Método de dimensionamento para determinar a resistência à rotura do solo de acordo com o Eurocódigo 7 (EN 1997-1)

No Eurocódigo 7 existem três métodos de verificação para a determinação da segurança contra rutura do solo.

• Método 1

• Método 2

• Método 3

Neste artigo, os métodos são comparados no modelo de uma laje de fundação com pilar. As diferenças entre os diferentes métodos residem nos fatores de segurança parciais, que afetam diferentes variáveis de influência. Estas incluem as ações ou tensões, os parâmetros do solo e as resistências. É importante mencionar que estas reduções ou aumentos também ocorrem parcialmente em combinação nos métodos. Adicionalmente, o Anexo nacional alemão descreve regras especiais para a aplicação do Método 2, que no meio técnico é designado como Método de verificação 2* ou 2+. A seguir, e no RFEM 6, é utilizada a designação 2* para este método.

Sistema Laje de fundação com pilar

Fundação quadrada com pilar

Laje de fundação

• Comprimento: w_x = 2,50 m
• Largura: w_y = 2,50 m
• Espessura: t = 1,00 m
• Profundidade de embutimento: D = 1,00 m
• Peso próprio G_p,k = 156,25 kN com γ = 25 kN/m³

Pilar

• Comprimento: c_x = 0,50 m
• Largura: c_y = 0,50 m
• Altura: h = 4,00 m
• Peso próprio: G_c,k = 25 kN com γ = 25 kN/m³

Parâmetros do solo

• Ângulo de atrito: φ'_d = 32°
• Parâmetro de corte Coesão: c'_k = 15 kN/m²
• Peso específico do solo ao lado da laje de fundação: γ_1,k 20 kN/m³
• Peso específico do solo abaixo da laje de fundação: γ_2,k = 20 kN/m³

Caso de carga 1 - Cargas permanentes

• Vertical: V_G,z,k = 975 kN

Caso de carga 1 – cargas permanentes

Incluindo o peso próprio do pilar G_c,k = 25 kN e da fundação G_p,k = 156,25 kN, a soma das cargas verticais permanentes totaliza V_G,k,ges = 156,25 kN + 25 kN + 975 kN = 1156,25 kN. O peso próprio da fundação é automaticamente considerado com o peso próprio da estrutura, desde que a opção "Peso próprio ativo" esteja ativada. Caso o peso próprio deva ser introduzido manualmente, têm de ser definidas cargas adicionais para a fundação.

Caixa de diálogo "Casos e combinações de cargas" | Parâmetro "Peso próprio ativo"

Caso de carga 2 - Cargas variáveis

• Vertical: V_Q,z,k = 1000 kN
• Horizontal: H_Q,x,k = 190 kN

Caso de carga 2 – cargas variáveis

Fatores de segurança parciais

A tabela seguinte mostra os fatores de segurança parciais de acordo com a EN 1997-1, A.3.

Método 1

Neste método de verificação são utilizados dois conjuntos diferentes de fatores de segurança parciais.

Na primeira combinação 1-1 são utilizados os fatores de segurança parciais A1, M1 e R1, em que A1 (γ_G = 1,35; γ_Q = 1,5) aumenta as ações desfavoráveis na fundação, enquanto M1 (γ'_φ = γ'_c = γ_γ = 1,00) não reduz os parâmetros do solo e R1 (γ_R;v = γ_R;h = 1,00) não reduz as resistências.

Na segunda combinação 1-2 são utilizados A2, M2 e R1, em que A2 (γ_G = 1,00; γ_Q = 1,30) aumenta as ações menos do que A1, enquanto M2 (γ'_φ = γ'_c = 1,25; γ_γ = 1,00) reduz os parâmetros do solo, diminuindo assim a resistência do solo contra uma rutura do solo.

Para a verificação, o cálculo deve ser realizado com ambos os conjuntos de fatores de segurança parciais, sendo determinante o conjunto com a maior utilização.

Método 1 (Combinação 1-1) de acordo com a EN 1997-1, 2.4.7.3.4.2

Cálculo da resistência à rutura do solo

Excentricidade e_x da carga vertical efetiva na direção x

O esforço transverso de cálculo com cargas de fundação adicionais V_z,+add e o valor do momento fletor de cálculo resultante M_y,+add no centro da base da fundação são necessários para determinar a excentricidade das cargas verticais efetivas.

