27x

004551

0001-01-01

Wybór ręczny

8.1 Stateczność

W przypadku wyboczenia gięcia metodą podwójnego zginania, z uwzględnieniem warunków oddziaływania, przeprowadzimy analizę stateczności dla wyboczenia giętnego i wyboczenia giętno-skrętnego.

Wartości obliczeniowe

Konstrukcja i obciążenia

Tabela 8.0 Obciążenia obliczeniowe i obliczeniowe (γ razy)
Rysunek 8.1 {&Tahoma8}	Wartości obliczeniowe obciążeń statycznych Nd = 300 kN q _{z, d} = 5 kN / m F _{y, d} = 7,5 kN

Siły wewnętrzne według liniowej analizy statycznej

Lokalizacje obliczeniowe (określające położenie x)

Obliczenia zostaną przeprowadzone dla wszystkich lokalizacji x (patrz rozdział 4.5 ) pręta zastępczego. W decydującym miejscu x = 2,00 m. RFEM lub RSTAB określa następujące siły wewnętrzne:

Tabela 8.1 Siły wewnętrzne
N	M _y	M _z	V _y	V _z
-300,00 kN	10,00 kNm	7,50 kNm	3,75 kN	0,00 kN

Charakterystyki przekrojów HE-B 160, S 235

Tabela 8.2 Charakterystyki przekroju HE-B 160, S 235
Charakterystyka	Symbol	Wartość	Jednostka
Powierzchnia przekroju	A	54.30	cm²
Moment bezwładności	I _y	2490.00	cm⁴
Moment bezwładności	I _z	889.00	cm⁴
Promień bezwładności	_yy	6.78	cm
Promień bezwładności	i _z	4.05	cm
Biegunowy promień bezwładności	i _p	7.90	cm
Biegunowy promień bezwładności	i _{p, M}	41.90	cm
Ciężar przekroju	[LinkToImage10]	42.63	kg/m
Mom. bezwład. przy skręcaniu swob.	I _T	31.40	cm⁴
Mom. bezwład. przy skręcaniu skręp.	I _ω	47940.00	cm⁶
Wskaźnik wytrzymałości na zginanie	W _y	311.00	cm³
Wskaźnik wytrzymałości na zginanie	W _z	111.00	cm³
Wskaźnik oporu plastycznego	W l _{, y}	354.00	cm³
Wskaźnik oporu plastycznego	W _{pl, z}	169.96	cm³
Krzywa wyboczenia	BC _y	b	{&Tahoma8}
Krzywa wyboczenia	BC _z	c	{&Tahoma8}

Wyboczenie giętne względem osi drugorzędnej (⊥ do z-z osi)

$N_{c r, z} = \frac{21000 \cdot 889.00 \cdot π^{2}}{400 . 00^{2}} = 1151.60 kN$

${\bar{λ}}_{z} = \sqrt{\frac{A \cdot f_{y}}{N_{c r, z}}} = \sqrt{\frac{54.30 \cdot 23.5}{1151.60}} = 1.053 > 0.2$

→ Należy przeprowadzić obliczenia dla wyboczenia giętnego.

#1{Geometria profilu#1}

[1] Tabela 6.2, wiersz 3, kolumna 4: krzywa wyboczeniowa c
⇒ α _z = 0,49 ( [1] Tabela 6.1)

$Φ = 0.5 \cdot [1 + 0.49 \cdot (1.053 - 0.2) + 1 . 053^{2}] = 1.263$

$χ_{z} = \frac{1}{1.263 + \sqrt{1 . 263^{2} - 1 . 053^{2}}} = 0.510$

$\frac{N_{E d}}{χ_{z} \cdot A \cdot f_{y} / γ_{M 1}} = \frac{300}{0.510 \cdot 54.30 \cdot 23.5 / 1.0} = 0.461$

