Beschreibung
Ein Kragträger mit I-Profil ist am linken Ende (x=0) gelagert und wird durch das Torsionsmoment M gemäß der folgenden Skizze belastet. Ziel dieses Beispiels ist es, die feste Einspannung mit der Gabellagerung zu vergleichen und das Verhalten einiger repräsentativer Größen zu untersuchen. Zusätzlich wird der Vergleich mit der Lösung mittels Plattenelementen durchgeführt. Das Verifikationsbeispiel basiert auf dem von Gensichen und Lumpe vorgestellten Beispiel (siehe Literaturverweis). Es werden kleine Verformungen betrachtet und das Eigengewicht vernachlässigt. Bestimmen Sie die Verdrehung in der Mitte des Kragträgers φx(L/2) und im Fall der Stabelementberechnung mit Wölbkrafttorsion die Werte des primären Torsionsmoments MTpri, des sekundären Torsionsmoments MTsec und des Wölbmoments Mω sowohl am linken Ende (Punkt A) als auch am rechten Ende (Punkt B). Das Problem wird durch die folgenden Parameter beschrieben.
| Material | Stahl | Elastizitätsmodul | E | 210000,000 | MPa |
| Schubmodul | G | 81000,000 | MPa | ||
| Geometrie | Kragträger | Länge | L | 5,000 | m |
| Querschnitt | Höhe | h | 400,000 | mm | |
| Breite | b | 180,000 | mm | ||
| Stegdicke | s | 10,000 | mm | ||
| Flanschdicke | t | 14,000 | mm | ||
| Belastung | Moment | M | 1,000 | kNm | |
Analytische Lösung
Bei der Stabberechnung mit Wölbkrafttorsion wird das gesamte Torsionsmoment MT zwischen dem primären Torsionsmoment MTpri und dem sekundären Torsionsmoment MTsec aufgeteilt.
Die Gleichung kann wie folgt ausgedrückt werden:
Dies ist die vollständige Differentialgleichung der Torsion. Sie kann mit der Methode der Anfangsparameter gelöst werden und führt zu Gleichungen für die Verdrehung φx, die relative Verwindung φ'x und das Wölbmoment Mω, das primäre Torsionsmoment MTpri und das sekundäre Torsionsmoment MTsec.
Die Verwölbung ist behindert, wenn die feste Einspannung betrachtet wird. Die Randbedingungen sind in diesem Fall: φ(0)=0, φ'(0)=0, MT(0)=M, Mω(L)=0.
Wird die Gabellagerung betrachtet, ist die Verwölbung unbehindert und die Randbedingungen lauten: φ(0)=0, Mω(0)=0, MT(0)=M, Mω(L)=0.
Mit diesen Randbedingungen ergibt sich die Verdrehung φ(x) nach der bekannten Formel.
RFEM-Einstellungen
- Modelliert in RFEM 5.05 und RFEM 6.01
- Die Elementgröße beträgt lFE= 0,025 m
- Es wird ein isotropes linear-elastisches Materialmodell verwendet
- Es wird die Kirchhoff-Plattentheorie verwendet
- In RFEM 6 wird das Add-On Wölbkrafttorsion und Stahlbemessung verwendet
Ergebnisse
In den folgenden Diagrammen wird das Verhalten des gesamten Torsionsmoments MT, des primären Torsionsmoments MTpri, des sekundären Torsionsmoments MTsec und des Wölbmoments Mω, berechnet in RFEM 6 und RFEM 5 mit dem Modul RF-FE-BGDK, bei fester Einspannung dargestellt. Die Werte an beiden Enden des Kragträgers werden mit der analytischen Lösung und der Lösung in ANSYS 13 verglichen.
| Punkt A (x=0) | Analytische Lösung | ANSYS 13 | Verhältnis | RFEM 6 | Verhältnis | RFEM RF-FE-BGDK | Verhältnis |
| MTpri [kNm] | 0,000 | 0,008 | - | 0,000 | - | 0,000 | - |
| MTsec [kNm] | 1,000 | 0,992 | 0,992 | 1,000 | 1,000 | 1,000 | 1,000 |
| Mω [kNm] | -1,714 | -1,683 | 0,989 | -1,743 | 1,017 | -1,714 | 1,000 |
| Punkt B (x=L) | Analytische Lösung | ANSYS 13 | Verhältnis | RFEM 6 | Verhältnis | RFEM RF-FE-BGDK | Verhältnis |
| MTpri [kNm] | 0,890 | 0,893 | 1,003 | 0,869 | 0,976 | 0,890 | 1,000 |
| MTsec [kNm] | 0,110 | 0,107 | 0,973 | 0,131 | 1,191 | 0,110 | 1,000 |
| Mω [kNm] | 0,000 | 0,001 | - | 0,000 | - | 0,000 | - |
Die berechnete Verdrehung um die x-Achse kann mit den Ergebnissen bei Gabellagerung und auch mit Plattenmodellen, die die Verwölbung natürlich berücksichtigen, verglichen werden. Die Verdrehung bei halber Länge φ(L/2) wird aufgrund des beeinflussten Bereichs in der Nähe des Lasteinleitungspunkts bei Plattenmodellen verwendet. Die Definition der Gabellagerung beim Plattenmodell ist kompliziert, weil das Wölbmoment gleich null sein muss. Diese Randbedingung kann in RFEM 5 / RFEM 6 nicht direkt festgelegt werden. Die verwendete Näherung ist in der folgenden Abbildung dargestellt. Die Verdrehung um die x-Achse ist an allen Rändern der Lagerung behindert. Nur der zentrale Knoten (auf der Achse) ist vollständig festgehalten. Bei der festen Einspannung sind alle Ränder der Lagerung eingespannt.
| Lagerung | Analytische Lösung | ANSYS 13 | RFEM 6 (Stab) | RFEM 6 (Platte) | |||
| φx(L/2) [mrad] | φx(L/2) [mrad] | Verhältnis [-] | φx(L/2) [mrad] | Verhältnis [-] | φx(L/2) [mrad] | Verhältnis [-] | |
| Feste Einspannung | 32,6 | 32,2 | 0,988 | 32,4 | 0,994 | 32,7 | 1,003 |
| Gabellagerung | 69,9 | 68,5 | 0,979 | 69,9 | 1,000 | 68,8 | 0,999 |
| Lagerung | Analytische Lösung | ANSYS 13 | RFEM 5, RF-FE-BGDK (Stab) | RFEM 5 (Platte) | |||
| φx(L/2) [mrad] | φx(L/2) [mrad] | Verhältnis [-] | φx(L/2) [mrad] | Verhältnis [-] | φx(L/2) [mrad] | Verhältnis [-] | |
| Feste Einspannung | 32,6 | 32,2 | 0,988 | 32,6 | 1,000 | 32,5 | 0,974 |
| Gabellagerung | 69,9 | 68,5 | 0,979 | 69,9 | 1,000 | 68,1 | 0,974 |
Bemerkung 1: Die Lösung mit Plattenmodellen dient der Demonstration des Wölbeffekts. Der relative Fehler wird auch durch die Näherung der Gabellagerung verursacht.
Bemerkung 2: Die numerische Lösung in ANSYS 13 wurde von der Firma Designtec s.r.o. durchgeführt. Die Größen MTpri und MTsec sind nicht die ursprünglichen Ergebnisse aus ANSYS 13. Sie werden aus dem Wölbmoment Mω berechnet. Sie sollten daher nicht als völlig exakte Werte betrachtet werden. In ANSYS 13 werden die Elemente BEAM188 verwendet.