V_z,+add,d = γ_G ⋅ V_G,k + γ_Q ⋅ V_Q,k = 1,35 ⋅ 1156,25 kN + 1,5 ⋅ 1000 kN = 3060,94 kN

H_Q,x,d = γ_Q ⋅ H_Q,x,k = 1,50 ⋅ 190 kN = 285 kN

M_y,+add,d = (t + h) ⋅ H_Q,x,d = (1,00 m + 4,00 m) ⋅ 285 kN = 1425 kNm

e_x = -M_y,+add,d / V_z,+add,d = -1425 kNm / 3060,94 kN = -0,466 m

Comprimento, largura e área de fundação efetivos

Devido à carga excêntrica, a área de fundação aplicável é reduzida.

w_x - 2 ⋅ |e_x| = 2,50 m - 2 ⋅ 0,466 m = 1,569 m

w_y - 2 ⋅ |e_y| = 2,50 m - 2 ⋅ 0,000 m = 2,500 m

Comprimento efetivo: L' = max(w_x - 2 ⋅ |e_x|; w_y - 2 ⋅ |e_y|) = 2,500 m

Largura efetiva: B' = min(w_x - 2 ⋅ |e_x|; w_y - 2 ⋅ |e_y|) = 1,569 m

Área efetiva: A' = L' ⋅ B' = 2,500 m ⋅ 1,569 m = 3,922 m²

Visualisierung der rechnerischen Sohllänge, -Breite und Fläche

Parâmetros do solo a utilizar

Ângulo de atrito: φ'_d = arctan(tan(φ'_k ) / γ'_φ ) = arctan(tan(32°) / 1,00) = 32°

Parâmetro de corte Coesão: c'_d = c'_k / γ'_c = 15 kN/m² / 1,00 = 15 kN/m²

Peso específico do solo: γ_1d = γ_2d = γ_1k / γ_γ = γ_2k / γ_γ = 20 kN/m³ / 1,00 = 20 kN/m³

O ângulo de atrito φ' descreve o ângulo no qual a resistência ao corte de um solo é atingida por atrito entre os constituintes do solo. Em contraste, a coesão c' refere-se à parcela da resistência ao corte que surge devido a forças de ligação internas entre os constituintes do solo – independentemente da tensão aplicada. Ambos os parâmetros desempenham um papel central na determinação da resistência ao corte de um solo sob diferentes condições de carga. O peso específico do solo ao lado da laje de fundação é designado por γ_1d, e o peso específico do solo abaixo da laje de fundação por γ_2d.

Fatores de capacidade de carga

N_q = e^{π ⋅ tan(φ‘_d)} ⋅ tan²(45°+φ‘_d / 2) = e^{π ⋅ tan(32°)} ⋅ tan²(45° + 32° / 2) = 23,18

O fator N_q considera a capacidade de carga devido ao peso próprio do solo.

N_c = (N_q - 1) ⋅ cot(φ‘_d ) = (23,18 kN - 1) ⋅ cot(32°) = 35,49

O fator N_c considera a capacidade de carga devido à coesão do solo.

N_γ = 2 ⋅ (N_q - 1) ⋅ tan(φ‘_d) = 2 ⋅ (23,18 kN - 1) ⋅ tan(32°) = 27,72 com δ ≥ φ'_d / 2 (superfície de base rugosa)

O fator N_γ considera a capacidade de carga devido à resistência ao corte do solo.

Inclinação da base da fundação

b_q = (1 - α ⋅ tan(φ'_d))² = (1 - 0)² = 1

b_c = b_q - (1 - b_q) / (N_c ⋅ tan(φ'_d)) = 1 - 0 = 1

b_γ = b_q = 1

Neste exemplo, a inclinação da base da fundação é α = 0° e, consequentemente, não tem influência na verificação da segurança contra rutura do solo.

