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Aperçu

1 Introduction

2 Données d'entrée

3 Calcul

4 Résultats

5 Évaluation des résultats

6 Impression

7 Fonctions de base

8 Exemples

9 Littérature

8.1 Stabilité

Pour un poteau à double flexion, des analyses de stabilité pour le flambement par flexion et le déversement sont effectuées avec les conditions d'interaction.

Valeurs de calcul

Système et charge

Tableau 8.0 Système et charges (fois γ)
Figure 8.1 Système et charge	Valeurs de calcul des charges statiques N_d = 300 kN q_z,d = 5 kN/m F_y,d = 7,5 kN

Efforts internes selon la théorie du premier ordre

Positions pour la vérification (position x déterminante)

La vérification est effectuée pour toutes les positions x (voir le Chapitre 4.5) de la barre équivalente. La position x déterminante est = 2,00 m. RFEM/RSTAB détermine les efforts internes suivants :

Tableau 8.1 Efforts internes
N	M_y	M_z	V_y	V_z
- 300,00 kN	10,00 kNm	7,50 kNm	3,75 kN	0,00 kN

Propriétés de la section HE-B 160, S 235

Tableau 8.2 Propriétés de la section HE-B 160, S 235
Taille de la section	Symbole	Valeur	Unité
Aire de section	A	54.30	cm²
Moment d'inertie	I_y	2490.00	cm⁴
Moment d'inertie	I_z	889.00	cm⁴
Rayon d'inertie	I_y	6.78	cm
Rayon d'inertie	I_z	4.05	cm
Rayon polaire de giration	i_p	7.90	cm
Rayon polaire de giration	i_p,M	41.90	cm
Poids de la section	G	42.63	kg/m
Inertie de torsion	I_T	31.40	cm⁴
Inertie de gauchissement	I_ω	47940.00	cm⁶
Module de section	W_y	311.00	cm³
Module de section	W_z	111.00	cm³
Module de section plastique	W_pl,y	354.00	cm³
Module de section plastique	W_pl,z	169.96	cm³
Courbe de flambement	CF_y	b
Courbe de flambement	BC_z	c

Flambement par flexion selon l'axe mineur (⊥ à l'axe zz)

$N_{c r, z} = \frac{21000 \cdot 889.00 \cdot π^{2}}{400 . 00^{2}} = 1151.60 kN$

${\bar{λ}}_{z} = \sqrt{\frac{A \cdot f_{y}}{N_{c r, z}}} = \sqrt{\frac{54.30 \cdot 23.5}{1151.60}} = 1.053 > 0.2$

→ La vérification du flambement par flexion doit être effectuée

Géométrie de la section : h/b = 1,00 ≤ 1,2, nuance d'acier S 235, t ≤ 100 mm

[1], Tableau 6.2, ligne 3, colonne 4 : courbe de flambement c
⇒ α_z = 0,49 ([1], Tableau 6.1)

$Φ = 0.5 \cdot [1 + 0.49 \cdot (1.053 - 0.2) + 1 . 053^{2}] = 1.263$

$χ_{z} = \frac{1}{1.263 + \sqrt{1 . 263^{2} - 1 . 053^{2}}} = 0.510$

$\frac{N_{E d}}{χ_{z} \cdot A \cdot f_{y} / γ_{M 1}} = \frac{300}{0.510 \cdot 54.30 \cdot 23.5 / 1.0} = 0.461$

Résultats du calcul dans RF-/STEEL EC3

Tableau 8.3 Résultats du calcul dans RF-/STEEL EC3
I_z	889.00	cm⁴
Longueur efficace de barre	L_cr,z	4.000	m
Flambement critique élastique	N_cr,z	1151.60	kN
Élancement	λ_z	1.053		> 0.2	6.3.1.2(4)
Courbe de flambement	BC_z	c			Tab. 6.2
Facteur d'imperfection	α_z	0.490			Tab. 6.1
Facteur auxiliaire	Φ_z	1.263			6.3.1.2(1)
Facteur de réduction	χ_z	0.510			Éq. (6.49)

