27x

004551

1.1.0001

Vybrat manuál

5 Vyhodnocení výsledků

8.1 Stabilita

V tomto příkladu sloupu namáhaného dvouosým ohybem provedeme stabilitní posouzení na vzpěr a klopení a analyzujeme příslušné podmínky interakce.

Návrhové hodnoty

Konstrukce a zatížení

Tabulka 8.0 Systémová a návrhová zatížení (γ časy)
Obr. 8.1 ₓ	Návrhové hodnoty statických zatížení N _d = 300 kN q _{z, d} = 5 kN / m F _{y, d} = 7,5 kN

Vnitřní síly podle teorie prvního řádu

Místo posouzení (rozhodující místo x)

Posouzení probíhá na všech definovaných místech x (viz kapitola 4.5) náhradního prutu. V rozhodujícím místě je x = 2,00 m RFEM nebo RSTAB určují následující vnitřní síly:

Tabulka 8.1 Vnitřní síly
N	M _y	M _z	V _y	V _z
-300.00 kN	10,00 kNm	7,50 kNm	3,75 kN	0,00 kN

Průřezové charakteristiky HE-B 160, S 235

Tabulka 8.2 Průřezové charakteristiky HE-B 160, S 235
Veličina průřezu	Symbol	Hodnota	Jednotky
Plocha řezu	[SCHOOL.FAX]	54.30	cm²
Moment setrvačnosti	I _y	2490.00	cm⁴
Moment setrvačnosti	I _z	889.00	cm⁴
Poloměr setrvačnosti	i _y	6.78	cm
Poloměr setrvačnosti	i _z	4.05	cm
Polární poloměr setrvačnosti	i _p	7.90	cm
Polární poloměr setrvačnosti	i _{p, M}	41.90	cm
Hmotnost průřezu	g	42.63	kg/m
Moment tuhosti v prostém kroucení	I _T	31.40	cm⁴
Výsečový moment setrvačnosti	I _ω	47940.00	cm⁶
Průřezový modul	W _y	311.00	cm³
Průřezový modul	_Wz	111.00	cm³
Plastický průřezový modul	W _{pl, y}	354.00	cm³
Plastický průřezový modul	W _{pl, z}	169.96	cm³
Buckling curve	BC _y	B	ₓ
Buckling curve	BC _z	[SCHOOL.TITLE]	ₓ

Vzpěr okolo vedlejší osy (⊥ k ose z-z)

$N_{c r, z} = \frac{21000 \cdot 889.00 \cdot π^{2}}{400 . 00^{2}} = 1151.60 kN$

${\bar{λ}}_{z} = \sqrt{\frac{A \cdot f_{y}}{N_{c r, z}}} = \sqrt{\frac{54.30 \cdot 23.5}{1151.60}} = 1.053 > 0.2$

→ Je třeba provést návrh na vybočení z ohybu.

Geometrie profilu:

[1] Tabulka 6.2, řádek 3, sloupec 4: vzpěrná křivka c
⇒ α _z = 0,49 ( [1] Tabulka 6.1)

$Φ = 0.5 \cdot [1 + 0.49 \cdot (1.053 - 0.2) + 1 . 053^{2}] = 1.263$

$χ_{z} = \frac{1}{1.263 + \sqrt{1 . 263^{2} - 1 . 053^{2}}} = 0.510$

$\frac{N_{E d}}{χ_{z} \cdot A \cdot f_{y} / γ_{M 1}} = \frac{300}{0.510 \cdot 54.30 \cdot 23.5 / 1.0} = 0.461$

Výsledné hodnoty výpočtu v modulu RF-STEEL EC3

Tabulka 8.3 Výsledné hodnoty výpočtu v modulu RF-STEEL EC3
I _z	889.00	cm⁴	ₓ	ₓ
Efektivní délka prutu	L _{cr, z}	4.000	m	ₓ	ₓ
Pružná vybočení	N _{cr, z}	1151.60	kN	ₓ	ₓ
Stupeň štíhlosti	λ _z	1.053	ₓ	> 0.2	6.3.1.2(4)
Buckling curve	BC _z	tab. 6.2	ₓ	ₓ	tab. 6.2
Součinitel imperfekce	α _z	0.490	ₓ	ₓ	tab. 6.1
Pomocný součinitel	Φ _z	1.263	ₓ	ₓ	6.3.1.2(1)
Zmenšující součinitel	χ _z	0.510	ₓ	ₓ	rov. (6.49)

Vzpěr okolo hlavní osy (⊥ k ose y-y)

$N_{c r, y} = \frac{21000 \cdot 2490.00 \cdot π^{2}}{400 . 00^{2}} = 3225.51 kN$

${\bar{λ}}_{y} = \sqrt{\frac{A \cdot f_{y}}{N_{c r, y}}} = \sqrt{\frac{54.30 \cdot 23.5}{3225.51}} = 0.629 > 0.2$

→ Je třeba provést návrh na vybočení z ohybu.

Geometrie profilu:

[1] Tabulka 6.2, řádek 3, sloupec 4: boulení křivky b
⇒ α _y = 0,34 ( [1] Tabelle 6.1)

$Φ = 0.5 \cdot [1 + 0.34 \cdot (0.629 - 0.2) + 0 . 629^{2}] = 0.771$

$χ_{y} = \frac{1}{0.771 + \sqrt{0 . 771^{2} - 0 . 629^{2}}} = 0.822$

$\frac{N_{E d}}{χ_{y} \cdot A \cdot f_{y} / γ_{M 1}} = \frac{300}{0.822 \cdot 54.30 \cdot 23.5 / 1.0} = 0.286$

Výsledné hodnoty výpočtu v modulu RF-STEEL EC3

Tabulka 8.4 Výsledné hodnoty výpočtu v modulu RF-STEEL EC3
Druhý moment momentu	I _y	2490.00	cm⁴	ₓ	ₓ
Efektivní délka prutu	L _{cr, y}	4.000	m	ₓ	ₓ
Pružná vybočení	N _{cr, y}	3225.51	kN	ₓ	ₓ
Plocha řezu	[SCHOOL.FAX]	54.30	cm²	ₓ	ₓ
Mez kluzu	f _y	23.50	kN/cm²	ₓ	3.2.1
Stupeň štíhlosti	λ _y	0.629	ₓ	> 0.2	6.3.1.2(4)
Buckling curve	BC _y	B	ₓ	ₓ	tab. 6.2
Součinitel imperfekce	α _y	0.340	ₓ	ₓ	tab. 6.1
Pomocný součinitel	Φ _y	0.771	ₓ	ₓ	6.3.1.2(1)
Zmenšující součinitel	χ _y	0.822	ₓ	ₓ	rov. (6.49)

Klopení

Pružný kritický moment při klopení

Pružný kritický moment při klopení se bude v příkladu počítat podle národní přílohy (NP) Rakouska. Předpokladem je kloubové uložení bez omezení deplanace.

Místo působení zatížení je stanoveno ve středu smyku. Místo působení příčných zatížení lze změnit v dialogu Detaily (viz kapitola 3.1.2).

$M_{cr} = C_{1} \cdot \frac{π^{2} \cdot E \cdot I_{z}}{l^{2}} \cdot \sqrt{\frac{I_{ω}}{I_{z}} + \frac{l^{2} \cdot G \cdot I_{t}}{π^{2} \cdot E \cdot I_{z}}}$

$M_{cr} = 1.13 \cdot \frac{π^{2} \cdot 21000 \cdot 889}{400^{2}} \cdot \sqrt{\frac{47940}{889} + \frac{400^{2} \cdot 8100 \cdot 31.40}{π^{2} \cdot 21000 \cdot 889}} = 215.71 kNm$

Program také zobrazí M _{cr, 0,} který se určí na základě konstantního momentového průběhu.

Ve výsledcích pro jednotlivá místa x se uživateli zobrazí také hodnoty M_cr, x. Jedná se o pružný kritický moment při klopení na daných místech x vztažený ke kritickému momentu při klopení na místě maximálního momentu. Na základě M_cr, x se vypočítá poměrná štíhlost při klopení ‾λ_LT.

Poměrná štíhlost při klopení

Výpočet probíhá podle [1], čl. 6.3.2.2 pro místo maximálního momentu x=

HEB-160, průřez třídy 1: W _y = W _{pl, y} = 354,00 cm ³

${\bar{λ}}_{LT} = \sqrt{\frac{W_{y} \cdot f_{y}}{M_{cr}}} = \sqrt{\frac{354 \cdot 23.5}{215.71}} = 0.621$

Redukční součinitel χ _LT

Výpočet podle [1] Odstavec 6.3.2.3

HEB-160: #1# křivka klopení #2# podle tabulky 6.5

Pomocný součinitel

$Φ_{LT} = 0.5 \cdot [1 + α_{LT} \cdot ({\bar{λ}}_{LT} - {\bar{λ}}_{LT, 0}) + β \cdot {\bar{λ}}_{LT}^{2}]$

$Φ_{LT} = 0.5 \cdot [1 + 0.34 \cdot (0.621 - 0.40) + 0.75 \cdot 0 . 621^{2}] = 0.682$

Parametr (největší hodnota):

$λ_{LT, 0} = 0.40$

Parametr (nejmenší hodnota):

$β = 0.75$

Součinitel imperfekce

$α_{LT} = 0.34$

$χ_{LT} = \frac{1}{Φ_{LT} + \sqrt{Φ_{LT}^{2} - β \cdot {\bar{λ}}_{LT}^{2}}} = \frac{1}{0.682 + \sqrt{0 . 682^{2} - 0.75 \cdot 0 . 621^{2}}} = 0.908$

Podle [1] ustanovení článku 6.3.2.3, lze redukční faktor upravit následovně:

$χ_{LT,mod} = \frac{χ_{L T}}{f} mit f = 1 - 0.5 \cdot (1 - k_{c}) \cdot [1 - 2.0 \cdot ({\bar{λ}}_{LT} - 0 . 8^{2})]$

$χ_{LT,mod} = \frac{0.908}{0.972} = 0.934$

V případě parabolického průběhu momentu je hodnota opravného součinitele k_c:

$k_{c} = 0.94$

$f = 1 - 0.5 \cdot (1 - 0.94) \cdot [1 - 2.0 \cdot (0.621 - 0.8)^{2}] = 0.972$

Interakční součinitele k_yy a k_yz

Stanovení podle [4] Příloha B, Tabulka B.2 pro konstrukční prvky náchylné k torzním deformacím

Součinitel ekvivalentního momentu C_mLT se stanoví podle tabulky B.3 pro ψ = 0 následovně:

$C_{m y} = C_{m L T} = 0.95 + 0.05 \cdot α_{h} = 0.95 mit α_{h} = \frac{M_{h}}{M_{s}} = \frac{0}{10} = 0$

$k_{y y} = C_{m y} \cdot (1 + ({\bar{λ}}_{y} - 0.2) \cdot \frac{N_{E d}}{χ_{y} \cdot N_{R k} / γ_{M 1}}) \leq C_{m y} \cdot (1 + 0.8 \cdot \frac{N_{E d}}{χ_{y} \cdot N_{R k} / γ_{M 1}})$

$k_{y y} = 0.95 \cdot (1 + (0.629 - 0.2) \cdot 0.286) \leq 0.95 \cdot (1 + 0.8 \cdot 0.286) = 1.067 \leq 1.167$

$k_{y z} = 0.60 \cdot k_{z z} = 0.60 \cdot 1.481 = 0.888$

Interakční součinitele k_zy a k_zz

Stanovení podle [1] Příloha B, Tabulka B.2 pro konstrukční prvky náchylné k torzním deformacím

Součinitel momentu faktoru _{ml mLT} se získá v tabulce B.3 pro ψ = 0 jako:

$C_{m z} = 0.90 + 0.01 \cdot α_{h} = 0.90 mit α_{h} = \frac{M_{h}}{M_{s}} = \frac{0}{10} = 0$

$k_{z y} = (1 - \frac{0.1 \cdot {\bar{λ}}_{z}}{C_{m L T} - 0.25} \cdot \frac{N_{E d}}{χ_{z} \cdot N_{R k} / γ_{M 1}}) \geq (1 - \frac{0.1}{C_{m L T} - 0.25} \cdot \frac{N_{E d}}{χ_{z} \cdot N_{R k} / γ_{M 1}})$

$k_{z y} = (1 - \frac{0.1 \cdot 1.053}{0.95 - 0.25} \cdot 0.461) \geq (1 - \frac{0.1}{0.95 - 0.25} \cdot 0.461) = 0.892 \leq 0.934$

$k_{z y} = 0.934$

$k_{z z} = C_{m z} \cdot (1 + (2 \cdot {\bar{λ}}_{z} - 0.6) \cdot \frac{N_{E d}}{χ_{z} \cdot N_{R k} / γ_{M 1}}) \leq C_{m z} \cdot (1 + 1.4 \cdot \frac{N_{E d}}{χ_{z} \cdot N_{R k} / γ_{M 1}})$

$k_{z z} = 0.90 \cdot (1 + (2 \cdot 1.053 - 0.6) \cdot 0.461) \leq 0.90 \cdot (1 + 1.4 \cdot 0.461) = 1.525 \geq 1.481$

$k_{z z} = 1.481$

Posouzení interakce pro vzpěr okolo hlavní osy a pro klopení

Podle [1] Eq. (6.61) musí být splněn následující požadavek:

$\frac{N_{E d}}{χ_{y} \cdot N_{R k} / γ_{M 1}} + k_{y y} \cdot \frac{M_{y, E d}}{χ_{L T} \cdot M_{y, R k} / γ_{M 1}} + k_{y z} \cdot \frac{M_{z, E d}}{M_{z, R k} / γ_{M 1}} \leq 1$

$M_{y, R k} = W_{p l, y} \cdot f_{y} = 354 \cdot 23.5 = 8319 kNcm = 83.19 kNm$

$M_{z, R k} = W_{p l, z} \cdot f_{y} = 169.96 \cdot 23.5 = 3994.1 kNcm = 39.94 kNm$

$\frac{300}{0.822 \cdot 1276.05 / 1.0} + 1.067 \cdot \frac{10.0}{0.908 \cdot 83.19 / 1.0} + 0.888 \cdot \frac{7.50}{39.94 / 1.0} = 0.594 \leq 1$

Posouzení interakce pro vzpěr okolo vedlejší osy a pro klopení

Podle EN1993-1-1 Ekv. (6.62) musí být splněn následující požadavek:

$\frac{N_{E d}}{χ_{z} \cdot N_{R k} / γ_{M 1}} + k_{z y} \cdot \frac{M_{y, E d}}{χ_{L T} \cdot M_{y, R k} / γ_{M 1}} + k_{z z} \cdot \frac{M_{z, E d}}{M_{z, R k} / γ_{M 1}} \leq 1$

$\frac{300}{0.510 \cdot 1276.05 / 1.0} + 0.934 \cdot \frac{10.0}{0.908 \cdot 83.19 / 1.0} + 1.481 \cdot \frac{7.50}{39.94 / 1.0} = 0.863 \leq 1$

