Solveurs non linéaires

Les calculs non linéaires entraînent généralement un système d'équations algébriques non linéaires qui doivent être résolues. La robustesse du solveur non linéaire est une partie cruciale du processus de calcul dans le cadre de l'analyse par éléments finis. La méthode non linéaire transforme le problème non linéaire en une séquence de problèmes linéaires, qui sont ensuite résolus par un solveur linéaire. Il existe six méthodes disponibles pour résoudre le système d'équations algébriques non linéaires.

Newton-Raphson

La méthode non linéaire de Newton-Raphson est préférée en cas de deuxième membre continu. Dans cette méthode, la matrice de rigidité tangentielle est calculée en fonction de l'état de déformation actuel et inversée à chaque cycle d'itération. Dans la plupart des cas, la méthode présente une convergence rapide (quadratique).

Visualisation de Newton-Raphson

Picard

En cas de discontinuités, la méthode de Picard peut être utilisée comme un choix plus robuste. Cette méthode est également connue sous le nom de méthode d'itération au point fixe ou méthode de la sécante. Elle peut être considérée comme une approximation par différences finies de la méthode de Newton. La différence est considérée entre le cycle d'itération actuel et le cycle d'itération initial dans l'étape de charge actuelle. La méthode ne converge pas aussi rapidement que la méthode de Newton en général, mais elle peut être plus robuste pour certains problèmes non linéaires.

L'affichage selon Picard

Newton-Raphson combiné avec Picard

L'idée de cette méthode combinée est de réunir les avantages des deux méthodes. Pour l'approximation initiale, la méthode de Picard est utilisée afin d'éviter les instabilités initiales. Ensuite, la méthode rapide de Newton-Raphson est utilisée. Ensemble, une approximation robuste et relativement rapide peut être obtenue.

Dans les paramètres, les proportions des méthodes respectives peuvent être définies.

Newton-Raphson avec matrice de rigidité constante

Cette version de la méthode de Newton-Raphson peut être sélectionnée pour les calculs conformes à l'analyse des grandes déformations. La matrice de rigidité est créée une seule fois lors de la première étape d'itération, puis utilisée dans toutes les boucles de calcul suivantes (par conséquent, elle est constante). Ainsi, le calcul s'exécute plus rapidement mais n'est pas aussi stable que les calculs selon la méthode de Newton-Raphson normale ou modifiée.

Pour des degrés de liberté inférieurs, la méthode de Newton-Raphson tend à être plus efficace. Pour de petites variations de la pente dans la fonction, la méthode de rigidité constante a généralement l'avantage. Cependant, si la pente subit des changements drastiques, la méthode de Newton-Raphson est généralement recommandée.

Newton-Raphson modifié

Cette méthode est utilisée pour effectuer l'analyse postcritique où une plage avec instabilité doit être surmontée. Si une instabilité est présente et que la matrice de rigidité ne peut être inversée, le programme utilise la matrice de rigidité de la dernière étape d'itération stable. Le programme continue de calculer avec cette matrice jusqu'à ce qu'une plage de stabilité soit atteinte de nouveau.

Comparé à (régulier) Newton-Raphson, le Newton-Raphson modifié tend à converger plus lentement (linéairement) avec plus d'itérations, mais peu coûteuses en calcul, et est plus robuste pour les non-linéarités extrêmes (comme la fissuration fragile) où Newton-Raphson pourrait échouer.

Visualisation modifiée-Newton-Raphson

Relaxation dynamique

La méthode finale convient aux calculs selon l'analyse des grandes déformations et pour résoudre les problèmes concernant l'analyse postcritique. Dans cette approche, un paramètre temporel artificiel est introduit. En tenant compte de l'inertie et de l'amortissement, l'échec peut être traité comme un problème dynamique. Cette approche utilise la méthode d'intégration temporelle explicite; la matrice de rigidité n'est pas inversée. Aucune partie du modèle n'est autorisée à avoir un poids spécifique de zéro lors du calcul avec relaxation dynamique. Cette méthode inclut l'amortissement de Rayleigh qui peut être défini au moyen des constantes α et β selon l'équation suivante avec les dérivées temporelles :