Calcul d’une aire de cisaillement dans SHAPE-THIN

Article technique

Le calcul de sections requiert en général plusieurs propriétés de section. Dans RFEM et RSTAB, toutes les propriétés nécessaires des sections normalisées sont disponibles dans la bibliothèque des sections et peuvent être utilisées directement pour le calcul. Le programme SHAPE-THIN permet l’utilisation de sections non-normalisées. Il suffit d’entrer la géométrique pour déterminer toutes les propriétés de section. L’exemple suivant affiche le calcul d’une aire de cisaillement sur un exemple pratique.

Théorie

L’aire de cisaillement est une réduction calculée de l'aire de section transversale. Avec cette valeur, vous pouvez considérer les déformations de cisaillement lors de la détermination des efforts internes. Toutefois, contrairement à l’aire de cisaillement d’EN 1993-1-1, les aires de cisaillement calculées ici ne seront utilisées que pour déterminer les efforts internes. Ainsi, l’aire de cisaillement d’EN 1993-1-1 s’applique pour le calcul des contraintes. La réduction de l’aire de section transversale résulte d’une répartition différente de la loi du matériau et de l’équilibre de section, menant à une contradiction. Cette contradiction est due à l’hypothèse d’une section sans modification, alors même que cette section serait sujette à du gauchissement lors que le cisaillement prend effet. Ainsi, l’aire de cisaillement est introduite à la résistance des matériaux. La dérivation de cette aire de cisaillement est décrite ci-dessous.

Équation de l’énergie de déformation II* pour l’élément de barre dx

Dérivation :

$$\begin{array}{l}\int_A\frac{\tau^2(z)}{2\;\cdot\;G}dA\;=\;\int_{A_s}\frac{\tau_m^2}{2\;\cdot\;G}dA_s\;=\;\frac{Q^2}{2\;\cdot\;G\;\cdot\;A_s}\\\frac1{2\;\cdot\;G}\;\int_A\left[\frac{Q\;\cdot\;S_y(z)}{I_y\;\cdot\;b(z)}\right]^2dA\;=\;\frac1{2\;\cdot\;G}\;\cdot\;\frac{Q^2}{A_s}\\\\dA\;=\;b(z)dz\\A_s\;=\;A_{sz}\;=\;\frac{I_y^2}{\int_{z_o}^{z_u}{\displaystyle\frac{S_y^2(z)}{b(z)}}{\displaystyle d}{\displaystyle z}}\\Q\;=\;Q_z\;\rightarrow\;A_{sz}\\Q\;=\;Q_y\;\rightarrow\;A_{sy}\end{array}$$

Lorsque vous calculez un rectangle, le résultat est le facteur de correction k. Ce facteur indique dans quelle mesure l’aire de section transversale doit être réduite.

Exemple d’un rectangle :

$$\begin{array}{l}I_y\;=\;\frac{b\;\cdot\;h^3}{12}\\b(z)\;=\;b\\S_y(z)\;=\;b\;\int_{-\frac hs}^z\overline zd\overline z\;=\;-\frac b2\;\cdot\;\left(\frac{h^2}4\;-\;z^2\right)\\-\frac h2\;\leq\;z\;\leq\;\frac h2\\\int_{z_o}^{z_u}S_y^2(z)dz\;=\;\int_{-\frac hs}^\frac h2\frac{b^2}4\;\cdot\;\left(\frac{h^4}{16}\;-\;\frac12\;\cdot\;h^2\;\cdot\;z^2\;+\;z^4\right)dz\;=\;\frac{b^2\;\cdot\;h^5}{120}\\A_s\;=\;\frac{120\;\cdot\;b^2\;\cdot\;h^6\;\cdot\;b}{144\;\cdot\;b^2\;\cdot\;h^5}\;=\;\frac56\;\cdot\;b\;\cdot\;h\;=\;\frac56\;\cdot\;A\\\kappa\;=\;\frac56\end{array}$$

Pour les sections simples, il est possible d’obtenir l’aire de cisaillement de manière directe.

Certains facteurs de correction de cisaillement sont :
Rectangle : 0,833
Poutre en I : ~ Aweb

La comparaison des valeurs numériques démontre qu’il est toujours nécessaire de considérer le type de section lors de la déformation de cisaillement. Les facteurs de correction de cisaillement varient énormément. Il peut s’agir de sections épaisses, ouvertes à parois minces, fermées à parois minces.

Exemple d’une section en T

Le calcul des aires de cisaillement pour les sections simples est donc très facile. Par exemple si seule une section en T est étudiée, SHAPE-THIN détermine l’aire de cisaillement pour cette section automatiquement.

Figure 01 – Entrée dans SHAPE-THIN

Solution analytique pour le calcul de l’aire de cisaillement :

$$\begin{array}{l}I_y\;=\;13,304\;cm^2\\z_m\;=\;8.786\;cm\\b(z)\;=\;1\;cm\\h\;=\;40\;cm\\d\;=\;45\;cm\\S_{y1}\;=\;b(z)\;\cdot\;(\;h\;-\;z_m\;-\;z)\;\cdot\;\left(\frac{h\;-\;z_m\;-\;z}2\;+\;z\right)\\S_{y2}\;=\;b(z)\;\cdot\;d\;\cdot\;-(z_m\;-\;b(z))\\A_{sz}\;=\;\frac{I_y^2}{\int_{-30.124}^{8.786}{\displaystyle\frac{S_{y1}(z)^2}{b(z)}}dz\;+\;\int_{9.286}^{8.786}{\displaystyle\frac{S_{y2}(z)^2}{b(z)}}dz}\;=\;30.17\;cm^2\end{array}$$

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