Calcul d’une aire de cisaillement dans SHAPE-THIN

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Le calcul de sections requiert en général plusieurs propriétés de section. Dans RFEM et RSTAB, toutes les propriétés nécessaires des sections normalisées sont disponibles dans la bibliothèque des sections et peuvent être utilisées directement pour le calcul. Le programme SHAPE-THIN permet l’utilisation de sections non-normalisées. Il suffit d’entrer la géométrique pour déterminer toutes les propriétés de section. L’exemple suivant affiche le calcul d’une aire de cisaillement sur un exemple pratique.

Contexte théorique du calcul de l'aire de cisaillement

L'aire de cisaillement est une réduction calculée de l'aire d'une section. En utilisant cette valeur, vous pouvez considérer la déformation due au cisaillement lors de la détermination des efforts internes. Contrairement à l'aire de cisaillement efficace de l'EN 1993-1-1, les aires de cisaillement calculées ici ne seront utilisées que pour déterminer les efforts internes. Par conséquent, l'aire de cisaillement de l'EN 1993-1-1 s'applique au calcul des contraintes. La réduction de l'aire de la section résulte d'une distribution différente de la loi de matériau et de l'équilibre de la section, ce qui entraîne une contradiction. Cette contradiction est due à l'hypothèse que les sections restent les mêmes, bien que la section soit effectivement gauchie lorsque l'effet de la force de cisaillement se produit. L'aire de cisaillement est donc introduite dans la résistance des matériaux. La dérivation de cette zone de cisaillement est décrite ci-dessous.

Égalisation de l'énergie de déformation II * pour l'élément-barre dx

Dérivation:
$$\begin{array}{l}\int_\mathrm A\frac{\mathrm\tau^2(\mathrm z)}{2\;\cdot\;\mathrm G}\mathrm{dA}\;=\;\int_{{\mathrm A}_\mathrm s}\frac{\mathrm\tau_\mathrm m^2}{2\;\cdot\;\mathrm G}{\mathrm{dA}}_\mathrm s\;=\;\frac{\mathrm Q^2}{2\;\cdot\;\mathrm G\;\cdot\;{\mathrm A}_\mathrm s}\\\frac1{2\;\cdot\;\mathrm G}\;\int_\mathrm A\left[\frac{\mathrm Q\;\cdot\;{\mathrm S}_\mathrm y(\mathrm z)}{{\mathrm I}_\mathrm y\;\cdot\;\mathrm b(\mathrm z)}\right]^2\mathrm{dA}\;=\;\frac1{2\;\cdot\;\mathrm G}\;\cdot\;\frac{\mathrm Q^2}{{\mathrm A}_\mathrm s}\\\\\mathrm{dA}\;=\;\mathrm b(\mathrm z)\mathrm{dz}\\{\mathrm A}_\mathrm s\;=\;{\mathrm A}_\mathrm{sz}\;=\;\frac{\mathrm I_\mathrm y^2}{\int_{{\mathrm z}_\mathrm o}^{{\mathrm z}_\mathrm u}{\displaystyle\frac{\mathrm S_\mathrm y^2(\mathrm z)}{\mathrm b(\mathrm z)}}{\displaystyle\mathrm d}{\displaystyle\mathrm z}}\\\mathrm Q\;=\;{\mathrm Q}_\mathrm z\;\rightarrow\;{\mathrm A}_\mathrm{sz}\\\mathrm Q\;=\;{\mathrm Q}_\mathrm y\;\rightarrow\;{\mathrm A}_\mathrm{sy}\end{array}$$

Lors du calcul d'un rectangle, le résultat est le facteur de correction de cisaillement κ. Ce facteur indique dans quelle mesure l'aire de la section doit être réduite.

Exemple pour le rectangle:
$$\begin{array}{l}{\mathrm I}_\mathrm y\;=\;\frac{\mathrm b\;\cdot\;\mathrm h^3}{12}\\\mathrm b(\mathrm z)\;=\;\mathrm b\\{\mathrm S}_\mathrm y(\mathrm z)\;=\;\mathrm b\;\int_{-\frac{\mathrm h}{\mathrm s}}^\mathrm z\overline{\mathrm z}\mathrm d\overline{\mathrm z}\;=\;-\frac{\mathrm b}2\;\cdot\;\left(\frac{\mathrm h^2}4\;-\;\mathrm z^2\right)\\-\frac{\mathrm h}2\;\leq\;\mathrm z\;\leq\;\frac{\mathrm h}2\\\int_{{\mathrm z}_\mathrm o}^{{\mathrm z}_\mathrm u}\mathrm S_\mathrm y^2(\mathrm z)\mathrm{dz}\;=\;\int_{-\frac{\mathrm h}{\mathrm s}}^\frac{\mathrm h}2\frac{\mathrm b^2}4\;\cdot\;\left(\frac{\mathrm h^4}{16}\;-\;\frac12\;\cdot\;\mathrm h^2\;\cdot\;\mathrm z^2\;+\;\mathrm z^4\right)\mathrm{dz}\;=\;\frac{\mathrm b^2\;\cdot\;\mathrm h^5}{120}\\{\mathrm A}_\mathrm s\;=\;\frac{120\;\cdot\;\mathrm b^2\;\cdot\;\mathrm h^6\;\cdot\;\mathrm b}{144\;\cdot\;\mathrm b^2\;\cdot\;\mathrm h^5}\;=\;\frac56\;\cdot\;\mathrm b\;\cdot\;\mathrm h\;=\;\frac56\;\cdot\;\mathrm A\\\mathrm\kappa\;=\;\frac56\end{array}$$

Pour les types de section simples, il est possible de déterminer directement l'aire de cisaillement. Certains des facteurs de correction de cisaillement sont:
Rectangle : 0,833
Poutre en I: ~ Unetoile

La comparaison des valeurs numériques montre que vous devez toujours faire attention au type de section lorsque vous considérez la déformation due au cisaillement. Les facteurs de correction du cisaillement varient dans une large mesure selon qu'il existe des sections pleines, des sections ouvertes à parois minces ou des sections fermées à parois minces.

Exemple de section en T

Le calcul des aires de cisaillement pour des sections simples est donc très simple. Par exemple, s'il n'y a qu'une section en T, SHAPE-THIN détermine automatiquement l'aire de cisaillement de cette section.

Figure 01 - Entrée dans SHAPE-THIN

Solution analytique pour le calcul de l'aire de cisaillement:
$$\begin{array}{l}{\mathrm I}_\mathrm y\;=\;13.304\;\mathrm{cm}^2\\{\mathrm z}_\mathrm m\;=\;8,786\;\mathrm{cm}\\\mathrm b(\mathrm z)\;=\;1\;\mathrm{cm}\\\mathrm h\;=\;40\;\mathrm{cm}\\\mathrm d\;=\;45\;\mathrm{cm}\\{\mathrm S}_{\mathrm y1}\;=\;\mathrm b(\mathrm z)\;\cdot\;(\;\mathrm h\;-\;{\mathrm z}_\mathrm m\;-\;\mathrm z)\;\cdot\;\left(\frac{\mathrm h\;-\;{\mathrm z}_\mathrm m\;-\;\mathrm z}2\;+\;\mathrm z\right)\\{\mathrm S}_{\mathrm y2}\;=\;\mathrm b(\mathrm z)\;\cdot\;\mathrm d\;\cdot\;-({\mathrm z}_\mathrm m\;-\;\mathrm b(\mathrm z))\\{\mathrm A}_\mathrm{sz}\;=\;\frac{\mathrm I_\mathrm y^2}{\int_{-30,124}^{8,786}{\displaystyle\frac{{\mathrm S}_{\mathrm y1}(\mathrm z)^2}{\mathrm b(\mathrm z)}}\mathrm{dz}\;+\;\int_{9,286}^{8,786}{\displaystyle\frac{{\mathrm S}_{\mathrm y2}(\mathrm z)^2}{\mathrm b(\mathrm z)}}\mathrm{dz}}\;=\;30,17\;\mathrm{cm}^2\end{array}$$

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