220x

001895

2024-09-09

Wzór na sprężyste obciążenie wyboczeniowe pojedynczych prętów poddanych naprężeniu ściskającemu

Każdego dnia tysiące inżynierów konstrukcyjnych projektują elementy konstrukcyjne, korzystając z wzorów kontroli projektu, uwzględniających krytyczne obciążenie wyboczeniowe. Ale skąd wzięły się te starożytne wzory, które opracował ponad 200 lat temu i które stanowią podstawę wszystkich trzech koncepcji projektowania konstrukcji stalowych?

Wywodzi się z równania różniczkowego, które opisuje równowagę momentu wewnętrznego elementu konstrukcyjnego i momentu od siły osiowej pomnożonej przez mimośród w każdym miejscu x elementu konstrukcyjnego.

Wyboczenie giętne niedoskonałego słupa

W przypadku utraty stateczności zawsze musi istnieć imperfekcja. W literaturze jest on stosowany jako funkcja, ale może być nieskończenie mała i określana w sposób niespójny z krytycznym obciążeniem wyboczeniowym.

- M (x) + N \cdot w (x) = 0

w'' (x) \cdot E I + N \cdot w (x) = 0 | \div (E I)

w'' (x) + \frac{N}{E I} \cdot w (x) = 0

M(x)	Moment wewnętrzny w każdym położeniu x
N	Działająca osiowa siła ściskająca
w(x)	Ugięcie/przemieszczenie w dowolnym miejscu x
E	Moduł sprężystości
I	Moment bezwładności przekroju

Pierwsze równanie różniczkowe do wyznaczania obciążenia krytycznego przy wyboczeniu

Aby zredukować liczbę stałych, wprowadzono nową stałą, która służy do podstawienia N, E oraz I.

α = \sqrt{\frac{N}{EI}}

Stała α

Równanie różniczkowe równowagi sił wewnętrznych i zewnętrznych można zatem zapisać jako:

w'' (x) + α^{2} \cdot w (x) = 0

Równanie różniczkowe Eulera z α

Teraz Leonhard Euler stworzył pierwszą funkcję aproksymacyjną dla ugięcia.

w (x) = e^{λ x}

Ansatzfunktion für die Durchbiegung

Po utworzeniu drugiej pochodnej, a następnie wstawieniu jej do równania równowagi sił, otrzymujemy następujące równanie:

λ^{2} e^{λx} + α^{2} e^{λx} = 0

Wstawianie DGL dla ugięcia równowagi sił w DGL

Ponieważ funkcje wykładnicze nigdy nie mogą być równe 0, cały składnik można podzielić przez nie.

λ^{2} + α^{2} = 0 | - α^{2}

λ^{2} = - α^{2} | \sqrt{}

λ_{1} = - i α

λ_{2} = i α

Aufstellen der richtigen Differentialgleichung der Durchbiegung

Ponieważ w wyniku tego powstają dwa niezależne rozwiązania złożone, równanie różniczkowe ugięcia można utworzyć za pomocą rzeczywistej kombinacji liniowej obu równań złożonych:

w (x) = e^{iαx} + e^{- iαx}

Rzeczywista kombinacja liniowa równania różniczkowego dla ugięcia

W takim przypadku funkcje można przepisać jako złożone kombinacje, co odpowiada zasadzie jednostkowego okręgu. Staje się to jasne, gdy analizujemy funkcję e w oparciu o rozwinięcie szeregu Taylora:

f (x) = \sum_{n = 0}^{n = \infty} \frac{f^{(' n)} (0)}{n!} \cdot x^{n}

e^{i x} = \frac{1}{1} + \frac{i x}{1} + \frac{- x^{2}}{2} + \frac{i x^{3}}{6} + \frac{x^{4}}{24} + \frac{i x^{5}}{120} + . . .

('n)	n-ta pochodna funkcji początkowej
i	(-1)^0,5

Rozszerzenie szeregu Taylora

Uwzględniając szereg Maclaurina dla funkcji sinus i cosinus, można wyjaśnić zasadę okręgu jednostkowego, a tym samym wprowadzić następujące poprawki w równaniu różniczkowym:

i \cdot \sin (x) = \frac{1}{1} + \frac{0}{1} + \frac{- x^{2}}{2} + \frac{0}{6} + \frac{i x^{4}}{24} + \frac{0}{120} + . . .

\cos (x) = \frac{0}{1} + \frac{i x}{1} + \frac{0}{2} + \frac{i x^{3}}{6} + \frac{0}{24} + \frac{i x^{5}}{120} + . . .

Szeregi Maclaurina

Biorąc pod uwagę te trzy szeregi, od razu widoczna jest funkcja Eulera:

e^{i x} = i \sin (x) + \cos (x)

e^{i α x} = i \sin (α x) + \cos (α x)

Funkcja Eulera

Ponieważ i jest liczbą zespoloną, a funkcję tę można podzielić na część rzeczywistą i część urojoną, najpierw można wprowadzić stałe całkowania A i B, które składają się z części urojonej i rzeczywistej:

w (x) = A e^{- i α x} + B e^{i α x}

A = (a_{1} + a_{2})

B = (b_{1} + b_{2})

[LinkToImage04]	zespolona stała całkowania A = c₁
B	zespolona stała całkowania B = c₂
a₁	część rzeczywista stałej całkowania kontrolująca część rzeczywistą funkcji
a₂	część urojona stałej całkowania kontrolującej część urojoną funkcji
b₁	rzeczywista część stałej całkowania B kontrolująca rzeczywistą część funkcji
b₂	część urojona stałej całkowania B, od której zależy część urojona funkcji

Równanie różniczkowe ugięcia ze stałymi całkowania

w (x) = A \cdot [i \sin (α x) + \cos (α x)] + B \cdot [- i \sin (α x) + \cos (α x)]

Zamiana UDE na funkcję sinus-cosinus

Ponieważ funkcja ta odzwierciedla ugięcie, które zawiera tylko wartości rzeczywiste, funkcję należy zredukować do części rzeczywistej, tak aby równanie (nowe stałe całkowania A i B) składało się z części czysto rzeczywistych:

w (x) = A \sin (α x) + B \cos (α x)

DGL ugięcia po redukcji do składowej rzeczywistej

Można to ponownie wyprowadzić dla funkcji krzywizny składowej:

w^{'} (x) = A \cdot α \sin (α x) - B \cdot α \sin (α x)

w^{''} (x) = - A \cdot α^{2} \sin (α x) - B \cdot α^{2} \cos (α x)

Wyprowadź funkcję krzywizny części składowej za pomocą DEL Eu Eulera

Ponieważ w tym przykładzie rozpatrywany jest słup z podporami przegubowymi po obu stronach, stałe można znaleźć przy użyciu następujących warunków brzegowych:

w (0) = 0 = A \sin (α \cdot 0) + B \cos (α \cdot 0)

0 = A \cdot 0 + B

0 = B

w (L) = 0 = A \sin (α \cdot L) = 0

Spełnienie warunków brzegowych

Ze względu na funkcję sinus daje to kilka rozwiązań jako wielokrotności liczby naturalnej π. Rozwiązania te można zdefiniować jako kilka wartości własnych tylko jednej imperfekcji. Ważne jest, aby pamiętać, że w ten sposób nie obliczane są wszystkie wartości własne, a tylko kilka wartości własnych, które wynikają z tego samego podejścia do imperfekcji.

α \cdot L = n \cdot π

geringster Eigenwert für n=1 entspricht der kleinsten und somit kritischen Knicklast

\sqrt{\frac{N}{E I}} \cdot L = π | {(. .)}^{2}

\frac{N}{E I} \cdot L^{2} = π^{2} | \cdot \frac{E I}{L^{2}}

N = \frac{π^{2} \cdot E I}{L^{2}}

Rozwiązywanie równania różniczkowego za pomocą trywialnych rozwiązań warunków brzegowych

Wielką zaletą tej metody wyboczeniowej jest to, że zastosowano zasadę, na ile niezależne jest krytyczne obciążenie wyboczeniowe od wybranej imperfekcji. Chociaż imperfekcja musi zostać zastosowana, jej amplitudę można całkowicie pominąć; obliczenie imperfekcji jest niezgodne z obliczeniami utraty stateczności.

Pokazuje to, że różne metody projektowania w konstrukcjach stalowych są ostatecznie takie same: Podczas gdy w metodach wykorzystujących równoważne obliczenia pręta moment zginający jest obliczany za pomocą tego idealnego obciążenia wyboczeniowego z dalszą redukcją i współczynnikami imperfekcji prowadzącymi do obliczenia stanu granicznego nośności, w przypadku innych metod obliczeniowych imperfekcja jest stosowana niezależnie od wzorów, obciążenia zastępcze mają taki sam moment zginający, jak w przypadku analizy stateczności. Dzięki temu analiza stateczności jest uwzględniana we wszystkich obliczeniach w stanie granicznym nośności.

Poniższy artykuł zawiera więcej informacji na temat amplitudy imperfekcji według metody projektowej opartej na sprawdzeniu przekroju, której kombinacja daje obciążenie obliczeniowe wynikające z obciążenia wyboczeniowego idealnego:

Poniższy artykuł zawiera więcej informacji na temat stosowania amplitudy metodą pręta zastępczego, której kombinacja daje obciążenie obliczeniowe od idealnego obciążenia wyboczeniowego: KB 1897 | Imperfekcje we wzorach do kontroli obliczeń dla analizy wyboczenia giętnego

W przypadku zwichrzenia, który nie jest omówiony w tym artykule, istnieje miejsce na dyskusję. Równania są bardziej złożone ze względu na siły tnące na całej długości belki. W przebiegu imperfekcji geometrycznych występują nie tylko momenty zginające.

Odnośniki

KB 1897 | Imperfekcje we wzorach do kontroli obliczeń dla analizy wyboczenia giętnego

;