Paramètres de durcissement pour les modèles de matériau non-linéaires

Article technique

L’écrouissage est l’obtention d’une rigidité plus importante par la redistribution et l’allongement des microcristaux dans la structure cristalline. Pour un matériau isotrope, nous distinguons le durcissement entre les quantités scalaires et l’écrouissage cinématique tensoriel.

Figure 01 - Diagramme contraintes-déformation de l’acier (Source :[1])

Théorie

L’écrouissage est caractérisé par les variables internes. Ceci est décrit en plus de détails dans [2]. À l’aide des variables internes, il est par exemple possible de considérer les dégâts ou la plasticité des matériaux.

Figure 02 – Écrouissage dans RFEM (von Mises, Tresca, Drucker-Prager, Mohr-Coloumb)

Selon [1], Chap. 4.4.2, les variables internes d’état, habituellement non-observables, sont utilisées pour décrire les défauts de matériau (déplacements, fissures microscopiques, etc.) et peuvent être scalaires (par exemple, dégâts isotropes) ou tensoriels (par exemple, l’écrouissage). Afin de déterminer les variables internes, des équations d’évolution (en général des équations différentielles communes) selon les variables constitutives (indépendantes et dépendantes) et les variables internes.

Équation 1 :

$$\frac{{\mathrm{dβ}}_\mathrm i}{\mathrm{dt}}\;=\;\dot{{\mathrm\beta}_\mathrm i}\left(\mathrm\theta,\mathrm{gradθ},{\mathrm\beta}_1,...{\mathrm\beta}_\mathrm n\right)$$

Celles-ci doivent être intégrées avec considération des conditions initiales.

Ainsi, les variables internes font également référence à la mémoire de matériau avec la condition initiale au moment t0.

L’écrouissage isotrope élargit la surface de plastification sans modifier la position de surface dans l’espace soumis à la contrainte. Un exemple de ce comportement est une plaque métallique qui – en théorie - s’élargit à cause de la contrainte imposée par son chargement dans toutes les directions. Suite à la déformation plastique, le matériau isotrope reste isotrope, du moins en théorie. En général, l’écrouissage est décrit via la variable interne α.

L’écrouissage cinématique fait référence à la translation (déplacement) de la surface plastique dans l’espace de contrainte. La surface plastique ne change pas de forme. L’écrouissage cinématique compense les contraintes internes locales du matériau, résultant du déplacement local du matériau. Ceci est également connu sous le nom de l’effet Bauschinger. Dans ce cas, la limite d’élasticité est réduite comme dans le cas d’un fil plié à plusieurs reprises. Plus il est plié, moins le fil requiert de la force. Dans le d’écrouissage cinématique, le matériau passe d’isotrope à anisotrope. En général, l’écrouissage cinématique est décrit par la variable interne β.

  • Énergie libre : $\mathrm\psi:\;=\;\mathrm\psi(\mathrm\varepsilon^\mathrm e,\mathrm\alpha,\mathrm\beta)$
  • Dissipation d’énergie : $\mathrm D^\mathrm{in}\;=\;\mathrm\sigma\;\cdot\;\dot{\widetilde{\mathrm\varepsilon}}^\mathrm p\;-\;\frac{\partial\mathrm\psi}{\partial\mathrm\alpha}\;\cdot\;\dot{\mathrm\alpha}\;-\;\frac{\partial\mathrm\psi}{\partial\mathrm\beta}\;\cdot\;\dot{\mathrm\beta}$
  • Forces thermodynamiques isotropes : $\mathrm\alpha\;=\;-\;\frac{\partial\mathrm\psi}{\partial\mathrm\alpha}$
  • Forces thermodynamiques cinématiques : $\mathrm\tau\;=\;-\;\frac{\partial\mathrm\psi}{\partial\mathrm\beta}$
Équation 2:
$$\mathrm f({\mathrm\sigma}_\mathrm{ij};{\mathrm\varepsilon}_\mathrm p)\;=\;{\mathrm\sigma}_\mathrm e\;-\;\mathrm k({\mathrm\varepsilon}_\mathrm p)\;\mathrm{isotropic}\;\mathrm{yielding}$$

Équation 3:
$$\mathrm f({\mathrm\sigma}_\mathrm{ij};\mathrm\varepsilon_\mathrm{ij}^\mathrm{pl})\;=\;\mathrm F({\mathrm\sigma}_\mathrm{ij}\;-\;{\mathrm\alpha}_\mathrm{ij}(\mathrm\varepsilon_\mathrm{ij}^\mathrm{pl}))\;-\;\mathrm k\;\mathrm{kinematic}\;\mathrm{yielding}$$

Équation 4:
$$\mathrm f(\mathrm\sigma;\mathrm\varepsilon_\mathrm{ij}^\mathrm{pl};{\mathrm\varepsilon}_\mathrm p)\;=\;\mathrm F({\mathrm\sigma}_\mathrm{ij}\;-\;{\mathrm\alpha}_\mathrm{ij}(\mathrm\varepsilon_\mathrm{ij}^\mathrm{pl}))\;-\;\mathrm k({\mathrm\varepsilon}_\mathrm p)\;\leq\;0\;\mathrm{yielding}$$

Dans l’équation 4, σe = F(σij) est la contrainte « efficace » du matériau à l’état 3D de la contrainte. K est la contrainte limite du test uniaxial de compression-tension.

Nous supposons que le comportement plastique de matériau à l’état de contrainte multiaxial correspond à l’état uniaxial (idéalisation).

Dans le cas d’écrouissage cinématique, le tenseur αij décrit le centre de la surface plastique. Le centre est déplacé par le pas de temps dα ij (voir la Figure 03).

Le programme considère que le déplacement de la surface plastique due au déplacement de matériau a lieu simultanément. Ce type d’écrouissage n’est pas considéré dans RFEM.

Une approche possible est le déplacement selon la règle Prager avec c comme constante de matériau : $${\mathrm{dα}}_\mathrm{ij}\;=\;\mathrm{cdε}_\mathrm{ij}^\mathrm{pl}$$

La déformation plastique efficace est décomposée en écrouissage cinématique et isotrope.

Équation 5:
$${\mathrm{dε}}_\mathrm p\;=\;\mathrm{mdε}_\mathrm p^\mathrm{iso}\;+\;\mathrm{dε}_\mathrm p^\mathrm{kin}$$

Équation 6:
$$\mathrm{dε}_\mathrm p^\mathrm{iso}\;=\;{\mathrm{mdε}}_\mathrm p$$

Équation 7:
$$\mathrm{dε}_\mathrm p^\mathrm{kin}\;=\;(1\;-\;\mathrm m)\;{\mathrm{dε}}_\mathrm p$$

m est un facteur pour le contrôle du ration d’écrouissage isotrope à cinématique.

Figure 03 – a) isotrope, b) cinématique, c) écrouissage mixe (Source : [3])

Définition d’écrouissage dans RFEM

Comme défini précédemment dans mon article précédent au sujet du modèle de matériau Dégâts, un écrouissage défini par l’utilisateur est requis dans le programme lorsque vous sélectionnez l’option « Diagramme ».

Pour ceci, le 3ème pas est défini dans la Figure 04, qui considère l’écrouissage du matériau selon von Mises lors de la plastification.

Équation 8:
$$\mathrm k\;=\;\left(\frac1{{\mathrm f}_\mathrm y}\right)^2\;\cdot\;\frac{\mathrm E}{{\mathrm E}_\mathrm p}$$

Équation 9:
$$\mathrm\sigma\;=\;\left(\mathrm E\;+\;{\mathrm E}_\mathrm p\right)\;\cdot\;\mathrm\varepsilon$$

Figure 04 – Diagramme contrainte-déformation (manuel)

L’exemple affiché dans la Figure 04 utilise un matériau avec le facteur de durcissement de m = Ep = 0,08 kN/cm2 et le module élastique du béton E = 3,1 kN/cm2. La contrainte dans le Pas 2 et le Pas 3 du modèle est modifié comme suit.

Équation 10:
$${\mathrm\sigma}_1\;=\;2\;\mathrm{kN}/\mathrm{cm}^2$$

Équation 11:
$$\rightarrow\;{\mathrm m}_0\;=\;\frac{{\mathrm\sigma}_1\;-\;{\mathrm\sigma}_0}{{\mathrm\varepsilon}_1\;-\;{\mathrm\varepsilon}_0}\;=\;\frac{2\;-\;0}{0.000645\;-\;0}\;=\;3,100\;\mathrm{kN}/\mathrm{cm}^2$$

Équation 12:
$${\mathrm m}_1\;=\;{\mathrm E}_\mathrm p\;=\;0,08\;=\;\frac{{\mathrm\sigma}_2\;-\;{\mathrm\sigma}_1}{{\mathrm\varepsilon}_2\;-\;{\mathrm\varepsilon}_1}\;=\;\frac{{\mathrm\sigma}_2\;-\;2}{{\mathrm\varepsilon}_2\;-\;0.000645}$$

Équation 13:
$$\rightarrow\;{\mathrm\sigma}_2\;=\;{\mathrm m}_1\;\cdot\;{\mathrm\varepsilon}_2\;+\;{\mathrm\sigma}_1\;=\;0.08\;\cdot\;1\;+\;2\;=\;2.08\;\mathrm{kN}/\mathrm{cm}^2$$

Cet exemple affiche comment considérer l’écrouissage du comportement de matériau isotrope plastique dans le diagramme du modèle de matériau Dégâts. Pour le second pas de déformation, un grand pas de déformation de ε2 = 1 est défini, proche de ∞.

Résumé

Une définition définie par l’utilisateur des diagrammes contrainte-déformation est toujours requise lors de la définition de matériaux spéciaux. Dans le cas de ce type de matériaux, il est également utile de définir un écrouissage afin d’obtenir une meilleure convergence et une considération plus réaliste du comportement de matériau.

La définition des points intermédiaires permet de considérer l’écrouissage isotrope en entrant le « diagramme » pour les matériaux non-linéaires.

Littérature

[1]  Nackenhorst, U. (2015). Vorlesungsskript Festkörpermechanik. Hannover: IBNM, Gottfried Wilhelm Leibniz Universität.
[2]  Altenbach, H. (2015). Kontinuumsmechanik - Einführung in die materialunabhängigen und materialabhängigen Gleichungen (3rd edition), Berlin: Springer.
[3]  Pravida, J. M. (1999). Zur nichtlinearen adaptiven Finite-Element-Analyse von Stahlbetonscheiben. Munich: Technical University.

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