30x

004551

0001-01-01

Seleziona Manuale

5 Valutazione dei risultati

6 Relazione di calcolo

7 Funzioni generali

8 Esempi

9 Literature

8.1 Stabilità

Nell'esempio seguente, si completano le analisi di stabilità per il progetto di instabilità #1#instabilità flesso-torsionale#2#Instabilità flesso-torsionale#3# per una colonna con la doppia flessione, considerando le condizioni di interazione.

Valori di progetto

Sistema e carichi

Tabella 8.0 Caricamenti di sistema e di progetto (γ times)
Figura 8.1 ₓ	Valori di progetto dei carichi statici N _d = 300 kN q _{z, d} = 5 kN / m F _{,, d} = 7,5 kN

Forze interne secondo l'analisi statica lineare

Posizione di progetto (posizione determinante x)

Il progetto viene eseguito per tutte le posizioni x (vedere paragrafo 4.5) dell'asta equivalente. La posizione determinante è x = 2,00 m. RFEM determina le seguenti forze interne:

Tabella 8.1 Forze interne
n	M _y	M _z	V _y	V _z
-300,00 kN	10 kNm	7,50 kNm	3,75 kN	0,00 kN

Proprietà della sezione trasversale HE-B 160, S 235

Tabella 8.2 Proprietà della sezione trasversale HE-B 160, S 235
Proprietà	Simbolo	Valore	Unità
Area della sezione trasv.	A	54.30	cm²
Momento d'inerzia	Io	2490.00	cm⁴
Momento d'inerzia	I _z	889.00	cm⁴
Raggio d'inerzia	io _sì	6.78	cm
Raggio d'inerzia	io sono _z	4.05	cm
Raggio d'inerzia polare	_p	7.90	cm
Raggio d'inerzia polare	i _{p, M}	41.90	cm
Peso della sezione trasversale	[Regards]	42.63	kg/m
Costante torsionale	I _T	31.40	cm⁴
Costante di ingobbamento	I _ω	47940.00	cm⁶
Modulo di resistenza	A	311.00	cm³
Modulo di resistenza	W _z	111.00	cm³
Modulo di resistenza plastico	W _{pl, y}	354.00	cm³
Modulo di resistenza plastico	W _{pl, z}	169.96	cm³
Curva d'instabilità	AC	b	ₓ
Curva d'instabilità	BC _z	c	ₓ

Instabilità flessionale attorno l'asse minore (⊥ all'asse #2#-#3#)

$N_{c r, z} = \frac{21000 \cdot 889.00 \cdot π^{2}}{400 . 00^{2}} = 1151.60 kN$

${\bar{λ}}_{z} = \sqrt{\frac{A \cdot f_{y}}{N_{c r, z}}} = \sqrt{\frac{54.30 \cdot 23.5}{1151.60}} = 1.053 > 0.2$

→ È necessario eseguire il progetto di instabilità flessionale.

Geometria della sezione trasversale

[1] Tabella 6.2, riga 3, colonna 4: curva di instabilità c
⇒ α _z = 0,49 ( [1] Tabella 6.1)

$Φ = 0.5 \cdot [1 + 0.49 \cdot (1.053 - 0.2) + 1 . 053^{2}] = 1.263$

$χ_{z} = \frac{1}{1.263 + \sqrt{1 . 263^{2} - 1 . 053^{2}}} = 0.510$

$\frac{N_{E d}}{χ_{z} \cdot A \cdot f_{y} / γ_{M 1}} = \frac{300}{0.510 \cdot 54.30 \cdot 23.5 / 1.0} = 0.461$

Valori dei risultati di calcolo di RF-STEEL EC3

Tabella 8.3 Valori dei risultati di calcolo di RF-STEEL EC3
I _z	889.00	cm⁴	ₓ	ₓ
Lunghezza effettiva dell'asta	L _{cr, z}	4.000	m	ₓ	ₓ
Forza di instabilità flessionale elastica	N _{cr, z}	1151.60	kN	ₓ	ₓ
Rapporto di snellezza	λ _z	1.053	ₓ	> 0.2	6.3.1.2(4)
Curva d'instabilità	BC _z	c	ₓ	ₓ	Tab. 6.2
Fattore di imperfezione	α _z	0.490	ₓ	ₓ	tab. 6.1
Coefficiente ausiliario	Φ _z	1.263	ₓ	ₓ	6.3.1.2(1)
Coefficiente di riduzione	χ _z	0.510	ₓ	ₓ	Eq. (6.49)

Instabilità flessionale attorno all'asse maggiore (da ⊥ a asse yy)

$N_{c r, y} = \frac{21000 \cdot 2490.00 \cdot π^{2}}{400 . 00^{2}} = 3225.51 kN$

${\bar{λ}}_{y} = \sqrt{\frac{A \cdot f_{y}}{N_{c r, y}}} = \sqrt{\frac{54.30 \cdot 23.5}{3225.51}} = 0.629 > 0.2$

→ È necessario eseguire il progetto di instabilità flessionale.

Geometria della sezione trasversale

[1] Tabella 6.2, riga 3, colonna 4: curva di instabilità b
⇒ a _y = 0,34 ( [1] Tabelle 6.1)

$Φ = 0.5 \cdot [1 + 0.34 \cdot (0.629 - 0.2) + 0 . 629^{2}] = 0.771$

$χ_{y} = \frac{1}{0.771 + \sqrt{0 . 771^{2} - 0 . 629^{2}}} = 0.822$

$\frac{N_{E d}}{χ_{y} \cdot A \cdot f_{y} / γ_{M 1}} = \frac{300}{0.822 \cdot 54.30 \cdot 23.5 / 1.0} = 0.286$

Valori dei risultati di calcolo di RF-STEEL EC3

Tabella 8.4 Valori dei risultati di calcolo di RF-STEEL EC3
Secondo momento dell'area	Io	2490.00	cm⁴	ₓ	ₓ
Lunghezza effettiva dell'asta	L _{cr, y}	4.000	m	ₓ	ₓ
Forza di instabilità flessionale elastica	N _{cr, a}	3225.51	kN	ₓ	ₓ
Area della sezione trasv.	A	54.30	cm²	ₓ	ₓ
Tensione di snervamento	f _y	23.50	kN/cm²	ₓ	3.2.1
Rapporto di snellezza	λ _y	0.629	ₓ	> 0.2	6.3.1.2(4)
Curva d'instabilità	AC	b	ₓ	ₓ	Tab. 6.2
Fattore di imperfezione	α _y	0.340	ₓ	ₓ	tab. 6.1
Coefficiente ausiliario	Φ _y	0.771	ₓ	ₓ	6.3.1.2(1)
Coefficiente di riduzione	χ _y	0.822	ₓ	ₓ	Eq. (6.49)

Instabilità flesso-torsionale

Momento elastico critico ideale

In questo esempio, il momento elastico critico per l'instabilità flesso-torsionale viene determinato secondo l'Appendice nazionale austriaca con il postulato dei supporti incernierati liberi di svergolare.

Il punto di applicazione del carico è nel centro del taglio (per i carichi trasversali, è possibile modificare il punto di applicazione nella finestra di dialogo Dettagli, vedere paragrafo 3.1.2).

$M_{cr} = C_{1} \cdot \frac{π^{2} \cdot E \cdot I_{z}}{l^{2}} \cdot \sqrt{\frac{I_{ω}}{I_{z}} + \frac{l^{2} \cdot G \cdot I_{t}}{π^{2} \cdot E \cdot I_{z}}}$

$M_{cr} = 1.13 \cdot \frac{π^{2} \cdot 21000 \cdot 889}{400^{2}} \cdot \sqrt{\frac{47940}{889} + \frac{400^{2} \cdot 8100 \cdot 31.40}{π^{2} \cdot 21000 \cdot 889}} = 215.71 kNm$

Il programma mostra anche M_cr,0, che viene determinato in base ad una distribuzione di momento costante.

Per i risultati per la posizione x, il programma mostra anche il valore M_cr, x, cioè, il momento critico elastico nella locazione relativa x al momento elastico critico nella locazione di momento massimo. Usando M_cr, x, il programma calcola la snellezza relativa ‾λ_LT.

Snellezza per instabilità flesso-torsionale

Calcolo secondo alla [1], clausola 6.3.2.2, per la posizione con il momento massimo in x=

HEB-160, Classe della sezione trasversale 1: W _y = W _{pl, y} = 354,00 cm ³

${\bar{λ}}_{LT} = \sqrt{\frac{W_{y} \cdot f_{y}}{M_{cr}}} = \sqrt{\frac{354 \cdot 23.5}{215.71}} = 0.621$

Coefficiente di riduzione χ _LT

Calcolo secondo alla [1], clausola 6.3.2.3

HEB-160: h / b = 1.0 <2.0 ⇒ curva di instabilità b secondo [1] Tabella 6.5

Coefficiente ausiliario:

