Tiene su origen en la ecuación diferencial, que describe el equilibrio del momento interno de un componente estructural y el momento del esfuerzo axil multiplicado por la excentricidad en cada posición x del componente estructural.
Para el fallo de estabilidad, siempre debe haber una imperfección. En la literatura, se aplica como una función, pero puede ser infinitesimalmente pequeña y determinarse de forma incoherente con la carga crítica de pandeo.
| M(x) | Momento interior en cada posición de x |
| N | Esfuerzo axil de compresión actuante |
| w(x) | Flecha/desplazamiento en cualquier posición x |
| E | Módulo de elasticidad |
| I | Momento de inercia de área |
Para reducir el número de constantes, se introduce una nueva constante, que se usa para sustituir N, E e I.
Por lo tanto, la ecuación diferencial del equilibrio de fuerzas internas y externas se puede reescribir como:
Ahora, Leonhard Euler creó la función de primera aproximación para la flecha.
Después de formar la segunda derivada y luego insertarla en la ecuación del equilibrio de fuerzas, se obtiene la siguiente ecuación:
Dado que las funciones exponenciales nunca pueden convertirse en 0, el término completo se puede dividir entre ellas.
Dado que esto da como resultado dos soluciones complejas independientes, la ecuación diferencial de la flecha se puede establecer utilizando una combinación lineal real de ambas ecuaciones complejas:
En este caso, las funciones se pueden reescribir como combinaciones complejas, lo que corresponde al principio del círculo unitario. Esto queda claro cuando se analiza la función e basada en el desarrollo de la serie de Taylor:
Si considera la serie de Maclaurin de la función seno y coseno, se puede explicar el principio del círculo unitario y, por lo tanto, los siguientes ajustes de la ecuación diferencial:
Al considerar estas tres series, la función de Euler es inmediatamente evidente:
Dado que i es un número complejo y, por lo tanto, la función se puede dividir en una parte real y otra imaginaria, es posible introducir primero las constantes de integración A y B, que se componen de las partes imaginaria y real:
| I | constante de integración compleja A = c1 |
| B | constante de integración compleja B = c2 |
| a1 | parte real de la constante de integración que controla la parte real de la función |
| a2 | parte imaginaria de la constante de integración que controla la parte imaginaria de la función |
| b1 | la parte real de la constante de integración B que controla la parte real de la función |
| b2 | la parte imaginaria de la constante de integración B, que controla la parte imaginaria de la función |
Dado que la función refleja la flecha, que solo contiene valores reales, la función se debe reducir a su parte real para que la ecuación (las nuevas constantes de integración A y B) conste de partes puramente reales:
Esto se puede derivar de nuevo para la función de la curvatura del componente:
Dado que en este ejemplo se considerará un pilar con apoyos totalmente articulados en ambos lados, las constantes se pueden resolver utilizando las siguientes condiciones de contorno aquí:
Debido a la función seno, esto da como resultado varias soluciones como un múltiplo de un número natural de π. Estas soluciones se pueden definir como varios valores propios de una sola imperfección. Es importante reconocer que esto no calcula todos los valores propios, sino solo varios valores propios que surgen del mismo enfoque de imperfección.
Lo mejor de esta derivación es el principio de cuán independiente es la carga crítica de pandeo de la imperfección elegida. Aunque se tiene que aplicar una imperfección, su amplitud es completamente insignificante; el cálculo de la imperfección es incoherente con el cálculo del fallo de estabilidad.
Esto ilustra cómo los diversos métodos de diseño en la construcción de acero son, en última instancia, los mismos: Mientras que en los métodos que utilizan el cálculo de la barra equivalente el momento flector resultante se calcula por medio de esta carga ideal de pandeo con factores de reducción y de imperfección adicionales que conducen al cálculo del estado límite último, en los otros métodos de cálculo se aplica una imperfección independientemente de las fórmulas de cálculo cuya las cargas equivalentes tienen el mismo momento flector que en el caso del análisis de estabilidad. Por lo tanto, el análisis de estabilidad se incluye en todos los cálculos del estado límite último.
El siguiente artículo proporciona más información sobre la amplitud de la imperfección según el método de cálculo basado en la comprobación de la sección, cuya combinación da como resultado la carga de cálculo resultante de la carga de pandeo ideal:
El siguiente artículo proporciona más información para aplicar la amplitud según el método de la barra equivalente, cuya combinación da como resultado la carga de cálculo resultante de la carga de pandeo ideal: KB 1897 | Imperfecciones en fórmulas de comprobación de diseño para el análisis de pandeo por flexión
En el caso del pandeo lateral, que no se trata en este artículo, hay espacio para la discusión. Las ecuaciones son más complejas debido a los esfuerzos cortantes a lo largo de la longitud de la viga. En el curso de las imperfecciones geométricas, no solo ocurren momentos flectores.