Flambement par flexion autour de l'axe principal (⊥ à l'axe yy)

$N_{c r, y} = \frac{21000 \cdot 2490.00 \cdot π^{2}}{400 . 00^{2}} = 3225.51 kN$

${\bar{λ}}_{y} = \sqrt{\frac{A \cdot f_{y}}{N_{c r, y}}} = \sqrt{\frac{54.30 \cdot 23.5}{3225.51}} = 0.629 > 0.2$

→ La vérification du flambement par flexion doit être effectuée

Géométrie de la section : h/b = 1,00 ≤ 1,2, nuance d'acier S 235, t ≤ 100 mm

[1], Tableau 6.2, ligne 3, colonne 4 : courbe de flambement b
⇒ α_y = 0,34 ([1], Tableau 6.1)

$Φ = 0.5 \cdot [1 + 0.34 \cdot (0.629 - 0.2) + 0 . 629^{2}] = 0.771$

$χ_{y} = \frac{1}{0.771 + \sqrt{0 . 771^{2} - 0 . 629^{2}}} = 0.822$

$\frac{N_{E d}}{χ_{y} \cdot A \cdot f_{y} / γ_{M 1}} = \frac{300}{0.822 \cdot 54.30 \cdot 23.5 / 1.0} = 0.286$

Résultats du calcul dans RF-/STEEL EC3

Tableau 8.4 Résultats du calcul dans RF-/STEEL EC3
Moment d'inertie	I_y	2490.00	cm⁴
Longueur efficace de barre	L_cr,y	4.000	m
Effort élastique de flambement par flexion	N_cr,y	3225.51	kN
Aire de la section	A	54.30	cm²
Limite d'élasticité	f_y	23.50	kN/cm²		3.2.1
Élancement	λ_y	0.629		> 0.2	6.3.1.2(4)
Courbe de flambement	CF_y	b			Tab. 6.2
Facteur d'imperfection	α_y	0.340			Tab. 6.1
Facteur auxiliaire	Φ_y	0.771			6.3.1.2(1)
Facteur de réduction	χ_y	0.822			Éq. (6.49)

Déversement

Moment élastique critique pour le déversement

Dans cet exemple, le moment élastique critique pour le déversement est déterminé selon l'Annexe nationale autrichienne en admettant que les appuis articulés sont libres en gauchissement.

Le point d'application de la charge est supposé être dans le centre de cisaillement (vous pouvez ajuster le point d'application des charges transversales dans la boîte de dialogue Détails, voir le Chapitre 3.1.2).

$M_{cr} = C_{1} \cdot \frac{π^{2} \cdot E \cdot I_{z}}{l^{2}} \cdot \sqrt{\frac{I_{ω}}{I_{z}} + \frac{l^{2} \cdot G \cdot I_{t}}{π^{2} \cdot E \cdot I_{z}}}$

$M_{cr} = 1.13 \cdot \frac{π^{2} \cdot 21000 \cdot 889}{400^{2}} \cdot \sqrt{\frac{47940}{889} + \frac{400^{2} \cdot 8100 \cdot 31.40}{π^{2} \cdot 21000 \cdot 889}} = 215.71 kNm$

Le programme affiche également M_cr,0, qui est déterminé en se basant sur une distribution de moments constante.

Le programme affiche également les valeurs M_cr,x pour les résultats à la position x. Il s'agit des moments critiques élastiques aux positions x par rapport au moment critique élastique à l'emplacement du moment maximal. Le programme calcule l'élancement relatif ƛ_LT à l'aide de M_cr,x.

