Parametry zpevnění v nelineárních materiálových modelech

Odborný článek

Zpevnění popisuje schopnost materiálu dosáhnout vyšší tuhosti struktury při zatížení způsobeném redistribucí mikrokrystalů v krystalové mřížce. Rozlišuje se přitom mezi materiálovým izotropním zpevněním jako skalární veličiny a tenzorickým kinematickým zpevněním.

Obr. 01 - Diagram napětí - protažení pro ocel (Zdroj [1])

Teoretické východisko

Zpevnění se popisuje pomocí vnitřních proměnných, což je detailněji popsáno např. na obr. [2]. Prostřednictvím vnitřních proměnných lze zohlednit např. poškození nebo plasticitu materiálu. Vnitřní proměnné popisují disipativní účinky materiálu.

Obr. 02 - Zpevnění v programu RFEM (von Mises, Tresca, Drucker-Prager, Mohr-Coloumb)

„Stavové veličiny vnitřních proměnných, které obecně nelze pozorovat, se používají při popisu defektů materiálu (sedání, mikrotrhliny atd.). Může se jednat o skaláry (např. izotropní poškození) nebo o tenzorické veličiny (např. kinematické zpevnění). Vnitřní proměnné se určují vývojovými rovnicemi (lze říci, že se jedná o běžné diferenciální rovnice) v závislosti na konstitutivních (nezávislých a závislých) proměnných a samotných vnitřních proměnných,

Rovnice 1:
$$\frac{{\mathrm{dβ}}_\mathrm i}{\mathrm{dt}}\;=\;\dot{{\mathrm\beta}_\mathrm i}\left(\mathrm\theta,\mathrm{gradθ},{\mathrm\beta}_1,...{\mathrm\beta}_\mathrm n\right)$$

Které je nutné zaintegrovat se zohledněním počátečních podmínek." (Zdroj [1], kap. 4.4.2)

Vnitřní proměnné se tudíž označují také jako paměť materálu s počáteční podmínkou v časovém bodě t0.

Izotropní zpevnění označuje "Protažení" plochy tečení, aniž by se změnila její poloha v oblasti napětí. Jako příklad může posloužit ocelový plech, který se přinejmenším teoreticky může kvůli otlačení natahovat všemi směry. Izotropní materiál je po plastické deformaci přinejmenším teoreticky i nadále izotropní. Izotropní zpevnění lze obecně popsat pomocí vnitřní proměnné α.

Kinematické zpevnění označuje posun plochy tečení v oblasti napětí. Plocha tečení svůj tvar nemění. Kinematické zpevnění se rovná vlastním lokálním napětím materiálu, které jsou výsledkem jeho lokálního posunu. Tento jev bývá v literatuře popisován jako Bauschingerův efekt. Hranice tečení se zde odečítá stejně jako v případě drátu, který je opakovaně ohýbán. Čím častěji se drát ohýbá, tím méně síly je k jeho ohýbání zapotřebí. Při kinematickém zpevnění se materiál přeměňuje z izotropního na anizotropní. Kinematické zpevnění se obecně vyjadřuje prostřednictvím vnitřní proměnné β.

  • Volná energie: $\mathrm\psi:\;=\;\mathrm\psi(\mathrm\varepsilon^\mathrm e,\mathrm\alpha,\mathrm\beta)$
  • Disipace energie: $\mathrm D^\mathrm{in}\;=\;\mathrm\sigma\;\cdot\;\dot{\widetilde{\mathrm\varepsilon}}^\mathrm p\;-\;\frac{\partial\mathrm\psi}{\partial\mathrm\alpha}\;\cdot\;\dot{\mathrm\alpha}\;-\;\frac{\partial\mathrm\psi}{\partial\mathrm\beta}\;\cdot\;\dot{\mathrm\beta}$
  • Termodynamické síly izotropně: $\mathrm\alpha\;=\;-\;\frac{\partial\mathrm\psi}{\partial\mathrm\alpha}$
  • Termodynamické síly kinematicky: $\mathrm\tau\;=\;-\;\frac{\partial\mathrm\psi}{\partial\mathrm\beta}$