Wyniki obliczeń RF-/STEEL EC3

Tabela 8.3 Wyniki obliczeń RF-/STEEL EC3
I _z	889.00	cm⁴	{&Tahoma8}	{&Tahoma8}
Długość efektywna pręta	L _{cr, z}	4.000	m	{&Tahoma8}	{&Tahoma8}
Siła sprężystej wyboczenia	N _{cr, z}	1151.60	kN	{&Tahoma8}	{&Tahoma8}
Smukłość względna	λ _z	1.053	{&Tahoma8}	> 0.2	6.3.1.2(4)
Krzywa wyboczenia	BC _z	Tab. 6.2	{&Tahoma8}	{&Tahoma8}	Tab. 6.2
Współczynnik imperfekcji	α _z	0.490	{&Tahoma8}	{&Tahoma8}	Tab. 6.1
Wsp. pomocniczy	Φ _z	1.263	{&Tahoma8}	{&Tahoma8}	6.3.1.2(1)
Wsp. redukcyjny	χ _z	0.510	{&Tahoma8}	{&Tahoma8}	Rów. (6.49)

Wyboczenie giętne względem osi głównej (⊥ do y-y osi)

$N_{c r, y} = \frac{21000 \cdot 2490.00 \cdot π^{2}}{400 . 00^{2}} = 3225.51 kN$

${\bar{λ}}_{y} = \sqrt{\frac{A \cdot f_{y}}{N_{c r, y}}} = \sqrt{\frac{54.30 \cdot 23.5}{3225.51}} = 0.629 > 0.2$

→ Należy przeprowadzić obliczenia dla wyboczenia giętnego.

#1{Geometria profilu#1}

[1] Tabela 6.2, wiersz 3, kolumna 4: krzywa wyboczeniowa b
⇒ α _y = 0.34 ( [1] Tabelle 6.1)

$Φ = 0.5 \cdot [1 + 0.34 \cdot (0.629 - 0.2) + 0 . 629^{2}] = 0.771$

$χ_{y} = \frac{1}{0.771 + \sqrt{0 . 771^{2} - 0 . 629^{2}}} = 0.822$

$\frac{N_{E d}}{χ_{y} \cdot A \cdot f_{y} / γ_{M 1}} = \frac{300}{0.822 \cdot 54.30 \cdot 23.5 / 1.0} = 0.286$

Wyniki obliczeń RF-/STEEL EC3

Tabela 8.4 Wyniki obliczeń RF-/STEEL EC3
Drugi moment powierzchni	I _y	2490.00	cm⁴	{&Tahoma8}	{&Tahoma8}
Długość efektywna pręta	L _{cr, y}	4.000	m	{&Tahoma8}	{&Tahoma8}
Siła sprężystej wyboczenia	N _{cr, y}	3225.51	kN	{&Tahoma8}	{&Tahoma8}
Powierzchnia przekroju	A	54.30	cm²	{&Tahoma8}	{&Tahoma8}
Granica plastyczności	f _y	23.50	kN/cm²	{&Tahoma8}	3.2.1
Smukłość względna	λ _y	0.629	{&Tahoma8}	> 0.2	6.3.1.2(4)
Krzywa wyboczenia	BC _y	b	{&Tahoma8}	{&Tahoma8}	Tab. 6.2
Współczynnik imperfekcji	α _y	0.340	{&Tahoma8}	{&Tahoma8}	Tab. 6.1
Wsp. pomocniczy	Φ _y	0.771	{&Tahoma8}	{&Tahoma8}	6.3.1.2(1)
Wsp. redukcyjny	χ _y	0.822	{&Tahoma8}	{&Tahoma8}	Rów. (6.49)

Zwichrzenie

Elastyczny moment graniczny dla zwichrzenia

W tym przykładzie moment sprężystości krytycznej dla wyboczenia skrętnego jest określony zgodnie z Austriackim Załącznikiem krajowym, przy założeniu, że podpory przegubowe mogą swobodnie się wypaczać.

Przyjmuje się, że punkt przyłożenia obciążenia znajduje się w środku ścinania (w oknie dialogowym Szczegóły można dostosować punkt przyłożenia dla obciążeń poprzecznych, patrz rozdz. 3.1.2 ).