Spitze

Élancement pour le déversement

Calcul selon la clause 6.3.2.2 de l'[1] pour une position avec le moment maximal à x = 2,00 m :

HEB-160, section de classe 1 : W_y = W_pl,y = 354,00 cm³

${\bar{λ}}_{LT} = \sqrt{\frac{W_{y} \cdot f_{y}}{M_{cr}}} = \sqrt{\frac{354 \cdot 23.5}{215.71}} = 0.621$

Facteur de réduction χ_LT

Calcul selon la clause 6.3.2.3 de [1]

HEB-160 : h / b = 1,0 <2,0 ⇒ courbe de flambement b selon [1], Tableau 6.5

Facteur auxiliaire :

$Φ_{LT} = 0.5 \cdot [1 + α_{LT} \cdot ({\bar{λ}}_{LT} - {\bar{λ}}_{LT, 0}) + β \cdot {\bar{λ}}_{LT}^{2}]$

$Φ_{LT} = 0.5 \cdot [1 + 0.34 \cdot (0.621 - 0.40) + 0.75 \cdot 0 . 621^{2}] = 0.682$

Élancement limite :

$λ_{LT, 0} = 0.40$

Paramètre (valeur minimale) :

$β = 0.75$

Facteur d'imperfection selon le Tableau 6.3 de [1] :

$α_{LT} = 0.34$

$χ_{LT} = \frac{1}{Φ_{LT} + \sqrt{Φ_{LT}^{2} - β \cdot {\bar{λ}}_{LT}^{2}}} = \frac{1}{0.682 + \sqrt{0 . 682^{2} - 0.75 \cdot 0 . 621^{2}}} = 0.908$

Selon le paragraphe de 6.3.2.3 [1], le facteur de réduction peut être modifié comme suit :

$χ_{LT,mod} = \frac{χ_{L T}}{f} mit f = 1 - 0.5 \cdot (1 - k_{c}) \cdot [1 - 2.0 \cdot ({\bar{λ}}_{LT} - 0 . 8^{2})]$

$χ_{LT,mod} = \frac{0.908}{0.972} = 0.934$

Facteur de correction k_c selon le Tableau 6.6 de [1] pour un diagramme de moment parabolique :

$k_{c} = 0.94$

$f = 1 - 0.5 \cdot (1 - 0.94) \cdot [1 - 2.0 \cdot (0.621 - 0.8)^{2}] = 0.972$

Facteurs d'interaction k_yy et k_yz

Détermination selon [6], Annexe B, tableau B.2, pour les composants structuraux susceptibles de se déformer en torsion

Le facteur de moment équivalent C_mLT est obtenu selon le Tableau B.3 pour ψ = 0 comme suit :

$C_{m y} = C_{m L T} = 0.95 + 0.05 \cdot α_{h} = 0.95 mit α_{h} = \frac{M_{h}}{M_{s}} = \frac{0}{10} = 0$

$k_{y y} = C_{m y} \cdot (1 + ({\bar{λ}}_{y} - 0.2) \cdot \frac{N_{E d}}{χ_{y} \cdot N_{R k} / γ_{M 1}}) \leq C_{m y} \cdot (1 + 0.8 \cdot \frac{N_{E d}}{χ_{y} \cdot N_{R k} / γ_{M 1}})$

$k_{y y} = 0.95 \cdot (1 + (0.629 - 0.2) \cdot 0.286) \leq 0.95 \cdot (1 + 0.8 \cdot 0.286) = 1.067 \leq 1.167$

$k_{y z} = 0.60 \cdot k_{z z} = 0.60 \cdot 1.481 = 0.888$

Facteurs d'nteraction k_zy et k_zz

Détermination selon le Tableau B.2 de l'Annexe B de [1] pour les composants structuraux susceptibles de se déformer en torsion

Le facteur de moment équivalent C_mLT est obtenu selon le Tableau B.3 pour ψ = 0 comme suit :

$C_{m z} = 0.90 + 0.01 \cdot α_{h} = 0.90 mit α_{h} = \frac{M_{h}}{M_{s}} = \frac{0}{10} = 0$

$k_{z y} = (1 - \frac{0.1 \cdot {\bar{λ}}_{z}}{C_{m L T} - 0.25} \cdot \frac{N_{E d}}{χ_{z} \cdot N_{R k} / γ_{M 1}}) \geq (1 - \frac{0.1}{C_{m L T} - 0.25} \cdot \frac{N_{E d}}{χ_{z} \cdot N_{R k} / γ_{M 1}})$

$k_{z y} = (1 - \frac{0.1 \cdot 1.053}{0.95 - 0.25} \cdot 0.461) \geq (1 - \frac{0.1}{0.95 - 0.25} \cdot 0.461) = 0.892 \leq 0.934$

$k_{z y} = 0.934$

$k_{z z} = C_{m z} \cdot (1 + (2 \cdot {\bar{λ}}_{z} - 0.6) \cdot \frac{N_{E d}}{χ_{z} \cdot N_{R k} / γ_{M 1}}) \leq C_{m z} \cdot (1 + 1.4 \cdot \frac{N_{E d}}{χ_{z} \cdot N_{R k} / γ_{M 1}})$

$k_{z z} = 0.90 \cdot (1 + (2 \cdot 1.053 - 0.6) \cdot 0.461) \leq 0.90 \cdot (1 + 1.4 \cdot 0.461) = 1.525 \geq 1.481$

$k_{z z} = 1.481$

Calcul avec interaction pour le flambement autour des axes majeurs et le déversement

Selon l'Éq. (6.61) de [1], la condition suivante doit être respectée :

$\frac{N_{E d}}{χ_{y} \cdot N_{R k} / γ_{M 1}} + k_{y y} \cdot \frac{M_{y, E d}}{χ_{L T} \cdot M_{y, R k} / γ_{M 1}} + k_{y z} \cdot \frac{M_{z, E d}}{M_{z, R k} / γ_{M 1}} \leq 1$

avec

$M_{y, R k} = W_{p l, y} \cdot f_{y} = 354 \cdot 23.5 = 8319 kNcm = 83.19 kNm$

$M_{z, R k} = W_{p l, z} \cdot f_{y} = 169.96 \cdot 23.5 = 3994.1 kNcm = 39.94 kNm$

$\frac{300}{0.822 \cdot 1276.05 / 1.0} + 1.067 \cdot \frac{10.0}{0.908 \cdot 83.19 / 1.0} + 0.888 \cdot \frac{7.50}{39.94 / 1.0} = 0.594 \leq 1$

Calcul avec interaction pour le flambement autour des axes mineurs et le déversement

Selon l'Éq. (6.62) de [1], la condition suivante doit être respectée :

$\frac{N_{E d}}{χ_{z} \cdot N_{R k} / γ_{M 1}} + k_{z y} \cdot \frac{M_{y, E d}}{χ_{L T} \cdot M_{y, R k} / γ_{M 1}} + k_{z z} \cdot \frac{M_{z, E d}}{M_{z, R k} / γ_{M 1}} \leq 1$

$\frac{300}{0.510 \cdot 1276.05 / 1.0} + 0.934 \cdot \frac{10.0}{0.908 \cdot 83.19 / 1.0} + 1.481 \cdot \frac{7.50}{39.94 / 1.0} = 0.863 \leq 1$

Résultats du calcul dans RF-/STEEL EC3

Tableau 8.5 Résultats du calcul dans RF-/STEEL EC3
Hauteur de la section	h	160.0	mm
Largeur de la section	b	160.0	mm
Critère	h/b	1.00		≤ 2	Tab. 6.5
Courbe de flambement	BC_LT	b			Tab. 6.5
Facteur d'imperfection	α_LT	0.340			Tab. 6.3
Module de cisaillement	G	8100.00	kN/cm³
Facteur de longueur	k_z	1.000
Facteur de longueur	k_w	1.000
Longueur	L	4.000	m
Constante de gauchissement	I_w	47940.00	cm⁶
Inertie de torsion	I_t	31.40	cm⁴
Moment élastique critique pour le déversement servant à déterminer l'élancement correspondant	M_cr,0	190.90	kNm
Répartition de moments	Diagr M_y	6) parabole
Moment maximal en travée	M_y,max	10.00	kNm
Moment limite	M_y,A	0.00	kNm
Rapport de moment	ψ	0.000
Facteur de moment	C₁	1.130			[2]
Moment élastique critique pour le déversement	M_cr	215.71	kNm
Module élastique de section	W_y	354.00	cm³
Élancement	λ_LT	0.621			6.3.2.2 (1)
Paramètre	λ_LT,0	0.400			6.3.2.3 (1)
Paramètre	β	0.750			6.3.2.3 (1)
Facteur auxiliaire	φ_LT	0.682			6.3.2.3 (1)
Facteur de réduction	χ_LT	0.908			Éq. (6.57)
Facteur de correction	k_c	0.940			6.3.2.3 (2)
Facteur de modification	f	0.972			6.3.2.3 (2)
Facteur de réduction	χ_LT,mod	0.934			Éq. (6.58)
Répartition de moments	Diagr M_y	3) Max en travée			Tab. B.3
Facteur de moment	ψ_y	1.000			Tab. B.3
Moment	M_h,y	0.00	kNm		Tab. B.3
Moment	M_s,y	10.00	kNm		Tab. B.3
Rapport M_h,y / M_s,y	α_h,y	0.000			Tab. B.3
Type de charge	Charge z	Charge uniforme			Tab. B.3
Facteur de moment	C_my	0.950			Tab. B.3
Répartition de moments	Diagr M_z	3) Max. en travée			Tab. B.3
Facteur de moment	ψ_z	1.000			Tab. B.3
Moment	M_h,z	0.00	kNm		Tab. B.3
Moment	M_s,z	7.50	kNm		Tab. B.3
Rapport M_h,z/M_{s, z}	α_h,z	0.000			Tab. B.3
Type de charge	Charge y	Charge concentrée			Tab. B.3
Facteur de moment	C_mz	0.900			Tab. B.3
Répartition de moments	Diagr M_y,LT	3) Max en travée			Tab. B.3
Facteur de moment	ψ_y,LT	1.000			Tab. B.3
Moment	M_h,y,LT	0.00	kNm		Tab. B.3
Moment	M_s,y,LT	10.00	kNm		Tab. B.3
Rapport M_h,y,LT/M_s,y,LT	α_h,y,LT	0.000			Tab. B.3
Type de charge	Charge z	Charge uniforme			Tab. B.3
Facteur de moment	C_mLT	0.950			Tab. B.3
Type de composant	Composant	Faible en torsion
Facteur d'interaction	k_yy	1.067			Tab. B.2
Facteur d'interaction	k_yz	0.888			Tab. A.1
Facteur d'interaction	k_zy	0.934			Tab. A.1
Facteur d'interaction	k_zz	1.481			Tab. A.1
Effort normal (en compression)	N_Ed	300.00	kN
Aire de la section déterminante	A_i	54.30	cm²		Tab. 6.7
Résistance en compression	N_Rk	1276.05	kN		Tab. 6.7
Coefficient partiel de sécurité	γ_M1	1.000			6.1
Composant de calcul pour N	γ_Ny	0.29		≤ 1	Éq. (6.61)
Composant de calcul pour N	h_Nz	0.46		≤ 1	Éq. (6.62)
Moment	M_y,Ed	10.00	kNm
Résistance au moment	M_y,Rk	83.19	kNm		Tab. 6.7
Composant du moment	η_My	0.13			Éq. (6.61)
Moment	M_z,Ed	7.50	kNm
Module élastique de section	W_Z	169.96	cm³
Résistance au moment	M_z,Rk	39.94	kNm		Tab. 6.7
Composant du moment	η_Mz	0.19			Éq. (6.61)
Vérification 1	η₁	0.59		≤ 1	Éq. (6.61)
Vérification 2	η₂	0.86		≤ 1	Éq. (6.62)

Littérature

[1]	Eurocode 3: Bemessung und Konstruktion von Stahlbauten − Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau. Beuth Verlag GmbH, Berlin, 2010
[6]	Johannes Naumes, Isabell Strohmann, Dieter Ungermann und Gerhard Sedlacek. Die neuen Stabilitätsnachweise im Stahlbau nach Eurocode 3. Stahlbau, 77, 2008.

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