Výsledné hodnoty výpočtu v modulu RF-STEEL EC3

Tabulka 8.5 Výsledné hodnoty výpočtu v modulu RF-STEEL EC3
Výška průřezu	[SCHOOL.NOTE]	160.0	mm
Šířka průřezu	B	160.0	mm	ₓ	ₓ
Kritérium	h / b	1.00	ₓ	≤ 2	tab. 6.5
Buckling curve	BC _LT	B	ₓ	ₓ	tab. 6.5
Součinitel imperfekce	α _LT	0.340	ₓ	ₓ	tab. 6.3
Smykový modul	g	8100.00	kN/cm³	ₓ	ₓ
Součinitel délky	k _z	1.000	ₓ	ₓ	ₓ
Součinitel délky	k _w	1.000	ₓ	ₓ	ₓ
Délka	[INDIVIDUAL.QUESTION]	4.000	m	ₓ	ₓ
Výsečový moment setrvačnosti	I _w	47940.00	cm⁶	ₓ	ₓ
Moment tuhosti v prostém kroucení	I _t	31.40	cm⁴
Elastický kritický moment pro LTB pro stanovení součinitele štíhlosti	M _{cr, 0}	190.90	kNm	ₓ	ₓ
Průběh momentu	Diagr M_y	6) Parabola	ₓ	ₓ	ₓ
Maximální moment vzpěru	M _{y, max}	10.00	kNm	ₓ	ₓ
Hraniční moment	M _{y, A}	0.00	kNm	ₓ	ₓ
Poměr momentů	ψ	0.000	ₓ	ₓ	ₓ
Momentový součinitel	C ₁	1.130	ₓ	ₓ	[2]
Pružný kritický moment při klopení	M _cr	215.71	kNm	ₓ	ₓ
Průřezový modul	W _y	354.00	cm³	ₓ	ₓ
Stupeň štíhlosti	λ _LT	0.621	ₓ	ₓ	6.3.2.2(1)
Parametr	λ _{LT, 0}	0.400	ₓ	ₓ	6.3.2.3(1)
Parametr	β	0.750	ₓ	ₓ	6.3.2.3(1)
Pomocný součinitel	φ _LT	0.682	ₓ	ₓ	6.3.2.3(1)
Zmenšující součinitel	χ _LT	0.908	ₓ	ₓ	rov. (6.57)
Opravný součinitel	k _c	0.940	ₓ	ₓ	6.3.2.3(2)
Faktor změn	f	0.972	ₓ	ₓ	6.3.2.3(2)
Zmenšující součinitel	χ _{LT, mod}	0.934	ₓ	ₓ	rov. (6.58)
Průběh momentu	Diagr M_y	3) Max v poli	ₓ	ₓ	tab. B.3
Momentový součinitel	ψ _y	1.000	ₓ	ₓ	tab. B.3
Moment	M _{h, y}	0.00	kNm	ₓ	tab. B.3
Moment	M _{s, y}	10.00	kNm	ₓ	tab. B.3
Poměr M _{h, y} / M _{s, y}	α _{h, y}	0.000	ₓ	ₓ	tab. B.3
Typ zatížení	Zatížení	Rovnoměrné zatížení	ₓ	ₓ	tab. B.3
Momentový součinitel	C _my	0.950	ₓ	ₓ	tab. B.3
Průběh momentu	Diagr M_z	3) Max v poli	ₓ		tab. B.3
Momentový součinitel	ψ _z	1.000	ₓ	ₓ	tab. B.3
Moment	M _{h, z}	0.00	kNm	ₓ	tab. B.3
Moment	M _{s, z}	7.50	kNm	ₓ	tab. B.3
Poměr M _{h, z} / M _{s, z}	α _{h, z}	0.000	ₓ	ₓ	tab. B.3
Typ zatížení	Zatížení y	Soustředěné zatížení	ₓ	ₓ	tab. B.3
Momentový součinitel	C _mz	0.900	ₓ	ₓ	tab. B.3
Průběh momentu	Diagr M_y,LT	3) Max v poli			tab. B.3
Momentový součinitel	ψ _{y, LT}	1.000	ₓ	ₓ	tab. B.3
Moment	M _{h, y, LT}	0.00	kNm	ₓ	tab. B.3
Moment	M _{s, y, LT}	10.00	kNm	ₓ	tab. B.3
Poměr M _{h, y, LT} / M _{s, y, LT}	α _{h, y, LT}	0.000	ₓ	ₓ	tab. B.3
Typ zatížení	Zatížení z	Rovnoměrné zatížení	ₓ	ₓ	tab. B.3
Momentový součinitel	C _mlT	0.950	ₓ	ₓ	tab. B.3
Typ dílce	Dílec	Náchylný ke zkroucení		ₓ	ₓ
Interakční součinitel	k _yy	1.067	ₓ	ₓ	tab. B.2
Interakční součinitel	k _yz	0.888	ₓ	ₓ	tab. A.1
Interakční součinitel	k _zy	0.934	ₓ	ₓ	tab. A.1
Interakční součinitel	k _zz	1.481	ₓ	ₓ	tab. A.1
Normálová síla (stlačení)	N _Ed	300.00	kN	ₓ	ₓ
Správa plochy průřezu	A _i	54.30	cm²	ₓ	tab. 6.7
Charakteristická hodnota únosnosti v tlaku	N _Rk	1276.05	kN	ₓ	tab. 6.7
Dílčí součinitel spolehlivosti	γ _M1	1.000	ₓ	ₓ	6.1
Návrhová část pro N	γ _Ny	0.29	ₓ	≤ 1	rov. (6.61)
Návrhová část pro N	h _Nz	0.46	ₓ	≤ 1	rov. (6.62)
Moment	M _{y, Ed}	10.00	kNm	ₓ	ₓ
Momentová odolnost	M _{y, Rk}	83.19	kNm	ₓ	tab. 6.7
Momentová složka	η _My	0.13	ₓ	ₓ	rov. (6.61)
Moment	M _{z, Ed}	7.50	kNm	ₓ	ₓ
Průřezový modul	W _Z	169.96	cm³	ₓ	ₓ
Momentová odolnost	_{Mz, Rk}	39.94	kNm		tab. 6.7
Momentová složka	η _Mz	0.19	ₓ	ₓ	rov. (6.61)
Posouzení 1	η ₁	0.59	ₓ	≤ 1	rov. (6.61)
Posouzení 2	η ₂	0.86	ₓ	≤ 1	rov. (6.62)

Literatur

[1]	ČSN EN 1993-1-1:2011-08. Eurokód 3: Navrhování ocelových konstrukcí - Část 1-1: Obecná pravidla a pravidla pro pozemní stavby. Český normalizační institut, Praha 2011.
[4]	Johannes Naumes, Isabell Strohmann, Dieter Ungermann und Gerhard Sedlacek. Die neuen Stabilitätsnachweise im Stahlbau nach Eurocode 3. Stahlbau, 77, 2008.

Nadřazená kapitola

8 Příklady