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Dipl.-Ing.格哈德·雷姆（FH）

2020-02-28

木结构中的弯扭屈曲 | 理论

细长的弯曲梁具有较大的 h/b 比，当沿弱轴受载时，容易出现稳定性问题。这是由于受压翼缘发生侧向屈曲所致。

梁在横向位移的同时发生扭转（见图 01）。这称为弯扭屈曲，或者称为侧扭失稳。类比于弯曲屈曲，当杆件达到欧拉屈曲荷载时会突然屈曲，受压翼缘在弯扭屈曲中会在达到临界侧扭荷载后发生偏移。因此会产生临界弯矩 M_crit，从而导致临界侧扭弯曲应力 σ_crit。

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使用的符号：

L	梁长度
E	弹性模量
G	剪切模量
I_z	关于弱轴的惯性矩
I_T	扭转惯性矩
I_ω	翘曲抗力矩
a_z	荷载作用点到剪心的距离
e	杆件支承到剪心的距离
K_G	支座处的弹性转动弹簧，单位 Nmm
K_Θ	弹性转动支承，单位 N
K_y	弹性杆件支承，单位 N/mm²

M_crit 的解析求解

为了确定使梁失稳的弯矩，工程师可以在文献中找到解析解，但其应用受到限制。在 [1] 中，对于一根两端铰接、端部为叉形支座的单跨梁，在恒定弯矩和荷载作用于剪心的情况下，推导出如下方程。

M_{crit} = \frac{π}{L} \cdot \sqrt{{EI}_{z} \cdot {GI}_{T} \cdot (1 + \frac{{EI}_{ω}}{{GI}_{T}} \cdot \frac{π^{2}}{L^{2}})}

临界弯矩

对于无翘曲截面（例如木结构中的窄矩形截面），翘曲刚度可取为零，因此括号中的部分不再需要。

M_{crit} = \frac{π}{L} \cdot \sqrt{{EI}_{z} \cdot {GI}_{T}}

无翘曲刚度的临界弯矩

修正系数

由于在结构静力学中，情况远不止上述一种，因此引入了修正系数，以考虑例如不同的弯矩分布、支承情况以及不同的荷载作用位置。为此，通过这些系数修正梁长，从而得到有效长度 l_ef。该有效长度在 [2] 中有如下描述。

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot [1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{{EI}_{z}}{{GI}_{T}}}]}

有效长度

其中 a_z 为荷载作用点到剪心的距离。

2 Bezeichnungen am Rechteckquerschnitt

如果荷载作用于梁的下缘，则 a_z 应取负值。系数 a₁和 a₂ 见图 03。

3 横向屈曲系数

各系统的含义如下：

两端铰接、端部为叉形支座的单跨梁
固定梁
自由端带叉形支座的悬臂梁
两端固支梁
单跨梁，单端固支
双跨梁
叉形支座连续梁 - 内跨
叉形支座连续梁 - 边跨

M_crit 在规范中的规定

在规范中，侧扭验算采用等效杆件法。此时，临界弯矩应按刚度的 5% 分位值计算。因此，对于木结构可得：

M_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0.05} \cdot I_{z} \cdot G_{0.05} \cdot I_{T}}}{l_{ef}}

木结构弯矩临界值

临界弯曲应力为：

σ_{crit} = \frac{π \cdot \sqrt{E_{0.05} \cdot I_{z} \cdot G_{0.05} \cdot I_{T}}}{l_{ef} \cdot W_{y}}

临界弯曲应力

弹性支承

如果要考虑支座处的弹性转动弹簧（例如由叉形支座的柔度产生）、弹性转动支承（例如由压型钢板产生）或弹性杆件支承（例如由支撑体系产生），则前述方程可按如下方式扩展 [2]。

l_{ef} = \frac{L}{a_{1} \cdot [1 - a_{2} \cdot \frac{a_{z}}{L} \cdot \sqrt{\frac{{EI}_{z}}{{GI}_{T}}}]} \cdot \frac{1}{α \cdot β}

考虑弹性转动弹簧、转动约束或弹性支座的有效长度

其中

α = \sqrt{\frac{1}{1 \frac{3.5 \cdot {GI}_{T}}{K_{G} \cdot L}}}

β = \sqrt{(1 \frac{K_{y} \cdot L^{4}}{{EI}_{z} \cdot π^{4}}) \cdot (1 \frac{(K_{θ} e^{2} \cdot K_{y}) \cdot L^{2}}{{GI}_{T} \cdot π^{2}})} + \frac{e \cdot K_{y} \cdot L^{3}}{\sqrt{{EI}_{z} \cdot {GI}_{T}} \cdot π^{3}}

计算 α 和 β

4 Bezeichnungen am Rechteckquerschnitt mit elastischen Federn

如果支座处的转动弹簧 K_G 按无限刚度考虑，则 α = 1。木结构中通常不考虑弹性转动支承 K_Θ，因为目前没有相关研究。因此，参数 K_Θ 在方程中取值为 0。由支撑体系或剪力场产生的弹性杆件支承 K_y 有利于梁的侧扭稳定性能。

重要

但需要注意的是，上述方程在应用上受到限制。严格来说，它仅在存在较大的正弦弯曲形挠度时才有效。如果杆件支承过于刚硬，则不再满足这一条件，因为沿梁的自振形状会呈现多个波形。目前尚无界限可判断扩展公式何时因 α 和 β 的引入而失效。

此类特征值问题如何巧妙求解，将在下一篇文章中通过不同实例进行说明。

作者

Rehm 先生负责木结构产品的开发，并提供技术支持。

链接

木结构分析与设计软件

参考

Timoshenko, S. & Gere, JM M.; Theory of Elastic Stability, 2. Auflage. New York: McGraw-Hill, 1961
德国规范(2013)。国家附录 – 欧洲规范 5： Bemessung und Konstruktion von Holzbauten - Teil 1-1: Allgemeines - Allgemeine Regeln und Regeln für den Hochbau; DIN EN 1995-1-1/NA:2013-08

倾覆，弯扭屈曲，特征值

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木结构中的弯扭屈曲 | 理论

Mcrit 的解析求解

修正系数

Mcrit 在规范中的规定

弹性支承

M_crit 的解析求解

M_crit 在规范中的规定