Parametry hartowania w nieliniowych modelach materiałowych

Wykres naprężenie-odkształcenie dla stali (źródło: [1])

Podstawy teoretyczne

Umocnienie odkształceniowe jest charakteryzowane przez zmienne wewnętrzne. Zostało to bardziej szczegółowo opisane na przykład w [2]. Korzystając ze zmiennych wewnętrznych, można na przykład uwzględnić uszkodzenie lub plastyczność materiałów. Zmienne wewnętrzne opisują dyssypatywne efekty materiału.

Hartowanie w RFEM (von Mises, Tresca, Drucker-Prager, Mohr-Coloumb)

Zgodnie z [1], roz. 4.4.2, funkcje stanu zmiennych wewnętrznych, które zazwyczaj nie są obserwowalne, można wykorzystać do opisania defektów materiałowych (przemieszczenia, mikroskopijne pęknięcia itp.); mogą być skalarne (na przykład uszkodzenie izotropowe) lub tensoryczne (na przykład hartowanie kinematyczne). Aby określić zmienne wewnętrzne, istnieją równania ewolucyjne (zwykle powszechne równania różniczkowe) zależne od zmiennych konstytutywnych (niezależnych i zależnych) oraz zmiennych wewnętrznych.

Równanie 1:

Należy je zintegrować w odniesieniu do warunków początkowych. (Źródło: [1], rozdz. 4.4.2)

Dlatego zmienne wewnętrzne są również określane jako pamięć materiału ze stanem początkowym w czasie t0.

Utwardzanie izotropowe jest "poszerzeniem" powierzchni plastyczności bez zmiany położenia powierzchni w przestrzeni naprężeń. Przykładem takiego zachowania jest stalowa płyta, która rozszerza się - przynajmniej intelektualnie - pod wpływem naprężenia dociskowego we wszystkich kierunkach. Po odkształceniu plastycznym materiał izotropowy jest nadal izotropowy, przynajmniej w teorii. Utwardzanie izotropowe jest zazwyczaj opisywane przez zmienną wewnętrzną α.

Utwardzanie kinematyczne odnosi się do przesunięcia (przemieszczenia) powierzchni plastyczności w przestrzeni naprężeń. Powierzchnia plastyczności nie zmienia swojego kształtu. Utwardzanie kinematyczne kompensuje lokalne naprężenia wewnętrzne materiału, wynikające z miejscowego przemieszczenia materiału. W literaturze zjawisko to jest również określane jako efekt Bauschingera. W takim przypadku granica plastyczności jest zredukowana, podobnie jak w przypadku drutu zginanego w kilku miejscach. Im częściej wyginany jest drut, musi zużywać coraz mniej siły. W przypadku utwardzania kinematycznego materiał zostaje zmieniony z izotropowego na anizotropowy. Zasadniczo hartowanie kinematyczne jest opisane przez zmienną wewnętrzną β.

• Darmowa energia:
  $$\mathrm{\psi }: = \mathrm{\psi }({\mathrm{\epsilon }}^{\mathrm{e}},\mathrm{\alpha },\mathrm{\beta })$$

  Wzór 15
• Rozpraszanie energii:
  $${\mathrm{D}}^{\mathrm{in}} = \mathrm{\sigma } · {\dot{\tilde{\mathrm{\epsilon }}}}^{\mathrm{p}} - \frac{\partial \mathrm{\psi }}{\partial \mathrm{\alpha }} · \dot{\mathrm{\alpha }} - \frac{\partial \mathrm{\psi }}{\partial \mathrm{\beta }} · \dot{\mathrm{\beta }}$$

  Wzór 16
• Siły termodynamiczne: Izotropowe:
  $$\mathrm{\alpha } = - \frac{\partial \mathrm{\psi }}{\partial \mathrm{\alpha }}$$

  Wzór 17
• Siły termodynamiczne: Kinematyczne:
  $$\mathrm{\tau } = - \frac{\partial \mathrm{\psi }}{\partial \mathrm{\beta }}$$

  Wzór 18

Równanie 2:

Równanie 3:

Równanie 4:

W równaniu 4 σe = F(σij) jest „efektywnym” naprężeniem materiału w przestrzennym stanie naprężenia. Z drugiej strony, K jest naprężeniem granicznym w teście jednoosiowego ściskania z rozciąganiem.

Wynika to z założenia, że plastyczne zachowanie materiału w wieloosiowym stanie naprężeń odpowiada stanowi jednoosiowemu (idealizacja).

W przypadku umocnienia kinematycznego, tensor αij opisuje środek powierzchni plastyczności. Środek jest przesunięty o odpowiedni stopień obciążenia dα ij (patrz Rysunek 03).

Program uwzględnia przemieszczenie powierzchni plastyczności w wyniku analogicznego przemieszczenia materiału. Ten typ utwardzenia nie jest obecnie uwzględniany w programie RFEM.

Jednym z możliwych podejść jest przemieszczenie zgodnie z regułą Pragera, gdzie stałą materiałową jest c:

Efektywne odkształcenie plastyczne rozkłada się na umocnienie kinematyczne i umocnienie izotropowe.

Równanie 5:

Równanie 6:

Równanie 7:

m jest współczynnikiem do sprawdzania stosunku umocnienia izotropowego do umocnienia kinematycznego.

a) izotropowy, b) kinematyczny, c) mieszany (źródło: [3])

Definicja umocnienia odkształceniowego w RFEM

Jak wspomniano w moim poprzednim artykule na temat modelu materiału Uszkodzenie, po wybraniu opcji "Wykres" w programie wymagane jest umocnienie odkształceniowe zdefiniowane przez użytkownika.

• KB 001461 │ Uszkodzenie nieliniowych modeli materiałowych

W tym celu 3rd krok jest zdefiniowany na rysunku 04, który uwzględnia umocnienie materiału według von Misesa podczas uplastycznienia.

Równanie 8:

Równanie 9:

Wykres naprężenie-odkształcenie (ręcznie)

W przykładzie pokazanym na rysunku 04 zastosowano materiał o współczynniku twardnienia m = Ep = 0,08 kN/cm² i module sprężystości betonu E = 3100 kN/cm². Naprężenie w kroku 2 i kroku 3 modelu zmienia się w następujący sposób.

Równanie 10:

Równanie 11:

Równanie 12:

Równanie 13:

Przykład ten pokazuje, w jaki sposób można uwzględnić umocnienie odkształceniowe dla zachowania materiału izotropowego, plastycznego na wykresie modelu materiałowego Uszkodzenie. Dla drugiego kroku odkształcenia zdefiniowany jest bardzo duży krok odkształcenia ε2 = 1, który jest bliski ∞.

Uwagi końcowe

Definiowanie wykresów naprężenie-odkształcenie przez użytkownika jest zawsze wymagane podczas definiowania materiałów specjalnych. W przypadku takich materiałów przydatne jest również zdefiniowanie umocnienia odkształceniowego, aby uzyskać lepszą zbieżność i bardziej realistyczne uwzględnienie zachowania materiału.

Poprzez zdefiniowanie punktów pośrednich możliwe jest również uwzględnienie umocnienia izotropowego poprzez wprowadzenie "Wykresu" nawet w przypadku materiałów nieliniowych.