Rovnice 2:
$$\mathrm f({\mathrm\sigma}_\mathrm{ij};{\mathrm\varepsilon}_\mathrm p)\;=\;{\mathrm\sigma}_\mathrm e\;-\;\mathrm k({\mathrm\varepsilon}_\mathrm p)\;\mathrm{isotropic}\;\mathrm{yielding}$$

Rovnice 3:
$$\mathrm f({\mathrm\sigma}_\mathrm{ij};\mathrm\varepsilon_\mathrm{ij}^\mathrm{pl})\;=\;\mathrm F({\mathrm\sigma}_\mathrm{ij}\;-\;{\mathrm\alpha}_\mathrm{ij}(\mathrm\varepsilon_\mathrm{ij}^\mathrm{pl}))\;-\;\mathrm k\;\mathrm{kinematic}\;\mathrm{yielding}$$

Rovnice 4:
$$\mathrm f(\mathrm\sigma;\mathrm\varepsilon_\mathrm{ij}^\mathrm{pl};{\mathrm\varepsilon}_\mathrm p)\;=\;\mathrm F({\mathrm\sigma}_\mathrm{ij}\;-\;{\mathrm\alpha}_\mathrm{ij}(\mathrm\varepsilon_\mathrm{ij}^\mathrm{pl}))\;-\;\mathrm k({\mathrm\varepsilon}_\mathrm p)\;\leq\;0\;\mathrm{yielding}$$

V rovnici 4 je σe = F(σij) "efektivní" napětí materiálu v prostorovém stavu napětí. k je hraniční napětí v jednoosém testu tlak-tah.

Výše uvedené vychází z názoru, že plastické chování materiálu ve víceosém stavu napětí odpovídá stavu jednoosému (v ideálním případě).

V případě kinematického zpevnění popisuje tenzor αij střed plochy tečení. Střed se posune dalším zatěžovacím krokem dαij (viz obr. 03).

Z důvodu analogicky probíhajícího posunu materiálu je dost zdlouhavé zohlednit posun plochy tečení v programu. Momentálně tento druh zpevnění v programu RFEM zohledněn není.

Možným vyjádřením je posun podle Pragerova pravidla, kde c je konstanta materiálu:
$${\mathrm{dα}}_\mathrm{ij}\;=\;\mathrm{cdε}_\mathrm{ij}^\mathrm{pl}$$

Efektivní plastické protažení se rozloží do kinematického a izotropního zpevnění.

Rovnice 5:
$${\mathrm{dε}}_\mathrm p\;=\;\mathrm{mdε}_\mathrm p^\mathrm{iso}\;+\;\mathrm{dε}_\mathrm p^\mathrm{kin}$$

Rovnice 6:
$$\mathrm{dε}_\mathrm p^\mathrm{iso}\;=\;{\mathrm{mdε}}_\mathrm p$$

Rovnice 7:
$$\mathrm{dε}_\mathrm p^\mathrm{kin}\;=\;(1\;-\;\mathrm m)\;{\mathrm{dε}}_\mathrm p$$

m je faktor, prostřednictvím kterého lze sledovat poměr mezi izotropním a kinematickým zpevněním.

Obr. 03 - a) izotropní, b) kinematické, c) smíšené zpevnění (Zdroj [3])

Definice zpevnění v programu RFEM

Po vybrání volby Diagram, program uživatele vyzve, aby sám zadal zpevnění, což je zmíněno v předchozím příspěvku o materiálovém modelu Poškození.

Na obrázku 04 je za tímto účelem jako příklad definován 3. krok, který zohledňuje zpevnění materiálu během plastifikace podle von Misese.

