Actions sur les silos selon EN 1991-4

Article technique

Les silos sont utilisés comme d’énormes réservoirs pour l’entrepôt de matières granulaires en vrac, comme des produits pour l’agriculture ou des matières premières, ainsi que pour des matières destinées à l’industrie. Le calcul de telles structures requiert une connaissance précise des contraintes dues aux solides en vrac entreposés. La norme EN 1991-4 « Actions sur les structures » [1] fournit des principes de base et des exigences pour la détermination de ces actions.

Champ d’application

L’application des règles de calcul pour les silos et réservoirs est sujette à des limites géométriques. Dans [1], les dimensions géométriques sont limitées à hb / dc < 10 avec hb < 100 m et dc < 60 m. De plus, les limites d’application dépendent de la forme de section du silo et des solides entreposés.

Figure 01 - Formes de silos avec dimensions et notes de pression

Propriétés des solides en vrac entreposés

L’annexe E de [1] précise les paramètres pour la plupart des solides entreposés dans les silos, montrant ainsi l’étendue des propriétés de solides en vrac. De plus, la Section 4 de l’Annexe C de [1] décrit les méthodes pour la détermination des propriétés des solides entreposés.

Les propriétés de friction des solides en vrac considère la rugosité des parois sur lesquelles les solides glissent. Le Tableau 4.1 de [1] décrit les différentes catégories de surfaces de paroi. Veuillez les retrouver dans la Figure ci-dessous. L’annexe D.2 de [1] fournit également des informations pour l’évaluation du coefficient de la rugosité de paroi pour la catégorie D4.

Figure 02 – Catégories de surfaces de paroi

Il est toujours nécessaire de déterminer les charges d’un cas de charge pour une combinaison particulière des propriétés de solide pertinentes. Pour chaque cas de charge, les valeurs extrêmes sont atteintes lorsque les propriétés de solide prennent des valeurs extrêmes différentes dans le flux de déversement des solides en vrac. Les valeurs extrêmes applicables des propriétés de solides en vrac sont listées dans le Tableau 3.1 de [1] pour chaque cas de charge à examiner. Les paramètres pertinents pour plusieurs applications de charge sont inclues dans le tableau suivant.

Figure 03 – Paramètres pertinents pour plusieurs applications de charge

Classe d’évaluation d’action

Les silos sont répartis dans trois différentes classes d’évaluation selon leur capacité d’entreposage et leur excentrement en considérant le Tableau 2.1 de [1].

Figure 04 - Classification des situations de calcul

Plusieurs évaluations de charge sont adoptées selon la classe d’évaluation d’action.

Charges sur les parois verticales des silos

Les charges sur les parois verticales des silos sont sujettes à différents calculs considérant l’élancement du silo étudié. Une distinction existe entre :

  • silos élancés (hc / dc ≥ 2.0)
  • silos à l’élancement moyen (1.0 < hc / dc < 2.0)
  • silos épais (0.4 < hc / dc ≤ 1.0), et
  • silos massifs (hc / dc ≤ 0.4 et le bas du silo est plat)

Figure 05 - Distribution de la pression dans le silo selon l’élancement de silo

Charges symétriques

Les charges symétriques sont des charges fixes distribuées de manière uniforme le long de la circonférence du silo. Les charges de vidage résultent de l’augmentation des charges uniformes par un facteur d’augmentation.

Charges non symétriques

En plus des charges fixes, des charges libres additionnelles sont en général appliquées aux silos. La distribution des charges non symétriques dans un silo est causée par les actions dues aux imperfections ou aux excentrements pendant le remplissage et vidage des solides.

Dans le cas de silos circulaires à parois épaisses, les charges non symétriques s’appliquent à deux zones carrées opposées d’une longueur s. Dans le cas de silos non circulaires, les charges non symétriques peuvent être considérées par une augmentation des charges symétriques. La pression externe doit être prise en compte comme action horizontale à n’importe quel niveau de la paroi du silo, sur une hauteur s.

Figure 06 - Application de charge non symétrique

En général, l’application de charges non symétriques n’est pas nécessaire lorsqu’il s’agit de silos épais ou massifs.

La méthode d’application de charges non symétriques peut être remplacée par une augmentation uniforme des charges horizontales pour les silos de la classe d’évaluation 2.

Charges de vidage avec excentrements importants

Selon [1], les charges dues à des excentrements importants dus au vidage doivent être étudiés comme un cas de charge à part. Le travail sur ce type de charge se base sur la supposition d'un canal d’écoulement qui apparaît près de la paroi, résultant d’un excentrement important dû au vidage. Le canal d’écoulement est supposé dans un conduit constant dû à la hauteur de la paroi du silo et qui rencontre le silo dans un angle ouvert θc.

Figure 07 - Canal d’écoulement et distribution de la pression pour les silos avec des excentrements importants de vidage

Tout de même, une prédiction théorique de la forme géométrique d’une trémie de vidage est difficilement possible avec les outils disponibles aujourd’hui. Ainsi, le canal d’écoulement doit être précisé. Le calcul est réalisé avec au minimum trois canaux d’écoulement différents au rayon rc afin de déterminer les variations apparentes du canal étudié.

Dans les zones de contact du solides en écoulement et la paroi du mur, une pression horizontale peut avoir lieu en dehors du canal, dans la partie inférieure du silo. Dans la plus grande zone, les charges du cas de charge de remplissage s’appliquent. La pression augmente alors directement près du canal d’écoulement dans l’angle d’ouverture de 2 θc.

Figure 08 - Application de charge pour les silos avec excentrements de sortie importants

Charges de remplissage et excentrements importants

Les charges dues au remplissage excentriques doivent être considérés pour les silos épais ou à l'élancement intermédiaire.

EN 1991-4 [1] explique de la détermination de la force verticale additionnelle (en compression) dans la paroi par unité de longueur de circonférence à toute profondeur zs sous la position de contact la plus élevée. Cette force par unité de circonférence doit être ajoutée à la force grandissant à partir de la friction de paroi.

Figure 09 - Pression de remplissage dans un silo épais rempli ou un silo à l'élancement intermédiaire rempli

Charges les trémies de silo et fonds de silo

Les charges sur les parois des trémies de silo doivent être déterminées avec considération de l'inclinaison des parois de trémie selon [1].

Figure 10 - Pressions de remplissage et vidage dans le silo

La norme distingue les fonds plats de ceux en pente et arrondis. Dans le cas de fonds en pente, une distinction supplémentaire existe entre cas de charge de remplissage et de vidage. La charge maximale admissible lors de la transition de la section de paroi verticale à la trémie est déjà inclue dans les distributions de charge.

L'annexe G de [1] fournit des règles alternatives pour les pression dans les trémies.

Exemple

Cet exemple présente un cylindre indépendant pour ciment de diamètre d = 5 m et l'unité de profondeur maximale d'entrepôt de 8 m. Le silo est réalisé en béton armé avec une épaisseur de paroi de 0,30 m.

Figure 11 - Disposition et dimensions du silo en béton

Solides en vrac

Les propriétés de solides en vrac suivants de ciment sont données par le Tableau E.1 de [1].

Unité de poids (supérieur) γu  =  16  kN/m³
Angle de repos Φr  =  36 °
Angle de friction interne (moyenne)  Φim  =  30 °
Facteur  aΦ  =  1,22  
Ratio de pression latérale (moyenne)  Κm  =  0,54  
Facteur  aΚ  =  1,20  
Coefficient de friction contre la paroi (type de paroi D3)  μm  =  0,51  (pour le béton)
Facteur  aμ  =  1,07  
Facteur de référence de charge solide  Cop  =  0,5  

Propriétés de solides en vrac caractéristiques

Afin de déterminer les valeurs caractéristiques du ratio latéral de pression, du coefficient de friction de paroi et de l'angle de friction interne, les valeurs moyennes listées des solides en vrac doivent être échelonnés grâce aux facteurs de conversion. Les facteurs ax sont précisés dans le Tableau E.1 de [1] pour les solides en vrac disponibles.

Valeur caractéristique supérieure et inférieure du ratio de pression latérale :
$$\begin{array}{l}{\mathrm K}_\mathrm u\;=\;{\mathrm a}_\mathrm K\;\cdot\;{\mathrm K}_\mathrm m\;=\;1.20\;\cdot\;0.54\;=\;0.648\\{\mathrm K}_\mathrm l\;=\;\frac{{\mathrm K}_\mathrm m}{{\mathrm a}_\mathrm K}\;=\;\frac{0.54}{1.20}\;=\;0.450\end{array}$$

Valeur caractéristique supérieure et inférieure du coefficient de friction de paroi
$$\begin{array}{l}{\mathrm\mu}_\mathrm u\;=\;{\mathrm a}_\mathrm\mu\;\cdot\;{\mathrm\mu}_\mathrm m\;=\;1.07\;\cdot\;0.51\;=\;0.546\\{\mathrm\mu}_\mathrm l\;=\;\frac{{\mathrm\mu}_\mathrm m}{{\mathrm a}_\mathrm\mu}\;=\;\frac{0.51}{1.07}\;=\;0.477\end{array}$$

Valeur caractéristique supérieure et inférieure de l'angle de friction interne:
$$\begin{array}{l}{\mathrm\Phi}_\mathrm{iu}\;=\;{\mathrm a}_\mathrm\Phi\;\cdot\;{\mathrm\Phi}_\mathrm{im}\;=\;1.22\;\cdot\;30.00^\circ\;=\;36.60^\circ\\{\mathrm\Phi}_\mathrm{iu}\;=\;\frac{{\mathrm\Phi}_\mathrm{im}}{{\mathrm a}_\mathrm\Phi}\;=\;\frac{30.00^\circ}{1.22}\;=\;24.59^\circ\end{array}$$

Valeurs des propriétés à utiliser pour les différentes évaluation de chargement de paroi

L'évaluation de chaque cas de charge doit être réalisé avec un ensemble unique de valeurs constantes des propriétés de solides, de sorte que chaque état limite corresponde à une condition du solide entreposé défini. Les valeurs extrêmes des propriétés de solides doivent être adoptées pour chaque cas de charge sont données dans le tableau suivant.

Figure 12 - Valeurs des propriétés à utiliser pour les différentes évaluation de chargement de paroi

L'angle de la friction de paroi doit toujours être inférieur ou égal à l'angle de friction interne du solide entreposé, Φwh ≤ Φi. Autrement, le matériau subira une rupture interne si le glissement sur la paroi de contact requiert une contrainte de cisaillement supérieure à la friction interne maximum admissible. Ainsi, dans tous les cas, le coefficient de friction de paroi ne doit pas être pris supérieur à tanΦi (par exemple μ = tanΦw ≤ tanΦi). Tout ceci est considéré dans le tableau au-dessus dont les valeurs pertinentes sont en gras.

Actions

Les actions sont déterminées selon [1]. Seules les charges de remplissage sur les parois verticales et les pressions verticales sur le fond plat des silos doit être calculé ici.

Classification de silo

La classification du silo se base sur l'élancement et la classe d'action de l'élancement.

Élancement

$$1.0\;<\;\frac{{\mathrm h}_\mathrm c}{{\mathrm d}_\mathrm c}\;=\;\frac{8.00}{5.00}\;=\;1.6\;<\;2$$

Le silo est classé comme ayant un élancement intermédiaire selon 1.5.21 de [1].

