欧洲规范 7 中地基承载力破坏设计的三种方法

在欧洲规范 7 中，有三种验算方法用于确定地基承载力安全性。

• 方法 1
• 方法 2
• 方法 3

本文将以带柱子的基础板模型为基础，对这些方法进行比较。各个方法之间的区别在于分项系数的不同，这些系数影响着各种影响因素，包括作用或应力、土壤特性参数和抗力。需要特别指出的是，这些折减或增大在某些方法中会组合出现。此外，德国国家附录描述了方法 2 应用的特殊规定，在专业领域内该方法被称为验算方法 2* 或 2+。在下文以及 RFEM 6 中，此方法将统一使用 2* 的称谓。

带柱子的基础板系统

基础板

• 长度：w_x = 2,50 m
• 宽度：w_y = 2,50 m
• 厚度：t = 1,00 m
• 埋置深度：D = 1,00 m
• 自重 G_p,k = 156,25 kN，γ = 25 kN/m³

柱子

• 长度：c_x = 0,50 m
• 宽度：c_y = 0,50 m
• 高度：h = 4,00 m
• 自重：G_c,k = 25 kN，γ = 25 kN/m³

土壤参数

• 内摩擦角：φ'_d = 32°
• 抗剪强度参数黏聚力：c'_k = 15 kN/m²
• 基础板旁侧土的密度：γ_1,k 20 kN/m³
• 基础板下方土的密度：γ_2,k = 20 kN/m³

荷载工况 1 - 永久荷载

• 竖向：V_G,z,k = 975 kN

包括柱子自重 G_c,k = 25 kN 和基础自重 G_p,k = 156.25 kN 在内，永久竖向荷载总和为 V_G,k,ges = 156.25 kN + 25 kN + 975 kN = 1156.25 kN。只要勾选了“激活自重”选项，基础的自重会自动计入结构自重中。如果手动输入自重，则必须为基础定义额外的荷载。

荷载工况 2 - 可变荷载

• 竖向：V_Q,z,k = 1000 kN
• 水平：H_Q,x,k = 190 kN

分项系数

下面的表格列出了根据 EN 1997-1, A.3 规定的分项系数。

作用 (Actions A)	符号	A1	A2
永久荷载	γG	1,35	1,00
可变荷载	γQ	1,50	1,30
土壤特性参数 (材料 M)	符号	M1	M2
有效内摩擦角	γ'φ	1,00	1,25
有效黏聚力	γ'c	1,00	1,25
密度	γγ	1,00	1,00
抗力 (Resistance R)	符号	R1	R2	R3
地基承载力	γR;v	1,00	1,40	1,00
滑移	γR;h	1,00	1,10	1,00

方法 1

在这种验算方法中，使用两组不同的分项系数。

在第一组组合 1-1 中，使用分项系数 A1、M1 和 R1。其中 A1 (γ_G = 1,35; γ_Q = 1,5) 增大了基础上的不利作用，而 M1 (γ'_φ = γ'_c = γ_γ = 1,00) 不折减土壤特性参数，R1 (γ_R;v = γ_R;h = 1,00) 不折减抗力。

在第二组组合 1-2 中，使用 A2、M2 和 R1。其中 A2 (γ_G = 1,00; γ_Q = 1,30) 对作用的增大程度小于 A1，而 M2 (γ'_φ = γ'_c = 1,25; γ_γ = 1,00) 折减了土壤特性参数，从而降低了土壤抵抗地基承载破坏的能力。

验算时必须使用两组分项系数进行计算，其中利用率较高的一组起控制作用。

方法 1 (组合 1-1) 根据 EN 1997-1, 2.4.7.3.4.2

计算地基承载力

有效竖向荷载在 x 方向的偏心距 e_x

需要设计剪力（含附加基础荷载） V_z,+add 以及基础底面中心处的合设计弯矩 M_y,+add 的值来确定有效竖向荷载的偏心距。

V_z,+add,d = γ_G ⋅ V_G,k + γ_Q ⋅ V_Q,k = 1,35 ⋅ 1156,25 kN + 1,5 ⋅ 1000 kN = 3060,94 kN

