8.1 Estabilidad

Se realizan varios análisis de estabilidad para pandeo por flexión y pandeo lateral para un pilar con flexión doble teniendo en cuenta las condiciones de interacción.

Tabla 8.0 Sistema y cargas de cálculo (γ veces)

Valores de cálculo de las cargas estáticas Nd = 300 kN qz,d = 5 kN/m Fy,d = 7,5 kN

Se realiza el cálculo para todas las posiciones de x (véase el capítulo 4.5) de la barra equivalente. La posición determinante es x = 2,00 m. RFEM o RSTAB determina los esfuerzos internos siguientes:

$N_{cr,z}=\frac{21000·889.00·{\pi }^2}{400.{00}^2}=1151.60 \mathrm{kN}$

${\overline{\lambda }}_z=\sqrt{\frac{A·f_y}{N_{cr,z}}}=\sqrt{\frac{54.30·23.5}{1151.60}}=1.053>0.2$

→ Debe efectuarse el cálculo para pandeo por flexión.

Geometría de la sección: h/b = 1,00 ≤ 1,2; acero estructural S 235; t ≤ 100 mm

• [1] Tabla 6.2, fila 3, columna 4: curva de pandeo c
• ⇒ α_z = 0,49   ([1] Tabla 6.1)

$\Phi =0.5·[1+0.49·(1.053-0.2)+1.{053}^2]=1.263$

${\chi }_z=\frac{1}{1.263+\sqrt{1.{263}^2-1.{053}^2}}=0.510$

$\frac{N_{Ed}}{{\chi }_z·A·f_y/{\gamma }_{M1}}=\frac{300}{0.510·54.30·23.5/1.0}=0.461$

$N_{cr,y}=\frac{21000·2490.00·{\pi }^2}{400.{00}^2}=3225.51 \mathrm{kN}$

${\overline{\lambda }}_y=\sqrt{\frac{A·f_y}{N_{cr,y}}}=\sqrt{\frac{54.30·23.5}{3225.51}}=0.629>0.2$

→ Debe efectuarse el cálculo para pandeo por flexión.

Geometría de la sección: h/b = 1,00 ≤ 1,2; acero estructural S 235; t ≤ 100 mm

• [1] Tabla 6.2, fila 3, columna 4: curva de pandeo b
• ⇒ α_y = 0,34   ([1] Tabla 6.1)

$\Phi =0.5·[1+0.34·(0.629-0.2)+0.{629}^2]=0.771$

${\chi }_y=\frac{1}{0.771+\sqrt{0.{771}^2-0.{629}^2}}=0.822$

$\frac{N_{Ed}}{{\chi }_y·A·f_y/{\gamma }_{M1}}=\frac{300}{0.822·54.30·23.5/1.0}=0.286$

En este ejemplo, se determina el momento crítico elástico para pandeo lateral según el anexo nacional austriaco suponiendo que los apoyos articulados tengan libertad de alabeo.

Se supone que el punto de aplicación de carga está en el centro de cortante (puede ajustar el punto de aplicación para cargas transversales en el cuadro de diálogo Detalles, véase el capítulo 3.1.2).

$M_{\mathrm{cr}}=C_1·\frac{{\pi }^2·E·I_z}{{\mathcal{l}}^2}·\sqrt{\frac{I_{\omega }}{I_z}+\frac{{\mathcal{l}}^2·G·I_t}{{\pi }^2·E·I_z}}$

$M_{\mathrm{cr}}=1.13·\frac{{\pi }^2·21000·889}{{400}^2}·\sqrt{\frac{47940}{889}+\frac{{400}^2·8100·31.40}{{\pi }^2·21000·889}}=215.71 \mathrm{kNm}$

El programa también representa el M_cr,0, que se determina partiendo de la distribución de momentos constante.

Para los resultados por la posición de x, el programa también representa los valores de M_cr,x, es decir, los momentos críticos elásticos en las posiciones de x en relación con el momento crítico elástico en la posición del momento máximo. Entonces el programa utiliza el M_cr,x para el cálculo de las esbelteces relativas ƛ_LT.

Cálculo según el apartado 6.3.2.2 de [1] para la posición con el momento máximo en x = 2,00 m:

HEB-160, sección de clase 1: W_y = W_pl,y = 354,00 cm³

${\overline{\lambda }}_{\mathrm{LT}}=\sqrt{\frac{W_y·f_y}{M_{\mathrm{cr}}}}=\sqrt{\frac{354·23.5}{215.71}}=0.621$

Cálculo según el apartado 6.3.2.3 de [1]

HEB-160: h/b = 1,0 < 2,0 ⇒ curva de pandeo b según [1] Tabla 6.5

• Coeficiente auxiliar:

${\Phi }_{\mathrm{LT}}=0.5·\left[1+{\alpha }_{\mathrm{LT}}·\left({\overline{\lambda }}_{\mathrm{LT}}-{\overline{\lambda }}_{\mathrm{LT},0}\right)+\beta ·{\overline{\lambda }}_{\mathrm{LT}}^2\right]$

${\Phi }_{\mathrm{LT}}=0.5·\left[1+0.34·\left(0.621-0.40\right)+0.75·0.{621}^2\right]=0.682$

Esbeltez límite:

${\overline{\lambda }}_{\mathrm{LT},0}=0.40$

Parámetro (valor mínimo):

$\beta =0.75$

Coeficiente de imperfección según [1] Tabla 6.3:

${\alpha }_{\mathrm{LT}}=0.34$

${\chi }_{\mathrm{LT}}=\frac{1}{{\Phi }_{\mathrm{LT}}+\sqrt{{\Phi }_{\mathrm{LT}}^2-\beta ·{\overline{\lambda }}_{\mathrm{LT}}^2}}=\frac{1}{0.682+\sqrt{0.{682}^2-0.75·0.{621}^2}}=0.908$

Según el apartado 6.3.2.3 de [1], existe la posibilidad de modificación del coeficiente de reducción como se indica:

${\chi }_{\mathrm{LT}\text{,mod}}=\frac{{\chi }_{LT}}{f} \text{mit } f=1-0.5·\left(1-k_c\right)·\left[1-2.0·\left({\overline{\lambda }}_{\mathrm{LT}}-0.8^2\right)\right]$

${\chi }_{\mathrm{LT}\text{,mod}}=\frac{0.908}{0.972}=0.934$

Coeficiente de corrección k_c según [1] Tabla 6.6 para un diagrama de momentos parabólico:

$k_c=0.94$

$f=1-0.5·(1-0.94)·[1-2.0·(0.621-0.8{)}^2]=0.972$

La determinación según [4], anexo B, tabla B.2, para componentes estructurales es susceptible a las deformaciones por torsión.

El factor de momento equivalente C_mLT se obtiene según la tabla B.3 para ψ = 0 como:

$C_{my}=C_{mLT}=0.95+0.05·{\alpha }_h=0.95 \text{mit } {\alpha }_h=\frac{M_h}{M_s}=\frac{0}{10}=0$

$k_{yy}=C_{my}·(1+({\overline{\lambda }}_y-0.2)·\frac{N_{Ed}}{{\chi }_y·N_{Rk}/{\gamma }_{M1}})\le C_{my}·(1+0.8·\frac{N_{Ed}}{{\chi }_y·N_{Rk}/{\gamma }_{M1}})$

$k_{yy}=0.95·(1+(0.629-0.2)·0.286)\le 0.95·(1+0.8·0.286)=\underline{1.067}\le 1.167$

$k_{yz}=0.60·k_{zz}=0.60·1.481=\underline{0.888}$

La determinación según [1], anexo B, tabla B.2, para componentes estructurales es susceptible a las deformaciones por torsión.

El factor de momento equivalente CmLT se obtiene según la tabla B.3 para ψ = 0 como:

$C_{mz}=0.90+0.01·{\alpha }_h=0.90 \text{mit} {\alpha }_h=\frac{M_h}{M_s}=\frac{0}{10}=0$

$k_{zy}=(1-\frac{0.1·{\overline{\lambda }}_z}{C_{mLT}-0.25}·\frac{N_{Ed}}{{\chi }_z·N_{Rk}/{\gamma }_{M1}})\ge (1-\frac{0.1}{C_{mLT}-0.25}·\frac{N_{Ed}}{{\chi }_z·N_{Rk}/{\gamma }_{M1}})$

$k_{zy}=(1-\frac{0.1·1.053}{0.95-0.25}·0.461)\ge (1-\frac{0.1}{0.95-0.25}·0.461)=\underline{0.892}\le 0.934$

$k_{zy}=\underline{0.934}$

$k_{zz}=C_{mz}·(1+(2·{\overline{\lambda }}_z-0.6)·\frac{N_{Ed}}{{\chi }_z·N_{Rk}/{\gamma }_{M1}})\le C_{mz}·(1+1.4·\frac{N_{Ed}}{{\chi }_z·N_{Rk}/{\gamma }_{M1}})$

$k_{zz}=0.90·(1+(2·1.053-0.6)·0.461)\le 0.90·(1+1.4·0.461)=\underline{1.525}\ge 1.481$

$k_{zz}=\underline{1.481 }$

Según [1] Ec. (6.61) se debe cumplir el siguiente requisito:

$\frac{N_{Ed}}{{\chi }_y·N_{Rk}/{\gamma }_{M1}}+k_{yy}·\frac{M_{y,Ed}}{{\chi }_{LT}·M_{y,Rk}/{\gamma }_{M1}}+k_{yz}·\frac{M_{z,Ed}}{M_{z,Rk}/{\gamma }_{M1}}\le 1$

donde

$M_{y,Rk}=W_{pl,y}·f_y=354·23.5=8319 \mathrm{kNcm}=83.19 \mathrm{kNm}$

$M_{z,Rk}=W_{pl,z}·f_y=169.96·23.5=3994.1 \mathrm{kNcm}=39.94 \mathrm{kNm}$

$\frac{300}{0.822·1276.05/1.0}+1.067·\frac{10.0}{0.908·83.19/1.0}+0.888·\frac{7.50}{39.94/1.0}=0.594\le 1$

Según EN1993-1-1 Ec. (6.62) se debe cumplir el siguiente requisito:

$\frac{N_{Ed}}{{\chi }_z·N_{Rk}/{\gamma }_{M1}}+k_{zy}·\frac{M_{y,Ed}}{{\chi }_{LT}·M_{y,Rk}/{\gamma }_{M1}}+k_{zz}·\frac{M_{z,Ed}}{M_{z,Rk}/{\gamma }_{M1}}\le 1$

$\frac{300}{0.510·1276.05/1.0}+0.934·\frac{10.0}{0.908·83.19/1.0}+1.481·\frac{7.50}{39.94/1.0}=0.863\le 1$