear. Existem seis métodos disponíveis para resolver o sistema não linear de equações algébricas.

Newton-Raphson

O método não linear de Newton-Raphson é preferido no caso de um lado direito contínuo. Neste método, a matriz de rigidez tangencial é calculada como uma função do estado de deformação atual e invertida em cada ciclo de iteração. Na maioria dos casos, o método apresenta uma convergência rápida (quadrática).

Visualização de Newton-Raphson

Picard

No caso de descontinuidades, o método de Picard pode ser usado como uma escolha mais robusta. Este método também é conhecido como método de iteração do ponto fixo ou método da secante. Pode ser pensado como uma aproximação de diferenças finitas do método de Newton. A diferença é considerada entre o ciclo de iteração atual e o ciclo de iteração inicial no passo de carga atual. Em geral, o método não converge tão rapidamente quanto o método de Newton, mas pode ser mais robusto para alguns problemas não lineares.

Visualização de Picard

Newton–Raphson Combinado com Picard

A ideia deste método combinado é unir as vantagens de ambos os métodos. Para a aproximação inicial, o método de Picard é usado para evitar instabilidades iniciais. Depois, o método rápido de Newton-Raphson é usado. Juntos, é possível alcançar uma aproximação robusta e relativamente rápida.

Nas configurações, as proporções dos respectivos métodos podem ser definidas.

Newton-Raphson com Matriz de Rigidez Constante

Esta versão do método de Newton-Raphson pode ser selecionada para cálculos de acordo com a análise de grandes deformações. A matriz de rigidez é criada apenas uma vez no primeiro passo de iteração e depois usada em todos os ciclos de cálculo subsequentes (portanto, constante). Assim, o cálculo é mais rápido, mas não é tão estável quanto os cálculos de acordo com o método normal ou modificado de Newton-Raphson.

Para graus de liberdade mais baixos, o método de Newton-Raphson tende a ser mais eficiente. Para pequenas variações da inclinação na função, o método da Rigidez Constante geralmente tem a vantagem. Se a inclinação experimentar alterações drásticas, no entanto, Newton-Raphson geralmente é recomendado.

Newton-Raphson Modificado

Este método é usado para realizar a análise pós-crítica onde uma faixa com instabilidade deve ser superada. Se uma instabilidade estiver disponível e a matriz de rigidez não puder ser invertida, o programa usa a matriz de rigidez do último passo de iteração estável. O programa continua a calcular com esta matriz até que uma faixa de estabilidade seja alcançada novamente.

Comparado ao (regular) Newton-Raphson, o Newton-Raphson Modificado tende a convergir mais lentamente (linearmente) com mais iterações, mas computacionalmente baratas, e é mais robusto para não linearidades extremas (como a fissuração frágil) onde o Newton-Raphson pode falhar.

Visualização de Newton-Raphson modificado

Relaxação Dinâmica

O método final é adequado para cálculos de acordo com a análise de grandes deformações e para resolver problemas relacionados à análise pós-crítica. Nesta abordagem, um parâmetro de tempo artificial é introduzido. Considerando inércia e amortecimento, a falha pode ser tratada como um problema dinâmico. Esta abordagem usa o método de integração no tempo explícita; a matriz de rigidez não é invertida. Nenhuma parte do modelo pode ter um peso específico de zero ao calcular com relaxação dinâmica. Este método inclui o amortecimento de Rayleigh que pode ser definido por meio das constantes α e β de acordo com a seguinte equação com as derivadas temporais: