Opis
Wspornik o przekroju dwuteowym jest podparty na lewym końcu (x=0) i obciążony momentem skręcającym M zgodnie z poniższym szkicem. Celem tego przykładu jest porównanie podparcia sztywnego z podparciem widełkowym oraz zbadanie zachowania pewnych reprezentatywnych wielkości. Dokonano również porównania z rozwiązaniem za pomocą modelu płytowego. Przykład weryfikacyjny oparty jest na przykładzie przedstawionym przez Gensichena i Lumpego (patrz odnośnik). Uwzględniono małe deformacje, a ciężar własny pominięto. Należy wyznaczyć kąt skręcenia w połowie wspornika φx(L/2), a w przypadku elementu prętowego z deplanacją należy wyznaczyć wartości momentu skręcania pierwotnego MTpri, momentu skręcania wtórnego MTsec oraz bimomentu Mω zarówno na lewym końcu (punkt A), jak i na prawym końcu (punkt B). Problem opisany jest następującym zestawem parametrów.
| Materiał | Stal | Moduł sprężystości | E | 210000.000 | MPa |
| Moduł odkształcalności postaciowej | G | 81000.000 | MPa | ||
| Geometria | Wspornik | Długość | L | 5.000 | m |
| Przekrój poprzeczny | Wysokość | h | 400.000 | mm | |
| Szerokość | b | 180.000 | mm | ||
| Grubość środnika | s | 10.000 | mm | ||
| Grubość pasa | t | 14.000 | mm | ||
| Obciążenie | Moment | M | 1.000 | kNm | |
Rozwiązanie analityczne
W przypadku obliczeń prętowych z uwzględnieniem deplanacji, całkowity moment skręcający MT jest dzielony na moment skręcania pierwotnego MTpri i moment skręcania wtórnego MTsec.
Równanie można wyrazić następująco:
Jest to pełne różniczkowe równanie skręcania. Można je rozwiązać metodą parametrów początkowych, co prowadzi do równań na kąt skręcenia φx, względny kąt skręcenia φ'x oraz bimoment Mω, moment skręcania pierwotnego MTpri i moment skręcania wtórnego MTsec.
Deplanacja jest zablokowana, gdy rozważane jest podparcie sztywne. Warunki brzegowe w tym przypadku to: φ(0)=0, φ'(0)=0, MT(0)=M, Mω(L)=0.
W przypadku podparcia widełkowego deplanacja jest swobodna, a warunki brzegowe są następujące: φ(0)=0, Mω(0)=0, MT(0)=M, Mω(L)=0.
Przy użyciu tych warunków brzegowych kąt skręcenia φ(x) wyraża się dobrze znanym wzorem.
Ustawienia RFEM
- Modelowane w RFEM 5.05 i RFEM 6.01
- Rozmiar elementu skończonego wynosi lFE= 0.025 m
- Zastosowano izotropowy, liniowo-sprężysty model materiałowy
- Zastosowano teorię zginania płyt Kirchhoffa
- W RFEM 6 użyto rozszerzenia Skręcanie z deplanacją i Projektowanie stali
Wyniki
Na poniższych wykresach przedstawiono zachowanie całkowitego momentu skręcającego MT, momentu skręcania pierwotnego MTpri, momentu skręcania wtórnego MTsec oraz bimomentu Mω obliczonych w RFEM 6 i RFEM 5, moduł RF-FE-LTB, przy podparciu sztywnym. Wartości na obu końcach wspornika porównano z rozwiązaniem analitycznym i rozwiązaniem w ANSYS 13.
| Punkt A (x=0) | Rozwiązanie analityczne | ANSYS 13 | Stosunek | RFEM 6 | Stosunek | RFEM RF-FE-LTB | Stosunek |
| MTpri [kNm] | 0.000 | 0.008 | - | 0.000 | - | 0.000 | - |
| MTsec [kNm] | 1.000 | 0.992 | 0.992 | 1.000 | 1.000 | 1.000 | 1.000 |
| Mω [kNm] | -1.714 | -1.683 | 0.989 | -1.743 | 1.017 | -1.714 | 1.000 |
| Punkt B (x=L) | Rozwiązanie analityczne | ANSYS 13 | Stosunek | RFEM 6 | Stosunek | RFEM RF-FE-LTB | Stosunek |
| MTpri [kNm] | 0.890 | 0.893 | 1.003 | 0.869 | 0.976 | 0.890 | 1.000 |
| MTsec [kNm] | 0.110 | 0.107 | 0.973 | 0.131 | 1.191 | 0.110 | 1.000 |
| Mω [kNm] | 0.000 | 0.001 | - | 0.000 | - | 0.000 | - |
Obliczony kąt skręcenia wokół osi x można porównać z wynikami dla podparcia widełkowego, a także z modelami płytowymi, które w naturalny sposób uwzględniają deplanację. Do porównania użyto kąta skręcenia w połowie długości φ(L/2) ze względu na wpływ strefy w pobliżu punktu przyłożenia obciążenia w przypadku modeli płytowych. Definicja podparcia widełkowego w przypadku modelu płytowego jest skomplikowana, ponieważ bimoment musi być równy zero. Tego warunku brzegowego nie można ustawić bezpośrednio w RFEM 5 / RFEM 6. Zastosowane przybliżenie pokazano na poniższym rysunku. Obrót wokół osi x jest zablokowany na wszystkich krawędziach podpory. Tylko węzeł centralny (na osi) jest w pełni zamocowany. W przypadku podparcia sztywnego wszystkie krawędzie podpory są zamocowane.
| Podparcie | Rozwiązanie analityczne | ANSYS 13 | RFEM 6 (Pręt) | RFEM 6 (Płyta) | |||
| φx(L/2) [mrad] | φx(L/2) [mrad] | Stosunek [-] | φx(L/2) [mrad] | Stosunek [-] | φx(L/2) [mrad] | Stosunek [-] | |
| Podparcie sztywne | 32.6 | 32.2 | 0.988 | 32.4 | 0.994 | 32.7 | 1.003 |
| Podparcie widełkowe | 69.9 | 68.5 | 0.979 | 69.9 | 1.000 | 68.8 | 0.999 |
| Podparcie | Rozwiązanie analityczne | ANSYS 13 | RFEM 5, RF-FE-LTB (Pręt) | RFEM 5 (Płyta) | |||
| φx(L/2) [mrad] | φx(L/2) [mrad] | Stosunek [-] | φx(L/2) [mrad] | Stosunek [-] | φx(L/2) [mrad] | Stosunek [-] | |
| Podparcie sztywne | 32.6 | 32.2 | 0.988 | 32.6 | 1.000 | 32.5 | 0.974 |
| Podparcie widełkowe | 69.9 | 68.5 | 0.979 | 69.9 | 1.000 | 68.1 | 0.974 |
Uwaga 1: Rozwiązanie za pomocą modeli płytowych służy do demonstracji efektu deplanacji. Błąd względny spowodowany jest również przybliżeniem podparcia widełkowego.
Uwaga 2: Rozwiązanie numeryczne w ANSYS 13 zostało przeprowadzone przez firmę Designtec s.r.o. Wielkości MTpri i $ MTsec nie są oryginalnymi wynikami z ANSYS 13. Zostały one obliczone na podstawie bimomentu Mω. Dlatego nie należy ich traktować jako wartości całkowicie dokładnych. W ANSYS 13 użyto elementów BEAM188.
