Výpočet smykové plochy v programu SHAPE-THIN

Odborný článek

Pro posouzení průřezů je zpravidla zapotřebí mnoho různých průřezových hodnot. V programu RFEM i RSTAB máme veškeré požadované hodnoty u normovaných průřezů k dispozici v databázi průřezů a můžeme je přímo uplatnit při výpočtu. Program SHAPE-THIN nám ovšem umožňuje použít i nestandardní průřezy. Po zadání jednoduché geometrie lze veškeré potřebné průřezové hodnoty spočítat. V našem příspěvku si na konkrétním příkladu předvedeme výpočet smykové plochy.

Teoretické pozadí výpočtu smykové plochy

Smyková plocha se vypočítá jako redukce plochy průřezu. Daná hodnota umožňuje zohlednit deformaci smykem při výpočtu vnitřních sil. Na rozdíl od účinné smykové plochy podle EN 1993-1-1 se zde spočítaná smyková plocha použije pouze pro výpočet vnitřních sil. Při výpočtu napětí se tak uvažuje účinná smyková plocha podle 1993-1-1. Redukce průřezové plochy plyne z rozdílného průběhu materiálového modelu a z rovnováhy v průřezu, což vede k rozporu. Příčinou rozporu je hypotéza zachování rovinnosti průřezu, protože ve skutečnosti by při působení posouvající síly došlo k deplanaci průřezu. Z tohoto důvodu se v nauce o pružnosti a pevnosti zavádí smyková plocha. Odvození smykové plochy popisujeme níže.

Rovnice pro energii změny tvaru II* u prutového prvku dx

Odvození:
$$\begin{array}{l}\int_\mathrm A\frac{\mathrm\tau^2(\mathrm z)}{2\;\cdot\;\mathrm G}\mathrm{dA}\;=\;\int_{{\mathrm A}_\mathrm s}\frac{\mathrm\tau_\mathrm m^2}{2\;\cdot\;\mathrm G}{\mathrm{dA}}_\mathrm s\;=\;\frac{\mathrm Q^2}{2\;\cdot\;\mathrm G\;\cdot\;{\mathrm A}_\mathrm s}\\\frac1{2\;\cdot\;\mathrm G}\;\int_\mathrm A\left[\frac{\mathrm Q\;\cdot\;{\mathrm S}_\mathrm y(\mathrm z)}{{\mathrm I}_\mathrm y\;\cdot\;\mathrm b(\mathrm z)}\right]^2\mathrm{dA}\;=\;\frac1{2\;\cdot\;\mathrm G}\;\cdot\;\frac{\mathrm Q^2}{{\mathrm A}_\mathrm s}\\\\\mathrm{dA}\;=\;\mathrm b(\mathrm z)\mathrm{dz}\\{\mathrm A}_\mathrm s\;=\;{\mathrm A}_\mathrm{sz}\;=\;\frac{\mathrm I_\mathrm y^2}{\int_{{\mathrm z}_\mathrm o}^{{\mathrm z}_\mathrm u}{\displaystyle\frac{\mathrm S_\mathrm y^2(\mathrm z)}{\mathrm b(\mathrm z)}}{\displaystyle\mathrm d}{\displaystyle\mathrm z}}\\\mathrm Q\;=\;{\mathrm Q}_\mathrm z\;\rightarrow\;{\mathrm A}_\mathrm{sz}\\\mathrm Q\;=\;{\mathrm Q}_\mathrm y\;\rightarrow\;{\mathrm A}_\mathrm{sy}\end{array}$$

Při výpočtu obdélníku dostaneme takzvaný smykový korekční faktor κ, který udává, do jaké míry je průřezovou plochu třeba redukovat.

