Schubflächenberechnung mit DUENQ

Fachbeitrag

Für die Bemessung von Querschnitten werden in der Regel viele verschiedene Querschnittswerte benötigt. In RFEM und RSTAB sind alle dazu benötigten Werte für normierte Querschnitte in der Querschnittsdatenbank vorhanden und man kann diese zur direkten Bemessung heranziehen. Handelt es sich dagegen um nicht normgerechte Querschnitte, so gibt es mit DUENQ die Möglichkeit, auch diese Querschnitte zu verwenden. Über eine einfache Geometrieeingabe können alle benötigten Querschnittswerte ermittelt werden. In folgendem Beispiel wird die Berechnung der Schubfläche anhand eines konkreten Beispiels durchgeführt.

Theoretischer Hintergrund der Schubflächenberechnung

Die Schubfläche ist eine berechnete Reduzierung der Querschnittsfläche. Mit Hilfe dieses Werts kann man die Schubverformung bei der Ermittlung der Schnittgrößen berücksichtigen. Im Gegensatz zur wirksamen Schubfläche der DIN EN 1993-1-1 wird die hier berechnete Schubfläche nur für die Schnittgrößenermittlung verwendet. Für eine Spannungsberechnung findet daher die wirksame Schubfläche der DIN EN 1993-1-1 Anwendung. Die Reduzierung der Querschnittsfläche resultiert aus dem unterschiedlichen Verlauf des Stoffgesetzes und dem Gleichgewicht im Querschnitt, was zu einem Widerspruch führt. Die Ursache für diesen Widerspruch ist die Hypothese vom eben bleiben der Querschnitte, da sich der Querschnitt in Wirklichkeit verwölben würde, wenn eine Querkraftwirkung eintritt. Aus diesem Grund führt man in der Festigkeitslehre die Schubfläche ein. Die Herleitung dieser Schubfläche wird im Folgenden beschrieben.

Gleichsetzen der Formänderungsenergie II* für ein Stabelement dx

Herleitung:
$$\begin{array}{l}\int_\mathrm A\frac{\mathrm\tau^2(\mathrm z)}{2\;\cdot\;\mathrm G}\mathrm{dA}\;=\;\int_{{\mathrm A}_\mathrm s}\frac{\mathrm\tau_\mathrm m^2}{2\;\cdot\;\mathrm G}{\mathrm{dA}}_\mathrm s\;=\;\frac{\mathrm Q^2}{2\;\cdot\;\mathrm G\;\cdot\;{\mathrm A}_\mathrm s}\\\frac1{2\;\cdot\;\mathrm G}\;\int_\mathrm A\left[\frac{\mathrm Q\;\cdot\;{\mathrm S}_\mathrm y(\mathrm z)}{{\mathrm I}_\mathrm y\;\cdot\;\mathrm b(\mathrm z)}\right]^2\mathrm{dA}\;=\;\frac1{2\;\cdot\;\mathrm G}\;\cdot\;\frac{\mathrm Q^2}{{\mathrm A}_\mathrm s}\\\\\mathrm{dA}\;=\;\mathrm b(\mathrm z)\mathrm{dz}\\{\mathrm A}_\mathrm s\;=\;{\mathrm A}_\mathrm{sz}\;=\;\frac{\mathrm I_\mathrm y^2}{\int_{{\mathrm z}_\mathrm o}^{{\mathrm z}_\mathrm u}{\displaystyle\frac{\mathrm S_\mathrm y^2(\mathrm z)}{\mathrm b(\mathrm z)}}{\displaystyle\mathrm d}{\displaystyle\mathrm z}}\\\mathrm Q\;=\;{\mathrm Q}_\mathrm z\;\rightarrow\;{\mathrm A}_\mathrm{sz}\\\mathrm Q\;=\;{\mathrm Q}_\mathrm y\;\rightarrow\;{\mathrm A}_\mathrm{sy}\end{array}$$

Bei der Berechnung eines Rechteckes ergibt sich der sogenannte Schubkorrekturfaktor κ. Dieser Faktor gibt an wie stark die Querschnittsfläche reduziert werden muss.

