Méthode de calcul pour la détermination de la résistance à la rupture du terrain selon l’Eurocode 7 (EN 1997-1)

L’Eurocode 7 prévoit trois méthodes de calcul pour déterminer la résistance à la rupture du terrain.

• Méthode 1
• Méthode 2
• Méthode 3

Cet article compare les méthodes à l’aide du modèle d’une semelle de fondation avec poteau. Les différences entre chaque méthode résident dans les facteurs partiels de sécurité, qui affectent différentes grandeurs d’influence. Parmi celles-ci figurent les actions ou sollicitations, les paramètres de sol et les résistances. Il est important de mentionner que ces réductions ou augmentations apparaissent parfois en combinaison dans les méthodes. De plus, l’annexe nationale allemande décrit des règles spéciales pour l’application de la méthode 2, désignée par les professionnels comme méthode de calcul 2* ou 2+. Ci-après et dans RFEM 6, la désignation 2* est utilisée pour cette méthode.

Système Semelle de fondation avec poteau

Semelle de fondation

• Longueur : w_x = 2,50 m
• Largeur : w_y = 2,50 m
• Épaisseur : t = 1,00 m
• Profondeur d’encastrement : D = 1,00 m
• Poids propre G_p,k = 156,25 kN avec γ = 25 kN/m³

Poteau

• Longueur : c_x = 0,50 m
• Largeur : c_y = 0,50 m
• Hauteur : h = 4,00 m
• Poids propre : G_c,k = 25 kN avec γ = 25 kN/m³

Paramètres de sol

• Angle de frottement : φ'_d = 32°
• Paramètre de cisaillement Cohésion : c'_k = 15 kN/m²
• Poids volumique du sol à côté de la semelle de fondation : γ_1,k 20 kN/m³
• Poids volumique du sol sous la semelle de fondation : γ_2,k = 20 kN/m³

Cas de charge 1 - Charges permanentes

• Vertical : V_G,z,k = 975 kN

Incluant le poids propre du poteau G_c,k = 25 kN et de la fondation G_p,k = 156,25 kN, la somme des charges verticales permanentes s'élève à V_G,k,ges = 156,25 kN + 25 kN + 975 kN = 1156,25 kN. Le poids propre de la fondation est automatiquement pris en compte avec le poids propre de la structure, tant que la case « Poids propre actif » est cochée. Si le poids propre doit être saisi manuellement, des charges supplémentaires pour la fondation doivent être définies.

Cas de charge 2 - Charges variables

• Vertical : V_Q,z,k = 1000 kN
• Horizontal : H_Q,x,k = 190 kN

Facteurs partiels de sécurité

Le tableau suivant montre les facteurs partiels de sécurité selon l’EN 1997-1, A.3.

Actions (Actions A)	Symbole	A1	A2
Charges permanentes	γG	1,35	1,00
Charges variables	γQ	1,50	1,30
Paramètres de sol (Matériau M)	Symbole	M1	M2
Angle de frottement effectif	γ’φ	1,00	1,25
Cohésion effective	γ’c	1,00	1,25
Poids volumique	γγ	1,00	1,00
Résistances (Résistance R)	Symbole	R1	R2	R3
Rupture du sol	γR;v	1,00	1,40	1,00
Glissement	γR;h	1,00	1,10	1,00

Méthode 1

Avec cette méthode de calcul, deux ensembles différents de facteurs partiels de sécurité sont utilisés.

Dans la première combinaison 1-1, les facteurs partiels de sécurité A1, M1 et R1 sont utilisés, A1 (γ_G = 1,35 ; γ_Q = 1,5) augmentant les actions défavorables sur la fondation, tandis que M1 (γ'_φ = γ'_c = γ_γ = 1,00) ne réduit pas les paramètres de sol et R1 (γ_R;v = γ_R;h = 1,00) ne réduit pas les résistances.

Dans la deuxième combinaison 1-2, A2, M2 et R1 sont utilisés, A2 (γ_G = 1,00 ; γ_Q = 1,30) augmentant moins fortement les actions que A1, tandis que M2 (γ'_φ = γ'_c = 1,25 ; γ_γ = 1,00) réduit les paramètres de sol, ce qui diminue la résistance du sol à la rupture du terrain.

Pour la vérification, le calcul doit être effectué avec les deux ensembles de facteurs partiels de sécurité, l’ensemble présentant le ratio de vérification le plus élevé étant déterminant.

