Calcul des forces d’appui
Il est fondamental de savoir comment est obtenu le résultat pour un appui linéique. Un appui linéique est divisé en plusieurs appuis nodaux en chaque point de maillage. Une force d’appui est ensuite déterminée pour chaque appui nodal. La distribution linéaire entre les différents points d’appui (ou nodaux) est générée à l’aide de certaines options de lissage qui considèrent l’influence des appuis adjacents. Ce résultat correspond effectivement au cas traité ici.
En prenant un exemple simple tel qu’une dalle carrée supportée avec une sollicitation constante des deux côtés, on constate que le nombre d'éléments finis ainsi que la rigidité utilisée pour la plaque (épaisseur, coefficient de Poisson, isotrope ou orthotrope) et la rigidité des appuis jouent un rôle important.
Exemple 1 : charge surfacique constante
Une charge surfacique de 3 kN/m² est appliquée à une dalle de 20 cm d'épaisseur, de dimensions 2 · 2 m et avec une largeur de maillage EF de 40 cm. Le coefficient de Poisson est supposé être de 0. Le modèle a été entré une seconde fois avec des appuis nodaux.
La distribution des forces d’appui linéique est déterminée à l’aide des réactions d’appui nodal déjà déterminées, la largeur de charge et l’option de lissage. Aux points d’extrémité, la largeur de charge correspond à 20 cm (= moitié de la largeur du maillage EF) et à 40 cm (= largeur complète de maillage EF) à l’intérieur.
K1 = 0,488678 → L1 = 0,488678 / 0,2 = 2,44339 kN/m
K2 = 1,325770 → L2 = (1,325770 · 3 + 1,185550) / 4 / 0,4 = 3,2267875 kN/m
K3 = 1,185550 → L3 = (1,185550 · 2 + 1,325770 + 1,185550) / 4 / 0,4 = 3,0515125 kN/m
K4 = 1,185550 → L4 = (1,185550 · 2 + 1,185550 + 1,325770) / 4 / 0,4 = 3,0515125 kN/m
K5 = 1,325770 → L5 = (1,325770 · 3 + 1,185550) / 4 / 0,4 = 3,2267875 kN/m
K6 = 0,488678 → L6 = 0,488678 / 0,2 = 2,44339 kN/m
Exemple 2 : appui nodal supplémentaire
Comme pour l’exemple 1, mais un appui nodal supplémentaire est inséré au début de l’appui linéique. Un message d’avertissement correspondant s’affiche avant le calcul. On ne note pas de différence, hormis les nœuds avec appui supplémentaire. Comme la valeur de la charge totale au nœud 1 doit être celle de l’exemple ci-dessus et que les deux appuis ont la même rigidité, on obtient la valeur suivante à la fois pour l’appui nodal et les coordonnées initiales de l’appui linéique.
K1 = L1
K1 + 0,2 · K1 = 0,751475 → K1 = 0,488678 / 1,2 = 0,4072317 kN ou kN/m
Exemple 3 : deux charges de bloc différentes
K1 = 1,008900 → L1 = 1,008900 / 0,2 = 5,044500 kN/m
K2 = 1,891280 → L2 = (1,891280 · 3 + 1,326110) / 4 / 0,4 = 4,374969 kN/m
K3 = 1,326110 → L3 = (1,326110 · 2 + 1,891280 + 1,000430) / 4 / 0,4 = 3,464956 kN/m
K4 = 1,000430 → L4 = (1,000430 · 2 + 1,326110 + 1,011220) / 4 / 0,4 = 2,711369 kN/m
K5 = 1,011220 → L5 = (1,011220 · 3 + 1,000430) / 4 / 0,4 = 2,521306 kN/m
K6 = 0,162069 → L6 = 0,162069 / 0,2 = 0,810345 kN/m
Exemple 4 : lissage linéaire de l’exemple 3
Le logiciel doit déterminer un trapèze ayant les mêmes intégrales et les mêmes coordonnées du centre de gravité que la polyligne affichée. Le raffinement du maillage n’est pas très important pour la détermination de la surface (qui correspond à la somme des charges), mais il est très important pour la détermination des coordonnées du centre de gravité. De plus, l’inclinaison du diagramme lissé doit suivre les ordonnées du diagramme réel. Il est donc similaire au calcul de courbes de tendance linéaire dans Excel. Tout d'abord, les intégrales de chaque aire partielle sont déterminées.
A1 = (5,044500 + 4,374969) / 2 · 0,4 = 1,8838938 kN
A2 = (4,374969 + 3,464956) / 2 · 0,4 = 1,5679850 kN
A3 = (3,464956 + 2,711369) / 2 · 0,4 = 1,2352650 kN
A4 = (2,711369 + 2,521306) / 2 · 0,4 = 1,0465350 kN
A5 = (2,521306 + 0,810345) / 2 · 0,4 = 0,6663302 kN
Somme des forces d’appui de la ligne = 6,400009 kN
Les centres de gravité locaux des différentes zones partielles sont :
xs1 = 0,4 / 3 · ((5,044500 + 2 · 4,374969) / (5,044500 + 4,374969)) = 0,195261366 m
xs2 = 0,4 / 3 · ((4,374969 + 2 · 3,464956) / (4,374969 + 3,464956)) = 0,192261724 m
xs3 = 0,4 / 3 · ((3,464956 + 2 · 2,711369) / (3,464956 + 2,711369)) = 0,191865848 m
xs4 = 0,4 / 3 · ((2,711369 + 2 · 2,521306) / (2,711369 + 2,521306)) = 0,197578517 m
xs5 = 0,4 / 3 · ((2,521306 + 2 · 0,810345) / (2,521306 + 0,810345)) = 0,165763498 m
Le centre de gravité global est ensuite déterminé en multipliant les intégrales partielles par le centre de gravité global en début de ligne et en le divisant par la charge totale.
(A1 · xs1 + A2 · (xs2 + 0,4) + A3 · (xs3 + 2 · 0,4) + A4 · (xs4 + 3 · 0,4) + A5 · (xs5 + 4 · 0,4)) / 6,400009 = 0,806393054 m
Il faut à présent déterminer les deux longueurs d’arête de la surface trapézoïdale qui ont le même centre de gravité. Cette opération est réalisée par la conversion du calcul du centre de gravité et du calcul de la force d’appui totale.
b = (0,806393054 · 3 / 2 - 1) / (2 - 0,806393054 · 3 / 2) = 0,265165508 a
a = (6,400009 · 2 / 2) / (1 + 0,265165508) = 5,05863 kN/m → b = 1,34137
Remarque
Les exemples présentés ont été calculés avec un maillage EF grossier afin de pouvoir illustrer la procédure. L’option « Diagrammes de résultats » du menu contextuel de l’appui linéique permet de transférer dans la boîte de dialogue ouverte uniquement le diagramme linéaire avec ses ordonnées aux points d'appui (sans les indications visibles dans la fenêtre d'informations). Le lissage linéaire de la boîte de dialogue affiche donc un lissage linéaire légèrement différent de celui affiché directement dans la fenêtre de travail. Si la taille du maillage EF est réduite afin que le diagramme polygonal se rapproche de plus en plus d’un diagramme courbe, les erreurs survenant lors de l’intégration de la surface et de la détermination du centre de gravité sont de plus en plus négligeables.
Base de connaissance