Classe d'évaluation d'actions

$$\mathrm{Capacity}\;=\;\mathrm V\;\cdot\;{\mathrm\gamma}_\mathrm u\;=\;157.08\;\cdot\;16.00\;=\;2,513.27\;\cong\;\frac{2,513.27}{9.80665}\;=\;256.28\;\mathrm t$$

D'après le Tableau 2.1 de [1], une Classe d'évaluation d'action doit au minimum être sélectionnée.

Forme de construction

$$\frac{{\mathrm d}_\mathrm c}{\mathrm t}\;=\;\frac{5.00}{0.20}\;=\;25\;<\;200$$

Le silo est classé comme silo à parois épaisses selon 1.5.43 de EN 1991-4 [1].

Charges de remplissage symétriques sur parois verticales

Pression horizontale
Profondeur caractéristique de Janssen zo

$$\begin{array}{l}{\mathrm z}_o\;=\;\frac1{\mathrm K\;\cdot\;\mathrm\mu}\;\cdot\;\frac{\mathrm A}{\mathrm U}\;\;\;\;\;(5.75)\\{\mathrm z}_o\;=\;\frac1{0.648\;\cdot\;0.458}\;\cdot\;\frac{19.63}{15.71}\;=\;4.22\;\mathrm m\\\end{array}$$

Distance verticale ho

S'il s'agit d'un silo circulaire et rempli symétrique, la distance verticale ho entre la surface équivalente du solide et la paroi solide de contact la plus élevée est calculée comme suit:
$$\begin{array}{l}{\mathrm h}_o\;=\;\frac{{\mathrm d}_\mathrm c}{6\;\cdot\;\tan\;{\mathrm\Phi}_\mathrm r}\;\;\;\;\;(5.77)\\{\mathrm h}_o\;=\;\frac{5.00}{6\;\cdot\;\tan\;36.00^\circ}\;=\;0.61\;\mathrm m\\\end{array}$$

Paramètre n
$$\begin{array}{l}\mathrm n\;=\;-(1\;+\;\tan\;{\mathrm\Phi}_\mathrm r)\;\cdot\;\frac{1\;-\;{\mathrm h}_o}{{\mathrm z}_o}\;\;\;\;\;(5.76)\\\mathrm n\;=\;-(1\;+\;\tan\;36.00^\circ)\;\cdot\;\frac{1\;-\;0.61}{4.22}\;=\;-1.48\\\end{array}$$
Pression horizontale asymptote de grande profondeur due au solide en vrac entreposé pho
$$\begin{array}{l}{\mathrm p}_\mathrm{ho}\;=\;\mathrm\gamma\;\cdot\;\mathrm K\;\cdot\;{\mathrm z}_o\;\;\;\;\;(5.73)\\{\mathrm p}_\mathrm{ho}\;=\;16.00\;\cdot\;0.648\;\cdot\;4.22\;=\;43.70\;\mathrm{kN}/\mathrm m^2\\\end{array}$$
Pression horizontale phf(z)
$$\begin{array}{l}{\mathrm p}_\mathrm{hf}(\mathrm z)\;=\;{\mathrm p}_\mathrm{ho}\;\cdot\;{\mathrm Y}_\mathrm R(\mathrm z)\;=\;{\mathrm p}_\mathrm{ho}\;\cdot\;\left(1\;-\;\left(\frac{\mathrm z\;-\;{\mathrm h}_\mathrm o}{{\mathrm z}_\mathrm o\;-\;{\mathrm h}_\mathrm o}\;+\;1\right)^\mathrm n\right)\;\;\;\;\;(5.71)\\{\mathrm p}_\mathrm{hf}(0.61)\;=\;0\;\mathrm{kN}/\mathrm m^2\\{\mathrm p}_\mathrm{hf}(1.61)\;=\;43.70\;\cdot\;\left(1\;-\;\left(\frac{1.61\;-\;0.61}{4.22\;-\;0.61}\;+\;1\right)^{-1.48}\right)\;=\;13.26\;\mathrm{kN}/\mathrm m^2\\{\mathrm p}_\mathrm{hf}(2.61)\;=\;43.70\;\cdot\;\left(1\;-\;\left(\frac{2.61\;-\;0.61}{4.22\;-\;0.61}\;+\;1\right)^{-1.48}\right)\;=\;20.93\;\mathrm{kN}/\mathrm m^2\\{\mathrm p}_\mathrm{hf}(3.61)\;=\;43.70\;\cdot\;\left(1\;-\;\left(\frac{3.61\;-\;0.61}{4.22\;-\;0.61}\;+\;1\right)^{-1.48}\right)\;=\;25.83\;\mathrm{kN}/\mathrm m^2\\{\mathrm p}_\mathrm{hf}(4.61)\;=\;43.70\;\cdot\;\left(1\;-\;\left(\frac{4.61\;-\;0.61}{4.22\;-\;0.61}\;+\;1\right)^{-1.48}\right)\;=\;29.19\;\mathrm{kN}/\mathrm m^2\\{\mathrm p}_\mathrm{hf}(5.61)\;=\;43.70\;\cdot\;\left(1\;-\;\left(\frac{5.61\;-\;0.61}{4.22\;-\;0.61}\;+\;1\right)^{-1.48}\right)\;=\;31.62\;\mathrm{kN}/\mathrm m^2\\{\mathrm p}_\mathrm{hf}(6.61)\;=\;43.70\;\cdot\;\left(1\;-\;\left(\frac{6.61\;-\;0.61}{4.22\;-\;0.61}\;+\;1\right)^{-1.48}\right)\;=\;33.43\;\mathrm{kN}/\mathrm m^2\\{\mathrm p}_\mathrm{hf}(7.61)\;=\;43.70\;\cdot\;\left(1\;-\;\left(\frac{7.61\;-\;0.61}{4.22\;-\;0.61}\;+\;1\right)^{-1.48}\right)\;=\;34.83\;\mathrm{kN}/\mathrm m^2\\{\mathrm p}_\mathrm{hf}(8.00)\;=\;43.70\;\cdot\;\left(1\;-\;\left(\frac{8.00\;-\;0.61}{4.22\;-\;0.61}\;+\;1\right)^{-1.48}\right)\;=\;35.29\;\mathrm{kN}/\mathrm m^2\end{array}$$
Traction en friction sur paroi
Profondeur caractéristique de Janssen zo
$$\begin{array}{l}{\mathrm z}_o\;=\;\frac1{\mathrm K\;\cdot\;\mathrm\mu}\;\cdot\;\frac{\mathrm A}{\mathrm U}\;\;\;\;\;(5.75)\\{\mathrm z}_o\;=\;\frac1{0.648\;\cdot\;0.458}\;\cdot\;\frac{19.63}{15.71}\;=\;4.22\;\mathrm m\\\end{array}$$
Distance verticale ho

S'il s'agit d'un silo circulaire rempli symétrique, la distance verticale ho entre la surface équivalente du solide et la paroi solide de contact la plus élevée est calculée comme suit:
$$\begin{array}{l}{\mathrm h}_o\;=\;\frac{{\mathrm d}_\mathrm c}{6\;\cdot\;\tan\;{\mathrm\Phi}_\mathrm r}\;\;\;\;\;(5.77)\\{\mathrm h}_o\;=\;\frac{5.00}{6\;\cdot\;\tan\;36.00^\circ}\;=\;0.61\;\mathrm m\\\end{array}$$

Paramètre n
$$\begin{array}{l}\mathrm n\;=\;-(1\;+\;\tan\;{\mathrm\Phi}_\mathrm r)\;\cdot\;\frac{1\;-\;{\mathrm h}_o}{{\mathrm z}_o}\;\;\;\;\;(5.76)\\\mathrm n\;=\;-(1\;+\;\tan\;36.00^\circ)\;\cdot\;\frac{1\;-\;0.61}{4.22}\;=\;-1.48\\\end{array}$$
Pression horizontale asymptote de grande profondeur due au solide en vrac entreposé pho
$$\begin{array}{l}{\mathrm p}_\mathrm{ho}\;=\;\mathrm\gamma\;\cdot\;\mathrm K\;\cdot\;{\mathrm z}_o\;\;\;\;\;(5.73)\\{\mathrm p}_\mathrm{ho}\;=\;16.00\;\cdot\;0.648\;\cdot\;4.22\;=\;43.70\;\mathrm{kN}/\mathrm m^2\\\end{array}$$
Traction en friction sur paroi pwf(z)
$$\begin{array}{l}{\mathrm p}_\mathrm{wf}(\mathrm z)\;=\;\mathrm\mu\;\cdot\;{\mathrm p}_\mathrm{ho}\;\cdot\;{\mathrm Y}_\mathrm R(\mathrm z)\;=\;\mathrm\mu\;\cdot\;{\mathrm p}_\mathrm{ho}\;\cdot\;\left(1\;-\;\left(\frac{\mathrm z\;-\;{\mathrm h}_\mathrm o}{{\mathrm z}_\mathrm o\;-\;{\mathrm h}_\mathrm o}\;+\;1\right)^\mathrm n\right)\;\;\;\;\;(5.72)\\\;{\mathrm p}_\mathrm{wf}(0.61)\;=\;0\;\mathrm{kN}/\mathrm m^2\\\;{\mathrm p}_\mathrm{wf}(1.61)\;=\;0.458\;\cdot\;43.70\;\cdot\;\left(1\;-\;\left(\frac{1.61\;-\;0.61}{4.22\;-\;0.61}\;+\;1\right)^{-1.48}\right)\;=\;6.07\;\mathrm{kN}/\mathrm m^2\\\;{\mathrm p}_\mathrm{wf}(2.61)\;=\;0.458\;\cdot\;43.70\;\cdot\;\left(1\;-\;\left(\frac{2.61\;-\;0.61}{4.22\;-\;0.61}\;+\;1\right)^{-1.48}\right)\;=\;9.58\;\mathrm{kN}/\mathrm m^2\\\;{\mathrm p}_\mathrm{wf}(3.61)\;=\;0.458\;\cdot\;43.70\;\cdot\;\left(1\;-\;\left(\frac{3.61\;-\;0.61}{4.22\;-\;0.61}\;+\;1\right)^{-1.48}\right)\;=\;11.82\;\mathrm{kN}/\mathrm m^2\\\;{\mathrm p}_\mathrm{wf}(4.61)\;=\;0.458\;\cdot\;43.70\;\cdot\;\left(1\;-\;\left(\frac{4.61\;-\;0.61}{4.22\;-\;0.61}\;+\;1\right)^{-1.48}\right)\;=\;13.36\;\mathrm{kN}/\mathrm m^2\\\;{\mathrm p}_\mathrm{wf}(5.61)\;=\;0.458\;\cdot\;43.70\;\cdot\;\left(1\;-\;\left(\frac{5.61\;-\;0.61}{4.22\;-\;0.61}\;+\;1\right)^{-1.48}\right)\;=\;14.47\;\mathrm{kN}/\mathrm m^2\\\;{\mathrm p}_\mathrm{wf}(6.61)\;=\;0.458\;\cdot\;43.70\;\cdot\;\left(1\;-\;\left(\frac{6.61\;-\;0.61}{4.22\;-\;0.61}\;+\;1\right)^{-1.48}\right)\;=\;15.30\;\mathrm{kN}/\mathrm m^2\\\;{\mathrm p}_\mathrm{wf}(7.61)\;=\;0.458\;\cdot\;43.70\;\cdot\;\left(1\;-\;\left(\frac{7.61\;-\;0.61}{4.22\;-\;0.61}\;+\;1\right)^{-1.48}\right)\;=\;15.94\;\mathrm{kN}/\mathrm m^2\\\;{\mathrm p}_\mathrm{wf}(8.00)\;=\;0.458\;\cdot\;43.70\;\cdot\;\left(1\;-\;\left(\frac{8.00\;-\;0.61}{4.22\;-\;0.61}\;+\;1\right)^{-1.48}\right)\;=\;16.15\;\mathrm{kN}/\mathrm m^2\end{array}$$
Pression verticale
Profondeur caractéristique de Janssen zo
$$\begin{array}{l}{\mathrm z}_\mathrm o\;=\;\frac1{\mathrm K\;\cdot\;\mathrm\mu}\;\cdot\;\frac{\mathrm A}{\mathrm U}\;\;\;\;\;(5.75)\\\;z_\mathrm o\;=\;\frac1{0.450\;\cdot\;0.477}\;\cdot\;\frac{19.63}{15.71}\;=\;5.83\;\mathrm m\\\end{array}$$
Paramètre n
$$\begin{array}{l}\mathrm n\;=\;-(1\;+\;\tan\;{\mathrm\Phi}_\mathrm r)\;\cdot\;\frac{1\;-\;{\mathrm h}_\mathrm o}{{\mathrm z}_\mathrm o}\;\;\;\;\;(5.76)\\\mathrm n\;=\;-(1\;+\;\tan\;36.00^\circ)\;\cdot\;\frac{1\;-\;0.61}{5.83}\;=\;-1.55\\\end{array}$$
Pression verticale pvf(z)