Méthode 1 (Combinaison 1-1) selon l'EN 1997-1, 2.4.7.3.4.2

Calcul de la résistance à la rupture du terrain

Excentrement e_x de la charge verticale effective en direction x

L’effort tranchant de calcul avec charges de fondation supplémentaires V_z,+add ainsi que la valeur de calcul du moment fléchissant résultant M_y,+add au centre de la fondation sont requises pour déterminer l’excentrement des charges verticales efficaces.

V_z,+add,d = γ_G ⋅ V_G,k + γ_Q ⋅ V_Q,k = 1,35 ⋅ 1156,25 kN + 1,5 ⋅ 1000 kN = 3060,94 kN

H_Q,x,d = γ_Q ⋅ H_Q,x,k = 1,50 ⋅ 190 kN = 285 kN

M_y,+add,d = (t + h) ⋅ H_Q,x,d = (1,00 m + 4,00 m) ⋅ 285 kN = 1425 kNm

e_x = -M_y,+add,d / V_z,+add,d = -1425 kNm / 3060,94 kN = -0,466 m

Longueur, largeur et base de fondation efficace

La charge excentrée réduit la surface de fondation admissible.

w_x - 2 ⋅ |e_x| = 2,50 m - 2 ⋅ 0,466 m = 1,569 m

w_y - 2 ⋅ |e_y| = 2,50 m - 2 ⋅ 0,000 m = 2,500 m

Longueur efficace : L' = max(w_x - 2 ⋅ |e_x|; w_y - 2 ⋅ |e_y|) = 2,500 m

Largeur efficace : B' = min(w_x - 2 ⋅ |e_x|; w_y - 2 ⋅ |e_y|) = 1,569 m

Aire efficace : A' = L' ⋅ B' = 2,500 m ⋅ 1,569 m = 3,922 m²

Paramètres de sol à utiliser

Angle de frottement : φ'_d = arctan(tan(φ'_k) / γ'_φ) = arctan(tan(32°) / 1,00) = 32°

Paramètre de cisaillement Cohésion : c'_d = c'_k / γ'_c = 15 kN/m² / 1,00 = 15 kN/m²

Poids volumique du sol : γ_1d = γ_2d = γ_1k / γ_γ = γ_2k / γ_γ = 20 kN/m³ / 1,00 = 20 kN/m³

L’angle de frottement φ’ décrit l'angle auquel la résistance au cisaillement d’un sol est atteinte par frottement entre les constituants du sol. En revanche, la cohésion c’ se réfère à la composante de la résistance au cisaillement résultant des forces de liaison internes entre les constituants du sol – indépendamment de la contrainte appliquée. Les deux paramètres jouent un rôle central dans la détermination de la résistance au cisaillement d’un sol sous différentes conditions de charge. Le poids volumique du sol à côté de la semelle de fondation est désigné par γ_1d, le poids volumique du sol sous la semelle de fondation par γ_2d.

Coefficients de capacité portante

N_q = e^{π ⋅ tan(φ‘_d)} ⋅ tan²(45°+φ‘_d / 2) = e^{π ⋅ tan(32°)} ⋅ tan²(45° + 32° / 2) = 23,18

Le coefficient N_q prend en compte la capacité portante due au poids propre du sol.

N_c = (N_q - 1) ⋅ cot(φ‘_d) = (23,18 kN - 1) ⋅ cot(32°) = 35,49

Le coefficient N_c prend en compte la capacité portante due à la cohésion du sol.

N_γ = 2 ⋅ (N_q - 1) ⋅ tan(φ‘_d) = 2 ⋅ (23,18 kN - 1) ⋅ tan(32°) = 27,72 avec δ ≥ φ'_d / 2 (surface de fondation rugueuse)

Le coefficient N_γ prend en compte la portance due à la résistance au cisaillement du sol.

Inclinaison de la surface de fondation

b_q = (1 - α ⋅ tan(φ'_d))² = (1 - 0)² = 1

b_c = b_q - (1 - b_q) / (N_c ⋅ tan(φ'_d)) = 1 - 0 = 1

b_γ = b_q = 1

Dans cet exemple, l’inclinaison de la surface de fondation α = 0° et n’a donc aucune influence sur la vérification de la résistance à la rupture du terrain.

Coefficients de forme pour sections rectangulaires

Les formules pour d’autres sections sont issues de l’Eurocode 1997-1, D.4.

s_q = 1 + B' / L' ⋅ sin(φ’_d) = 1 + 1,569 m / 2,50 m ⋅ sin(32°) = 1,333

s_c = (s_q ⋅ N_q - 1) / (N_q - 1) = (1,333 ⋅ 23,18 - 1) / (23,18 - 1) = 1,348

s_γ = 1 - 0,3 ⋅ B' / L' = 1 - 0,3 ⋅ 1,569 m / 2,50 m = 0,812

Coefficients d’inclinaison

m = (2 + L' / B') / (1 + L' / B') ⋅ cos²(ω) + (2 + B' / L') / (1 + B' / L') ⋅ sin²(ω)
= 0 + (2 + 1,569 m / 2,500 m) / (1 + 1,569 m / 2,500 m) ⋅ sin²(90°) = 1,614

i_q = (1 - H_d / (V_d + A' ⋅ c'_d ⋅ cot(φ‘_d)))^m
= (1 - 285 kN / (3060,94 kN + 3,922 m² ⋅ 15kN/m² ⋅ cot(32°)))^1,614 = 0,858

i_c = i_q - (1 - i_q) / (N_c ⋅ tan(φ'_d))
= 0,858 - (1 - 0,858) / (35,49 ⋅ tan(32°)) = 0,852

i_γ = (1 - H_d / (V_d + A' ⋅ c'_d ⋅ cot(φ'_d)))^m+1
= (1 - 285 kN / (3060,94 kN + 3,922 m² ⋅ 15kN/m² ⋅ cot(32°)))^1,614+1 = 0,781

Le coefficient d’inclinaison dépend de l'angle ω.

Résistance à la rupture du terrain

Influence de la profondeur de fondation (sol à côté de la fondation et charges supplémentaires) :

σ_R,q = q'_d ⋅ N_q ⋅ b_q ⋅ s_q ⋅ i_q = 20 kN/m² ⋅ 23,18 ⋅ 1 ⋅ 1,333 ⋅ 0,858 = 530,14 kN/m² avec q'_d = γ_1d ⋅ D

Influence de la cohésion :

σ_R,c = c'_d ⋅ N_c ⋅ b_c ⋅ s_c ⋅ i_c = 15 kN/m² ⋅ 35,49 ⋅ 1 ⋅ 1,348 ⋅ 0,852 = 611,11 kN/m²

Influence de la largeur de fondation (sol sous la fondation) :

σ_R,γ = 0,5 ⋅ γ'_d ⋅ B' ⋅ N_γ ⋅ b_γ ⋅ s_γ ⋅ i_γ = 0,5 ⋅ 20 kN/m³ ⋅ 1,569 m ⋅ 27,72 ⋅ 1 ⋅ 0,812 ⋅ 0,781 = 275,57 kN/m² avec γ'_d = γ_2d

Pression du sol admissible :

σ_R,k = R_k / A' = σ_s,q + σ_s,c + σ_s,γ = 530,14 kN/m² + 611,11 kN/m² + 275,57 kN/m² = 1416,83 kN/m²

σ_R,d = σ_s,k / γ_R;v = 1416,83 kN/m² / 1,00 = 1416,83 kN/m²

Pression du sol existante :

σ_E,d = V_d / A' = 3060,94 kN / 3,922 m² = 780,40 kN/m²

Ratio de vérification

η₁ = σ_E,d / σ_R,d = 780,40 kN/m² / 1416,83 kN/m² = 0,551 ≤ 1

Méthode 1 (Combinaison 1-2) selon l'EN 1997-1, 2.4.7.3.4.2

Calcul de la résistance à la rupture du terrain

Excentrement e_x de la charge verticale effective dans la direction x

V_z,+add,d = 1,00 ⋅ 1156,25 kN + 1,30 ⋅ 1000 kN = 2456,25 kN

H_Q,x,d = 1,30 ⋅ 190 kN = 247 kN

M_y,+add,d = (1,00 m + 4,00 m) ⋅ 247 kN = 1235 kNm

e_x = -1235 kNm / 2456,25 kN = -0,503 m

Longueur, largeur et surface de fondation réduites

Longueur réduite : L' = max(2,500 m ; 2,500 m - 2 ⋅ 0,503 m) = 2,500 m

Largeur réduite : B' = min(2,500 m ; 2,500 m - 2 ⋅ 0,503 m) = 1,494 m

Surface réduite : A' = 2,500 m ⋅ 1,494 m = 3,736 m²

Paramètres de sol à utiliser

Angle de frottement : φ'_d = arctan(tan(32°)/1,25) = 26,56°

Paramètre de cisaillement Cohésion : c'_d = 15 kN/m²/ 1,25 = 12 kN/m²

Poids volumique du sol : γ_1d = γ_2d = 20 kN/m³ / 1,00 = 20 kN/m³

Coefficients de capacité portante

N_q = e^{π ⋅ tan(26,56°)} ⋅ tan²(45° + 26,56° / 2) = 12,59

N_c = (12,59 kN - 1) ⋅ cot(26,56°) = 23,18

N_γ = 2 ⋅ (12,59 kN - 1) ⋅ tan(26,56°) = 11,59 avec δ ≥ φ'_d / 2 (surface de fondation rugueuse)

Inclinaison de la surface de fondation

b_q = b_c = b_γ = 1 car α = 0°

Coefficients de forme pour sections rectangulaires

s_q = 1 + 1,494 m / 2,500 m ⋅ sin(26,56°) = 1,267

s_c = (1,267 ⋅ 12,59-1) / (12,59 - 1) = 1,290

s_γ = 1 - 0,3 ⋅ 1,494 m / 2,500 m = 0,821

Coefficients d’inclinaison

m = 0 + (2 + 1,494 m / 2,500 m) / (1 + 1,494 m / 2,500 m) ⋅ sin²(90°) = 1,626

i_q = (1 - 247 kN / (2456,25 kN + 3,736 m² ⋅ 12kN/m² ⋅ cot(26,56°)))^1,626 = 0,847

i_c = 0,847 - (1 - 0,847) / (12,59 ⋅ tan(26,56°)) = 0,834

i_γ = (1 - 247 kN / (2456,25 kN + 3,736 m² ⋅ 12kN/m² ⋅ cot(26,56°)))^{1,626 + 1} = 0,765

Résistance à la rupture du sol

Influence de la profondeur de fondation (sol à côté de la fondation et charges supplémentaires) :

σ_R,q = 20 kN/m² ⋅ 12,59 ⋅ 1 ⋅ 1,267 ⋅ 0,847 = 270,26 kN/m² avec q'_d = γ_1d ⋅ D

Influence de la cohésion :

σ_R,c = 12 kN/m² ⋅ 23,18 ⋅ 1 ⋅ 1,1290 ⋅ 0,834 = 299,31 kN/m²

Influence de la largeur de fondation (sol sous la fondation) :

σ_R,γ = 0,5 ⋅ 20 kN/m³ ⋅ 1,494 m ⋅ 11,59 ⋅ 1 ⋅ 0,821 ⋅ 0,765 = 108,68 kN/m² avec γ'_d = γ_2d

Pression du sol admissible :

σ_R,k = σ_R,d = 270,26 kN/m² + 299,31 kN/m² + 108,68 kN/m² = 678,25 kN/m²

Pression du sol existante :

σ_E,d = 2456,25 kN / 3,736 m² = 657,45 kN/m²

Ratio de vérification

η₂ = 657,45 kN/m² / 678,25 kN/m² = 0,969 ≤ 1

Méthode 1

η = max(η₁ ; η₂) = max(0,551 ; 0,969) = 0,969 ≤ 1

Méthode 2 selon l’EN 1997-1, 2.4.7.3.4.2

Dans cette méthode de calcul, un ensemble de facteurs partiels de sécurité A1, M1 et R2 est utilisé, A1 (γ_G = 1,35 ; γ_Q = 1,5) augmentant les actions défavorables sur la fondation, tandis que M1 (γ'_φ = γ'_c = γ_γ = 1,00) ne réduit pas les paramètres de sol. R2 (γ_R;v = γ_R;h = 1,40) réduit en revanche les résistances.

Calcul de la résistance à la rupture du sol

Excentrement e_x de la charge verticale effective dans la direction x

V_z,+add,d = 1,35 ⋅ 1156,25 kN + 1,50 ⋅ 1000 kN = 3060,94 kN

H_Q,x,d = 1,50 ⋅ 190 kN = 285 kN

M_y,+add,d = (1,00 m + 4,00 m) ⋅ 285 kN = 1425 kNm

e_x = -1425 kNm / 3060,94 kN = -0,466 m

Longueur, largeur et surface de fondation réduites

Longueur réduite : L' = max(2,500 m ; 2,500 m - 2 ⋅ 0,466 m) = 2,500 m

Largeur réduite : B' = min(2,500 m ; 2,500 m - 2 ⋅ 0,466 m) = 1,569 m

Surface réduite : A' = 2,500 m ⋅ 1,569 m = 3,922 m²

Paramètres de sol à utiliser

Angle de frottement : φ'_d = 32°

Paramètre de cisaillement Cohésion : c'_d = 15 kN/m²

Poids volumique du sol : γ_1d = γ_2d = 20 kN/m³

Coefficients de portance

N_q = e^{π ⋅ tan(32°)} ⋅ tan²(45° + 32° / 2) = 23,18

N_c = (23,18 kN - 1) ⋅ cot(32°) = 35,49

N_γ = 2 ⋅ (23,18 kN - 1) ⋅ tan(32°) = 27,72 avec δ ≥ φ‘_d / 2 (surface de fondation rugueuse)