Fatores de forma para secções retangulares

As fórmulas para outras secções transversais podem ser consultadas no Eurocódigo 1997-1, D.4.

s_q = 1 + B' / L' ⋅ sin(φ’_d) = 1 + 1,569 m / 2,50 m ⋅ sin(32°) = 1,333

s_c = (s_q ⋅ N_q - 1) / (N_q - 1) = (1,333 ⋅ 23,18 - 1) / (23,18 - 1) = 1,348

s_γ = 1 - 0,3 ⋅ B' / L' = 1 - 0,3 ⋅ 1,569 m / 2,50 m = 0,812

Coeficientes de inclinação

m = (2 + L' / B') / (1 + L' / B') ⋅ cos²(ω) + (2 + B' / L') / (1 + B' / L') ⋅ sin²(ω) = 0 + (2 + 1,569 m / 2,500 m) / (1 + 1,569 m / 2,500 m) ⋅ sin²(90°) = 1,614

i_q = (1 - H_d / (V_d + A' ⋅ c'_d ⋅ cot(φ‘_d)))^m = (1 - 285 kN / (3060,94 kN + 3,922 m² ⋅ 15kN/m² ⋅ cot(32°)))^1,614 = 0,858

i_c = i_q - (1 - i_q) / (N_c ⋅ tan(φ'_d)) = 0,858 - (1 - 0,858) / (35,49 ⋅ tan(32°)) = 0,852

i_γ = (1 - H_d / (V_d + A' ⋅ c'_d ⋅ cot(φ'_d)))^m+1 = (1 - 285 kN / (3060,94 kN + 3,922 m² ⋅ 15kN/m² ⋅ cot(32°)))^1,614+1 = 0,781

O coeficiente de inclinação depende do ângulo ω .

Ângulo de inclinação de força e relações geométricas para determinação dos coeficientes de inclinação

Resistência à rutura do solo

Influência da profundidade de fundação (solo ao lado da fundação e cargas adicionais):

σ_R,q = q'_d ⋅ N_q ⋅ b_q ⋅ s_q ⋅ i_q = 20 kN/m² ⋅ 23,18 ⋅ 1 ⋅ 1,333 ⋅ 0,858 = 530,14 kN/m² com q'_d = γ_1d ⋅ D

Influência da coesão:

σ_R,c = c'_d ⋅ N_c ⋅ b_c ⋅ s_c ⋅ i_c = 15 kN/m² ⋅ 35,49 ⋅ 1 ⋅ 1,348 ⋅ 0,852 = 611,11 kN/m²

Influência da largura da fundação (solo sob a fundação):

σ_R,γ = 0,5 ⋅ γ'_d ⋅ B' ⋅ N_γ ⋅ b_γ ⋅ s_γ ⋅ i_γ = 0,5 ⋅ 20 kN/m³ ⋅ 1,569 m ⋅ 27,72 ⋅ 1 ⋅ 0,812 ⋅ 0,781 = 275,57 kN/m² com γ'_d = γ_2d

Pressão de solo admissível:

σ_R,k = R_k / A' = σ_s,q + σ_s,c + σ_s,γ = 530,14 kN/m² + 611,11 kN/m² + 275,57 kN/m² = 1416,83 kN/m²

σ_R,d = σ_s,k / γ_R;v = 1416,83 kN/m² / 1,00 = 1416,83 kN/m²

Pressão de solo atuante:

σ_E,d = V_d / A' = 3060,94 kN / 3,922 m² = 780,40 kN/m²

Utilização

η₁ = σ_E,d / σ_R,d = 780,40 kN/m² / 1416,83 kN/m² = 0,551 ≤ 1

Método de verificação 1 (combinação 1–1)

Método 1 (Combinação 1-2) de acordo com a EN 1997-1, 2.4.7.3.4.2

Cálculo da resistência à rutura do solo

Excentricidade e_x da carga vertical efetiva na direção x

V_z,+add,d = 1,00 ⋅ 1156,25 kN + 1,30 ⋅ 1000 kN = 2456,25 kN

H_Q,x,d = 1,30 ⋅ 190 kN = 247 kN

M_y,+add,d = (1,00 m + 4,00 m) ⋅ 247 kN = 1235 kNm

e_x = -1235 kNm / 2456,25 kN = -0,503 m

Comprimento, largura e área de fundação efetivos

Comprimento efetivo: L' = max⁡(2,500 m; 2,500 m - 2 ⋅ 0,503 m) = 2,500 m

Largura efetiva: B' = min⁡(2,500 m; 2,500 m - 2 ⋅ 0,503 m) = 1,494 m

Área efetiva: A' = 2,500 m ⋅ 1,494 m = 3,736 m²

Parâmetros do solo a utilizar

Ângulo de atrito: φ'_d = arctan(tan(32°)/1,25) = 26,56°

Parâmetro de corte Coesão: c'_d = 15 kN/m²/ 1,25 = 12 kN/m²

Peso específico do solo: γ_1d = γ_2d = 20 kN/m³ / 1,00 = 20 kN/m³

Fatores de capacidade de carga

N_q = e^{π ⋅ tan(26,56°)} ⋅ tan²(45° + 26,56° / 2) = 12,59

N_c = (12,59 kN - 1) ⋅ cot(26,56°) = 23,18

N_γ = 2 ⋅ (12,59 kN - 1) ⋅ tan(26,56°) = 11,59 com δ ≥ φ'_d / 2 (superfície de base rugosa)

