管道结构受内部压力作用

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管道结构系统通常所受的荷载形式较多。 其中最重要的荷载就是管道内部的压力荷载。 本篇专题将阐述管道在内部压力荷载作用下管道和管道壁的应力和变形计算。

为了便于完全理解可以参考下面的例题。

图片 01 - 结构体系

例题中管道结构的两端为封闭状态。 那么可以在管道的一端将压力垂直作用于管道内部的“盖板平面”。

图片 02 - 纵向应力

上述压力产生的荷载必须通过由管道壁产生的反力抵消。 管道壁中的纵向应力可以按照下列方法进行计算:
${\mathrm\sigma}_\mathrm l\;=\;\frac{\mathrm P\;\cdot\;\mathrm r_\mathrm i^2}{\mathrm r_\mathrm e^2\;-\;\mathrm r_\mathrm i^2}$
式中符号
ri, re = 内径和外径

另外一个方面由管道内部压力可以产生垂直于管道内壁的作用。 此作用可以产生切向和径向的应力,具体应力数值可以按照下列方法进行计算:
${\mathrm\sigma}_\mathrm t\;=\;\mathrm P\;\cdot\;\frac{\left({\displaystyle\frac{{\mathrm r}_\mathrm e}{\mathrm r}}\right)^2\;+\;1}{\left({\displaystyle\frac{{\mathrm r}_\mathrm e}{{\mathrm r}_\mathrm i}}\right)^2\;-\;1}$
${\mathrm\sigma}_\mathrm r\;=\;-\mathrm P\;\cdot\;\frac{\left({\displaystyle\frac{{\mathrm r}_\mathrm e}{\mathrm r}}\right)^2\;-\;1}{\left({\displaystyle\frac{{\mathrm r}_\mathrm e}{{\mathrm r}_\mathrm i}}\right)^2\;-\;1}$
式中符号
r = 半径,且满足 ri ≤ r ≤ re

根据公式很明显可以看出,应力与相应管道的半径 r 直接相关。 反推公式后可以得出,应力在截面的分布不均匀。 对于薄壁管道(管道外径/管道内径 < 1,2)可以假设应力的分布均匀。 由此可以得出切向和径向应力的数值为:
$\begin{array}{l}{\overline{\mathrm\sigma}}_\mathrm t\;=\;\frac{\mathrm P\;\cdot\;{\mathrm r}_\mathrm i}{{\mathrm r}_\mathrm e\;-\;{\mathrm r}_\mathrm i}\\{\overline{\mathrm\sigma}}_\mathrm r\;=\;\frac{\mathrm P\;\cdot\;{\mathrm r}_\mathrm i}{{\mathrm r}_\mathrm e\;+\;{\mathrm r}_\mathrm i}\end{array}$

带入初始的数据后,得出应力值为:
$\begin{array}{l}{\mathrm\sigma}_\mathrm l\;=\;\frac{2\;\cdot\;103,25^2}{109,55^2\;-\;103,25^2}\;=\;15,9\;\mathrm N/\mathrm{mm}²\\{\overline{\mathrm\sigma}}_\mathrm t\;=\;\frac{2\;\cdot\;103,25}{109,55\;-\;103,25}\;=\;32,8\;\mathrm N/\mathrm{mm}²\\{\overline{\mathrm\sigma}}_\mathrm r\;=\;\frac{-2\;\cdot\;103,25}{109,55\;+\;103,25}=\;-1,0\;\mathrm N/\mathrm{mm}²\end{array}$

由管道内部压力同样会产生管道的纵向长度变化。 一般的计算表达式为,纵向长度变化等于长度乘以线应变 Epsilon:
ΔL = L ∙ ε

管道的线应变可以由上述相关的三个应力进行计算:
$\mathrm\varepsilon\;=\;\frac{\left({\mathrm\sigma}_\mathrm l\;-\;\mathrm v\;\cdot\;\left({\mathrm\sigma}_\mathrm t\;+\;{\mathrm\sigma}_\mathrm r\right)\right)}{\mathrm E}\;=\;\frac{\left(15,9\;-\;0,3\;\cdot\;\left(32,8\;-\;1\right)\right)}{212.000}\;=\;3\;\cdot\;10^{-5}$
纵向长度变化等于:
ΔL = 10.000 mm ∙ 3 ∙ 10-5 = 0,3 mm

进行比较后,例题中手算的计算结果与在有限元软件 RFEM(变形)以及钢结构附加模块(应力)的计算结果也相符。

图片 03 - 计算结果

计算时需要注意在 RFEM 软件中激活全局基本计算参数中的管道应力分析需考虑的波登效应(Bourdon 效应)选项。 如果不仅要计算管道轴向的线应变而且还需要考虑弯管的扩张,那么就需要使用附加模块 RF-PIPING 进行计算。

参考书目

[1] Franke, W.; Platzer, B.: Rohrleitungen Grundlagen - Planung - Montage. München: Carl Hanser, 2014
[2] Wikipedia: Kesselformel

 

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