Inclinaison de la surface de fondation

b_q = b_c = b_γ = 1 car α = 0°

Coefficients de forme pour sections rectangulaires

s_q = 1 + 1,569 m / 2,500 m ⋅ sin(32°) = 1,333

s_c = (1,333 ⋅ 23,18-1) / (23,18-1) = 1,348

s_γ = 1 - 0,3 ⋅ 1,569 m / 2,500 m = 0,812

Coefficients d’inclinaison

m = 0 + (2 + 1,569 m / 2,500 m) / (1 + 1,569 m / 2,500 m) ⋅ sin²(90°) = 1,614

i_q = (1 - 285 kN / (3060,94 kN + 3,922 m² ⋅ 12kN/m² ⋅ cot(32°) ))^1,614 = 0,858

i_c = 0,858 - (1 - 0,858) / (23,18 ⋅ tan(32°)) = 0,852

i_γ = (1 - 285 kN / (3060,94 kN + 3,922 m² ⋅ 12kN/m² ⋅ cot(32°)))^{1,614 + 1} = 0,781

Résistance à la rupture du sol

Influence de la profondeur de fondation (sol à côté de la fondation et charges supplémentaires) :

σ_R,q = 20 kN/m² ⋅ 23,18 ⋅ 1 ⋅ 1,333 ⋅ 0,858 = 530,14 kN/m² avec q‘_d = γ_1d ⋅ D

Influence de la cohésion :

σ_R,c = 15 kN/m² ⋅ 35,49 ⋅ 1 ⋅ 1,1290 ⋅ 0,852 = 611,11 kN/m²

Influence de la largeur de fondation (sol sous la fondation) :

σ_R,γ = 0,5 ⋅ 20 kN/m³ ⋅ 1,569 m ⋅ 27,72 ⋅ 1 ⋅ 0,812 ⋅ 0,781 = 275,57 kN/m² avec γ‘_d = γ_2d

Pression du sol admissible :

σ_R,k = σ_R,d = 530,14 kN/m² + 611,11 kN/m² + 275,57 kN/m² = 1416,83 kN/m²

σ_R,d = 1416,83 kN/m² / 1,40 = 1012,02 kN/m²

Pression du sol existante :

σ_E,d = 3060,94 kN / 3,922 m² = 780,40 kN/m²

Vérification Méthode 2

η = 780,40 kN/m² / 1012,02 kN/m² = 0,771 ≤ 1

Méthode 2* selon l'EN 1997-1, 2.4.7.3.4.2

Dans cette méthode de calcul, un ensemble de facteurs partiels de sécurité A1, M1 et R2 est utilisé, A1 (γ_G = 1,35 ; γ_Q = 1,5) augmentant les actions défavorables sur la fondation, tandis que M1 (γ'_φ = γ'_c = γ_γ = 1,00) ne réduit pas les paramètres de sol. R2 (γ_R;v = γ_R;h = 1,40) réduit en revanche les résistances.

L'excentrement de la résultante et les coefficients d’inclinaison ne sont pas déterminés comme dans la méthode 2 avec les valeurs de calcul des actions, mais avec les actions caractéristiques. Dans la plupart des cas, cela conduit à des excentrements plus petits et donc à une surface réduite plus grande, ce qui rend la pression du sol admissible plus élevée qu'avec la méthode 2.

Calcul de la résistance à la rupture du sol

Excentrement e_x de la charge verticale effective en direction x

Ici, contrairement aux autres méthodes, les valeurs caractéristiques de la charge verticale avec charges de fondation supplémentaires V_z,+add,k ainsi que la valeur caractéristique du moment de flexion de calcul résultant au centre de la fondation M_y,+add,k sont utilisées pour déterminer l’excentrement existant.