H_Q,x,d = γ_Q ⋅ H_Q,x,k = 1,50 ⋅ 190 kN = 285 kN

M_y,+add,d = (t + h) ⋅ H_Q,x,d = (1,00 m + 4,00 m) ⋅ 285 kN = 1425 kNm

e_x = -M_y,+add,d / V_z,+add,d = -1425 kNm / 3060,94 kN = -0,466 m

有效基底长度、宽度和面积

由于偏心荷载，有效基底面积会减小。

w_x - 2 ⋅ |e_x| = 2,50 m - 2 ⋅ 0,466 m = 1,569 m

w_y - 2 ⋅ |e_y| = 2,50 m - 2 ⋅ 0,000 m = 2,500 m

计算长度：L' = max(w_x - 2 ⋅ |e_x|; w_y - 2 ⋅ |e_y|) = 2,500 m

计算宽度：B' = min(w_x - 2 ⋅ |e_x|; w_y - 2 ⋅ |e_y|) = 1,569 m

计算面积：A' = L' ⋅ B' = 2,500 m ⋅ 1,569 m = 3,922 m²

使用的土壤特性参数

内摩擦角： φ'_d = arctan(tan(φ'_k ) / γ'_φ ) = arctan(tan(32°) / 1,00) = 32°

抗剪强度参数黏聚力： c'_d = c'_k / γ'_c = 15 kN/m² / 1,00 = 15 kN/m²

土壤密度： γ_1d = γ_2d = γ_1k / γ_γ = γ_2k / γ_γ = 20 kN/m³ / 1,00 = 20 kN/m³

内摩擦角 φ' 描述了土壤成分之间的摩擦达到土壤抗剪强度时的角度。相反，黏聚力 c' 指的是由土壤成分之间的内部粘合力产生的抗剪强度部分——与施加的应力无关。这两个参数在确定不同荷载条件下土壤的抗剪强度方面都起着核心作用。基础板旁侧土的密度用 γ_1d 表示，基础板下方土的密度用 γ_2d 表示。

承载力系数

N_q = e^{π ⋅ tan(φ'_d)} ⋅ tan²(45°+φ'_d / 2) = e^{π ⋅ tan(32°)} ⋅ tan²(45° + 32° / 2) = 23,18

系数 N_q 考虑了因土壤自重产生的承载力。

N_c = (N_q - 1) ⋅ cot(φ'_d ) = (23,18 kN - 1) ⋅ cot(32°) = 35,49

系数 N_c 考虑了因土壤黏聚力产生的承载力。

N_γ = 2 ⋅ (N_q - 1) ⋅ tan(φ'_d) = 2 ⋅ (23,18 kN - 1) ⋅ tan(32°) = 27,72， δ ≥ φ'_d / 2 (粗糙基底面)

系数 N_γ 考虑了因土壤抗剪强度产生的承载力。

基底面坡度

b_q = (1 - α ⋅ tan(φ'_d))² = (1 - 0)² = 1

b_c = b_q - (1 - b_q) / (N_c ⋅ tan(φ'_d)) = 1 - 0 = 1

b_γ = b_q = 1

本例中，基底面坡度 α = 0°，因此对地基承载力验算没有影响。

矩形截面的形状系数

其他截面的公式可参见欧洲规范 1997-1, D.4。

s_q = 1 + B' / L' ⋅ sin(φ'_d) = 1 + 1,569 m / 2,50 m ⋅ sin(32°) = 1,333

s_c = (s_q ⋅ N_q - 1) / (N_q - 1) = (1,333 ⋅ 23,18 - 1) / (23,18 - 1) = 1,348

s_γ = 1 - 0,3 ⋅ B' / L' = 1 - 0,3 ⋅ 1,569 m / 2,50 m = 0,812

坡度系数

m = (2 + L' / B') / (1 + L' / B') ⋅ cos²(ω) + (2 + B' / L') / (1 + B' / L') ⋅ sin²(ω) = 0 + (2 + 1,569 m / 2,500 m) / (1 + 1,569 m / 2,500 m) ⋅ sin²(90°) = 1,614

i_q = (1 - H_d / (V_d + A' ⋅ c'_d ⋅ cot(φ'_d)))^m = (1 - 285 kN / (3060,94 kN + 3,922 m² ⋅ 15kN/m² ⋅ cot(32°)))^1,614 = 0,858

i_c = i_q - (1 - i_q) / (N_c ⋅ tan(φ'_d)) = 0,858 - (1 - 0,858) / (35,49 ⋅ tan(32°)) = 0,852

i_γ = (1 - H_d / (V_d + A' ⋅ c'_d ⋅ cot(φ'_d)))^m+1 = (1 - 285 kN / (3060,94 kN + 3,922 m² ⋅ 15kN/m² ⋅ cot(32°)))^1,614+1 = 0,781

