Cette formule tire son origine de l’équation différentielle qui décrit l’équilibre du moment interne d’un composant structural et le moment de l’effort normal multiplié par l’excentrement à chaque position x du composant structural.
Pour l’échec de la stabilité, il doit toujours y avoir une imperfection. Dans la littérature spécialisée, elle est appliquée comme une fonction, mais peut être extrêmement petite et déterminée de manière incohérente avec la charge critique de flambement.
| M(x) | Moment interne à chaque position x |
| N ... | Effort normal en compression agissant |
| w(x) | Flèche/déplacement à tout emplacement x |
| E | Module d’élasticité |
| I | Second moment d'inertie |
Pour réduire le nombre de constantes, une nouvelle constante est introduite, et remplace N, E et I.
L’équation différentielle de l’équilibre des efforts internes et externes peut ainsi être réécrite comme suit :
Leonhard Euler a maintenant créé la première fonction d’approximation de la flèche.
Après avoir formé la seconde dérivée et l’avoir insérée dans l’équation de l’équilibre des efforts, on obtient l’équation suivante :
Étant donné que les fonctions exponentielles ne peuvent jamais devenir égales à 0, l’ensemble du terme peut être divisé par elles.
Étant donné que cela résulte de deux solutions complexes indépendantes, l’équation différentielle de la flèche peut être définie à l’aide d’une combinaison linéaire réelle des deux équations complexes :
Dans ce cas, les fonctions peuvent être réécrites sous forme de combinaisons complexes, ce qui correspond au principe du cercle unité. Cette différence devient claire lors de l’analyse de la fonction exponentielle à l’aide du développement en série de Taylor :
Si l’on considère les séries de Maclaurin de la fonction sinus et cosinus, le principe du cercle unité et donc les ajustements suivants de l’équation différentielle peuvent être expliqués :
Lorsque l’on considère ces trois séries, la fonction d’Euler est immédiatement évidente :
Comme i est un nombre complexe et que la fonction peut ainsi être divisée en une partie réelle et imaginaire, vous pouvez d’abord introduire les constantes d’intégration A et B, qui sont composées de la partie imaginaire et de la partie réelle :
| A | constante d'intégration complexe A = c1 |
| B | constante d'intégration complexe B = c2 |
| a1 | partie réelle de la constante d'intégration qui contrôle la partie réelle de la fonction |
| a2 | partie imaginaire de la constante d'intégration qui contrôle la partie imaginaire de la fonction |
| b1 | partie réelle de la constante d'intégration B qui contrôle la partie réelle de la fonction |
| b2 | la partie imaginaire de la constante d'intégration B, qui contrôle la partie imaginaire de la fonction |
Étant donné que la fonction reflète la flèche qui ne contient que des valeurs réelles, elle doit être réduite à sa partie réelle afin que l'équation incluant les nouvelles constantes d'intégration A et B soit uniquement composée de parties réelles :
Celle-ci peut être déduite pour la fonction de la courbure du composant :
Étant donné qu’un poteau avec des appuis articulés des deux côtés est considéré dans cet exemple, les constantes peuvent être résolues à l’aide des conditions aux limites suivantes :
En raison de la fonction sinus, on obtient plusieurs solutions comme un multiple d’un nombre naturel de π. Ces solutions peuvent être définies comme plusieurs valeurs propres d’une seule imperfection. Il est important de reconnaître que cela ne calcule pas toutes les valeurs propres, mais uniquement plusieurs valeurs propres issues de la même approche des imperfections.
L’avantage de cette dérivation est le fait que la charge critique de flambement est indépendante de l’imperfection choisie. Bien qu’une imperfection doit être appliquée, son amplitude est totalement négligeable. En effet, le calcul de l’imperfection n'est pas cohérent avec le calcul de l’échec de stabilité.
Cet exemple montre à quel point les différentes méthodes de calcul utilisées pour les structures en acier sont similaires : Alors que dans les méthodes utilisant la vérification de barre équivalente, le moment fléchissant résultant est calculé à l'aide de cette charge de flambement idéale avec des facteurs de réduction et d’imperfection menant à la vérification à l'état limite ultime, dans les autres méthodes de calcul, une imperfection est appliquée indépendamment des formules de calcul dont les charges équivalentes ont le même moment fléchissant que dans le cas de l’analyse de stabilité. L’analyse de stabilité est donc incluse dans toutes les vérifications à l’état limite ultime.
Cet article fournit des informations supplémentaires sur l’amplitude de l’imperfection selon la méthode de vérification basée sur la vérification de section, dont la combinaison permet d’obtenir la charge de calcul résultant de la charge de flambement idéale :
L'article suivant fournit plus d’informations sur l’application de l’amplitude selon la méthode de barre équivalente, dont la combinaison permet d’obtenir la charge de calcul résultant de la charge de flambement idéale : KB 1897 | Imperfections dans les formules de vérification pour l’analyse du flambement par flexion
Dans le cas du déversement, qui n'est pas traité dans cet article, ça se discute. Les équations sont plus complexes en raison des efforts tranchants le long de la longueur de poutre. Il n’y a pas que des moments fléchissants qui surviennent au cours des imperfections géométriques.