14x

2024-02-28

VE0053 | Консоль при кручении с депланацией: сравнение жесткой и вильчатой заделки

Описание

Консоль двутаврового профиля закреплена на левом конце (x=0) и нагружена крутящим моментом M согласно следующему эскизу. Цель этого примера — сравнить жесткую заделку с вилочной опорой и исследовать поведение некоторых характерных величин. Также выполнено сравнение с решением на основе пластинчатой модели. Данный верификационный пример основан на примере, представленном Gensichen и Lumpe (см. ссылку). Рассматриваются малые деформации, собственный вес не учитывается. Определите угол закручивания в середине консоли φ_x(L/2), а в случае стержневой модели с депланацией определите значения первичного крутящего момента M_Tpri, вторичного крутящего момента M_Tsec и бимомента M_ω как на левом конце (точка A), так и на правом конце (точка B). Задача описывается следующим набором параметров.

Материал	Сталь	Модуль упругости	E	210000.000	МПа
Материал	Сталь	Модуль сдвига	G	81000.000	МПа
Геометрия	Консоль	Длина	L	5.000	м
	Поперечное сечение	Высота	h	400.000	мм
		Ширина	b	180.000	мм
		Толщина стенки	s	10.000	мм
		Толщина полки	t	14.000	мм
Нагрузка		Момент	M	1.000	кНм

Консоль под кручением с депланацией

Аналитическое решение

При расчете стержня с учетом депланации полный крутящий момент M_T раскладывается на первичный крутящий момент M_Tpri и вторичный крутящий момент M_Tsec.

M_{T} (x) = M_{Tpri} (x) + M_{Tsec} (x) = G J φ' (x) - E C_{ω} φ''' (x)

J	Torsional constant
C_ω	Warping constant

Дифференциальное уравнение кручения

Уравнение можно выразить следующим образом:

φ''' (x) - α^{2} φ' (x) = - \frac{α^{2}}{G J} M_{T} (x); α^{2} = \frac{G J}{E C_{ω}}

Дифференциальное уравнение кручения

Это полное дифференциальное уравнение кручения. Его можно решить методом начальных параметров, что приводит к уравнениям для угла закручивания φ_x, относительного угла закручивания φ'_x, бимомента M_ω, а также первичного M_Tpri и вторичного M_Tsec крутящих моментов.

При рассмотрении жесткой заделки депланация ограничена. Граничные условия в этом случае: φ(0)=0, φ'(0)=0, M_T(0)=M, M_ω(L)=0.

При рассмотрении вилочной опоры депланация разрешена, и граничные условия следующие: φ(0)=0, M_ω(0)=0, M_T(0)=M, M_ω(L)=0.

При использовании этих граничных условий угол закручивания φ(x) определяется по известной формуле.

φ (x) = \frac{Mx}{GJ}

поворот консоли

Настройки RFEM

Моделирование выполнено в RFEM 5.05 и RFEM 6.01
Размер элемента l_FE= 0.025 м
Используется изотропная линейно-упругая модель материала
Используется теория изгиба пластин Кирхгофа
В RFEM 6 используется аддон «Кручение с депланацией» и «Расчет стальных конструкций»

Результаты

На следующих графиках показано поведение полного крутящего момента M_T, первичного крутящего момента M_Tpri, вторичного крутящего момента M_Tsec и бимомента M_ω, рассчитанных в RFEM 6 и RFEM 5 (модуль RF-FE-LTB), при рассмотрении жесткой заделки. Значения на обоих концах консоли сравниваются с аналитическим решением и решением в ANSYS 13.

Общий крутящий момент

Основной крутящий момент

Второстепенный крутящий момент

Момент депланации

Точка A (x=0)	Аналитическое решение	ANSYS 13	Соотношение	RFEM 6	Соотношение	RFEM RF-FE-LTB	Соотношение
M_Tpri [кНм]	0.000	0.008	-	0.000	-	0.000	-
M_Tsec [кНм]	1.000	0.992	0.992	1.000	1.000	1.000	1.000
M_ω [кНм]	-1.714	-1.683	0.989	-1.743	1.017	-1.714	1.000

Точка B (x=L)	Аналитическое решение	ANSYS 13	Соотношение	RFEM 6	Соотношение	RFEM RF-FE-LTB	Соотношение
M_Tpri [кНм]	0.890	0.893	1.003	0.869	0.976	0.890	1.000
M_Tsec [кНм]	0.110	0.107	0.973	0.131	1.191	0.110	1.000
M_ω [кНм]	0.000	0.001	-	0.000	-	0.000	-

Рассчитанный угол поворота вокруг оси x можно сравнить с результатами, полученными при рассмотрении вилочной опоры, а также с пластинчатыми моделями, которые естественным образом учитывают депланацию. Угол закручивания на половине длины φ(L/2) используется из-за влияния зоны вблизи точки приложения нагрузки в случае пластинчатых моделей. Определение вилочной опоры в случае пластинчатой модели затруднено, поскольку бимомент должен быть равен нулю. Это граничное условие не может быть задано напрямую в RFEM 5 / RFEM 6. Используемая аппроксимация показана на рисунке ниже. Поворот вокруг оси x ограничен на всех кромках опоры. Только центральный узел (на оси) закреплен полностью. В случае жесткой заделки все кромки опоры закреплены.

Неподвижная опора и аппроксимация вилочной опоры в RFEM 5/RFEM 6

Консоль с неподвижной опорой (сверху) и вилочной опорой (снизу), смоделированная с помощью пластин

Опора	Аналитическое решение	ANSYS 13		RFEM 6 (Стержень)		RFEM 6 (Пластина)
Опора	φ_x(L/2) [мрад]	φ_x(L/2) [мрад]	Соотношение [-]	φ_x(L/2) [мрад]	Соотношение [-]	φ_x(L/2) [мрад]	Соотношение [-]
Жесткая заделка	32.6	32.2	0.988	32.4	0.994	32.7	1.003
Вилочная опора	69.9	68.5	0.979	69.9	1.000	68.8	0.999

Опора	Аналитическое решение	ANSYS 13		RFEM 5, RF-FE-LTB (Стержень)		RFEM 5 (Пластина)
Опора	φ_x(L/2) [мрад]	φ_x(L/2) [мрад]	Соотношение [-]	φ_x(L/2) [мрад]	Соотношение [-]	φ_x(L/2) [мрад]	Соотношение [-]
Жесткая заделка	32.6	32.2	0.988	32.6	1.000	32.5	0.974
Вилочная опора	69.9	68.5	0.979	69.9	1.000	68.1	0.974

Примечание 1: Решение с использованием пластинчатых моделей служит демонстрацией эффекта депланации. Относительная погрешность также вызвана аппроксимацией вилочной опоры.

Примечание 2: Численное решение в ANSYS 13 было выполнено компанией Designtec s.r.o. Величины M_Tpri и M_Tsec не являются прямыми результатами ANSYS 13, они рассчитаны из бимомента M_ω. Поэтому их не следует считать полностью точными значениями. В ANSYS 13 используются элементы BEAM188.

Контрольный пример 0053 | 1

Ссылки

ЛУМПЕ, Г. и ГЕНЗИХЕН, В. Оценка линейного и нелинейного расчёта стержней в теории и программном обеспечении: контрольные примеры, причины ошибок, подробная теория. Эрнст, 2014.
Timoshenko S. & Gere JM M.; Theory of Elastic Stability, 2. издание. New York: McGraw-Hill, 1961

;