坡度系数取决于角度 ω。

地基承载力

基础埋深影响（基础旁侧土和附加荷载）：

σ_R,q = q'_d ⋅ N_q ⋅ b_q ⋅ s_q ⋅ i_q = 20 kN/m² ⋅ 23,18 ⋅ 1 ⋅ 1,333 ⋅ 0,858 = 530,14 kN/m²，其中 q'_d = γ_1d ⋅ D

黏聚力影响：

σ_R,c = c'_d ⋅ N_c ⋅ b_c ⋅ s_c ⋅ i_c = 15 kN/m² ⋅ 35,49 ⋅ 1 ⋅ 1,348 ⋅ 0,852 = 611,11 kN/m²

基础宽度影响（基础下方土）：

σ_R,γ = 0,5 ⋅ γ'_d ⋅ B' ⋅ N_γ ⋅ b_γ ⋅ s_γ ⋅ i_γ = 0,5 ⋅ 20 kN/m³ ⋅ 1,569 m ⋅ 27,72 ⋅ 1 ⋅ 0,812 ⋅ 0,781 = 275,57 kN/m²，其中 γ'_d = γ_2d

容许地基压力：

σ_R,k = R_k / A' = σ_s,q + σ_s,c + σ_s,γ = 530,14 kN/m² + 611,11 kN/m² + 275,57 kN/m² = 1416,83 kN/m²

σ_R,d = σ_s,k / γ_R;v = 1416,83 kN/m² / 1,00 = 1416,83 kN/m²

现有地基压力：

σ_E,d = V_d / A' = 3060,94 kN / 3,922 m² = 780,40 kN/m²

利用率

η₁ = σ_E,d / σ_R,d = 780,40 kN/m² / 1416,83 kN/m² = 0,551 ≤ 1

方法 1 (组合 1-2) 根据 EN 1997-1, 2.4.7.3.4.2

计算地基承载力

有效竖向荷载在 x 方向的偏心距 e_x

V_z,+add,d = 1,00 ⋅ 1156,25 kN + 1,30 ⋅ 1000 kN = 2456,25 kN

H_Q,x,d = 1,30 ⋅ 190 kN = 247 kN

M_y,+add,d = (1,00 m + 4,00 m) ⋅ 247 kN = 1235 kNm

e_x = -1235 kNm / 2456,25 kN = -0,503 m

有效基底长度、宽度和面积

计算长度：L' = max⁡(2,500 m; 2,500 m - 2 ⋅ 0,503 m) = 2,500 m

计算宽度：B' = min⁡(2,500 m; 2,500 m - 2 ⋅ 0,503 m) = 1,494 m

计算面积：A' = 2,500 m ⋅ 1,494 m = 3,736 m²

使用的土壤特性参数

内摩擦角：φ'_d = arctan(tan(32°)/1,25) = 26,56°

抗剪强度参数黏聚力：c'_d = 15 kN/m²/ 1,25 = 12 kN/m²

土壤密度：γ_1d = γ_2d = 20 kN/m³ / 1,00 = 20 kN/m³

承载力系数

N_q = e^{π ⋅ tan(26,56°)} ⋅ tan²(45° + 26,56° / 2) = 12,59

N_c = (12,59 kN - 1) ⋅ cot(26,56°) = 23,18

N_γ = 2 ⋅ (12,59 kN - 1) ⋅ tan(26,56°) = 11,59， δ ≥ φ'_d / 2 (粗糙基底面)

基底面坡度

b_q = b_c = b_γ = 1，因为 α = 0°

矩形截面的形状系数

s_q = 1 + 1,494 m / 2,500 m ⋅ sin(26,56°) = 1,267

s_c = (1,267 ⋅ 12,59-1) / (12,59 - 1) = 1,290

s_γ = 1 - 0,3 ⋅ 1,494 m / 2,500 m = 0,821

坡度系数

m = 0 + (2 + 1,494 m / 2,500 m) / (1 + 1,494 m / 2,500 m) ⋅ sin²(90°) = 1,626

i_q = (1 - 247 kN / (2456,25 kN + 3,736 m² ⋅ 12kN/m² ⋅ cot(26,56°)))^1,626 = 0,847

i_c = 0,847 - (1 - 0,847) / (12,59 ⋅ tan(26,56°)) = 0,834

i_γ = (1 - 247 kN / (2456,25 kN + 3,736 m² ⋅ 12kN/m² ⋅ cot(26,56°)))^{1,626 + 1} = 0,765

