Ha la sua origine nell'equazione differenziale, che descrive l'equilibrio del momento interno di un componente strutturale e il momento dalla forza assiale moltiplicato per l'eccentricità in ogni posizione x del componente strutturale.
Per la rottura per stabilità, ci deve sempre essere un'imperfezione. In letteratura, è applicato come una funzione, ma può essere infinitamente piccolo e determinato in modo incoerente con il carico critico di instabilità.
| M(x) | Momento interno in ogni posizione x |
| N | Forza assiale di compressione agente |
| w(x) | Inflessione/spostamento in qualsiasi posizione x |
| E | Modulo E |
| i | Momento d'inerzia |
Per ridurre il numero di costanti, viene introdotta una nuova costante, che viene utilizzata per sostituire N, E e I.
L'equazione differenziale dell'equilibrio delle forze interne ed esterne può quindi essere riscritta come:
Ora, Leonhard Euler ha creato la funzione di prima approssimazione per l'inflessione.
Dopo aver formato la derivata seconda e quindi averla inserita nell'equazione dell'equilibrio delle forze, risulta la seguente equazione:
Poiché le funzioni esponenziali non possono mai diventare 0, l'intero termine può essere diviso per esse.
Poiché ciò si traduce in due soluzioni complesse indipendenti, l'equazione differenziale dell'inflessione può essere impostata utilizzando una combinazione lineare reale di entrambe le equazioni complesse:
In questo caso, le funzioni possono essere riscritte come combinazioni complesse, che corrispondono al principio del cerchio unitario. Questo diventa chiaro quando si analizza la funzione e basata sull'espansione della serie Taylor:
Se si considera la serie di Maclaurin della funzione seno e coseno, si può spiegare il principio del cerchio unitario e quindi i seguenti aggiustamenti dell'equazione differenziale:
Quando si considerano queste tre serie, la funzione di Eulero è immediatamente evidente:
Poiché i è un numero complesso e la funzione può quindi essere divisa in una parte reale e una immaginaria, è possibile prima introdurre le costanti di integrazione A e B, che sono composte dalla parte immaginaria e dalla parte reale:
| [LinkToImage01] | costante di integrazione complessa A = c1 |
| B | costante di integrazione complessa B = c2 |
| a1 | parte reale della costante di integrazione che controlla la parte reale della funzione |
| a2 | parte immaginaria della costante di integrazione che controlla la parte immaginaria della funzione |
| b1 | la parte reale della costante di integrazione B che controlla la parte reale della funzione |
| b2 | la parte immaginaria della costante di integrazione B, che controlla la parte immaginaria della funzione |
Poiché la funzione riflette l'inflessione, che contiene solo valori reali, la funzione deve essere ridotta alla sua parte reale in modo che l'equazione (le nuove costanti di integrazione A e B) sia costituita da parti puramente reali:
Questo può essere derivato di nuovo per la funzione della curvatura del componente:
Poiché in questo esempio sarà considerata una colonna con vincoli esterni completamente incernierati su entrambi i lati, le costanti possono essere risolte utilizzando le seguenti condizioni al contorno:
A causa della funzione seno, ciò si traduce in diverse soluzioni come multiplo di un numero naturale di π. Queste soluzioni possono essere definite come più autovalori di una sola imperfezione. È importante riconoscere che questo non calcola tutti gli autovalori, ma solo diversi autovalori che derivano dallo stesso approccio di imperfezione.
La cosa grandiosa di questa derivazione è il principio di quanto sia indipendente il carico critico di instabilità dall'imperfezione scelta. Sebbene si debba applicare un'imperfezione, la sua ampiezza è completamente trascurabile; il calcolo dell'imperfezione è incoerente con il calcolo della rottura per stabilità.
Questo mostra come i vari metodi di verifica nelle costruzioni in acciaio siano in definitiva gli stessi: Mentre nei metodi che utilizzano la verifica dell'asta equivalente il momento flettente risultante è calcolato per mezzo di questo carico di instabilità ideale con ulteriori fattori di riduzione e di imperfezione che portano alla verifica allo stato limite ultimo, negli altri metodi di verifica viene applicata un'imperfezione indipendentemente dalle formule di progetto la cui i carichi equivalenti hanno lo stesso momento flettente come nel caso dell'analisi di stabilità. Pertanto, l'analisi di stabilità è inclusa in tutti i progetti allo stato limite ultimo.
Il seguente articolo fornisce ulteriori informazioni sull'ampiezza dell'imperfezione secondo il metodo di verifica basato sul controllo della sezione trasversale, la cui combinazione risulta nel carico di progetto risultante dal carico di instabilità ideale:
Il seguente articolo fornisce ulteriori informazioni per l'applicazione dell'ampiezza secondo il metodo dell'asta equivalente, la cui combinazione risulta nel carico di progetto risultante dal carico di instabilità ideale: KB 1897 | Imperfezioni nelle formule di verifica per l'analisi di instabilità flessionale
Nel caso dell'instabilità flesso-torsionale, che non è trattata in questo articolo, c'è spazio per la discussione. Le equazioni sono più complesse a causa delle forze di taglio lungo la lunghezza della trave. Nel corso delle imperfezioni geometriche, non si verificano solo momenti flettenti.