Inclinação da base da fundação

b_q = b_c = b_γ = 1 uma vez que α = 0°

Fatores de forma para secções retangulares

s_q = 1 + 1,494 m / 2,500 m ⋅ sin(26,56°) = 1,267

s_c = (1,267 ⋅ 12,59-1) / (12,59 - 1) = 1,290

s_γ = 1 - 0,3 ⋅ 1,494 m / 2,500 m = 0,821

Coeficientes de inclinação

m = 0 + (2 + 1,494 m / 2,500 m) / (1 + 1,494 m / 2,500 m) ⋅ sin²(90°) = 1,626

i_q = (1 - 247 kN / (2456,25 kN + 3,736 m² ⋅ 12kN/m² ⋅ cot(26,56°)))^1,626 = 0,847

i_c = 0,847 - (1 - 0,847) / (12,59 ⋅ tan(26,56°)) = 0,834

i_γ = (1 - 247 kN / (2456,25 kN + 3,736 m² ⋅ 12kN/m² ⋅ cot(26,56°)))^{1,626 + 1} = 0,765

Resistência à rutura do solo

Influência da profundidade de fundação (solo ao lado da fundação e cargas adicionais):

σ_R,q = 20 kN/m² ⋅ 12,59 ⋅ 1 ⋅ 1,267 ⋅ 0,847 = 270,26 kN/m² com q'_d = γ_1d ⋅ D

Influência da coesão:

σ_R,c = 12 kN/m² ⋅ 23,18 ⋅ 1 ⋅ 1,1290 ⋅ 0,834 = 299,31 kN/m²

Influência da largura da fundação (solo sob a fundação):

σ_R,γ = 0,5 ⋅ 20 kN/m³ ⋅ 1,494 m ⋅ 11,59 ⋅ 1 ⋅ 0,821 ⋅ 0,765 = 108,68 kN/m² com γ'_d = γ_2d

Pressão de solo admissível:

σ_R,k = σ_R,d = 270,26 kN/m² + 299,31 kN/m² + 108,68 kN/m² = 678,25 kN/m²

Pressão de solo atuante:

σ_E,d = 2456,25 kN / 3,736 m² = 657,45 kN/m²

Utilização

η₂ = 657,45 kN/m² / 678,25 kN/m² = 0,969 ≤ 1

Método de verificação 1 (combinação 1–2)

Verificação Método 1

η = max(η₁; η₂) = max(0,551; 0,969) = 0,969 ≤ 1

Método 2 de acordo com a EN 1997-1, 2.4.7.3.4.2

Neste método de verificação é utilizado um conjunto de fatores de segurança parciais A1, M1 e R2, em que A1 (γ_G = 1,35; γ_Q = 1,5) aumenta as ações desfavoráveis na fundação, enquanto M1 (γ'_φ = γ'_c = γ_γ = 1,00) não reduz os parâmetros do solo. R2 (γ_R;v = γ_R;h = 1,40) reduz, por outro lado, as resistências.

Cálculo da resistência à rutura do solo

Excentricidade e_x da carga vertical efetiva na direção x

V_z,+add,d = 1,35 ⋅ 1156,25 kN + 1,50 ⋅ 1000 kN = 3060,94 kN

H_Q,x,d = 1,50 ⋅ 190 kN = 285 kN

M_y,+add,d = (1,00 m + 4,00 m) ⋅ 285 kN = 1425 kNm

e_x = -1425 kNm / 3060,94 kN = -0,466 m

Comprimento, largura e área de fundação efetivos

Comprimento efetivo: L' = max(2,500 m; 2,500 m - 2 ⋅ 0,466 m) = 2,500 m

Largura efetiva: B' = min(2,500 m; 2,500 m - 2 ⋅ 0,466 m) = 1,569 m

Área efetiva: A' = 2,500 m ⋅ 1,569 m = 3,922 m²

Parâmetros do solo a utilizar

Ângulo de atrito: φ'_d = 32°

Parâmetro de corte Coesão: c'_d = 15 kN/m²

Peso específico do solo: γ_1d = γ_2d = 20 kN/m³

Fatores de capacidade de carga

N_q = e^{π ⋅ tan(32°)} ⋅ tan²(45° + 32° / 2) = 23,18

N_c = (23,18 kN - 1) ⋅ cot(32°) = 35,49

N_γ = 2 ⋅ (23,18 kN - 1) ⋅ tan(32°) = 27,72 com δ ≥ φ‘_d / 2 (superfície de base rugosa)

