2026-08-11

Instabilità per carico di punta di Eulero

Descrizione

Un'asta con sezione trasversale circolare è vincolata secondo i quattro casi fondamentali di instabilità Euleriana ed è soggetta a una forza di compressione P, come illustrato nella figura seguente. Determinare il carico critico P_cr. Il problema è descritto dai seguenti parametri.

Materiale	Acciaio	Modulo di Elasticità	E	210000.000	MPa
Materiale	Acciaio	Coefficiente di Poisson	ν	0.300	-
Geometria	Asta	Lunghezza	L	2.000	m
Geometria	Asta	Diametro	d	30.000	mm
Carico	Forza	Forza	P	10.000	kN

Instabilità di Eulero

Soluzione Analitica

L'equazione differenziale governante per tutti i casi di instabilità è la seguente:

\frac{d^{2}}{d x^{2}} y = - \frac{M}{E I},

y	Coordinata nella direzione di instabilità
M	Momento flettente relativo alla sezione trasversale
I	Momento d'inerzia

Equazione Differenziale Governante per l'Instabilità

Caso di Instabilità 1

L'asta è incastrata a un'estremità e libera all'altra. L'equazione governante può quindi essere riscritta come:

\frac{d^{2}}{d x^{2}} y = - \frac{P}{E I} (δ - y)

δ	Flessione laterale massima della punta del montante

Equazione governante per il Caso 1 (Fisso-Libero)

Utilizzando la sostituzione

α = \sqrt{\frac{P}{E I}}

Sostituzione

la soluzione dell'equazione precedente si presenta come

y = C_{1} \cos (α x) + C_{2} \sin (α x) + δ

Soluzione generale y per il Caso 1

Le costanti di integrazione C₁ e C₂ possono essere ottenute dalle seguenti condizioni al contorno

y (0) = 0

\frac{d}{d x} y (0) = 0

Condizioni al contorno per il Caso 1

La deformata risultante si presenta quindi come

y = δ (1 - \cos (α x)))

Inflessione risultante y per il Caso 1

Per un δ diverso da zero e per l'estremità dell'asta, deve valere la seguente condizione

\cos (α L) = 0 \Rightarrow α L = k \frac{π}{2}, k = 1, 3, 5, . . .

Condizione per il Caso 1

Il valore minimo corrisponde a k = 1 e la forza critica P_cr è quindi, sostituendo nella relazione di α,

P_{c r} = \frac{π^{2} E I}{4 L^{2}} \approx 5.151 kN

Forza critica per il caso 1

Caso di Instabilità 2

L'asta è vincolata mediante cerniere, di cui una è anche scorrevole. L'equazione governante si presenta come

\frac{d^{2}}{d x^{2}} y = - \frac{P}{E I} y

Equazione Governante per il Caso 2 (Pinned-Pinned Sliding)

la soluzione di questa equazione differenziale è della forma

y = C_{1} \cos (α x) + C_{2} \sin (α x)

Soluzione generale per il caso 2

Le costanti di integrazione C₁ e C₂ possono essere ottenute dalle seguenti condizioni al contorno

y (0) = 0,

y (L) = 0

Condizioni al Contorno per il Caso 2

Dalle condizioni al contorno segue

C_{2} \sin (α L) = 0

Condizione per il caso 2

Per una costante C₂ diversa da zero si può scrivere

\sin (α L) = 0 \Rightarrow α L = k π, k = 1, 2, 3, . . .

