cálculo de las reacciones en los apoyos
Primero, se debe aclarar cómo se determina el resultado de un apoyo en línea. Un apoyo en línea se divide internamente en apoyos en nudo en cada punto de la malla. Después se determina una fuerza en el apoyo para cada apoyo en nudo. Mediante ciertas opciones de suavizado que tienen en cuenta la influencia de los apoyos adyacentes, se crea la distribución lineal entre los puntos de apoyo (en nudo) individuales. Este resultado se corresponde con la distribución real.
Si se toma una placa cuadrada con una carga constante en ambos lados como un ejemplo simple, ya se puede ver que el número de elementos finitos, así como la rigidez utilizada en la placa (espesor, coeficiente de Poisson, isótropa u ortótropa) y la rigidez del apoyo tienen un papel importante.
Ejemplo 1: Carga superficial constante
Se aplica una carga de 3 kN/m² sobre una losa de 20 cm de espesor con unas dimensiones de 2x2 m y un ancho de malla de EF de 40 cm. Se asume que el coeficiente de Poisson es 0. El modelo se introduce por segunda vez con los apoyos en nudo.
La distribución de las fuerzas en los apoyos en línea se determina con las reacciones en los apoyos en nudo determinadas, el ancho de influencia y la opción de suavizado. En los puntos de borde, el ancho de influencia corresponde a 20 cm (= ancho medio de la malla de EF) y dentro de 40 cm (= ancho total de la malla de EF).
K1 = 0,488678 → L1 = 0,488678 / 0,2 = 2,44339 kN/m
K2 = 1,325770 → L2 = (1,325770 · 3 + 1,185550) / 4 / 0,4 = 3,2267875 kN/m
K3 = 1,185550 → L3 = (1,185550 · 2 + 1,325770 + 1,185550) / 4 / 0,4 = 3,0515125 kN/m
K4 = 1,185550 → L4 = (1,185550 · 2 + 1,185550 + 1,325770) / 4 / 0,4 = 3,0515125 kN/m
K5 = 1,325770 → L5 = (1,325770 · 3 + 1,185550) / 4 / 0,4 = 3,2267875 kN/m
K6 = 0,488678 → L6 = 0,488678 / 0,2 = 2,44339 kN/m
Ejemplo 2: Apoyo en nudo adicional
Tal como en el ejemplo 1, pero se inserta un apoyo en nudo adicional en el inicio del apoyo en línea. Se muestra un mensaje de advertencia correspondiente antes del cálculo. A parte del nudo con un apoyo adicional, no hay diferencias. Como la carga total en el nudo 1 debe de ser el valor del ejemplo anterior y ambos apoyos tienen la misma rigidez, se obtiene como resultado el siguiente valor para ambos apoyos en nudo y la coordenada inicial del apoyo en línea.
K1 = L1
K1 + 0,2 · K1 = 0,751475 → K1 = 0,488678 / 1,2 = 0,4072317 kN y kN/m
Ejemplo 3: Dos cargas de bloque diferentes
K1 = 1,008900 → L1 = 1,008900 / 0,2 = 5,044500 kN/m
K2 = 1,891280 → L2 = (1,891280 · 3 + 1,326110) / 4 / 0,4 = 4,374969 kN/m
K3 = 1,326110 → L3 = (1,326110 · 2 + 1,891280 + 1,000430) / 4 / 0,4 = 3,464956 kN/m
K4 = 1,000430 → L4 = (1,000430 · 2 + 1,326110 + 1,011220) / 4 / 0,4 = 2,711369 kN/m
K5 = 1,011220 → L5 = (1,011220 · 3 + 1,000430) / 4 / 0,4 = 2,521306 kN/m
K6 = 0,162069 → L6 = 0,162069 / 0,2 = 0,810345 kN/m
Ejemplo 4 Suavizado lineal con el ejemplo 3
El programa debe determinar un trapezoide que tenga la misma integral y las mismas coordenadas del centro de gravedad que la cadena poligonal mostrada. Para la determinación de la superficie (correspondiente a la suma de la carga), es menos importante cuán aproximada es la malla de EF, pero es menos importante para la determinación de las coordenadas del centro de gravedad. Además, la inclinación del gradiente suavizado debe seguir las ordenadas del gradiente real. Es similar al cálculo de la línea de tendencia lineal en Excel. Primero, se determinan las integrales de las áreas parciales individuales.
A1 = (5,044500 + 4,374969) / 2 · 0,4 = 1,8838938 kN
A2 = (4,374969 + 3,464956) / 2 · 0,4 = 1,5679850 kN
A3 = (3,464956 + 2,711369) / 2 · 0,4 = 1,2352650 kN
A4 = (2,711369 + 2,521306) / 2 · 0,4 = 1,0465350 kN
A5 = (2,521306 + 0,810345) / 2 · 0,4 = 0,6663302 kN
Suma de las fuerzas en los apoyo de la línea = 6,400009 kN
Los centros de gravedad locales de las áreas parciales individuales son:
xs1 = 0,4 / 3 · ((5,044500 + 2 · 4,374969) / (5,044500 + 4,374969)) = 0,195261366 m
xs2 = 0,4 / 3 · ((4,374969 + 2 · 3,464956) / (4,374969 + 3,464956)) = 0,192261724 m
xs3 = 0,4 / 3 · ((3,464956 + 2 · 2,711369) / (3,464956 + 2,711369)) = 0,191865848 m
xs4 = 0,4 / 3 · ((2,711369 + 2 · 2,521306) / (2,711369 + 2,521306)) = 0,197578517 m
xs5 = 0,4 / 3 · ((2,521306 + 2 · 0,810345) / (2,521306 + 0,810345)) = 0,165763498 m
Posteriormente, se determina el centro de gravedad global al multiplicar las integrales parciales por el centro de gravedad global en el inicio de la línea y al dividir por la carga total.
(A1 · xs1 + A2 · (xs2 + 0,4) + A3 · (xs3 + 2 · 0,4) + A4 · (xs4 + 3 · 0,4) + A5 · (xs5 + 4 · 0,4)) / 6,400009 = 0,806393054 m
Ahora sólo se tienen que determinar las dos longitudes de borde de la superficie trapezoidal que tienen la misma posición del centro de gravedad. Esto se realiza al convertir el cálculo del centro de gravedad y el cálculo de la fuerza total en el apoyo.
b = (0,806393054 · 3 / 2 - 1) / (2 - 0,806393054 · 3 / 2) = 0,265165508 a
a = (6,400009 · 2 / 2) / (1 + 0,265165508) = 5,05863 kN/m → b = 1,34137
Nota
Los ejemplos mostrados en este artículo se han calculado con una malla de EF aproximada, de forma que el proceso se puede ilustrar con ejemplos. Con la opción "Diagramas de resultados" del menú contextual del apoyo en línea, solo se transfiere el diagrama lineal con sus ordenadas en los puntos del apoyo (sin la información en la ventana de información) al cuadro de diálogo abierto. Por lo tanto, el suavizado lineal en el cuadro de diálogo muestra un suavizado lineal ligeramente diferente que directamente en la ventana de trabajo. Si el tamaño de la malla de FE se reduce más y más para que la distribución poligonal se adapte cada vez más a una distribución curva, se cometen errores cada vez más pequeños al integrar la superficie y determinar el centro de gravedad.
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