Popis
Konzola z I-profilu je podepřena na levém konci (x=0) a je zatížena krouticím momentem M podle následujícího náčrtu. Cílem tohoto příkladu je porovnat vetknutí s vidlicovým uložením a vyšetřit chování některých reprezentativních veličin. Dále je provedeno srovnání s řešením pomocí desek. Ověřovací příklad je založen na příkladu, který představili Gensichen a Lumpe (viz odkaz). Uvažují se malé deformace a vlastní tíha se zanedbává. Stanovte úhel natočení v polovině konzoly φx(L/2) a v případě prutového modelu s deplanací určete hodnoty primárního krouticího momentu MTpri, sekundárního krouticího momentu MTsec a bimomentu Mω jak na levém konci (bod A), tak na pravém konci (bod B). Problém je popsán následující sadou parametrů.
| Materiál | Ocel | Modul pružnosti | E | 210000,000 | MPa |
| Modul pružnosti ve smyku | G | 81000,000 | MPa | ||
| Geometrie | Konzola | Délka | L | 5,000 | m |
| Průřez | Výška | h | 400,000 | mm | |
| Šířka | b | 180,000 | mm | ||
| Tloušťka stojiny | s | 10,000 | mm | ||
| Tloušťka pásnice | t | 14,000 | mm | ||
| Zatížení | Moment | M | 1,000 | kNm | |
Analytické řešení
Při uvažování prutového výpočtu s deplanací je celkový krouticí moment MT rozdělen na primární krouticí moment MTpri a sekundární krouticí moment MTsec.
Rovnici lze vyjádřit následovně:
Toto je úplná diferenciální rovnice kroucení. Lze ji vyřešit metodou počátečních parametrů a výsledkem jsou rovnice pro úhel natočení φx, poměrné zkroucení φ'x a bimoment Mω, primární krouticí moment MTpri a sekundární krouticí moment MTsec.
Deplanace je omezena, pokud je uvažováno vetknutí. Okrajové podmínky v tomto případě jsou: φ(0)=0, φ'(0)=0, MT(0)=M, Mω(L)=0.
Pokud je uvažováno vidlicové uložení, je deplanace umožněna a okrajové podmínky jsou následující: φ(0)=0, Mω(0)=0, MT(0)=M, Mω(L)=0.
Při použití těchto okrajových podmínek vede úhel natočení φ(x) ke známému vzorci.
Nastavení RFEMu
- Modelováno v RFEM 5.05 a RFEM 6.01
- Velikost prvku je lFE= 0,025 m
- Je použit izotropní lineárně elastický model materiálu
- Je použita Kirchhoffova teorie ohybu desek
- V RFEM 6 je použit addon Torsional Warping a Steel Design
Výsledky
V následujících grafech jsou zobrazeny průběhy celkového krouticího momentu MT, primárního krouticího momentu MTpri, sekundárního krouticího momentu MTsec a bimomentu Mω vypočítané v RFEM 6 a RFEM 5, modul RF-FE-LTB, pokud je uvažováno vetknutí. Hodnoty na obou koncích konzoly jsou porovnány s analytickým řešením a řešením v ANSYS 13.
| Bod A (x=0) | Analytické řešení | ANSYS 13 | Poměr | RFEM 6 | Poměr | RFEM RF-FE-LTB | Poměr |
| MTpri [kNm] | 0,000 | 0,008 | - | 0,000 | - | 0,000 | - |
| MTsec [kNm] | 1,000 | 0,992 | 0,992 | 1,000 | 1,000 | 1,000 | 1,000 |
| Mω [kNm] | -1,714 | -1,683 | 0,989 | -1,743 | 1,017 | -1,714 | 1,000 |
| Bod B (x=L) | Analytické řešení | ANSYS 13 | Poměr | RFEM 6 | Poměr | RFEM RF-FE-LTB | Poměr |
| MTpri [kNm] | 0,890 | 0,893 | 1,003 | 0,869 | 0,976 | 0,890 | 1,000 |
| MTsec [kNm] | 0,110 | 0,107 | 0,973 | 0,131 | 1,191 | 0,110 | 1,000 |
| Mω [kNm] | 0,000 | 0,001 | - | 0,000 | - | 0,000 | - |
Vypočítaný úhel natočení kolem osy x lze porovnat s výsledky, pokud je uvažováno vidlicové uložení, a také s modely desek, které deplanaci zohledňují přirozeně. Vzhledem k ovlivněné oblasti v blízkosti bodu zatížení je u modelů desek použit úhel natočení v polovině délky φ(L/2). Definice vidlicového uložení v případě modelu desky je komplikovaná, protože bimoment musí být roven nule. Tuto okrajovou podmínku nelze nastavit přímo v RFEM 5 / RFEM 6. Použitá aproximace je znázorněna na následujícím obrázku. Úhel natočení kolem osy x je omezen na všech hranách podpory. Pouze středový uzel (na ose) je plně vetknut. V případě vetknutí jsou všechny hrany podpory vetknuty.
| Podpora | Analytické řešení | ANSYS 13 | RFEM 6 (Prut) | RFEM 6 (Deska) | |||
| φx(L/2) [mrad] | φx(L/2) [mrad] | Poměr [-] | φx(L/2) [mrad] | Poměr [-] | φx(L/2) [mrad] | Poměr [-] | |
| Vetknutí | 32,6 | 32,2 | 0,988 | 32,4 | 0,994 | 32,7 | 1,003 |
| Vidlicové uložení | 69,9 | 68,5 | 0,979 | 69,9 | 1,000 | 68,8 | 0,999 |
| Podpora | Analytické řešení | ANSYS 13 | RFEM 5, RF-FE-LTB (Prut) | RFEM 5 (Deska) | |||
| φx(L/2) [mrad] | φx(L/2) [mrad] | Poměr [-] | φx(L/2) [mrad] | Poměr [-] | φx(L/2) [mrad] | Poměr [-] | |
| Vetknutí | 32,6 | 32,2 | 0,988 | 32,6 | 1,000 | 32,5 | 0,974 |
| Vidlicové uložení | 69,9 | 68,5 | 0,979 | 69,9 | 1,000 | 68,1 | 0,974 |
Poznámka 1: Řešení pomocí modelů desek je použito jako ukázka efektu deplanace. Relativní chyba je způsobena také aproximací vidlicového uložení.
Poznámka 2: Numerické řešení v ANSYS 13 provedla společnost Designtec s.r.o. Veličiny MTpri a MTsec nejsou původními výsledky z ANSYS 13. Jsou vypočítány z bimomentu Mω. Proto by neměly být brány jako zcela přesné hodnoty. V ANSYS 13 jsou použity prvky BEAM188.