$M_{cr} = C_{1} \cdot \frac{π^{2} \cdot E \cdot I_{z}}{l^{2}} \cdot \sqrt{\frac{I_{ω}}{I_{z}} + \frac{l^{2} \cdot G \cdot I_{t}}{π^{2} \cdot E \cdot I_{z}}}$

$M_{cr} = 1.13 \cdot \frac{π^{2} \cdot 21000 \cdot 889}{400^{2}} \cdot \sqrt{\frac{47940}{889} + \frac{400^{2} \cdot 8100 \cdot 31.40}{π^{2} \cdot 21000 \cdot 889}} = 215.71 kNm$

Program wyświetla również M _{cr, 0,} wyznaczane na podstawie stałego rozkładu momentu.

Dla wyników wg x-położenia, program również przedstawia wartości M_cr, x, Są to momenty krytyczne sprężystości w punktach x odnoszących się do sprężystego momentu krytycznego w punkcie maksymalnego momentu. Za pomocą M _{cr, x} program oblicza względną smukłość ƛ _LT .

Smukłość dla zwichrzenia

Obliczenia według [1] punkt 6.3.2.2 dla lokalizacji z momentem maksymalnym x = 2,00 m:

HEB-160, przekrój klasy 1: W _y = _{Wpl, y} = 354,00 cm3

${\bar{λ}}_{LT} = \sqrt{\frac{W_{y} \cdot f_{y}}{M_{cr}}} = \sqrt{\frac{354 \cdot 23.5}{215.71}} = 0.621$

Współczynnik redukcyjny χ _LT

Obliczenia wg [1], paragraf 6.3.2.3

HEB-160: #1# #2##3##4#krzywa wyboczenia #5{b#5} wg Tabeli 6.5

Wsp. pomocniczy:

$Φ_{LT} = 0.5 \cdot [1 + α_{LT} \cdot ({\bar{λ}}_{LT} - {\bar{λ}}_{LT, 0}) + β \cdot {\bar{λ}}_{LT}^{2}]$

$Φ_{LT} = 0.5 \cdot [1 + 0.34 \cdot (0.621 - 0.40) + 0.75 \cdot 0 . 621^{2}] = 0.682$

Smukłość graniczna:

$λ_{LT, 0} = 0.40$

Parametr (min. wartość):

$β = 0.75$

Wsp. imperfekcji:

$α_{LT} = 0.34$

$χ_{LT} = \frac{1}{Φ_{LT} + \sqrt{Φ_{LT}^{2} - β \cdot {\bar{λ}}_{LT}^{2}}} = \frac{1}{0.682 + \sqrt{0 . 682^{2} - 0.75 \cdot 0 . 621^{2}}} = 0.908$

Według [1] punkt 6.3.2.3 Współczynnik redukcji można zmienić w następujący sposób:

$χ_{LT,mod} = \frac{χ_{L T}}{f} mit f = 1 - 0.5 \cdot (1 - k_{c}) \cdot [1 - 2.0 \cdot ({\bar{λ}}_{LT} - 0 . 8^{2})]$

$χ_{LT,mod} = \frac{0.908}{0.972} = 0.934$

Współczynnik k korekty zgodnie z [1] Tabela 6.6 dla wykresu parabolicznego momentu

$k_{c} = 0.94$

$f = 1 - 0.5 \cdot (1 - 0.94) \cdot [1 - 2.0 \cdot (0.621 - 0.8)^{2}] = 0.972$

Wsp. interakcji k_yy i k_yz

Określanie według Załącznik B, tabela B.2, dla elementów konstrukcyjnych podatnych na odkształcenia skrętne

Współczynnik momentu równoważnego C _mLT jest _obliczany zgodnie z tabelą B.3 dla ψ = 0 jako:

$C_{m y} = C_{m L T} = 0.95 + 0.05 \cdot α_{h} = 0.95 mit α_{h} = \frac{M_{h}}{M_{s}} = \frac{0}{10} = 0$

$k_{y y} = C_{m y} \cdot (1 + ({\bar{λ}}_{y} - 0.2) \cdot \frac{N_{E d}}{χ_{y} \cdot N_{R k} / γ_{M 1}}) \leq C_{m y} \cdot (1 + 0.8 \cdot \frac{N_{E d}}{χ_{y} \cdot N_{R k} / γ_{M 1}})$

$k_{y y} = 0.95 \cdot (1 + (0.629 - 0.2) \cdot 0.286) \leq 0.95 \cdot (1 + 0.8 \cdot 0.286) = 1.067 \leq 1.167$

$k_{y z} = 0.60 \cdot k_{z z} = 0.60 \cdot 1.481 = 0.888$

Wsp. interakcji k_zy i k_zz

Określanie według [1] Załącznik B, tabela B.2, dla elementów konstrukcyjnych podatnych na odkształcenia skrętne

Współczynnik momentu równoważnego C _mLT jest _obliczany zgodnie z tabelą B.3 dla ψ = 0 jako:

$C_{m z} = 0.90 + 0.01 \cdot α_{h} = 0.90 mit α_{h} = \frac{M_{h}}{M_{s}} = \frac{0}{10} = 0$

$k_{z y} = (1 - \frac{0.1 \cdot {\bar{λ}}_{z}}{C_{m L T} - 0.25} \cdot \frac{N_{E d}}{χ_{z} \cdot N_{R k} / γ_{M 1}}) \geq (1 - \frac{0.1}{C_{m L T} - 0.25} \cdot \frac{N_{E d}}{χ_{z} \cdot N_{R k} / γ_{M 1}})$

$k_{z y} = (1 - \frac{0.1 \cdot 1.053}{0.95 - 0.25} \cdot 0.461) \geq (1 - \frac{0.1}{0.95 - 0.25} \cdot 0.461) = 0.892 \leq 0.934$

$k_{z y} = 0.934$

$k_{z z} = C_{m z} \cdot (1 + (2 \cdot {\bar{λ}}_{z} - 0.6) \cdot \frac{N_{E d}}{χ_{z} \cdot N_{R k} / γ_{M 1}}) \leq C_{m z} \cdot (1 + 1.4 \cdot \frac{N_{E d}}{χ_{z} \cdot N_{R k} / γ_{M 1}})$

$k_{z z} = 0.90 \cdot (1 + (2 \cdot 1.053 - 0.6) \cdot 0.461) \leq 0.90 \cdot (1 + 1.4 \cdot 0.461) = 1.525 \geq 1.481$

$k_{z z} = 1.481$

Obliczenia interakcji dla wyboczenia względem osi głównej i zwichrzenia

Według [1] Równ. (6.61) muszą być spełnione następujące warunki:

$\frac{N_{E d}}{χ_{y} \cdot N_{R k} / γ_{M 1}} + k_{y y} \cdot \frac{M_{y, E d}}{χ_{L T} \cdot M_{y, R k} / γ_{M 1}} + k_{y z} \cdot \frac{M_{z, E d}}{M_{z, R k} / γ_{M 1}} \leq 1$

$M_{y, R k} = W_{p l, y} \cdot f_{y} = 354 \cdot 23.5 = 8319 kNcm = 83.19 kNm$

$M_{z, R k} = W_{p l, z} \cdot f_{y} = 169.96 \cdot 23.5 = 3994.1 kNcm = 39.94 kNm$

$\frac{300}{0.822 \cdot 1276.05 / 1.0} + 1.067 \cdot \frac{10.0}{0.908 \cdot 83.19 / 1.0} + 0.888 \cdot \frac{7.50}{39.94 / 1.0} = 0.594 \leq 1$

Obliczenia interakcji dla wyboczenia względem osi drugorzędnej i zwichrzenia

Zgodnie z EN1993-1-1 Eq. (6.62) Musi być spełnione następujące wymaganie:

$\frac{N_{E d}}{χ_{z} \cdot N_{R k} / γ_{M 1}} + k_{z y} \cdot \frac{M_{y, E d}}{χ_{L T} \cdot M_{y, R k} / γ_{M 1}} + k_{z z} \cdot \frac{M_{z, E d}}{M_{z, R k} / γ_{M 1}} \leq 1$

$\frac{300}{0.510 \cdot 1276.05 / 1.0} + 0.934 \cdot \frac{10.0}{0.908 \cdot 83.19 / 1.0} + 1.481 \cdot \frac{7.50}{39.94 / 1.0} = 0.863 \leq 1$

Wyniki obliczeń RF-/STEEL EC3

Tabela 8.5 Wyniki obliczeń RF-/STEEL EC3
Wysokość profilu	H	160.0	mm
Szerokość odcinka	b	160.0	mm	{&Tahoma8}	{&Tahoma8}
Kryterium	h / b	1.00	{&Tahoma8}	≤ 2	Tab. 6.5
Krzywa wyboczenia	BC _LT	b	{&Tahoma8}	{&Tahoma8}	Tab. 6.5
Współczynnik imperfekcji	α _LT	0.340	{&Tahoma8}	{&Tahoma8}	Tab. 6.3
Moduł sprężystości przy ścinaniu	[LinkToImage10]	8100.00	kN/cm³	{&Tahoma8}	{&Tahoma8}
Współczynnik długości	k _z	1.000	{&Tahoma8}	{&Tahoma8}	{&Tahoma8}
Współczynnik długości	k _w	1.000	{&Tahoma8}	{&Tahoma8}	{&Tahoma8}
Długość	[CONTACT.E-MAIL-SALUTATION]	4.000	m	{&Tahoma8}	{&Tahoma8}
Mom. bezwład. przy skręcaniu skręp.	I _w	47940.00	cm⁶	{&Tahoma8}	{&Tahoma8}
Mom. bezwład. przy skręcaniu swob.	_T	31.40	cm⁴
Moment sprężystości krytycznej dla LTB w celu określenia smukłości	M _{cr, 0}	190.90	kNm	{&Tahoma8}	{&Tahoma8}
Rozkład momentu	Wykres M_y	6) parabola	{&Tahoma8}	{&Tahoma8}	{&Tahoma8}
Maksymalny moment opadający	M r _{, max}	10.00	kNm	{&Tahoma8}	{&Tahoma8}
Moment graniczny	M _{y, A}	0.00	kNm	{&Tahoma8}	{&Tahoma8}
Współczynnik momentów	ψ	0.000	{&Tahoma8}	{&Tahoma8}	{&Tahoma8}
Współczynnik momentów	C ₁	1.130	{&Tahoma8}	{&Tahoma8}	[2]
Elastyczny moment graniczny dla zwichrzenia	M _kr	215.71	kNm	{&Tahoma8}	{&Tahoma8}
Wskaźnik wytrzymałości na zginanie	W _y	354.00	cm³	{&Tahoma8}	{&Tahoma8}
Smukłość względna	λ _LT	0.621	{&Tahoma8}	{&Tahoma8}	6.3.2.2(1)
Parametry	λ _{LT, 0}	0.400	{&Tahoma8}	{&Tahoma8}	6.3.2.3(1)
Parametry	β	0.750	{&Tahoma8}	{&Tahoma8}	6.3.2.3(1)
Wsp. pomocniczy	φ _LT	0.682	{&Tahoma8}	{&Tahoma8}	6.3.2.3(1)
Wsp. redukcyjny	χ _LT	0.908	{&Tahoma8}	{&Tahoma8}	Rów. (6.57)
Wsp. poprawkowy	k _c	0.940	{&Tahoma8}	{&Tahoma8}	6.3.2.3(2)
Współczynnik modyfikujący	F	0.972	{&Tahoma8}	{&Tahoma8}	6.3.2.3(2)
Wsp. redukcyjny	χ _{LT, mod}	0.934	{&Tahoma8}	{&Tahoma8}	Rów. (6.58)
Rozkład momentu	Wykres M_y	3) max w przęśle	{&Tahoma8}	{&Tahoma8}	Tab. B.3
Współczynnik momentów	ψ _y	1.000	{&Tahoma8}	{&Tahoma8}	Tab. B.3
#1# Moment #2#	M _{h, y}	0.00	kNm	{&Tahoma8}	Tab. B.3
#1# Moment #2#	M _{s, y}	10.00	kNm	{&Tahoma8}	Tab. B.3
Współczynnik M _{h, y} / M _{s, y}	α _{h, y}	0.000	{&Tahoma8}	{&Tahoma8}	Tab. B.3
Typ obciążenia	Obciążenie	równomierne obciążenie	{&Tahoma8}	{&Tahoma8}	Tab. B.3
Współczynnik momentów	C _my	0.950	{&Tahoma8}	{&Tahoma8}	Tab. B.3