Beispiel Rechteck:
$$\begin{array}{l}{\mathrm I}_\mathrm y\;=\;\frac{\mathrm b\;\cdot\;\mathrm h^3}{12}\\\mathrm b(\mathrm z)\;=\;\mathrm b\\{\mathrm S}_\mathrm y(\mathrm z)\;=\;\mathrm b\;\int_{-\frac{\mathrm h}{\mathrm s}}^\mathrm z\overline{\mathrm z}\mathrm d\overline{\mathrm z}\;=\;-\frac{\mathrm b}2\;\cdot\;\left(\frac{\mathrm h^2}4\;-\;\mathrm z^2\right)\\-\frac{\mathrm h}2\;\leq\;\mathrm z\;\leq\;\frac{\mathrm h}2\\\int_{{\mathrm z}_\mathrm o}^{{\mathrm z}_\mathrm u}\mathrm S_\mathrm y^2(\mathrm z)\mathrm{dz}\;=\;\int_{-\frac{\mathrm h}{\mathrm s}}^\frac{\mathrm h}2\frac{\mathrm b^2}4\;\cdot\;\left(\frac{\mathrm h^4}{16}\;-\;\frac12\;\cdot\;\mathrm h^2\;\cdot\;\mathrm z^2\;+\;\mathrm z^4\right)\mathrm{dz}\;=\;\frac{\mathrm b^2\;\cdot\;\mathrm h^5}{120}\\{\mathrm A}_\mathrm s\;=\;\frac{120\;\cdot\;\mathrm b^2\;\cdot\;\mathrm h^6\;\cdot\;\mathrm b}{144\;\cdot\;\mathrm b^2\;\cdot\;\mathrm h^5}\;=\;\frac56\;\cdot\;\mathrm b\;\cdot\;\mathrm h\;=\;\frac56\;\cdot\;\mathrm A\\\mathrm\kappa\;=\;\frac56\end{array}$$

Für einfache Querschnittstypen lässt sich so direkt auf die Schubfläche schließen. Nachfolgend sind einige Schubkorrekturfaktoren genannt:
Rechteck: 0,833
I-Träger: ~ ASteg

Der Vergleich der Zahlenwerte zeigt, dass man im Falle einer Berücksichtigung der Schubdeformation genau beachten muss, welche Profilform vorliegt. Die Schubkorrekturfaktoren schwanken in einem weiten Bereich, je nachdem, ob es sich um Vollquerschnitte, dünnwandige offene oder dünnwandige geschlossene Querschnitte handelt.

Beispiel eines T-Profils

Die Schubflächen für einfache Querschnitte lassen sich somit sehr einfach berechnen. Hat man nun beispielsweise einen T-Querschnitt, dann ermittelt DUENQ automatisch die Schubfläche dafür.

Bild 01 - Eingabe in DUENQ

Analytische Lösung zur Schubflächenberechnung:$$\begin{array}{l}{\mathrm I}_\mathrm y\;=\;13.304\;\mathrm{cm}^2\\{\mathrm z}_\mathrm m\;=\;8,786\;\mathrm{cm}\\\mathrm b(\mathrm z)\;=\;1\;\mathrm{cm}\\\mathrm h\;=\;40\;\mathrm{cm}\\\mathrm d\;=\;45\;\mathrm{cm}\\{\mathrm S}_{\mathrm y1}\;=\;\mathrm b(\mathrm z)\;\cdot\;(\;\mathrm h\;-\;{\mathrm z}_\mathrm m\;-\;\mathrm z)\;\cdot\;\left(\frac{\mathrm h\;-\;{\mathrm z}_\mathrm m\;-\;\mathrm z}2\;+\;\mathrm z\right)\\{\mathrm S}_{\mathrm y2}\;=\;\mathrm b(\mathrm z)\;\cdot\;\mathrm d\;\cdot\;-({\mathrm z}_\mathrm m\;-\;\mathrm b(\mathrm z))\\{\mathrm A}_\mathrm{sz}\;=\;\frac{\mathrm I_\mathrm y^2}{\int_{-30,124}^{8,786}{\displaystyle\frac{{\mathrm S}_{\mathrm y1}(\mathrm z)^2}{\mathrm b(\mathrm z)}}\mathrm{dz}\;+\;\int_{9,286}^{8,786}{\displaystyle\frac{{\mathrm S}_{\mathrm y2}(\mathrm z)^2}{\mathrm b(\mathrm z)}}\mathrm{dz}}\;=\;30,17\;\mathrm{cm}^2\end{array}$$

Links

Kontakt

Kontakt zu Dlubal

Haben Sie Fragen oder brauchen Sie einen Rat? Kontaktieren Sie uns oder nutzen Sie die häufig gestellten Fragen (FAQs) rund um die Uhr.

+49 9673 9203 0

info@dlubal.com

Querschnittswerte Dünnwandige
DUENQ 8.xx

Querschnittswerte-Programme

Querschnittswerte und Spannungen dünnwandiger Profile