Rohre unter Innendruckbelastung

Fachbeitrag

Rohrleitungssysteme sind einer Vielzahl von Belastungen ausgesetzt. Zu den maßgebendsten gehört der Innendruck. Dieser Beitrag wird sich daher mit den Spannungen und Verformungen befassen, die sich aus einer reinen Innendruckbelastung in der Rohrwandung beziehungsweise für das Rohr ergeben.

Zur Nachvollziehbarkeit wird folgendes Beispiel verwendet.

Bild 01 - System

Das Rohr wird hierbei als an beiden Seiten geschlossen betrachtet. Dadurch wird einerseits ein Druck senkrecht auf die innere "Deckelfläche" ausgeübt.

Bild 02 - Längsspannung

Die dadurch entstehende Kraft muss wiederum von der Rohrwandung aufgenommen werden. Dies hat eine Längsspannung zur Folge, die wie folgt berechnet werden kann:
${\mathrm\sigma}_\mathrm l\;=\;\frac{\mathrm P\;\cdot\;\mathrm r_\mathrm i^2}{\mathrm r_\mathrm e^2\;-\;\mathrm r_\mathrm i^2}$
mit
ri, re = Innen- und Außenradius

Andererseits wirkt der Innendruck senkrecht auf die Rohrinnenwand. Dies hat eine Tangential- sowie Radialspannung zur Folge, die mittels der folgenden Formeln bestimmt werden können:
${\mathrm\sigma}_\mathrm t\;=\;\mathrm P\;\cdot\;\frac{\left({\displaystyle\frac{{\mathrm r}_\mathrm e}{\mathrm r}}\right)^2\;+\;1}{\left({\displaystyle\frac{{\mathrm r}_\mathrm e}{{\mathrm r}_\mathrm i}}\right)^2\;-\;1}$
${\mathrm\sigma}_\mathrm r\;=\;-\mathrm P\;\cdot\;\frac{\left({\displaystyle\frac{{\mathrm r}_\mathrm e}{\mathrm r}}\right)^2\;-\;1}{\left({\displaystyle\frac{{\mathrm r}_\mathrm e}{{\mathrm r}_\mathrm i}}\right)^2\;-\;1}$
mit
r = Radius in den Grenzen ri ≤ r ≤ re

Es wird ersichtlich, dass die Spannungen vom betrachteten Radius r abhängen. Dies bedeutet im Umkehrschluss, dass diese ungleichmäßig über den Querschnitt verlaufen. Für dünnwandige Rohre (Außendurchmesser/Innendurchmesser < 1,2) kann jedoch eine gleichmäßige Spannungsverteilung angenommen werden. Damit ergeben sich die mittlere Tangential- beziehungsweise Radialspannung zu:
$\begin{array}{l}{\overline{\mathrm\sigma}}_\mathrm t\;=\;\frac{\mathrm P\;\cdot\;{\mathrm r}_\mathrm i}{{\mathrm r}_\mathrm e\;-\;{\mathrm r}_\mathrm i}\\{\overline{\mathrm\sigma}}_\mathrm r\;=\;\frac{\mathrm P\;\cdot\;{\mathrm r}_\mathrm i}{{\mathrm r}_\mathrm e\;+\;{\mathrm r}_\mathrm i}\end{array}$

Setzt man die Eingangswerte in die Formeln ein, erhält man folgende Spannungen:
$\begin{array}{l}{\mathrm\sigma}_\mathrm l\;=\;\frac{2\;\cdot\;103,25^2}{109,55^2\;-\;103,25^2}\;=\;15,9\;\mathrm N/\mathrm{mm}²\\{\overline{\mathrm\sigma}}_\mathrm t\;=\;\frac{2\;\cdot\;103,25}{109,55\;-\;103,25}\;=\;32,8\;\mathrm N/\mathrm{mm}²\\{\overline{\mathrm\sigma}}_\mathrm r\;=\;\frac{-2\;\cdot\;103,25}{109,55\;+\;103,25}=\;-1,0\;\mathrm N/\mathrm{mm}²\end{array}$

Aus dem Innendruck folgt ebenso eine Längenänderung des Rohres. Allgemein formuliert ist die Längenänderung gleich dem Produkt der Länge mit der Dehnung Epsilon:
ΔL = L ∙ ε

Die Dehnung des Rohres ergibt sich aus den drei soeben berechneten Spannungen:
$\mathrm\varepsilon\;=\;\frac{\left({\mathrm\sigma}_\mathrm l\;-\;\mathrm v\;\cdot\;\left({\mathrm\sigma}_\mathrm t\;+\;{\mathrm\sigma}_\mathrm r\right)\right)}{\mathrm E}\;=\;\frac{\left(15,9\;-\;0,3\;\cdot\;\left(32,8\;-\;1\right)\right)}{212.000}\;=\;3\;\cdot\;10^{-5}$
Die Längenänderung beträgt daher:
ΔL = 10.000 mm ∙ 3 ∙ 10-5 = 0,3 mm

Die hier händisch berechneten Ergebnisse können auch in RFEM (Verformung) beziehungsweise den Stahl-Bemessungsmodulen (Spannungen) nachvollzogen werden.

Bild 03 - Ergebnis

Wichtig für die Verformung ist die Aktivierung des Bourdon-Effekts in den globalen Berechnungsparametern von RFEM. Möchte man nicht nur die axiale Dehnung von Rohren berücksichtigen, sondern auch die Aufweitung von Rohrbögen, ist auf das Zusatzmodul RF-PIPING zurückzugreifen.

Literatur

[1] Franke, W.; Platzer, B.: Rohrleitungen Grundlagen - Planung - Montage. München: Carl Hanser, 2014
[2] Wikipedia: Kesselformel

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