$$\begin{array}{l}{\mathrm p}_\mathrm{vf}(\mathrm z)\;=\;\mathrm\gamma\;\cdot\;{\mathrm z}_\mathrm v(\mathrm z)\;=\;\mathrm\gamma\;\cdot\;\left({\mathrm h}_\mathrm o\;-\;\frac1{\mathrm n\;+\;1}\;\cdot\;\left({\mathrm z}_\mathrm o\;-\;{\mathrm h}_\mathrm o\;-\;\frac{(\mathrm z\;+\;{\mathrm z}_\mathrm o\;-\;2\;\cdot\;{\mathrm h}_\mathrm o)^{\mathrm n+1}}{({\mathrm z}_\mathrm o\;-\;{\mathrm h}_\mathrm o)^\mathrm n}\right)\right)\;\;\;\;\;\;(5.79)\\{\mathrm p}_\mathrm{vf}(0.61)\;=\;16.00\;\cdot\;\left(0.61\;-\;\frac1{-1.55\;+\;1}\;\cdot\;\left(5.83\;-\;0.61\;-\;\frac{(0.61\;+\;5.83\;-\;2\;\cdot\;0.61)^{-1.55+1}}{(5.83\;-\;0.61)^{-1.55}}\right)\right)\;=\;9.69\;\mathrm{kN}/\mathrm m^2\\{\mathrm p}_\mathrm{vf}(1.61)\;=\;16.00\;\cdot\;\left(0.61\;-\;\frac1{-1.55\;+\;1}\;\cdot\;\left(5.83\;-\;0.61\;-\;\frac{(1.61\;+\;5.83\;-\;2\;\cdot\;0.61)^{-1.55+1}}{(5.83\;-\;0.61)^{-1.55}}\right)\right)\;=\;23.65\;\mathrm{kN}/\mathrm m^2\\{\mathrm p}_\mathrm{vf}(2.61)\;=\;16.00\;\cdot\;\left(0.61\;-\;\frac1{-1.55\;+\;1}\;\cdot\;\left(5.83\;-\;0.61\;-\;\frac{(2.61\;+\;5.83\;-\;2\;\cdot\;0.61)^{-1.55+1}}{(5.83\;-\;0.61)^{-1.55}}\right)\right)\;=\;34.51\;\mathrm{kN}/\mathrm m^2\\{\mathrm p}_\mathrm{vf}(3.61)\;=\;16.00\;\cdot\;\left(0.61\;-\;\frac1{-1.55\;+\;1}\;\cdot\;\left(5.83\;-\;0.61\;-\;\frac{(3.61\;+\;5.83\;-\;2\;\cdot\;0.61)^{-1.55+1}}{(5.83\;-\;0.61)^{-1.55}}\right)\right)\;=\;43.27\;\mathrm{kN}/\mathrm m^2\\{\mathrm p}_\mathrm{vf}(4.61)\;=\;16.00\;\cdot\;\left(0.61\;-\;\frac1{-1.55\;+\;1}\;\cdot\;\left(5.83\;-\;0.61\;-\;\frac{(4.61\;+\;5.83\;-\;2\;\cdot\;0.61)^{-1.55+1}}{(5.83\;-\;0.61)^{-1.55}}\right)\right)\;=\;50.52\;\mathrm{kN}/\mathrm m^2\\{\mathrm p}_\mathrm{vf}(5.61)\;=\;16.00\;\cdot\;\left(0.61\;-\;\frac1{-1.55\;+\;1}\;\cdot\;\left(5.83\;-\;0.61\;-\;\frac{(5.61\;+\;5.83\;-\;2\;\cdot\;0.61)^{-1.55+1}}{(5.83\;-\;0.61)^{-1.55}}\right)\right)\;=\;56.65\;\mathrm{kN}/\mathrm m^2\\{\mathrm p}_\mathrm{vf}(6.61)\;=\;16.00\;\cdot\;\left(0.61\;-\;\frac1{-1.55\;+\;1}\;\cdot\;\left(5.83\;-\;0.61\;-\;\frac{(6.61\;+\;5.83\;-\;2\;\cdot\;0.61)^{-1.55+1}}{(5.83\;-\;0.61)^{-1.55}}\right)\right)\;=\;61.92\;\mathrm{kN}/\mathrm m^2\\{\mathrm p}_\mathrm{vf}(7.61)\;=\;16.00\;\cdot\;\left(0.61\;-\;\frac1{-1.55\;+\;1}\;\cdot\;\left(5.83\;-\;0.61\;-\;\frac{(7.61\;+\;5.83\;-\;2\;\cdot\;0.61)^{-1.55+1}}{(5.83\;-\;0.61)^{-1.55}}\right)\right)\;=\;66.50\;\mathrm{kN}/\mathrm m^2\\{\mathrm p}_\mathrm{vf}(8.00)\;=\;16.00\;\cdot\;\left(0.61\;-\;\frac1{-1.55\;+\;1}\;\cdot\;\left(5.83\;-\;0.61\;-\;\frac{(8.00\;+\;5.83\;-\;2\;\cdot\;0.61)^{-1.55+1}}{(5.83\;-\;0.61)^{-1.55}}\right)\right)\;=\;68.15\;\mathrm{kN}/\mathrm m^2\end{array}$$
Forces verticales (en compression) dans la paroi nsk(z)
$$\begin{array}{l}{\mathrm n}_\mathrm{zSk}(\mathrm z)\;=\;\mathrm\mu\;\cdot\;{\mathrm p}_\mathrm{ho}(\mathrm z)\;\cdot\;(\mathrm z\;-\;{\mathrm z}_\mathrm v)\;\;\;\;\;(5.81)\\{\mathrm n}_\mathrm{zSk}(0.61)\;=\;0.00\;\mathrm{kN}/\mathrm m\\{\mathrm n}_\mathrm{zSk}(1.61)\;=\;0.458\;\cdot\;43.70\;\cdot\;(1.61\;-\;1.48)\;=\;2.55\;\mathrm{kN}/\mathrm m\\{\mathrm n}_\mathrm{zSk}(2.61)\;=\;0.458\;\cdot\;43.70\;\cdot\;(2.61\;-\;2.16)\;=\;8.97\;\mathrm{kN}/\mathrm m\\{\mathrm n}_\mathrm{zSk}(3.61)\;=\;0.458\;\cdot\;43.70\;\cdot\;(3.61\;-\;2.70)\;=\;18.02\;\mathrm{kN}/\mathrm m\\{\mathrm n}_\mathrm{zSk}(4.61)\;=\;0.458\;\cdot\;43.70\;\cdot\;(4.61\;-\;3.16)\;=\;28.96\;\mathrm{kN}/\mathrm m\\{\mathrm n}_\mathrm{zSk}(5.61)\;=\;0.458\;\cdot\;43.70\;\cdot\;(5.61\;-\;3.54)\;=\;41.30\;\mathrm{kN}/\mathrm m\\{\mathrm n}_\mathrm{zSk}(6.61)\;=\;0.458\;\cdot\;43.70\;\cdot\;(6.61\;-\;3.87)\;=\;54.72\;\mathrm{kN}/\mathrm m\\{\mathrm n}_\mathrm{zSk}(7.61)\;=\;0.458\;\cdot\;43.70\;\cdot\;(7.61\;-\;4.16)\;=\;68.98\;\mathrm{kN}/\mathrm m\\{\mathrm n}_\mathrm{zSk}(8.00)\;=\;0.458\;\cdot\;43.70\;\cdot\;(8.00\;-\;4.26)\;=\;74.81\;\mathrm{kN}/\mathrm m\end{array}$$

Charges de remplissage sur parois verticales

Dimension de la zone de charge de remplissage
$$\begin{array}{l}\mathrm s\;=\;\frac{\mathrm\pi\;\cdot\;{\mathrm d}_\mathrm c}{16}\;\;\;\;\;\;\;(5.12)\\\mathrm s\;=\;\frac{\mathrm\pi\;\cdot\;5.00}{16}\;=\;0.98\;\mathrm m\end{array}$$
Profondeur caractéristique de Janssen zo
$$\begin{array}{l}{\mathrm z}_\mathrm o\;=\;\frac1{\mathrm K\;\cdot\;\mathrm\mu}\;\cdot\;\frac{\mathrm A}{\mathrm U}\;\;\;\;\;(5.75)\\\;{\mathrm z}_\mathrm o\;=\;\frac1{0.648\;\cdot\;0.458}\;\cdot\;\frac{19.63}{15.71}\;=\;4.22\;\mathrm m\\\end{array}$$
Distance verticale ho

S'il s'agit d'un silo circulaire rempli symétrique, la distance verticale ho entre la surface équivalente du solide et la paroi solide de contact la plus élevée est calculée comme suit:
$$\begin{array}{l}{\mathrm h}_o\;=\;\frac{{\mathrm d}_\mathrm c}{6\;\cdot\;\tan\;{\mathrm\Phi}_\mathrm r}\;\;\;\;\;(5.77)\\{\mathrm h}_o\;=\;\frac{5.00}{6\;\cdot\;\tan\;36.00^\circ}\;=\;0.61\;\mathrm m\\\end{array}$$

Paramètre n
$$\begin{array}{l}\mathrm n\;=\;-(1\;+\;\tan\;{\mathrm\Phi}_\mathrm r)\;\cdot\;\frac{1\;-\;{\mathrm h}_\mathrm o}{{\mathrm z}_\mathrm o}\;\;\;\;\;(5.76)\\\mathrm n\;=\;-(1\;+\;\tan\;36.00^\circ)\;\cdot\;\frac{1\;-\;0.61}{4.22}\;=\;-1.48\\\end{array}$$
Pression horizontale asymptote de grande profondeur due au solide en vrac entreposé pho

$$\begin{array}{l}{\mathrm p}_\mathrm{ho}\;=\;\mathrm\gamma\;\cdot\;\mathrm K\;\cdot\;{\mathrm z}_\mathrm o\;\;\;\;\;(5.73)\\\;{\mathrm p}_\mathrm{ho}\;=\;16.00\;\cdot\;0.648\;\cdot\;4.22\;=\;43.70\;\mathrm{kN}/\mathrm m^2\\\end{array}$$

Facteur de charge de remplissage (facteur de grossissement de charge) Cpf
$$\begin{array}{l}\mathrm E\;=\;2\;\cdot\;\frac{{\mathrm e}_\mathrm f}{{\mathrm d}_\mathrm c}\;\;\;\;\;(5.10)\\\mathrm E\;=\;2\;\cdot\;\frac{0.00}{5.00}\;=\;0.00\end{array}$$ $$\begin{array}{l}{\mathrm C}_\mathrm{pf}\;=\;0.21\;\cdot\;{\mathrm C}_\mathrm{op}\;\cdot\;(1\;+\;2\;\cdot\;\mathrm E²)\;\cdot\;\left(1\;-\;\mathrm e^{-1.5\cdot(\frac{{\mathrm h}_\mathrm c}{{\mathrm d}_\mathrm c}\;-\;1)}\right)\;\;\;\;\;\;\;(5.9)\\{\mathrm C}_\mathrm{pf}\;=\;0.21\;\cdot\;0.50\;\cdot\;(1\;+\;2\;\cdot\;0.002)\;\cdot\;\left(1\;-\;\mathrm e^{-1,5\cdot(\frac{8.00}{5.00}\;-\;1)}\right)\;=\;0.06\;\geq\;0\end{array}$$
Charge de remplissage
$$\begin{array}{l}{\mathrm p}_\mathrm{pf}(\mathrm z)\;=\;{\mathrm C}_\mathrm{pf}\;\cdot\;{\mathrm p}_\mathrm{hf}(\mathrm z)\;=\;{\mathrm C}_\mathrm{pf}\;\cdot\;{\mathrm p}_\mathrm{ho}\;\cdot\;{\mathrm Y}_\mathrm R(\mathrm z)\;=\;{\mathrm C}_\mathrm{pf}\;\cdot\;{\mathrm p}_\mathrm{ho}\;\cdot\;\left(1\;-\;\left(\frac{\mathrm z\;-\;{\mathrm h}_\mathrm o}{{\mathrm z}_\mathrm o\;-\;{\mathrm h}_\mathrm o}\;+\;1\right)^\mathrm n\right)\;\;\;\;\;\;(5.8)\\{\mathrm p}_\mathrm{pf}(0.61)\;=\;0\;\mathrm{kN}/\mathrm m^2\\{\mathrm p}_\mathrm{pf}(1.61)\;=\;0.06\;\cdot\;43.70\;\cdot\;\left(1\;-\;\left(\frac{1.61\;-\;0.61}{4.22\;-\;0.61}\;+\;1\right)^{-1.48}\right)\;=\;0.83\;\mathrm{kN}/\mathrm m^2\\{\mathrm p}_\mathrm{pf}(2.61)\;=\;0.06\;\cdot\;43.70\;\cdot\;\left(1\;-\;\left(\frac{2.61\;-\;0.61}{4.22\;-\;0.61}\;+\;1\right)^{-1.48}\right)\;=\;1.30\;\mathrm{kN}/\mathrm m^2\\{\mathrm p}_\mathrm{pf}(3.61)\;=\;0.06\;\cdot\;43.70\;\cdot\;\left(1\;-\;\left(\frac{3.61\;-\;0.61}{4.22\;-\;0.61}\;+\;1\right)^{-1.48}\right)\;=\;1.61\;\mathrm{kN}/\mathrm m^2\\{\mathrm p}_\mathrm{pf}(4.61)\;=\;0.06\;\cdot\;43.70\;\cdot\;\left(1\;-\;\left(\frac{4.61\;-\;0.61}{4.22\;-\;0.61}\;+\;1\right)^{-1.48}\right)\;=\;1.82\;\mathrm{kN}/\mathrm m^2\\{\mathrm p}_\mathrm{pf}(5.61)\;=\;0.06\;\cdot\;43.70\;\cdot\;\left(1\;-\;\left(\frac{5.61\;-\;0.61}{4.22\;-\;0.61}\;+\;1\right)^{-1.48}\right)\;=\;1.97\;\mathrm{kN}/\mathrm m^2\\{\mathrm p}_\mathrm{pf}(6.61)\;=\;0.06\;\cdot\;43.70\;\cdot\;\left(1\;-\;\left(\frac{6.61\;-\;0.61}{4.22\;-\;0.61}\;+\;1\right)^{-1.48}\right)\;=\;2.08\;\mathrm{kN}/\mathrm m^2\\{\mathrm p}_\mathrm{pf}(7.61)\;=\;0.06\;\cdot\;43.70\;\cdot\;\left(1\;-\;\left(\frac{7.61\;-\;0.61}{4.22\;-\;0.61}\;+\;1\right)^{-1.48}\right)\;=\;2.17\;\mathrm{kN}/\mathrm m^2\\{\mathrm p}_\mathrm{pf}(8.00)\;=\;0.06\;\cdot\;43.70\;\cdot\;\left(1\;-\;\left(\frac{8.00\;-\;0.61}{4.22\;-\;0.61}\;+\;1\right)^{-1.48}\right)\;=\;2.20\;\mathrm{kN}/\mathrm m^2\end{array}$$