Rozkład momentu	Wykres M_z	3) max w przęśle	{&Tahoma8}		Tab. B.3
Współczynnik momentów	ψ _z	1.000	{&Tahoma8}	{&Tahoma8}	Tab. B.3
#1# Moment #2#	M _{h, z}	0.00	kNm	{&Tahoma8}	Tab. B.3
#1# Moment #2#	M _{s, z}	7.50	kNm	{&Tahoma8}	Tab. B.3
Współczynnik M _{h, z} / M _{s, z}	α _{h, z}	0.000	{&Tahoma8}	{&Tahoma8}	Tab. B.3
Typ obciążenia	Obciążenie y	obciążenie skupione	{&Tahoma8}	{&Tahoma8}	Tab. B.3
Współczynnik momentów	C _mz	0.900	{&Tahoma8}	{&Tahoma8}	Tab. B.3
Rozkład momentu	Wykres M_y,LT	3) max w przęśle			Tab. B.3
Współczynnik momentów	ψ _{y, LT}	1.000	{&Tahoma8}	{&Tahoma8}	Tab. B.3
#1# Moment #2#	M _{h, y, LT}	0.00	kNm	{&Tahoma8}	Tab. B.3
#1# Moment #2#	M _{s, y, LT}	10.00	kNm	{&Tahoma8}	Tab. B.3
Współczynnik M _{h, y, LT} / M _{s, y, LT}	α _{h, y, LT}	0.000	{&Tahoma8}	{&Tahoma8}	Tab. B.3
Typ obciążenia	Obciążenie z	równomierne obciążenie	{&Tahoma8}	{&Tahoma8}	Tab. B.3
Współczynnik momentów	C _mLT	0.950	{&Tahoma8}	{&Tahoma8}	Tab. B.3
Typ składowej	Składowa	odporny na skręcanie		{&Tahoma8}	{&Tahoma8}
Wsp. interakcji	k _rr	1.067	{&Tahoma8}	{&Tahoma8}	Tab. B.2
Wsp. interakcji	k _yz	0.888	{&Tahoma8}	{&Tahoma8}	Tab. A.1
Wsp. interakcji	k _zy	0.934	{&Tahoma8}	{&Tahoma8}	Tab. A.1
Wsp. interakcji	k _zz	1.481	{&Tahoma8}	{&Tahoma8}	Tab. A.1
Siła osiowa (ściskanie)	N _Ed	300.00	kN	{&Tahoma8}	{&Tahoma8}
Obszar przekroju rządzącego	_I	54.30	cm²	{&Tahoma8}	Tab. 6.7
#1# Nośność na ściskanie #2#	N _Rk	1276.05	kN	{&Tahoma8}	Tab. 6.7
Częściowy wsp. bezpieczeństwa	γ _M1	1.000	{&Tahoma8}	{&Tahoma8}	6.1
Składowa obliczeniowa dla N	_γNy	0.29	{&Tahoma8}	≤ 1	Rów. (6.61)
Składowa obliczeniowa dla N	h _Nz	0.46	{&Tahoma8}	≤ 1	Rów. (6.62)
Moment	M _{y, Ed}	10.00	kNm	{&Tahoma8}	{&Tahoma8}
Rezystancja momentu	M r _{, Rk}	83.19	kNm	{&Tahoma8}	Tab. 6.7
Miara składowa	η _Mój	0.13	{&Tahoma8}	{&Tahoma8}	Rów. (6.61)
Moment	M _{z, Ed}	7.50	kNm	{&Tahoma8}	{&Tahoma8}
Wskaźnik wytrzymałości na zginanie	W _Z	169.96	cm³	{&Tahoma8}	{&Tahoma8}
Rezystancja momentu	M _{z, Rk}	39.94	kNm		Tab. 6.7
Miara składowa	η _Mz	0.19	{&Tahoma8}	{&Tahoma8}	Rów. (6.61)
Projekt 1	η ₁	0.59	{&Tahoma8}	≤ 1	Rów. (6.61)
Projekt 2	η ₂	0.86	{&Tahoma8}	≤ 1	Rów. (6.62)

Literatur

[1]	Eurocode 3: Bemessung und Konstruktion von Stahlbauten − Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau. Beuth Verlag GmbH, Berlin, 2010

Nadrzędny przekrój

8 Przykłady