Condizione per il Caso 2

Il valore minimo corrisponde a k = 1 e la forza critica P_cr è quindi

P_{c r} = \frac{π^{2} E I}{L^{2}} \approx 20.602 k N

Forza critica per il Caso 2

Caso di Instabilità 3

L'asta è incastrata a un'estremità e vincolata mediante una cerniera scorrevole all'altra. L'equazione governante può quindi essere riscritta come segue

\frac{d^{2}}{d x^{2}} y = - \frac{P}{E I} (y - \frac{H}{P} (L - x))

Equazione governante per il caso 3 (fisso-scorrevole con cerniera)

dove H è la forza di reazione orizzontale nella cerniera. La soluzione di questa equazione differenziale si presenta come

y = C_{1} \cos (α x) + C_{2} \sin (α x) + \frac{H}{P} (L - x)

Soluzione generale per il caso 3

Le costanti di integrazione C₁ e C₂ possono essere ottenute dalle stesse condizioni al contorno del Caso 1. La deformata risultante è quindi

y = \frac{H}{P} (\frac{1}{α} \sin (α x) - L \cos (α x) + (L - x))

Inflessione risultante per il Caso 3

Questa equazione deve soddisfare anche la condizione al contorno per la seconda estremità dell'asta, dopo la sostituzione

0 = \frac{H}{P} (\frac{1}{α} \sin (α L) - L \cos (α L))

Sostituzione della Condizione al Contorno per il Caso 3

Per una forza di reazione orizzontale H diversa da zero, deve valere la seguente equazione

\tan (α L) = α L

Condizione trascendentale

Questa equazione trascendente può essere risolta numericamente o graficamente, con soluzione approssimata

P_{c r} \approx 42.147 kN

Forza critica per il caso 3

Caso di Instabilità 4

L'asta è incastrata a entrambe le estremità e un'estremità è scorrevole. L'equazione governante assume la forma

\frac{d^{2}}{d x^{2}} y = - \frac{P}{E I} (y - \frac{M_{1}}{P})

M₁	Momento di reazione nel supporto fisso

Equazione Governante per il Caso 4 (Scorrimento Fisso-Fisso)

dove M₁ è il momento di reazione nell'incastro. La soluzione di questa equazione differenziale si presenta come

y = C_{1} \cos (α x) + C_{2} \sin (α x) + \frac{M_{1}}{P}

Soluzione Generale per il Caso 4

Le costanti di integrazione C₁ e C₂ possono essere ottenute dalle condizioni al contorno del Caso 1. La soluzione generale si presenta quindi come

y = \frac{M_{1}}{P} (1 - \cos (α x))

Soluzione generale (semplificata) per il caso 4

Questa equazione deve soddisfare anche la condizione al contorno per la seconda estremità dell'asta, dopo la sostituzione

0 = \frac{M_{1}}{P} (1 - \cos (α L))

Sostituzione della condizione al contorno per il Caso 4

Per un momento di reazione M₁ diverso da zero, la seguente equazione

\cos (α L) = 1 \Rightarrow α L = 2 k π, k = 1, 2, 3, . . .

Condizione per il Caso 4

fornisce un valore minimo per k = 1 e la forza critica P_cr è

P_{c r} = \frac{4 π^{2} E I}{L^{2}} \approx 82.409 kN

Forza critica per il caso 4

Impostazioni di RFEM e RSTAB

Modellato in RFEM 6.13, RSTAB 9.12 e RFEM 5.16 e RSTAB 8.16
Dimensione dell'elemento l_FE = 0.1 m
Viene utilizzato un materiale isotropo lineare elastico
Il metodo di Lanczos è utilizzato per l'analisi agli autovalori

Risultati

Caso di Instabilità	Soluzione Analitica P_cr [kN]	RFEM 6 P_cr [kN]	Rapporto [-]	RSTAB 9 P_cr [kN]	Rapporto [-]	RFEM 5 – RF-STABILITY P_cr [kN]	Rapporto [-]	RSTAB 8 – RSBUCK P_cr [kN]	Rapporto [-]
Caso 1	5.151	5.150	1.000	5.150	1.000	5.150	1.000	5.153	1.000
Caso 2	20.602	20.594	1.000	20.594	1.000	20.596	1.000	20.749	1.007
Caso 3	42.147	42.109	0.999	42.109	0.999	42.107	0.999	43.190	1.025
Caso 4	82.409	82.289	0.999	82.285	0.998	82.270	0.998	83.324	1.011

Risultati in RFEM / RSTAB - Primo autovettore

Esempio di verifica 0096 | 1

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