Vlastnosti a výpočet výsledných hodnot na liniových podporách

výpočet podporových sil

Zaprvé je třeba objasnit, jak se výsledky u liniové podpory stanoví. Liniová podpora se interně rozdělí na uzlové podpory v každém bodu sítě. Následně se pro každou uzlovou podporu vypočítá podporová síla. Za pomoci voleb pro vyhlazení výsledků, které zohledňují vliv sousedních podpor, se stanoví lineární průběh hodnot mezi jednotlivými (uzlovými) podporovými body. Výsledek pak odpovídá skutečnému průběhu.

Pokud si jako jednoduchý příklad vezmeme čtvercovou desku s konstantním namáháním podepřenou na dvou stranách, pak již v tomto případě zjistíme, že velkou roli hrají počet konečných prvků, uvažovaná tuhost desky (tloušťka, Poissonův součinitel, typ izotropní nebo ortotropní) a také tuhost podpory.

Příklad 1: Konstantní zatížení na plochu

Deska o tloušťce 20 cm a o rozměrech 2 · 2 m, u které byla zadána délka konečných prvků 40 cm, je namáhána plošným zatížením 3 kN/m². Uvažuje se Poissonův součinitel 0. Tento model zadáme podruhé s uzlovými podporami.

Na základě spočtených reakcí uzlových podpor, šířky vlivu a při vyhlazení hodnot se stanoví průběh podporových sil na linii. V okrajových bodech šířka vlivu odpovídá 20 cm (= poloviční délka konečných prvků) a ve vnitřní části 40 cm (= celková délka konečných prvků).

K1 = 0,488678 → Z1 = 0,488678 / 0,2 = 2,44339 kN/m
K2 = 1,325770 → Z2 = (1,325770 · 3 + 1,185550) / 4 / 0,4 = 3,2267875 kN/m
K3 = 1,185550 → Z3 = (1,185550 · 2 + 1,325770 + 1,185550) / 4 / 0,4 = 3,0515125 kN/m
K4 = 1,185550 → Z4 = (1,185550 · 2 + 1,185550 + 1,325770) / 4 / 0,4 = 3,0515125 kN/m
K5 = 1,325770 → Z5 = (1,325770 · 3 + 1,185550) / 4 / 0,4 = 3,2267875 kN/m
K6 = 0,488678 → Z6 = 0,488678 / 0,2 = 2,44339 kN/m

Příklad 1

Příklad 2: Přídavná uzlová podpora

Tento příklad je stejný jako příklad 1, pouze vložíme přídavnou uzlovou podporu na počátek liniového podepření. Před výpočtem se zobrazí příslušné varovné hlášení. Až na tento přídavně podepřený uzel se příklady nijak neliší. Vzhledem k tomu, že jako celkové zatížení v uzlu 1 musí vycházet hodnota z výše uvedeného příkladu a obě podpory mají stejnou tuhost, dostaneme pro uzlovou podporu a také pro počáteční pořadnici liniové podpory následující hodnotu.

K1 = Z1
K1 + 0,2 · K1 = 0,751475 → K1 = 0,488678 / 1,2 = 0,4072317 kN resp. kN/m

Příklad 2

Příklad 3: Dvě různá bloková zatížení

K1 = 1,008900 → Z1 = 1,008900 / 0,2 = 5,044500 kN/m
K2 = 1,891280 → Z2 = (1,891280 · 3 + 1,326110) / 4 / 0,4 = 4,374969 kN/m
K3 = 1,326110 → Z3 = (1,326110 · 2 + 1,891280 + 1,000430) / 4 / 0,4 = 3,464956 kN/m
K4 = 1,000430 → Z4 = (1,000430 · 2 + 1,326110 + 1,011220) / 4 / 0,4 = 2,711369 kN/m
K5 = 1,011220 → Z5 = (1,011220 x 3 + 1.000430)/4/0,4 = 2,521306 kN/m
K6 = 0,162069 → Z6 = 0,162069 / 0,2 = 0,810345 kN/m

Příklad 3:

Příklad 4 Lineární vyhlazení v příkladu 3

Program musí stanovit lichoběžník, který má stejný integrál a těžiště se stejnými souřadnicemi jako zobrazený polygonový pořad. Jemnost sítě není ani tak důležitá pro výpočet plochy (odpovídá součtu zatížení), jako pro stanovení souřadnic těžiště. Také sklon vyhlazeného průběhu se musí řídit pořadnicemi skutečného průběhu. Je to podobné jako u lineární trendové funkce v Excelu. Nejdříve se určí integrály jednotlivých dílčích oblastí.

A1 = (5,044500 + 4,374969) / 2 · 0,4 = 1,8838938 kN
A2 = (4,374969 + 3,464956) / 2 · 0,4 = 1,5679850 kN
A3 = (3,464956 + 2,711369) / 2 · 0,4 = 1,2352650 kN
A4 = (2,711369 + 2,521306) / 2 · 0,4 = 1,0465350 kN
A5 = (2,521306 + 0,810345) / 2 · 0,4 = 0,6663302 kN

Součet podporových sil na linii = 6,400009 kN

Lokální těžiště jednotlivých dílčích oblastí:

xs1 = 0,4 / 3 · ((5,044500 + 2 · 4,374969) / (5,044500 + 4,374969)) = 0,195261366 m
xs2 = 0,4 / 3 · ((4,374969 + 2 · 3,464956) / (4,374969 + 3,464956)) = 0,192261724 m
xs3 = 0,4 / 3 · ((3,464956 + 2 · 2,711369) / (3,464956 + 2,711369)) = 0,191865848 m
xs4 = 0,4 / 3 · ((2,711369 + 2 · 2,521306) / (2,711369 + 2,521306)) = 0,197578517 m
xs5 = 0,4 / 3 · ((2,521306 + 2 · 0,810345) / (2,521306 + 0,810345)) = 0,165763498 m

Následně se určí globální těžiště tak, že se dílčí integrály vynásobí globálním těžištěm k počátku linie a vydělí celkovým zatížením.

(A1 · xs1 + A2 · (xs2 + 0,4) + A3 · (xs3 + 2 · 0,4) + A4 · (xs4 + 3 · 0,4) + A5 · (xs5 + 4 · 0,4)) / 6,400009 = 0,806393054 m

Nyní je třeba stanovit již jen obě délky hran lichoběžníkové plochy, které mají stejnou polohu těžiště. Vyjdeme přitom z výpočtu těžiště a celkové podporové síly.

b = (0,806393054 · 3 / 2 - 1) / (2 - 0,806393054 · 3 / 2) = 0,265165508 a
a = (6,400009 · 2 / 2) / (1 + 0,265165508) = 5,05863 kN/m → b = 1,34137

Příklad 4:

Pozor: Výpočet uvedených příkladů proběhl na hrubé síti KP, což nám umožňuje názorně předvést příslušný postup. Při zvolení volby „Průběhy výsledků“ v místní nabídce liniové podpory se do otevřeného dialogu převede pouze lineární průběh s příslušnými pořadnicemi na podporových bodech (bez informací v informačním okně). Lineární vyhlazení v dialogu se tak mírně liší od vyhlazení přímo v pracovním okně. Pokud se velikost sítě KP dále zmenšuje, a polygonový průběh se tak stále více blíží křivce, dochází při integraci plochy a stanovení těžiště k stále menším chybám.