地基承载力

基础埋深影响（基础旁侧土和附加荷载）：

σ_R,q = 20 kN/m² ⋅ 12,59 ⋅ 1 ⋅ 1,267 ⋅ 0,847 = 270,26 kN/m² 其中 q'_d = γ_1d ⋅ D

黏聚力影响：

σ_R,c = 12 kN/m² ⋅ 23,18 ⋅ 1 ⋅ 1,1290 ⋅ 0,834 = 299,31 kN/m²

基础宽度影响（基础下方土）：

σ_R,γ = 0,5 ⋅ 20 kN/m³ ⋅ 1,494 m ⋅ 11,59 ⋅ 1 ⋅ 0,821 ⋅ 0,765 = 108,68 kN/m² 其中 γ'_d = γ_2d

容许地基压力：

σ_R,k = σ_R,d = 270,26 kN/m² + 299,31 kN/m² + 108,68 kN/m² = 678,25 kN/m²

现有地基压力： σ_E,d = 2456,25 kN / 3,736 m² = 657,45 kN/m²

利用率

η₂ = 657,45 kN/m² / 678,25 kN/m² = 0,969 ≤ 1

验算方法 1

η = max(η₁; η₂) = max(0,551; 0,969) = 0,969 ≤ 1

方法 2 根据 EN 1997-1, 2.4.7.3.4.2

在这种验算方法中，使用一组分项系数 A1、M1 和 R2。其中 A1 (γ_G = 1,35; γ_Q = 1,5) 增大了基础上的不利作用，而 M1 (γ'_φ = γ'_c = γ_γ = 1,00) 不折减土壤特性参数。R2 (γ_R;v = γ_R;h = 1,40) 则折减了抗力。

计算地基承载力

有效竖向荷载在 x 方向的偏心距 e_x

V_z,+add,d = 1,35 ⋅ 1156,25 kN + 1,50 ⋅ 1000 kN = 3060,94 kN

H_Q,x,d = 1,50 ⋅ 190 kN = 285 kN

M_y,+add,d = (1,00 m + 4,00 m) ⋅ 285 kN = 1425 kNm

e_x = -1425 kNm / 3060,94 kN = -0,466 m

有效基底长度、宽度和面积

计算长度：L' = max(2,500 m; 2,500 m - 2 ⋅ 0,466 m) = 2,500 m

计算宽度：B' = min(2,500 m; 2,500 m - 2 ⋅ 0,466 m) = 1,569 m

计算面积：A' = 2,500 m ⋅ 1,569 m = 3,922 m²

使用的土壤特性参数

内摩擦角：φ'_d = 32°

抗剪强度参数黏聚力：c'_d = 15 kN/m²

土壤密度：γ_1d = γ_2d = 20 kN/m³

承载力系数

N_q = e^{π ⋅ tan(32°)} ⋅ tan²(45° + 32° / 2) = 23,18

N_c = (23,18 kN - 1) ⋅ cot(32°) = 35,49

N_γ = 2 ⋅ (23,18 kN - 1) ⋅ tan(32°) = 27,72， δ ≥ φ'_d / 2 (粗糙基底面)

基底面坡度

b_q = b_c = b_γ = 1，因为 α = 0°

矩形截面的形状系数

s_q = 1 + 1,569 m / 2,500 m ⋅ sin(32°) = 1,333

s_c = (1,333 ⋅ 23,18-1) / (23,18-1) = 1,348

s_γ = 1 - 0,3 ⋅ 1,569 m / 2,500 m = 0,812

坡度系数

m = 0 + (2 + 1,569 m / 2,500 m) / (1 + 1,569 m / 2,500 m) ⋅ sin²(90°) = 1,614

i_q = (1 - 285 kN / (3060,94 kN + 3,922 m² ⋅ 12kN/m² ⋅ cot(32°) ))^1,614 = 0,858

i_c = 0,858 - (1 - 0,858) / (23,18 ⋅ tan(32°)) = 0,852

i_γ = (1 - 285 kN / (3060,94 kN + 3,922 m² ⋅ 12kN/m² ⋅ cot(32°)))^{1,614 + 1} = 0,781

