Výpočet smykové plochy v programu SHAPE-THIN

Odborný článek

Tento text byl přeložen Google překladačem

Zobrazit původní text

Pro posouzení průřezů je zpravidla zapotřebí mnoho různých průřezových hodnot. V programu RFEM i RSTAB máme veškeré požadované hodnoty u normovaných průřezů k dispozici v databázi průřezů a můžeme je přímo uplatnit při výpočtu. Program SHAPE-THIN nám ovšem umožňuje použít i nestandardní průřezy. Po zadání jednoduché geometrie lze veškeré potřebné průřezové hodnoty spočítat. V našem příspěvku si na konkrétním příkladu předvedeme výpočet smykové plochy.

Teoretické základy výpočtu smykové plochy

Smyková plocha je vypočítanou redukcí plochy průřezu. Tato hodnota umožňuje zohlednit smykovou deformaci při výpočtu vnitřních sil. Na rozdíl od účinné smykové plochy podle DIN EN 1993-1-1 se zde vypočítaná smyková plocha používá pouze pro výpočet vnitřních sil. Proto se pro výpočet napětí používá efektivní smyková plocha podle DIN EN 1993-1-1. Redukce plochy průřezu vyplývá z rozdílného rozdělení materiálového zákona a rovnováhy v průřezu, což vede k rozporům. Důvodem tohoto rozporu je hypotéza udržovat průřezy vodorovné, protože průřez by se ve skutečnosti deformoval, pokud by nastal účinek smykové síly. Z tohoto důvodu se v teorie pevnosti zavádí smyková plocha. Odvodení této smykové plochy je popsáno níže.

Zohlednění deformační energie II * u prutového prvku dx

Odvodení:
$$\begin{array}{l}\int_\mathrm A\frac{\mathrm\tau^2(\mathrm z)}{2\;\cdot\;\mathrm G}\mathrm{dA}\;=\;\int_{{\mathrm A}_\mathrm s}\frac{\mathrm\tau_\mathrm m^2}{2\;\cdot\;\mathrm G}{\mathrm{dA}}_\mathrm s\;=\;\frac{\mathrm Q^2}{2\;\cdot\;\mathrm G\;\cdot\;{\mathrm A}_\mathrm s}\\\frac1{2\;\cdot\;\mathrm G}\;\int_\mathrm A\left[\frac{\mathrm Q\;\cdot\;{\mathrm S}_\mathrm y(\mathrm z)}{{\mathrm I}_\mathrm y\;\cdot\;\mathrm b(\mathrm z)}\right]^2\mathrm{dA}\;=\;\frac1{2\;\cdot\;\mathrm G}\;\cdot\;\frac{\mathrm Q^2}{{\mathrm A}_\mathrm s}\\\\\mathrm{dA}\;=\;\mathrm b(\mathrm z)\mathrm{dz}\\{\mathrm A}_\mathrm s\;=\;{\mathrm A}_\mathrm{sz}\;=\;\frac{\mathrm I_\mathrm y^2}{\int_{{\mathrm z}_\mathrm o}^{{\mathrm z}_\mathrm u}{\displaystyle\frac{\mathrm S_\mathrm y^2(\mathrm z)}{\mathrm b(\mathrm z)}}{\displaystyle\mathrm d}{\displaystyle\mathrm z}}\\\mathrm Q\;=\;{\mathrm Q}_\mathrm z\;\rightarrow\;{\mathrm A}_\mathrm{sz}\\\mathrm Q\;=\;{\mathrm Q}_\mathrm y\;\rightarrow\;{\mathrm A}_\mathrm{sy}\end{array}$$

Při výpočtu obdélníku se získá smykový opravný součinitel κ. Tento faktor udává, o kolik se má průřezová plocha redukovat.