Příklad obdélníku:
$$\begin{array}{l}{\mathrm I}_\mathrm y\;=\;\frac{\mathrm b\;\cdot\;\mathrm h^3}{12}\\\mathrm b(\mathrm z)\;=\;\mathrm b\\{\mathrm S}_\mathrm y(\mathrm z)\;=\;\mathrm b\;\int_{-\frac{\mathrm h}{\mathrm s}}^\mathrm z\overline{\mathrm z}\mathrm d\overline{\mathrm z}\;=\;-\frac{\mathrm b}2\;\cdot\;\left(\frac{\mathrm h^2}4\;-\;\mathrm z^2\right)\\-\frac{\mathrm h}2\;\leq\;\mathrm z\;\leq\;\frac{\mathrm h}2\\\int_{{\mathrm z}_\mathrm o}^{{\mathrm z}_\mathrm u}\mathrm S_\mathrm y^2(\mathrm z)\mathrm{dz}\;=\;\int_{-\frac{\mathrm h}{\mathrm s}}^\frac{\mathrm h}2\frac{\mathrm b^2}4\;\cdot\;\left(\frac{\mathrm h^4}{16}\;-\;\frac12\;\cdot\;\mathrm h^2\;\cdot\;\mathrm z^2\;+\;\mathrm z^4\right)\mathrm{dz}\;=\;\frac{\mathrm b^2\;\cdot\;\mathrm h^5}{120}\\{\mathrm A}_\mathrm s\;=\;\frac{120\;\cdot\;\mathrm b^2\;\cdot\;\mathrm h^6\;\cdot\;\mathrm b}{144\;\cdot\;\mathrm b^2\;\cdot\;\mathrm h^5}\;=\;\frac56\;\cdot\;\mathrm b\;\cdot\;\mathrm h\;=\;\frac56\;\cdot\;\mathrm A\\\mathrm\kappa\;=\;\frac56\end{array}$$

U jednoduchých typů průřezu tak lze vyvodit smykovou plochu přímo. Níže uvádíme některé smykové korekční součinitele:
Obdélník: 0,833
I-nosník: ~ Astojina

Při porovnání hodnot se ukazuje, že v případě zohlednění deformace smykem je nezbytné brát v úvahu tvar průřezu. Smykové korekční součinitele kolísají v širokém rozmezí v závislosti na tom, zda se jedná o plné průřezy, tenkostěnné otevřené anebo tenkostěnné uzavřené průřezy.

Příklad T-průřezy

Smykové plochy lze tedy u jednoduchých průřezů velmi snadno spočítat. Pokud máme například T-průřez, program SHAPE-THIN stanoví smykovou plochu automaticky.

Obr. 01 - Vstupní údaje v programu SHAPE-THIN

Analytické řešení výpočtu smykové plochy:$$\begin{array}{l}{\mathrm I}_\mathrm y\;=\;13 304\;\mathrm{cm}^2\\{\mathrm z}_\mathrm m\;=\;8,786\;\mathrm{cm}\\\mathrm b(\mathrm z)\;=\;1\;\mathrm{cm}\\\mathrm h\;=\;40\;\mathrm{cm}\\\mathrm d\;=\;45\;\mathrm{cm}\\{\mathrm S}_{\mathrm y1}\;=\;\mathrm b(\mathrm z)\;\cdot\;(\;\mathrm h\;-\;{\mathrm z}_\mathrm m\;-\;\mathrm z)\;\cdot\;\left(\frac{\mathrm h\;-\;{\mathrm z}_\mathrm m\;-\;\mathrm z}2\;+\;\mathrm z\right)\\{\mathrm S}_{\mathrm y2}\;=\;\mathrm b(\mathrm z)\;\cdot\;\mathrm d\;\cdot\;-({\mathrm z}_\mathrm m\;-\;\mathrm b(\mathrm z))\\{\mathrm A}_\mathrm{sz}\;=\;\frac{\mathrm I_\mathrm y^2}{\int_{-30,124}^{8,786}{\displaystyle\frac{{\mathrm S}_{\mathrm y1}(\mathrm z)^2}{\mathrm b(\mathrm z)}}\mathrm{dz}\;+\;\int_{9,286}^{8,786}{\displaystyle\frac{{\mathrm S}_{\mathrm y2}(\mathrm z)^2}{\mathrm b(\mathrm z)}}\mathrm{dz}}\;=\;30,17\;\mathrm{cm}^2\end{array}$$

Odkazy

Kontakt

Kontakt

Máte dotazy nebo potřebujete poradit?
Kontaktujte nás nebo využijte stránky s často kladenými dotazy.

+420 227 203 203

info@dlubal.cz

Průřezy Tenkostěnné
SHAPE-THIN 8.xx

Program pro průřezové charakteristiky

Průřezové charakteristiky a napětí tenkostěnných průřezů

Cena za první licenci
1 120,00 USD