Inclinação da base da fundação

b_q = b_c = b_γ = 1 uma vez que α = 0°

Fatores de forma para secções retangulares

s_q = 1 + 1,569 m / 2,500 m ⋅ sin(32°) = 1,333

s_c = (1,333 ⋅ 23,18-1) / (23,18-1) = 1,348

s_γ = 1 - 0,3 ⋅ 1,569 m / 2,500 m = 0,812

Coeficientes de inclinação

m = 0 + (2 + 1,569 m / 2,500 m) / (1 + 1,569 m / 2,500 m) ⋅ sin²(90°) = 1,614

i_q = (1 - 285 kN / (3060,94 kN + 3,922 m² ⋅ 12kN/m² ⋅ cot(32°) ))^1,614 = 0,858

i_c = 0,858 - (1 - 0,858) / (23,18 ⋅ tan(32°)) = 0,852

i_γ = (1 - 285 kN / (3060,94 kN + 3,922 m² ⋅ 12kN/m² ⋅ cot(32°)))^{1,614 + 1} = 0,781

Resistência à rutura do solo

Influência da profundidade de fundação (solo ao lado da fundação e cargas adicionais):

σ_R,q = 20 kN/m² ⋅ 23,18 ⋅ 1 ⋅ 1,333 ⋅ 0,858 = 530,14 kN/m² com q‘_d = γ_1d ⋅ D

Influência da coesão:

σ_R,c = 15 kN/m² ⋅ 35,49 ⋅ 1 ⋅ 1,1290 ⋅ 0,852 = 611,11 kN/m²

Influência da largura da fundação (solo sob a fundação):

σ_R,γ = 0,5 ⋅ 20 kN/m³ ⋅ 1,569 m ⋅ 27,72 ⋅ 1 ⋅ 0,812 ⋅ 0,781 = 275,57 kN/m² com γ‘_d = γ_2d

Pressão de solo admissível:

σ_R,k = σ_R,d = 530,14 kN/m² + 611,11 kN/m² + 275,57 kN/m² = 1416,83 kN/m²

σ_R,d = 1416,83 kN/m² / 1,40 = 1012,02 kN/m²

Pressão de solo atuante:

σ_E,d = 3060,94 kN / 3,922 m² = 780,40 kN/m²

Verificação Método 2

η = 780,40 kN/m² / 1012,02 kN/m² = 0,771 ≤ 1

Método de verificação 2

Método 2* de acordo com a EN 1997-1, 2.4.7.3.4.2

Neste método de verificação é utilizado um conjunto de fatores de segurança parciais A1, M1 e R2, em que A1 (γ_G = 1,35; γ_Q = 1,5) aumenta as ações desfavoráveis na fundação, enquanto M1 (γ'_φ = γ'_c = γ_γ = 1,00) não reduz os parâmetros do solo. R2 (γ_R;v = γ_R;h = 1,40) reduz, por outro lado, as resistências.

A excentricidade da resultante e os coeficientes de inclinação não são determinados com os valores de cálculo das ações, como no Método 2, mas sim com os valores característicos das ações. Na maioria dos casos, isto conduz a excentricidades menores e, portanto, a uma área efetiva de cálculo maior, pelo que a pressão de solo admissível é mais elevada do que no Método 2.

Cálculo da resistência à rutura do solo

Excentricidade e_x da carga vertical efetiva na direção x

Aqui, ao contrário dos outros métodos, os valores característicos da carga vertical com cargas de fundação adicionais V_z,+add,k e o valor característico do momento fletor de cálculo resultante no centro da base da fundação M_y,+add,k são utilizados para determinar a excentricidade atuante.

V_z,+add,k = 1156,25 kN + 1000 kN = 2156,25 kN

H_Q,x,k = 1,50 ⋅ 190 kN = 190 kN

M_y,+add,k = (1,00 m + 4,00 m) ⋅ 190 kN = 950