V_z,+add,k = 1156,25 kN + 1000 kN = 2156,25 kN

H_Q,x,k = 1,50 ⋅ 190 kN = 190 kN

M_y,+add,k = (1,00 m + 4,00 m) ⋅ 190 kN = 950 kNm

e_x = -950 kNm / 2156,25 kN = -0,441 m

Longueur, largeur et base de fondation efficace

Longueur efficace : L' = max(2,500 m; 2,500 m - 2 ⋅ 0,441 m) = 2,500 m

Largeur efficace : B' = min(2,500 m; 2,500 m - 2 ⋅ 0,441 m) = 1,619 m

Aire efficace: A' = 2,500 m ⋅ 1,619 m = 4,047 m²

Paramètres de sol à utiliser

Angle de frottement : φ‘d = 32°

Paramètre de cisaillement Cohésion : c‘d = 15 kN/m²

Poids volumique du sol : γ1d = γ2d = 20 kN/m³

Coefficients de capacité portante

Nq = eπ ⋅ tan(32°) ⋅ tan²(45° + 32° / 2) = 23,18

Nc = (23,18 kN - 1) ⋅ cot(32°) = 35,49

Nγ = 2 ⋅ (23,18 kN - 1) ⋅ tan(32°) = 27,72 mit δ ≥ φ‘d / 2 (surface de fondation rugueuse)

Inclinaison de la base de fondation

bq = bc = bγ = 1 da α = 0°

Coefficients de forme pour les sections rectangulaires

sq = 1 + 1,619 m / 2,500 m ⋅ sin(32°) = 1,343

sc = (1,343 ⋅ 23,18 - 1) / (23,18 - 1) = 1,359

sγ = 1 - 0,3 ⋅ 1,619 m / 2,500 m = 0,806

Coefficients d’inclinaison

m = (2 + 1,619 m / 2,500 m) / (1 + 1,619 m / 2,500 m) ⋅ sin²(90°) = 1,607

iq = (1 - 190 kN / (2156,25 kN + 4,047 m² ⋅ 12kN/m² ⋅ cot(32°)))1,607 = 0,868

ic = 0,868 - (1 - 0,868) / (23,18 ⋅ tan(32°)) = 0,862

iγ = (1 - 190 kN / (2156,25 kN + 4,047 m² ⋅ 12kN/m² ⋅ cot(32°)))1,607 + 1 = 0,795

Résistance à la rupture du terrain

Influence de la profondeur de fondation (sol à côté de la fondation et charges supplémentaires) :

σR,q = 20 kN/m² ⋅ 23,18 ⋅ 1 ⋅ 1,343 ⋅ 0,868 = 540,42 kN/m² mit q'd = γ1d ⋅ D

Influence de la cohésion :

σR,c = 15 kN/m² ⋅ 35,49 ⋅ 1 ⋅ 1,348 ⋅ 0,862 = 623,50 kN/m²

Influence de la largeur de fondation (sol sous la fondation) :

σR,γ = 0,5 ⋅ 20 kN/m³ ⋅ 1,619 m ⋅ 27,72 ⋅ 1 ⋅ 0,806 ⋅ 0,795 = 287,33 kN/m² mit γ'd = γ2d

Pression du sol admissible :

σR,k = 540,42 kN/m² + 623,50 kN/m² + 287,33 kN/m² = 1451,25 kN/m²

σR,d = 1451,25 kN/m² / 1,40 =1036,61 kN/m²

Pression du sol existante :

Vz,+add,d = 1,35 ⋅ 1156,25 kN + 1,50 ⋅ 1000 kN = 3060,94 kN

σE,d = 3060,94 kN / 4,047 m² = 756,33 kN/m²

Méthode 2*

η = 756,33 kN/m² / 1036,61 kN/m² = 0,730 ≤ 1

Méthode 3 selon l’EN 1997-1, 2.4.7.3.4.2

Avec cette métrhode de calcul, un ensemble de facteurs partiels de sécurité A1 et A2, M2 et R3 est utilisé. Pour les actions issues de la structure, les facteurs partiels de sécurité de l’ensemble de données A1 (γ_G = 1,35; γ_Q = 1,50) sont utilisés, tandis que les actions géométriques doivent être augmentées avec l’ensemble de données A2 (γ_G = 1,00; γ_Q = 1,30). De plus, les propriétés du sol sont réduites de M2 (γ'_φ = γ'_c = 1,25; γ_γ =1,00). R3 (γ_R;v = γ_R;h = 1,00) ne réduit pas les résistances.

