Rury pod obciążeniem ciśnienia wewnętrznego

Artykuł o tematyce technicznej

Systemy rurociągów są poddawane działaniu dużej liczby obciążeń. Ciśnienie wewnętrzne jest tu jednym z kluczowych obciążeń. Dlatego też niniejszy artykuł opisuje naprężenia oraz odkształcenia wynikające z czystego obciążenia ciśnieniem wewnętrznym, oddziałującego na ścianę rury i samą rurę.

Zrozumienie zjawiska ułatwia poniższy przykład.

Rysunek 01 - Schemat konstrukcji

Zakłada się, że rura jest zamknięta po obu stronach. Z jednej strony, ciśnienie zostaje przyłożone prostopadle do wewnętrznego “obszaru powierzchni pokrywy”.

Rysunek 02 - Naprężenie wzdłużne

Rosnąca siła musi zostać przeniesiona przez ścianę rury. Skutkuje to powstaniem naprężenia wzdłużnego, obliczanego następująco:
${\mathrm\sigma}_\mathrm l\;=\;\frac{\mathrm P\;\cdot\;\mathrm r_\mathrm i^2}{\mathrm r_\mathrm e^2\;-\;\mathrm r_\mathrm i^2}$
gdzie
ri, re = promień wewnętrzny i zewnętrzny

Z drugiej strony, ciśnienie wewnętrzne działa prostopadle do obszaru powierzchni ściany rury. To z kolei powoduje powstanie naprężenia stycznego oraz promieniowego, które może zostać określone z użyciem poniższych wzorów:
${\mathrm\sigma}_\mathrm t\;=\;\mathrm P\;\cdot\;\frac{\left({\displaystyle\frac{{\mathrm r}_\mathrm e}{\mathrm r}}\right)^2\;+\;1}{\left({\displaystyle\frac{{\mathrm r}_\mathrm e}{{\mathrm r}_\mathrm i}}\right)^2\;-\;1}$
${\mathrm\sigma}_\mathrm r\;=\;-\mathrm P\;\cdot\;\frac{\left({\displaystyle\frac{{\mathrm r}_\mathrm e}{\mathrm r}}\right)^2\;-\;1}{\left({\displaystyle\frac{{\mathrm r}_\mathrm e}{{\mathrm r}_\mathrm i}}\right)^2\;-\;1}$
gdzie
r = promień w granicach ri ≤ r ≤ re

Staje się oczywiste, że naprężenia zależą od rozważanego promienia r. Odwrotny wniosek jest taki, że są one nierównomiernie rozłożone w przekroju. Jednakże, w przypadku rur cienkościennych (stosunek średnicy zewnętrznej do wewnętrznej < 1.2) można założyć równomierny rozkład naprężeń. Tak więc, średnie naprężenie styczne i promieniowe wynosi:
$\begin{array}{l}{\overline{\mathrm\sigma}}_\mathrm t\;=\;\frac{\mathrm P\;\cdot\;{\mathrm r}_\mathrm i}{{\mathrm r}_\mathrm e\;-\;{\mathrm r}_\mathrm i}\\{\overline{\mathrm\sigma}}_\mathrm r\;=\;\frac{\mathrm P\;\cdot\;{\mathrm r}_\mathrm i}{{\mathrm r}_\mathrm e\;+\;{\mathrm r}_\mathrm i}\end{array}$

Wstawiając wartości początkowe do wzorów, otrzymujemy następujące naprężenia:
$\begin{array}{l}{\mathrm\sigma}_\mathrm l\;=\;\frac{2\;\cdot\;103,25^2}{109,55^2\;-\;103,25^2}\;=\;15,9\;\mathrm N/\mathrm{mm}²\\{\overline{\mathrm\sigma}}_\mathrm t\;=\;\frac{2\;\cdot\;103,25}{109,55\;-\;103,25}\;=\;32,8\;\mathrm N/\mathrm{mm}²\\{\overline{\mathrm\sigma}}_\mathrm r\;=\;\frac{-2\;\cdot\;103,25}{109,55\;+\;103,25}=\;-1,0\;\mathrm N/\mathrm{mm}²\end{array}$

Zmiana długości rury także wynika z ciśnienia wewnętrznego. Mówiąc ogólnie, zmiana długości jest równa iloczynowi długości rury i odkształcenia epsilon:
ΔL = L ∙ ε

Odkształcenie rury wynika z trzech wartości naprężeń obliczonych powyżej:
$\mathrm\varepsilon\;=\;\frac{\left({\mathrm\sigma}_\mathrm l\;-\;\mathrm v\;\cdot\;\left({\mathrm\sigma}_\mathrm t\;+\;{\mathrm\sigma}_\mathrm r\right)\right)}{\mathrm E}\;=\;\frac{\left(15,9\;-\;0,3\;\cdot\;\left(32,8\;-\;1\right)\right)}{212.000}\;=\;3\;\cdot\;10^{-5}$
Tak więc, zmiana długości jest następująca:
ΔL = 10.000 mm ∙ 3 ∙ 10-5 = 0,3 mm

Wyniki, które w niniejszym artykule są obliczane ręcznie, można także odtworzyć w programie RFEM (w zakresie odkształcenia) lub w modułach do analizy konstrukcji stalowych (naprężenia).

Rysunek 03 - Wyniki

W przypadku analizy odkształcenia, ważne jest aktywowanie w ogólnych parametrach obliczeniowych programu RFEM efektu Bourdon’a. Jeżeli uwzględniane ma być nie tylko odkształcenie osiowe rur, lecz także ich rozszerzania się na zakrętach rury, należy skorzystać z modułu dodatkowego RF-PIPING.

Literatura

[1]  Franke, W.; Platzer, B.: Rohrleitungen Grundlagen - Planung - Montage. München: Carl Hanser, 2014
[2]  Wikipedia: Barlow's formula

Do pobrania

Linki

RFEM Program główny
RFEM 5.xx

Program główny

Oprogramowanie do obliczeń płaskich i przestrzennych układów konstrukcyjnych, obejmujących płyty, ściany, powłoki, pręty (belki), bryły i elementy kontaktowe, z wykorzystaniem Metody Elementów Skończonych (MES)

Cena pierwszej licencji
3 540,00 USD
RFEM Konstrukcje stalowe i aluminiowe
RF-STEEL EC3 5.xx

Moduł dodatkowy

Wymiarowanie prętów stalowych wg EC 3

Cena pierwszej licencji
1 480,00 USD
RFEM Systemy rurociągów
RF-PIPING 5.xx

Moduł dodatkowy

Modelowanie sieci rurociągów

Cena pierwszej licencji
1 750,00 USD