Příklad obdélníku:
$$\begin{array}{l}{\mathrm I}_\mathrm y\;=\;\frac{\mathrm b\;\cdot\;\mathrm h^3}{12}\\\mathrm b(\mathrm z)\;=\;\mathrm b\\{\mathrm S}_\mathrm y(\mathrm z)\;=\;\mathrm b\;\int_{-\frac{\mathrm h}{\mathrm s}}^\mathrm z\overline{\mathrm z}\mathrm d\overline{\mathrm z}\;=\;-\frac{\mathrm b}2\;\cdot\;\left(\frac{\mathrm h^2}4\;-\;\mathrm z^2\right)\\-\frac{\mathrm h}2\;\leq\;\mathrm z\;\leq\;\frac{\mathrm h}2\\\int_{{\mathrm z}_\mathrm o}^{{\mathrm z}_\mathrm u}\mathrm S_\mathrm y^2(\mathrm z)\mathrm{dz}\;=\;\int_{-\frac{\mathrm h}{\mathrm s}}^\frac{\mathrm h}2\frac{\mathrm b^2}4\;\cdot\;\left(\frac{\mathrm h^4}{16}\;-\;\frac12\;\cdot\;\mathrm h^2\;\cdot\;\mathrm z^2\;+\;\mathrm z^4\right)\mathrm{dz}\;=\;\frac{\mathrm b^2\;\cdot\;\mathrm h^5}{120}\\{\mathrm A}_\mathrm s\;=\;\frac{120\;\cdot\;\mathrm b^2\;\cdot\;\mathrm h^6\;\cdot\;\mathrm b}{144\;\cdot\;\mathrm b^2\;\cdot\;\mathrm h^5}\;=\;\frac56\;\cdot\;\mathrm b\;\cdot\;\mathrm h\;=\;\frac56\;\cdot\;\mathrm A\\\mathrm\kappa\;=\;\frac56\end{array}$$

U jednoduchých typů průřezů lze smykovou plochu stanovit přímo. Následují některé opravné součinitele smyku:
Obdélník: 0,833
I-nosník: ~ Asíť

Porovnání číselných hodnot ukazuje, že při zohlednění smykové deformace je třeba přesně zohlednit, jaký tvar profilu máme k dispozici. Součinitele smykového korekce se pohybují v širokém rozmezí v závislosti na tom, zda se jedná o masivní průřezy, tenkostěnné otevřené nebo tenkostěnné uzavřené průřezy.

Příklad T-profilu

Lze tak velmi snadno spočítat smykové plochy pro jednoduché průřezy. Pokud například zadáte průřez tvaru T, program SHAPE-THIN automaticky určí smykovou plochu.

Obr. 01 - Vstupní údaje v programu SHAPE-THIN

Analytické řešení pro výpočet smykové plochy:
$$\begin{array}{l}{\mathrm I}_\mathrm y\;=\;13.304\;\mathrm{cm}^2\\{\mathrm z}_\mathrm m\;=\;8,786\;\mathrm{cm}\\\mathrm b(\mathrm z)\;=\;1\;\mathrm{cm}\\\mathrm h\;=\;40\;\mathrm{cm}\\\mathrm d\;=\;45\;\mathrm{cm}\\{\mathrm S}_{\mathrm y1}\;=\;\mathrm b(\mathrm z)\;\cdot\;(\;\mathrm h\;-\;{\mathrm z}_\mathrm m\;-\;\mathrm z)\;\cdot\;\left(\frac{\mathrm h\;-\;{\mathrm z}_\mathrm m\;-\;\mathrm z}2\;+\;\mathrm z\right)\\{\mathrm S}_{\mathrm y2}\;=\;\mathrm b(\mathrm z)\;\cdot\;\mathrm d\;\cdot\;-({\mathrm z}_\mathrm m\;-\;\mathrm b(\mathrm z))\\{\mathrm A}_\mathrm{sz}\;=\;\frac{\mathrm I_\mathrm y^2}{\int_{-30,124}^{8,786}{\displaystyle\frac{{\mathrm S}_{\mathrm y1}(\mathrm z)^2}{\mathrm b(\mathrm z)}}\mathrm{dz}\;+\;\int_{9,286}^{8,786}{\displaystyle\frac{{\mathrm S}_{\mathrm y2}(\mathrm z)^2}{\mathrm b(\mathrm z)}}\mathrm{dz}}\;=\;30,17\;\mathrm{cm}^2\end{array}$$

Odkazy

Kontakt

Kontakt

Máte dotazy nebo potřebujete poradit?
Kontaktujte prosím kdykoli naši bezplatnou technickou podporu e-mailem, na chatu nebo na fóru anebo se podívejte do sekce často kladených dotazů (FAQ).

+420 227 203 203

info@dlubal.cz