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Dipl.-Ing. (FH) Stefan Frenzel

20.02.2017

Calcul d’une aire de cisaillement dans SHAPE-THIN

Le calcul des sections nécessite généralement de nombreuses propriétés de section différentes. Dans RFEM et RSTAB, toutes les propriétés requises des sections standardisées se trouvent dans la bibliothèque de sections et sont utilisables directement pour le calcul. Si des sections ne sont pas standardisées, SHAPE-THIN vous permet tout de même de les utiliser. Il suffit d’entrer la géométrie pour déterminer toutes les propriétés de section requises. L’exemple suivant montre le calcul d’une aire de cisaillement sur un exemple pratique.

Principes théoriques du calcul de l’aire de cisaillement

L’aire de cisaillement est une réduction calculée de l’aire de la section. Cette valeur permet de considérer la déformation de cisaillement lors de la détermination des efforts internes. Contrairement à l’aire de cisaillement efficace selon l’EN 1993-1-1, les aires de cisaillement calculées ici ne sont utilisées que pour la détermination des efforts internes. L’aire de cisaillement de l’EN 1993-1-1 est donc appliquée pour le calcul des contraintes. La réduction de l’aire de la section résulte d’une distribution différente de la loi de matériau et de l’équilibre de la section, ce qui entraîne une contradiction. Cette contradiction résulte de l’hypothèse que les sections restent les mêmes, car en réalité, un gauchissement de la section se produirait au moment où les efforts tranchants interviennent. L’aire de cisaillement est donc introduite dans la résistance des matériaux. La détermination de cette aire de cisaillement est décrit ci-dessous.

Égalisation de l’énergie de déformation II* pour l’élément de barre dx

Détermination :

\begin{array}{l} \int_{A} \frac{τ^{2} (z)}{2 \cdot G} dA = \int_{A_{s}} \frac{τ_{m}^{2}}{2 \cdot G} {dA}_{s} = \frac{Q^{2}}{2 \cdot G \cdot A_{s}} \\ \frac{1}{2 \cdot G} \int_{A} {[\frac{Q \cdot S_{y} (z)}{I_{y} \cdot b (z)}]}^{2} dA = \frac{1}{2 \cdot G} \cdot \frac{Q^{2}}{A_{s}} \\ dA = b (z) dz \\ A_{s} = A_{sz} = \frac{I_{y}^{2}}{\int_{z_{o}}^{z_{u}} \frac{S_{y}^{2} (z)}{b (z)} d z} \\ Q = Q_{z} \to A_{sz} \\ Q = Q_{y} \to A_{sy} \end{array}

Formule 1

Le facteur de correction du cisaillement κ est obtenu lors du calcul d'un rectangle. Ce facteur indique dans quelle mesure l’aire de la section doit être réduite.

Exemple de rectangle :

\begin{array}{l} I_{y} = \frac{b \cdot h^{3}}{12} \\ b (z) = b \\ S_{y} (z) = b \int_{- \frac{h}{s}}^{z} \bar{z} d \bar{z} = - \frac{b}{2} \cdot (\frac{h^{2}}{4} - z^{2}) \\ - \frac{h}{2} \leq z \leq \frac{h}{2} \\ \int_{z_{o}}^{z_{u}} S_{y}^{2} (z) dz = \int_{- \frac{h}{s}}^{\frac{h}{2}} \frac{b^{2}}{4} \cdot (\frac{h^{4}}{16} - \frac{1}{2} \cdot h^{2} \cdot z^{2} z^{4}) dz = \frac{b^{2} \cdot h^{5}}{120} \\ A_{s} = \frac{120 \cdot b^{2} \cdot h^{6} \cdot b}{144 \cdot b^{2} \cdot h^{5}} = \frac{5}{6} \cdot b \cdot h = \frac{5}{6} \cdot A \\ κ = \frac{5}{6} \end{array}

Formule 2

Pour les types de section simples, l’aire de cisaillement peut être déterminée directement. Voici quelques facteurs de correction du cisaillement :
Rectangle : 0,833
Poutre en I : ~ A_Âme

La comparaison des valeurs numériques montre qu’il faut toujours prêter attention au type de section lorsque l’on considère la déformation de cisaillement. Les facteurs de correction du cisaillement varient dans une large gamme, selon s’il s’agit de sections pleines, de sections ouvertes à parois minces ou de sections fermées à parois minces.

Exemple de section en T

Le calcul des aires de cisaillement des sections simples est donc très simple. Par exemple, dans le cas d’une section en T, SHAPE-THIN détermine automatiquement l’aire de cisaillement de cette section.

Entrée dans SHAPE-THIN

Solution analytique pour le calcul de l’aire de cisaillement :

\begin{array}{l} I_{y} = 13.304 {cm}^{2} \\ z_{m} = 8, 786 cm \\ b (z) = 1 cm \\ h = 40 cm \\ d = 45 cm \\ S_{y 1} = b (z) \cdot (h - z_{m} - z) \cdot (\frac{h - z_{m} - z}{2} z) \\ S_{y 2} = b (z) \cdot d \cdot - (z_{m} - b (z)) \\ A_{sz} = \frac{I_{y}^{2}}{\int_{- 30, 124}^{8, 786} \frac{S_{y 1} (z)^{2}}{b (z)} dz \int_{9, 286}^{8, 786} \frac{S_{y 2} (z)^{2}}{b (z)} dz} = 30, 17 {cm}^{2} \end{array}

Formule 3

Auteur

M. Frenzel est responsable du développement de produits pour l'analyse dynamique. Il fournit également une assistance technique aux clients de Dlubal Software.

Liens

Programmes autonomes dédiés aux propriétés de sections

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