Параметры упрочнения в нелинейных моделях материалов

Диаграмма напряжения-деформации для стали (Источник: [1])

Теоретические основы

Упрочнение характеризуется внутренними переменными. Подробнее это описано в источнике [2]. С помощью внутренних переменных можно учесть, например, повреждение или пластичность материалов. Внутренние переменные описывают эффекты диссипации материала.

Упрочнение в RFEM (фон Мизес, Треска, Друкер-Прагер, Мор-Кулон)

Согласно источнику [1], п. 4.4.2, величины состояния внутренних переменных, которые обычно неразличимы, используются для описания дефектов материала (усадка, микроскопические трещины и т.д.); они могут быть скалярными (например, изотропные повреждения) или тензорными (например, кинематическое упрочнение). Для нахождения внутренних переменных применяются эволюционные уравнения (обычно общие дифференциальные уравнения) в зависимости от определяющих (независимых и зависимых) переменных и собственно внутренних переменных.

Уравнение 1:

Они должны быть интегрированы с учетом начальных условий (источник: [1], раздел 4.4.2).

Поэтому внутренние переменные также называются памятью материала с начальным условием в момент времени t0.

Изотропное упрочнение - это «расширение» поверхности текучести без изменения положения поверхности в пространстве напряжений. Примером такого свойства является стальной лист, который, по меньшей мере теоретически, расширяется во всех направлениях из-за напряжения смятия. После пластической деформации изотропный материал остается изотропным, по крайней мере, в теории. Как правило, изотропное упрочнение описывается внутренней переменной α.

Кинематическое упрочнение - это перемещение (смещение) поверхности текучести в пространстве напряжений. Поверхность текучести не меняет свою форму. Кинематическое упрочнение компенсирует местные собственные напряжения материала, возникающие в результате местного перемещения материала. В литературе это явление также называется эффектом Баушингера. В этом случае предел текучести уменьшается, как у проволоки, изгибаемой несколько раз. Чем чаще проволока подвергается изгибу, тем меньше усилий тратится с каждым разом на изгиб. В случае кинематического упрочнения материал изменяется с изотропного на неизотропный. Обычно кинематическое упрочнение выражается внутренней переменной β.

• Свободная энергия:
  $$\mathrm{\psi }: = \mathrm{\psi }({\mathrm{\epsilon }}^{\mathrm{e}},\mathrm{\alpha },\mathrm{\beta })$$

  Формула 15
• Рассеяние энергии:
  $${\mathrm{D}}^{\mathrm{in}} = \mathrm{\sigma } · {\dot{\tilde{\mathrm{\epsilon }}}}^{\mathrm{p}} - \frac{\partial \mathrm{\psi }}{\partial \mathrm{\alpha }} · \dot{\mathrm{\alpha }} - \frac{\partial \mathrm{\psi }}{\partial \mathrm{\beta }} · \dot{\mathrm{\beta }}$$

  Формула 16
• Термодинамические силы изотропно:
  $$\mathrm{\alpha } = - \frac{\partial \mathrm{\psi }}{\partial \mathrm{\alpha }}$$

  Формула 17
• Термодинамические силы кинематически:
  $$\mathrm{\tau } = - \frac{\partial \mathrm{\psi }}{\partial \mathrm{\beta }}$$

  Формула 18

Уравнение 2:

Уравнение 3:

Уравнение 4:

В уравнении 4 - σe = F(σij) - это «эффективное» напряжение материала в пространственном напряженном состоянии. k - это, напротив, предельное напряжение при испытании на одноосное сжатие и растяжение.

Основой при этом является предположение, что поведение пластического материала в многоосном напряженном состоянии соответствует одноосному состоянию (идеализация).

В случае кинематического упрочнения тензор αij обозначает центр поверхности текучести. Центр смещается соответствующим шагом нагрузки dαij (см. рисунок 03).

В программе довольно сложно учесть смещение поверхности текучести из-за последующего смещения материала, происходящего аналогично. В настоящее время данный тип упрочнения не учитывается в RFEM.

Одним из возможных решений является смещение по правилу Прагера, где c - постоянная материала:

Эффективная пластическая деформация разделяется на кинематическое и изотропное упрочнение.

Уравнение 5:

Уравнение 6:

Уравнение 7:

m - это коэффициент для проверки соотношения изотропного и кинематического упрочнения.

а) изотропное, б) кинематическое, в) смешанное упрочнение (Источник: [3])

Определение упрочнения в RFEM

После выбора опции «Диаграмма» программа потребует от пользователя задать упрочнение, как упоминалось в нашей предыдущей статье о модели материала «Повреждение».

• KB 001461 │ Нелинейное повреждение модели материала

Для этого шаг показан на рисунке 04, который учитывает упрочнение материала по фон Мизесу во время пластификации.

Уравнение 8:

Уравнение 9:

Диаграмма напряжения-деформации (вручную)

В примере, показанном на рисунке 04, используется материал с коэффициентом упрочнения m = Ep = 0,08 кН/см² и модулем упругости бетона E = 3 100 кН/см². Напряжение в модели в шаге 2 и шаге 3 изменяется следующим образом.

Уравнение 10:

Уравнение 11:

Уравнение 12:

Уравнение 13:

Данный пример показывает, как можно учесть упрочнение изотропно пластических свойств материала на диаграмме в модели материала Повреждение. Во втором шаге деформации задан очень большой шаг удлинения ε2 = 1, приближающийся к ∞.

Заключение

Если используются специальные материалы, то всегда требуется пользовательский ввод диаграмм напряжения-деформации. У таких материалов также полезно задать упрочнение для того, чтобы достичь лучшей сходимости и более реалистичного учета свойств материала.

С помощью задания пользовательских промежуточных точек можно учесть изотропное упрочнение посредством ввода «Диаграммы» и для нелинейных материалов.