Solucionadores no lineales

Los cálculos no lineales en general generan un sistema de ecuaciones algebraicas no lineales que deben resolverse. La robustez del solucionador no lineal es una parte crucial del proceso de cálculo dentro del marco del análisis de elementos finitos. El método no lineal transforma el problema no lineal en una secuencia de problemas lineales, que luego son resueltos por un solucionador lineal. Hay seis métodos disponibles para resolver el sistema de ecuaciones no lineal y algebraico.

Newton-Raphson

El método no lineal de Newton-Raphson es preferido en caso de un lado derecho continuo. En este método, la matriz de rigidez tangencial se calcula como una función del estado actual de deformación y se invierte en cada ciclo de iteración. En la mayoría de los casos, el método presenta una rápida (cuadrática) convergencia.

Visualización de Newton-Raphson

Picard

En caso de discontinuidades, el método de Picard puede ser utilizado como una opción más robusta. Este método también es conocido como el método de iteración de punto fijo o método de la secante. Puede considerarse como una aproximación de diferencia finita del método de Newton. La diferencia se considera entre el ciclo de iteración actual y el ciclo de iteración inicial en el paso de carga actual. El método no converge tan rápidamente como el método de Newton en general, pero puede ser más robusto para algunos problemas no lineales.

Visualización de Picard

Newton-Raphson combinado con Picard

La idea de este método combinado es unir las ventajas de ambos métodos. Para la aproximación inicial, se utiliza el método de Picard para evitar inestabilidades iniciales. Después, se utiliza el rápido método de Newton-Raphson. Juntos, se puede lograr una aproximación robusta y relativamente rápida.

En las configuraciones, se pueden definir las proporciones de los respectivos métodos.

Newton-Raphson con Matriz de Rigidez Constante

Esta versión del método de Newton-Raphson puede seleccionarse para cálculos según el análisis de grandes deformaciones. La matriz de rigidez se crea solo una vez en el primer paso de iteración, luego se utiliza en todos los bucles de cálculo subsiguientes (por lo tanto constante). Así, el cálculo es más rápido pero no es tan estable como los cálculos según el método de Newton-Raphson normal o modificado.

Para grados de libertad más bajos, el método de Newton-Raphson tiende a ser más eficiente. Para pequeñas variaciones de la pendiente en la función, el método de Rigidez Constante usualmente tiene la ventaja. Sin embargo, si la pendiente experimenta cambios drásticos, generalmente se recomienda Newton-Raphson.

Newton-Raphson Modificado

Este método se utiliza para realizar el análisis postcrítico donde debe superarse un rango con inestabilidad. Si hay una inestabilidad disponible y la matriz de rigidez no puede ser invertida, el programa utiliza la matriz de rigidez del último paso de iteración estable. El programa continúa calculando con esta matriz hasta que se alcance nuevamente un rango de estabilidad.

Comparado con el Newton-Raphson (regular), el Newton-Raphson Modificado tiende a converger más lentamente (lineal) con más iteraciones, pero computacionalmente baratas, y es más robusto para no linealidades extremas (como la fractura frágil) donde el Newton-Raphson podría fallar.

Visualización de Newton-Raphson modificada

Relajación Dinámica

El método final es adecuado para cálculos según el análisis de grandes deformaciones y para resolver problemas relacionados con el análisis postcrítico. En este enfoque, se introduce un parámetro de tiempo artificial. Tomando en cuenta la inercia y la amortiguación, la falla puede manejarse como un problema dinámico. Este enfoque utiliza el método de integración de tiempo explícito; la matriz de rigidez no se invierte. No se permite que ninguna parte del modelo tenga un peso específico de cero al calcular con relajación dinámica. Este método incluye la amortiguación de Rayleigh que puede definirse mediante las constantes α y β según la siguiente ecuación con las derivadas del tiempo: