Má svůj původ v diferenciální rovnici, která popisuje rovnováhu vnitřního momentu konstrukčního prvku a momentu od normálové síly vynásobeného excentricitou v každém místě x konstrukčního prvku.
Při porušení stability musí vždy existovat imperfekce. V literatuře se používá jako funkce, ale může být nekonečně malá a může být stanovena nekoherentně s kritickým zatížením.
| M(x) | Vnitřní moment v každém místě x |
| N | Působící tlaková normálová síla |
| w(x) | Průhyb/posun v libovolném místě x |
| E | Modul pružnosti |
| I | moment setrvačnosti průřezu |
Pro snížení počtu konstant se zavádí nová konstanta, která se používá pro dosazení N, E a I.
Diferenciální rovnici rovnováhy vnitřních a vnějších sil tak lze přepsat následovně:
Nyní Leonhard Euler vytvořil první aproximační funkci pro průhyb.
Po vytvoření druhé derivace a jejím dosazení do rovnice pro rovnováhu sil dostaneme následující rovnici:
Vzhledem k tomu, že exponenciální funkce se nikdy nemohou stát 0, lze jimi vydělit celý člen.
Vzhledem k tomu, že výsledkem jsou dvě nezávislá komplexní řešení, lze diferenciální rovnici průhybu sestavit pomocí skutečné lineární kombinace obou komplexních rovnic:
V tomto případě lze funkce přepsat jako složité kombinace, což odpovídá principu jednotkové kružnice. To je zřejmé při analýze e-funkce na základě rozšíření Taylorovy řady:
Pokud zohledníme Maclaurinovu řadu sinusových a kosinových funkcí, lze vysvětlit princip jednotkové kružnice a tím i následující úpravy diferenciální rovnice:
Při zohlednění těchto tří řad je okamžitě zřejmá Eulerova funkce:
Protože i je komplexní číslo a funkci lze rozdělit na reálnou a imaginární část, je možné nejdříve zavést integrační konstanty A a B, které se skládají z imaginární a reálné části:
| jednoho | komplexní integrační konstanta A = c1 |
| B | komplexní integrační konstanta B = c2 |
| a1 | reálná část integrační konstanty, která řídí skutečnou část funkce |
| a2 | imaginární část integrační konstanty, která řídí imaginární část funkce |
| b1 | reálná část integrační konstanty B, která řídí reálnou část funkce |
| b2 | imaginární část integrační konstanty B, která řídí imaginární část funkce |
Vzhledem k tomu, že funkce odráží průhyb, který obsahuje pouze skutečné hodnoty, je třeba funkci redukovat na svou reálnou část, aby se rovnice (nové integrační konstanty A a B) skládala z čistě reálných částí:
To lze opět odvodit pro funkci zakřivení konstrukčního prvku:
Vzhledem k tomu, že v tomto příkladu budeme uvažovat sloup s plně kloubově uloženými podporami na obou stranách, lze konstanty řešit pomocí následujících okrajových podmínek:
Vzhledem k funkci sinus to vede k několika řešením jako násobek přirozeného čísla π. Tato řešení lze definovat jako několik vlastních čísel pouze jedné imperfekce. Je důležité si uvědomit, že se nepočítají všechna vlastní čísla, ale pouze několik vlastních čísel, která vyplývají ze stejného přístupu imperfekce.
Skvělá věc na tomto odvození je princip nezávislosti kritického zatížení na zvolené imperfekci. Ačkoli je třeba použít imperfekci, její amplituda je zcela zanedbatelná; výpočet imperfekce není v souladu s výpočtem porušení stability.
To ukazuje, jak jsou různé metody posouzení v ocelových konstrukcích nakonec stejné: Zatímco u metod používajících posouzení náhradního prutu se výsledný ohybový moment počítá pomocí tohoto ideálního vzpěrného zatížení s dalšími redukčními a imperfekčními součiniteli, které vedou k posouzení mezního stavu únosnosti, v jiných metodách posouzení se použije imperfekce nezávisle na vzorcích, jejichž náhradní zatížení mají stejný ohybový moment jako v případě posouzení stability. Posouzení stability je tak součástí všech posouzení mezního stavu únosnosti.
V následujícím příspěvku se budeme podrobněji zabývat amplitudou imperfekce podle metody posouzení na základě posouzení průřezu, jejíž kombinací vzniká návrhové zatížení z ideálního kritického zatížení:
V následujícím příspěvku se budeme podrobněji zabývat tím, jak použít amplitudu metodou náhradního prutu, jejíž kombinací vznikne návrhové zatížení z ideálního kritického zatížení: KB 1897 | Imperfekce ve vzorcích pro posouzení na vzpěr
V případě klopení, kterým se v tomto příspěvku nebudeme zabývat, je zde prostor k diskuzi. Vzhledem k posouvajícím silám po délce nosníku jsou rovnice složitější. V průběhu geometrických imperfekcí vznikají nejen ohybové momenty.