地基承载力

基础埋深影响（基础旁侧土和附加荷载）：

σ_R,q = 20 kN/m² ⋅ 23,18 ⋅ 1 ⋅ 1,333 ⋅ 0,858 = 530,14 kN/m²，其中 q'_d = γ_1d ⋅ D

黏聚力影响：

σ_R,c = 15 kN/m² ⋅ 35,49 ⋅ 1 ⋅ 1,1290 ⋅ 0,852 = 611,11 kN/m²

基础宽度影响（基础下方土）：

σ_R,γ = 0,5 ⋅ 20 kN/m³ ⋅ 1,569 m ⋅ 27,72 ⋅ 1 ⋅ 0,812 ⋅ 0,781 = 275,57 kN/m²，其中 γ'_d = γ_2d

容许地基压力：

σ_R,k = σ_R,d = 530,14 kN/m² + 611,11 kN/m² + 275,57 kN/m² = 1416,83 kN/m²

σ_R,d = 1416,83 kN/m² / 1,40 = 1012,02 kN/m²

现有地基压力： σ_E,d = 3060,94 kN / 3,922 m² = 780,40 kN/m²

验算方法 2

η = 780,40 kN/m² / 1012,02 kN/m² = 0,771 ≤ 1

方法 2* 根据 EN 1997-1, 2.4.7.3.4.2

在这种验算方法中，使用一组分项系数 A1、M1 和 R2。其中 A1 (γ_G = 1,35; γ_Q = 1,5) 增大了基础上的不利作用，而 M1 (γ'_φ = γ'_c = γ_γ = 1,00) 不折减土壤特性参数。R2 (γ_R;v = γ_R;h = 1,40) 则折减了抗力。

与方法 2 不同，合力的偏心距和坡度系数不是用作用的设计值，而是用作用的特征值来确定。在大多数情况下，这会导致偏心距更小，从而使计算面积更大，因此容许地基压力高于方法 2。

计算地基承载力

有效竖向荷载在 x 方向的偏心距 e_x

在这里，与其他方法不同的是，将使用含附加基础荷载的竖向荷载特征值 V_z,+add,k 以及基础底面中心处合设计弯矩的特征值 M_y,+add,k 来确定现有的偏心距。

V_z,+add,k = 1156,25 kN + 1000 kN = 2156,25 kN

H_Q,x,k = 1,50 ⋅ 190 kN = 190 kN

M_y,+add,k = (1,00 m + 4,00 m) ⋅ 190 kN = 950 kNm

e_x = -950 kNm / 2156,25 kN = -0,441 m

有效基底长度、宽度和面积

计算长度：L' = max(2,500 m; 2,500 m - 2 ⋅ 0,441 m) = 2,500 m

计算宽度：B' = min(2,500 m; 2,500 m - 2 ⋅ 0,441 m) = 1,619 m

计算面积：A' = 2,500 m ⋅ 1,619 m = 4,047 m²

使用的土壤特性参数

内摩擦角：φ'_d = 32°

抗剪强度参数黏聚力：c'_d = 15 kN/m²

土壤密度：γ_1d = γ_2d = 20 kN/m³

承载力系数

N_q = e^{π ⋅ tan(32°)} ⋅ tan²(45° + 32° / 2) = 23,18

N_c = (23,18 kN - 1) ⋅ cot(32°) = 35,49

N_γ = 2 ⋅ (23,18 kN - 1) ⋅ tan(32°) = 27,72， δ ≥ φ'_d / 2 (粗糙基底面)

基底面坡度

b_q = b_c = b_γ = 1，因为 α = 0°

矩形截面的形状系数

s_q = 1 + 1,619 m / 2,500 m ⋅ sin(32°) = 1,343

s_c = (1,343 ⋅ 23,18 - 1) / (23,18 - 1) = 1,359

s_γ = 1 - 0,3 ⋅ 1,619 m / 2,500 m = 0,806

坡度系数

m = (2 + 1,619 m / 2,500 m) / (1 + 1,619 m / 2,500 m) ⋅ sin²(90°) = 1,607

i_q = (1 - 190 kN / (2156,25 kN + 4,047 m² ⋅ 12kN/m² ⋅ cot(32°)))^1,607 = 0,868

i_c = 0,868 - (1 - 0,868) / (23,18 ⋅ tan(32°)) = 0,862

i_γ = (1 - 190 kN / (2156,25 kN + 4,047 m² ⋅ 12kN/m² ⋅ cot(32°)))^{1,607 + 1} = 0,795

地基承载力

基础埋深影响（基础旁侧土和附加荷载）：

σ_R,q = 20 kN/m² ⋅ 23,18 ⋅ 1 ⋅ 1,343 ⋅ 0,868 = 540,42 kN/m²，其中 q'_d = γ_1d ⋅