$Φ_{LT} = 0.5 \cdot [1 + α_{LT} \cdot ({\bar{λ}}_{LT} - {\bar{λ}}_{LT, 0}) + β \cdot {\bar{λ}}_{LT}^{2}]$

$Φ_{LT} = 0.5 \cdot [1 + 0.34 \cdot (0.621 - 0.40) + 0.75 \cdot 0 . 621^{2}] = 0.682$

Snellezza limitante:

$λ_{LT, 0} = 0.40$

Parametro (valore minimo):

$β = 0.75$

Coefficiente di imperfezione:

$α_{LT} = 0.34$

$χ_{LT} = \frac{1}{Φ_{LT} + \sqrt{Φ_{LT}^{2} - β \cdot {\bar{λ}}_{LT}^{2}}} = \frac{1}{0.682 + \sqrt{0 . 682^{2} - 0.75 \cdot 0 . 621^{2}}} = 0.908$

Secondo [1] paragrafo 6.3.2.3, il fattore di riduzione può essere modificato come segue:

$χ_{LT,mod} = \frac{χ_{L T}}{f} mit f = 1 - 0.5 \cdot (1 - k_{c}) \cdot [1 - 2.0 \cdot ({\bar{λ}}_{LT} - 0 . 8^{2})]$

$χ_{LT,mod} = \frac{0.908}{0.972} = 0.934$

Coefficiente di correzione k _c secondo [1] Tabella 6.6 per un diagramma momento parabolico:

$k_{c} = 0.94$

$f = 1 - 0.5 \cdot (1 - 0.94) \cdot [1 - 2.0 \cdot (0.621 - 0.8)^{2}] = 0.972$

Fattori di interazione y y y y y

La determinazione secondo all'[4], Appendice B, tabella B.2, per i componenti strutturali suscettibili a deformazioni torsionali.

Il coefficiente di momento equivalente C_mLT secondo alla tabella B.3 per ψ = 0 viene ottenuto come:

$C_{m y} = C_{m L T} = 0.95 + 0.05 \cdot α_{h} = 0.95 mit α_{h} = \frac{M_{h}}{M_{s}} = \frac{0}{10} = 0$

$k_{y y} = C_{m y} \cdot (1 + ({\bar{λ}}_{y} - 0.2) \cdot \frac{N_{E d}}{χ_{y} \cdot N_{R k} / γ_{M 1}}) \leq C_{m y} \cdot (1 + 0.8 \cdot \frac{N_{E d}}{χ_{y} \cdot N_{R k} / γ_{M 1}})$

$k_{y y} = 0.95 \cdot (1 + (0.629 - 0.2) \cdot 0.286) \leq 0.95 \cdot (1 + 0.8 \cdot 0.286) = 1.067 \leq 1.167$

$k_{y z} = 0.60 \cdot k_{z z} = 0.60 \cdot 1.481 = 0.888$

Fattori di interazione k _yy e k _zz

Determinazione secondo [1] Appendice B, tabella B.2, per le componenti strutturali sensibili agli spostamenti generalizzati torsionali

Il fattore momento equivalente C _mLT si ottiene secondo la tabella B.3 per ψ = 0 come:

$C_{m z} = 0.90 + 0.01 \cdot α_{h} = 0.90 mit α_{h} = \frac{M_{h}}{M_{s}} = \frac{0}{10} = 0$

$k_{z y} = (1 - \frac{0.1 \cdot {\bar{λ}}_{z}}{C_{m L T} - 0.25} \cdot \frac{N_{E d}}{χ_{z} \cdot N_{R k} / γ_{M 1}}) \geq (1 - \frac{0.1}{C_{m L T} - 0.25} \cdot \frac{N_{E d}}{χ_{z} \cdot N_{R k} / γ_{M 1}})$

$k_{z y} = (1 - \frac{0.1 \cdot 1.053}{0.95 - 0.25} \cdot 0.461) \geq (1 - \frac{0.1}{0.95 - 0.25} \cdot 0.461) = 0.892 \leq 0.934$

$k_{z y} = 0.934$

$k_{z z} = C_{m z} \cdot (1 + (2 \cdot {\bar{λ}}_{z} - 0.6) \cdot \frac{N_{E d}}{χ_{z} \cdot N_{R k} / γ_{M 1}}) \leq C_{m z} \cdot (1 + 1.4 \cdot \frac{N_{E d}}{χ_{z} \cdot N_{R k} / γ_{M 1}})$

$k_{z z} = 0.90 \cdot (1 + (2 \cdot 1.053 - 0.6) \cdot 0.461) \leq 0.90 \cdot (1 + 1.4 \cdot 0.461) = 1.525 \geq 1.481$

$k_{z z} = 1.481$

Progettazione di interazione per instabilità attorno all'asse maggiore e instabilità flesso-torsionale

Secondo [1] Eq. (6.61) si deve soddisfare il seguente requisito:

$\frac{N_{E d}}{χ_{y} \cdot N_{R k} / γ_{M 1}} + k_{y y} \cdot \frac{M_{y, E d}}{χ_{L T} \cdot M_{y, R k} / γ_{M 1}} + k_{y z} \cdot \frac{M_{z, E d}}{M_{z, R k} / γ_{M 1}} \leq 1$

con

$M_{y, R k} = W_{p l, y} \cdot f_{y} = 354 \cdot 23.5 = 8319 kNcm = 83.19 kNm$

$M_{z, R k} = W_{p l, z} \cdot f_{y} = 169.96 \cdot 23.5 = 3994.1 kNcm = 39.94 kNm$

$\frac{300}{0.822 \cdot 1276.05 / 1.0} + 1.067 \cdot \frac{10.0}{0.908 \cdot 83.19 / 1.0} + 0.888 \cdot \frac{7.50}{39.94 / 1.0} = 0.594 \leq 1$

Progettazione di interazione per instabilità attorno all'asse minore e instabilità flesso-torsionale

Secondo EN1993-1-1 Eq. (6.62) deve essere soddisfatto il seguente requisito:

$\frac{N_{E d}}{χ_{z} \cdot N_{R k} / γ_{M 1}} + k_{z y} \cdot \frac{M_{y, E d}}{χ_{L T} \cdot M_{y, R k} / γ_{M 1}} + k_{z z} \cdot \frac{M_{z, E d}}{M_{z, R k} / γ_{M 1}} \leq 1$

$\frac{300}{0.510 \cdot 1276.05 / 1.0} + 0.934 \cdot \frac{10.0}{0.908 \cdot 83.19 / 1.0} + 1.481 \cdot \frac{7.50}{39.94 / 1.0} = 0.863 \leq 1$

Valori dei risultati di calcolo di RF-STEEL EC3

Tabella 8.5 Valori dei risultati di calcolo di RF-STEEL EC3
Altezza del profilo	h	160.0	mm
Larghezza sezione	b	160.0	mm	ₓ	ₓ
Criterio	h / b	1.00	ₓ	≤ 2	tab. 6.5
Curva d'instabilità	BC _LT	b	ₓ	ₓ	Tab. 6.5
Fattore di imperfezione	a _LT	0.340	ₓ	ₓ	tab. 6.3
Modulo di taglio	[Regards]	8100.00	kN/cm³	ₓ	ₓ
Fattore di lunghezza	k _z	1.000	ₓ	ₓ	ₓ
Fattore di lunghezza	k _w	1.000	ₓ	ₓ	ₓ
Lunghezza.	[LinkToImage01]	4.000	m	ₓ	ₓ
Costante di ingobbamento	Io _w	47940.00	cm⁶	ₓ	ₓ
Costante torsionale	Io _t	31.40	cm⁴
Momento elastico critico per LTB per la determinazione della snellezza correlata	M _{cr, 0}	190.90	kNm	ₓ	ₓ
Distribuzione del momento	Diagr M_y	6) Parabola	ₓ	ₓ	ₓ
Momento di rilassamento massimo	M _{y, max}	10.00	kNm	ₓ	ₓ
Momento di confine	M _{y, A}	0.00	kNm	ₓ	ₓ
Rapporto del momento	ψ	0.000	ₓ	ₓ	ₓ
Fattore di momento	C ₁	1.130	ₓ	ₓ	[2]
Momento elastico critico ideale	M _cr	215.71	kNm	ₓ	ₓ
Modulo di resistenza	A	354.00	cm³	ₓ	ₓ
Rapporto di snellezza	λ _LT	0.621	ₓ	ₓ	6.3.2.2(1)
Parametro	λ _{LT, 0}	0.400	ₓ	ₓ	6.3.2.3(1)
Parametro	β	0.750	ₓ	ₓ	6.3.2.3(1)
Coefficiente ausiliario	φ _LT	0.682	ₓ	ₓ	6.3.2.3(1)
Coefficiente di riduzione	χ _LT	0.908	ₓ	ₓ	Eq. (6.57)
Coefficiente di correzione	k _c	0.940	ₓ	ₓ	6.3.2.3(2)
Coefficiente di modifica	[F5]	0.972	ₓ	ₓ	6.3.2.3(2)
Coefficiente di riduzione	χ _{LT, mod}	0.934	ₓ	ₓ	Eq. (6.58)
Distribuzione del momento	Diagr M_y	3) Massimo nella campata	ₓ	ₓ	tab. B.3
Fattore di momento	ψ _y	1.000	ₓ	ₓ	tab. B.3
Momento	M _{h, y}	0.00	kNm	ₓ	tab. B.3
Momento	M _{s, y}	10.00	kNm	ₓ	tab. B.3
Rapporto M _{h, y} / M _{s, y}	a _{, h}	0.000	ₓ	ₓ	tab. B.3
Tipo di carico	Carico	Carico uniforme	ₓ	ₓ	tab. B.3
Fattore di momento	C _mio	0.950	ₓ	ₓ	tab. B.3
Distribuzione del momento	Diagr M_z	3) Massimo nella campata	ₓ		tab. B.3
Fattore di momento	ψ _z	1.000	ₓ	ₓ	tab. B.3
Momento	M _{h, z}	0.00	kNm	ₓ	tab. B.3
Momento	M _{s, z}	7.50	kNm	ₓ	tab. B.3
Rapporto M _{h, z} / M _{s, z}	a _{h, z}	0.000	ₓ	ₓ	tab. B.3
Tipo di carico	Carico y	Carico concentrato	ₓ	ₓ	tab. B.3
Fattore di momento	C _mz	0.900	ₓ	ₓ	tab. B.3
Distribuzione del momento	Diagr M_y,LT	3) Massimo nella campata			tab. B.3
Fattore di momento	_{, y, LT}	1.000	ₓ	ₓ	tab. B.3
Momento	M _{h, y, LT}	0.00	kNm	ₓ	tab. B.3
Momento	M _{s, y, LT}	10.00	kNm	ₓ	Tab. B.3
Rapporto M _{h, y, LT} / M _{s, y, LT}	a _{, y, LT}	0.000	ₓ	ₓ	Tab. B.3
Tipo di carico	Carico z	Carico uniforme	ₓ	ₓ	Tab. B.3
Fattore di momento	C _mLT	0.950	ₓ	ₓ	Tab. B.3
Tipo di componente	Componente	Torsionalmente debole		ₓ	ₓ
Coefficiente di interazione	_yy	1.067	ₓ	ₓ	tab. B.2
Coefficiente di interazione	k _yz	0.888	ₓ	ₓ	tab. A.1
Coefficiente di interazione	k _zy	0.934	ₓ	ₓ	tab. A.1
Coefficiente di interazione	k _zz	1.481	ₓ	ₓ	tab. A.1
Forza assiale (compressione)	N _Ed	300.00	kN	ₓ	ₓ
Area della sezione trasversale	A _i	54.30	cm²	ₓ	tab. 6.7
Resistenza a compressione	N _Rk	1276.05	kN	ₓ	tab. 6.7
Coefficiente parziale di sicurezza	γ _M1	1.000	ₓ	ₓ	6.1
Componente di progetto per N	γ _Ny	0.29	ₓ	≤ 1	eq. (6.61)
Componente di progetto per N	h _Nz	0.46	ₓ	≤ 1	eq. (6.62)
Moment	M _{y, Ed}	10.00	kNm	ₓ	ₓ
Momento di resistenza	M _{y, Rk}	83.19	kNm	ₓ	Tab. 6.7
Componente del momento	η _Mio	0.13	ₓ	ₓ	eq. (6.61)
Momento	M _{z, Ed}	7.50	kNm	ₓ	ₓ
Modulo di resistenza	W _Z	169.96	cm³	ₓ	ₓ
Momento di resistenza	M _{z, Rk}	39.94	kNm		Tab. 6.7
Componente del momento	η _Mz	0.19	ₓ	ₓ	Eq. (6.61)
Progetto 1	η ₁	0.59	ₓ	≤ 1	Eq. (6.61)
Progetto 2	η ₂	0.86	ₓ	≤ 1	Eq. (6.62)

Literatur

[1]	Eurocode 3: Bemessung und Konstruktion von Stahlbauten − Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau. Beuth Verlag GmbH, Berlin, 2010
[4]	Johannes Naumes, Isabell Strohmann, Dieter Ungermann und Gerhard Sedlacek. Die neuen Stabilitätsnachweise im Stahlbau nach Eurocode 3. Stahlbau, 77, 2008.

Sezione originaria

8 Esempi