 

$$\begin{array}{l}{\mathrm p}_\mathrm{pfi}(\mathrm z)\;=\;\frac{{\mathrm p}_\mathrm{pf}(\mathrm z)}7\;\;\;\;\;(5.13)\\{\mathrm p}_\mathrm{pfi}(0.61)\;=\;0\;\mathrm{kN}/\mathrm m^2\\{\mathrm p}_\mathrm{pfi}(1.61)\;=\;\frac{0.83}7\;=\;0.12\;\mathrm{kN}/\mathrm m^2\\{\mathrm p}_\mathrm{pfi}(2.61)\;=\;\frac{1.30}7\;=\;0.19\;\mathrm{kN}/\mathrm m^2\\{\mathrm p}_\mathrm{pfi}(3.61)\;=\;\frac{1.61}7\;=\;0.23\;\mathrm{kN}/\mathrm m^2\\{\mathrm p}_\mathrm{pfi}(4.61)\;=\;\frac{1.82}7\;=\;0.26\;\mathrm{kN}/\mathrm m^2\\{\mathrm p}_\mathrm{pfi}(5.61)\;=\;\frac{1.97}7\;=\;0.28\;\mathrm{kN}/\mathrm m^2\\{\mathrm p}_\mathrm{pfi}(6.61)\;=\;\frac{2.08}7\;=\;0.30\;\mathrm{kN}/\mathrm m^2\\{\mathrm p}_\mathrm{pfi}(7.61)\;=\;\frac{2.17}7\;=\;0.31\;\mathrm{kN}/\mathrm m^2\\{\mathrm p}_\mathrm{pfi}(8.00)\;=\;\frac{2.20}7\;=\;0.31\;\mathrm{kN}/\mathrm m^2\end{array}$$

Pressions sur les fonds plats

La pression verticale agissant sur les fonds plats des silos à l'élancement intermédiaire ne peuvent pas être pris comme uniformes. Le calcul se base sur les évaluations de charges suivantes:

$$\begin{array}{l}{\mathrm C}_\mathrm b\;=\;1.0\;\;\;\;\;\;(6.3)\\{\mathrm p}_\mathrm{vb}\;=\;{\mathrm C}_\mathrm b\;\cdot\;{\mathrm p}_\mathrm{vf}(\mathrm{hc})\;=\;1.0\;\cdot\;68.15\;=\;68.15\;\mathrm{kN}/\mathrm m²\;\;\;\;\;\;(6.2)\\{\mathrm h}_\mathrm{tp}\;=\;\tan\;{\mathrm\Phi}_\mathrm r\;\cdot\;\frac{{\mathrm d}_\mathrm c}2\;=\;\tan\;36.00^\circ\;\cdot\;\frac{5.00}2\;=\;1.82\;\mathrm m\;\;\;\;\;\;(\mathrm{Figure}\;6.3)\\{\mathrm p}_\mathrm{vtp}\;=\;\mathrm\gamma\;\cdot\;{\mathrm h}_\mathrm{tp}\;=\;16.00\;\cdot\;1.82\;=\;29.06\;\mathrm{kN}/\mathrm m²\;\;\;\;\;\;(6.15)\\{\mathrm p}_\mathrm{vho}\;=\;\mathrm\gamma\;\cdot\;{\mathrm z}_\mathrm v\;=\;16.00\;\cdot\;0.61\;=\;9.69\;\mathrm{kN}/\mathrm m²\;\;\;\;\;\;(5.79)\\{\mathrm{Δp}}_\mathrm{sq}\;=\;{\mathrm p}_\mathrm{vtp}\;-\;{\mathrm p}_\mathrm{vho}\;=\;29.06\;-\;9.69\;=\;19.37\;\mathrm{kN}/\mathrm m²\;\;\;\;\;\;(6.14)\\{\mathrm p}_\mathrm{vsq}\;=\;{\mathrm p}_\mathrm{vb}\;+\;{\mathrm{Δp}}_\mathrm{sq}\;\cdot\;\frac{2.0\;-\;{\displaystyle\frac{{\mathrm h}_\mathrm c}{{\mathrm d}_\mathrm c}}}{2.0\;-\;{\displaystyle\frac{{\mathrm h}_\mathrm{tp}}{{\mathrm d}_\mathrm c}}}\;=\;68.15\;+\;19.37\;\cdot\;\frac{2.0\;-\;{\displaystyle\frac{8.00}{5.00}}}{2.0\;-\;{\displaystyle\frac{1.82}{5.00}}}\;=\;72.89\;\mathrm{kN}/\mathrm m²\;\;\;\;\;\;(6.13)\end{array}$$

Le facteur de grossissement de charge Cb s'applique aux silos de Classe d'évaluation d'action 2 à condition que les solides entreposés n'aient pas de tendance à un comportement dynamique pendant le processus de vidage.

La pression verticale pvsq dans un fond de silo doit être pris après le remplissage, ainsi qu'après le vidage.

Entrée de charge dans RFEM

La charge définie peut être entrée dans RFEM. La Figure 13 affiche un exemple de charge de remplissage avec z = 4,61 m. Cette charge peut être entrée dans RFEM comme une charge variable libre. L'entrée de charge est affichée dans la Figure 14.

Figure 13 - Charge de remplissage (z = 4,61 m)

Figure 14 - Entrée de charge de remplissage (z= 4,61 m) dans RFEM

Littérature

[1]   Eurocode 1 - Actions sur les structures - Partie 4 : silos et réservoirs

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