Calcul de la résistance à la rupture du terrain

Excentrement e_x de la charge verticale efficace en direction x

Vz,+add,d = 1,35 ⋅ 1156,25 kN + 1,50 ⋅ 1000 kN = 3060,94 kN

HQ,x,d = 1,50 ⋅ 190 kN = 285 kN

My,+add = (1,00 m + 4,00 m) ⋅ 285 kN = 1425 kNm

ex = -1425 kNm / 3060,94 kN = -0,466 m

Longueur, largeur et base de fondation efficace

Longueur efficace : L' = max(2,500 m; 2,500 m - 2 ⋅ 0,466 m) = 2,500 m

Largeur efficace : B' = min(2,500 m; 2,500 m - 2 ⋅ 0,466 m) = 1,569 m

Aire efficace : A' = 2,500 m ⋅ 1,569 m = 3,922 m²

Paramètres de sol à utiliser

Angle de frottement : φ'd = arctan(tan(32°) / 1,25) = 26,56°

Paramètre de cisaillement Cohésion : c'd = 15 kN/m²/ 1,25 = 12 kN/m²

Poids volumique du sol : γ1d = γ2d = 20 kN/m³

Coefficients de capacité portante

Nq = eπ ⋅ tan(26,56°) ⋅ tan²(45° + 26,56° / 2) = 12,59

Nc = (12,59 kN - 1) ⋅ cot(26,56°) = 23,18

Nγ = 2 ⋅ (12,59 kN - 1) ⋅ tan(26,56°) = 11,59 mit δ ≥ φ‘d / 2 (surface de fondation rugueuse)

Inclinaison de la base de fondation

bq = bc = bγ = 1 da α = 0°

Coefficients de forme pour les sections rectangulaires

sq = 1 + 1,569 m / 2,500 m ⋅ sin(26,56°) = 1,281

sc = (1,281 ⋅ 12,59 - 1) / (12,59 - 1) = 1,305

sγ = 1-0,3 ⋅ 1,569 m / 2,500 m = 0,812

Coefficients d’inclinaison

m = (2 + 1,569 m / 2,500 m)/ (1 + 1,569 m / 2,500 m) ⋅ sin²(90°) = 1,614

iq = (1 - 285 kN / (3060,94 kN + 3,922 m² ⋅ 12kN/m² ⋅ cot(26,56°)))1,614 = 0,858

ic = 0,858 - (1 - 0,858) / (12,59 ⋅ tan(26,56°) ) = 0,846

iγ = (1 - 285 kN / (3060,94 kN + 3,922 m² ⋅ 12kN/m² ⋅ cot(26,56°)))1,614 + 1 = 0,781

Résistance à la rupture du terrain

Influence de la profondeur de fondation (sol à côté de la fondation et charges supplémentaires) :

σR,q = 20 kN/m² ⋅ 12,59 ⋅ 1 ⋅ 1,281 ⋅ 0,858 = 276,70 kN/m² mit q'd = γ1d ⋅ D

Influence de la cohésion :

σR,c = 12 kN/m² ⋅ 23,18 ⋅ 1 ⋅ 1,305 ⋅ 0,846 = 307,07 kN/m²

Influence de la largeur de fondation (sol sous la fondation) :

σR,γ = 0,5 ⋅ 20 kN/m³ ⋅ 1,569 m ⋅ 11,59 ⋅ 1 ⋅ 0,812 ⋅ 0,781 = 115,19 kN/m² mit γ'd = γ2d

Pression du sol admissible :

σR,k = σR,d = 276,70 kN/m² + 307,07 kN/m² + 115,19 kN/m² = 698,95 kN/m²

Pression du sol existante :

σE,d = 3060,94 kN / 3,922 m² = 780,40 kN/m²

Méthode 3

η = 780,40 kN/m² / 698,95 kN/m² = 1,117 ≥ 1

Comparaison des vérifications

Les différences dans le processus de calcul des méthodes 1 (combinaison 1-1), 1 (combinaison 1-2), 2, 2* et 3 se rapportent principalement aux facteurs partiels de sécurité. Le tableau suivant montre clairement les effets des différents concepts de sécurité.