Rovnice 8:
$$\mathrm k\;=\;\left(\frac1{{\mathrm f}_\mathrm y}\right)^2\;\cdot\;\frac{\mathrm E}{{\mathrm E}_\mathrm p}$$

Rovnice 9:
$$\mathrm\sigma\;=\;\left(\mathrm E\;+\;{\mathrm E}_\mathrm p\right)\;\cdot\;\mathrm\varepsilon$$

Obr. 04 - Diagram napětí-protažení (ručně)

Na příkladu znázorněném na obrázku 04 je použit materiál s faktorem zpevnění m = Ep = 0,8 MPa a E-modulem betonu E = 31 000 MPa. Napětí v krocích modelu 2 a 3 se za tímto účelem mění následovně.

Rovnice 10:
$${\mathrm\sigma}_1\;=\;20\;\mathrm{MPa}$$

Rovnice 11:
$$\rightarrow\;{\mathrm m}_0\;=\;\frac{{\mathrm\sigma}_1\;-\;{\mathrm\sigma}_0}{{\mathrm\varepsilon}_1\;-\;{\mathrm\varepsilon}_0}\;=\;\frac{2\;-\;0}{0,000645\;-\;0}\;=\;3100m\;\mathrm{MPa}$$

Rovnice 12:
$${\mathrm m}_1\;=\;{\mathrm E}_\mathrm p\;=\;0,8\;=\;\frac{{\mathrm\sigma}_2\;-\;{\mathrm\sigma}_1}{{\mathrm\varepsilon}_2\;-\;{\mathrm\varepsilon}_1}\;=\;\frac{{\mathrm\sigma}_2\;-\;2}{{\mathrm\varepsilon}_2\;-\;0,000645}$$

Rovnice 13:
$$\rightarrow\;{\mathrm\sigma}_2\;=\;{\mathrm m}_1\;\cdot\;{\mathrm\varepsilon}_2\;+\;{\mathrm\sigma}_1\;=\;0,8\;\cdot\;1\;+\;20\;=\;20,8\;\mathrm{MPa}$$

Tento příklad ukazuje, jakým způsobem může být zpevnění izotropně plastického chování materiálu zohledněno v diagramu. Pro druhý krok protažení definuje ε2 = 1 velice dlouhý krok protažení, který se blíží ∞.

Shrnutí

Pokud se jedná o speciální materiály, musí uživatel ručně zadat diagramy pro napětí a protažení. I v případě těchto materiálů má pro dosažení lepší konvergence a z důvodu realistického posouzení chování materiálu smysl definovat zpevnění.

Pomocí mezikroků zadaných uživatelem je i v případě nelineárních materiálů možné pomocí volby "Diagram" zohlednit izotropní zpevnění.

Literatura

[1]  Nackenhorst, U. Vorlesungsskript Festkörpermechanik.Institut für Baumechanik und Numerische Mechanik. Gottfried Wilhelm Leibniz Universität, Hannover: 2015
[2] Altenbach, H.Kontinuumsmechanik - Einführung in die materialunabhängigen und materialabhängigen Gleichungen, 3. Auflage. Springer: Berlin, 2015
[3] Pravida, J. M.Zur nichtlinearen adaptiven Finite-Element-Analyse von Stahlbetonscheiben. Technische Universität: München, 1999

Odkazy

Kontakt

Kontakt

Máte dotazy nebo potřebujete poradit?
Kontaktujte nás nebo využijte stránky s často kladenými dotazy.

+420 227 203 203

info@dlubal.cz

RFEM Hlavní program
RFEM 5.xx

Hlavní program

Program RFEM pro statické výpočty metodou konečných prvků umožňuje rychlé a snadné modelování konstrukcí, které se skládají z prutů, desek, stěn, skořepin a těles. Pro následná posouzení jsou k dispozici přídavné moduly, které zohledňují specifické vlastnosti materiálů a podmínky uvedené v normách.

Cena za první licenci
3 540,00 USD