	Symbole	Unité	Méthodes
			1-1	1-2	2	2*	3
Facteurs partiels de sécurité (Actions A)	A	[−]	1	2	1	1	1 (2) 1)
	γG	[−]	1,35	1,00	1,35	1,35	1,35 (1,00)
	γQ	[−]	1,50	1,30	1,50	1,50	1,50 (1,30)
Vertikallast in z	VG,z+add,k	kN	1156,25
	VQ,z	kN	1000
	∑Vz+add,k	kN	2156,25
	Vz+add,d	kN	3060,94	2456,25	3060,94	3060,94	3060,94
Horizontal Last in x	HQ,x,k	kN	190
	HQ,x,d	kN	285	247	285	285	285
Charges de calcul des résistances	Vz	kN	3060,94	2456,25	3060,94	2156,25 2)	3060,94
	Hx	kN	285	247	285	190 2)	285
Moments de calcul dans la semelle	My,x+add	kNm	1425	1235	1425	950	1425
Excentrement en x	ex	m	-0,466	-0,503	-0,466	-0,441	-0,466
Longueur efficace	L'	m	2,500
Largeur efficace	B'	m	1,569	1,494	1,569	1,619	1,569
Aire efficace	A'	m²	3,922	3,736	3,922	4,047	3,922
Facteurs partiels de sécurité (Matériau M)	M	[−]	1	2	1	1	2
	γ‘φ	[−]	1,00	1,25	1,00	1,00	1,25
	γ‘c	[−]	1,00	1,25	1,00	1,00	1,25
	γγ	[−]	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00
Angle de frottement	φ'k	°	32
	φ'd	°	32	26,56	32	32	26,56
Cohésion	c’k	kN/m²	15
	c'd	kN/m²	15	12	15	15	12
Poids volumique	γ1,k= γ2,k	kN/m³	20
	γ1,d= γ2,d	kN/m³	20
Coefficients de capacité portante	Nq	[−]	23,18	12,59	23,18	23,18	12,59
	Nc	[−]	35,49	23,18	35,49	35,49	23,18
	Nγ	[−]	27,72	11,59	27,72	27,72	11,59
Coefficients de forme pour les sections rectangulaires	sq	[−]	1,333	1,267	1,333	1,343	1,281
	sc	[−]	1,348	1,290	1,348	1,359	1,305
	sγ	[−]	0,812	0,821	0,812	0,806	0,812
	m	[−]	1,614	1,626	1,614	1,607	1,614
Coefficients d’inclinaison	iq	[−]	0,858	0,847	0,858	0,868	0,858
	ic	[−]	0,852	0,834	0,852	0,862	0,846
	iγ	[−]	0,781	0,765	0,781	0,795	0,781
Profondeur de la contrainte de fondation	σR,q	kN/m²	530,14	270,26	530,14	540,42	276,70
Cohésion de contrainte	σR,c	kN/m²	611,11	299,31	611,11	623,50	307,07
Profondeur de la contrainte de fondation	σR,γ	kN/m²	275,57	108,68	275,57	287,33	115,19
Facteurs partiels de sécurité (Résistance R)	R	[−]	1	1	2	2	3
	γR;v	[−]	1,00	1,00	1,40	1,40	1,00
Pression du sol admissible	σR,k	kN/m²	1416,83	678,25	1416,25	1451,25	698,95
	σR,d	kN/m²	1416,83	678,25	1012,02	1036,61	698,95
Pression du sol existante	σE,d	kN/m²	780,40	657,45	780,40	756,33	780,40
Ratio de vérification	η	[−]	0,551	0,969	0,771	0,730	1,117
			0,969
1) Dans le cas d’actions issues de la structure porteuse, les facteurs partiels de sécurité de l’ensemble de données A1 sont utilisés, tandis que les actions géométriques doivent être augmentées avec l’ensemble de données A2.
2) Les actions caractéristiques sont utilisées pour déterminer la résistance avec la méthode 2*.

Conclusion

Les méthodes de l’EN 1997-1 permettent différents niveaux de sécurité et d’efficacité économique.

La méthode 1 se caractérise par le fait qu’elle nécessite deux combinaisons avec des concepts de sécurité différents.Cela permet d’avoir une vue différenciée des exigences de sécurité et de garantir que la combinaison avec le ratio de vérification le plus élevé est déterminante. La combinaison 1-1 augmente les actions sur la fondation, tandis que la combinaison 1-2 réduit les propriétés de matériau.

Les méthodes 2 et 2* simplifient la vérification par rapport à la méthode 1, car chacune utilise un seul ensemble de données. Cet ensemble de données augmente les actions et réduit les résistances sans réduire les paramètres du sol. La position (excentrement) et l’inclinaison de charge de la résultante sont des valeurs d’entrée importantes lors du calcul de la capacité portante du sol. La méthode 2 utilise les valeurs de calcul pour cela, tandis que la méthode 2* fonctionne avec les actions caractéristiques, ce qui conduit à une plus grande résistance à la rupture du sol avec la méthode 2*.

La méthode 3 conduit généralement à des résultats particulièrement conservateurs, car l’ensemble de données des facteurs partiels de sécurité utilisés ici augmente les actions et réduit les paramètres du sol, sans réduire les résistances. Cette méthode offre généralement le niveau de sécurité le plus élevé.

L’image suivante montre les pays qui autorisent cette méthode. RFEM autorise uniquement les méthodes spécifiées dans les Annexes Nationales correspondantes.