La recherche de forme dans RFEM

Article technique

Le module additionnel RF-FORM-FINDING détermine les formes en équilibre des toiles tendues et des câbles dans RFEM. Lors du calcul, le programme recherche une forme de sorte que la prétension des membranes et des câbles soit en équilibre avec les conditions limites naturelles et géométriques. Ce processus s’appelle la « Recherche de forme » (que l’on appellera « RF » tout le long de cet article). La RF peut être activée à partir de RFEM dans l’onglet « Options » de la boîte de dialogue « Données de base » d’un modèle. Après avoir activé l’option, un nouveau cas de charge ou un cas de calcul nommé RF-FORM-FINDING est créé dans RFEM. Un paramètre supplémentaire de RC est disponible pour la définition des précontraintes d’une surface lorsque vous paramétrez les câbles et membranes. Si l’option RC est activée, le logiciel effectue la recherche de forme avant le calcul des efforts internes, des déformations, des valeurs propres, etc., il génère ensuite un modèle précontraint pour les analyses à suivre.

Figure 01 – Données de base

Entrée de données

Lorsque modélisez une structure légère, vous pouvez voir que la position des membranes et des câbles est incertain. L’objectif de la RC est de déterminer les positions de ces éléments et de les y installer. Dans un premier temps, RFEM demande une forme initiale des éléments étudiés par la RC. Ces entrées fournissent au programme les informations de position, entre points, d’un câble et la position de la membrane grâce aux polylignes. De plus, la forme initiale requiert la détermination des valeurs de traction appliquée à la surface dans la direction la chaîne et de la trame des membranes, leur méthode d’application (en tension ou en projection), ainsi que la prétension ou le niveau de fléchissement des éléments de câble déterminés par la RC. À noter que la forme initiale de la RC n’est pas pertinente. Lorsque vous entrez les données de base des éléments à étudier pour la RC, vous devez vous assurer que tous les nœuds d’assemblages et toutes les lignes sont intégrées dans les surfaces/barres, mais aussi que le maillage puisse être généré pour tous les éléments. Si la création du maillage échoue, l’opération est arrêtée avant même le calcul.

Figure 02 - Menu

La recherche de forme

Le programme démarre la RC suite à la création de maillage. La RC utilise le maillage et la prétension de surface entrée précédemment. Elle déplace les éléments de maillage jusqu’à ce que la prétension de surface sur les éléments EF soit en équilibre avec les conditions limites. L’application de la prétension de surface sur les éléments de maillage de la membrane peut être définie de deux manières. La méthode en tension décrit un vecteur de contrainte de surface qui peut être déplacé librement en 3D jusqu’à atteindre la position voulue. À l’inverse, la méthode en projection décrit un vecteur de contrainte de surface qui a un déplacement limité dans l’espace et qui dépend des coordonnées XY. Il peut arriver que dans le cas de vecteurs de prétension libres dans l’espace, des vecteurs tangentiels se rapprochent du centre, notamment pour les modèles à symétrie de rotation. Vous pouvez neutraliser les effets de cette réaction en fixant les vecteurs de contrainte de surface au plan XY lorsque vous utilisez la méthode en projection. Ce pas de déplacement est réalisé de manière itérative selon la méthode URS (Updated Reference Strategy, voir https://www.st.bgu.tum.de/en/forschung/alte-forschungsthemen/form-finding-of-membrane-structures/ (en anglais)) par les professeurs K.U.Bletinger et E.Ramm. Utilisez l’onglet « Recherche de forme » de la boîte de dialogue Paramètres de calcul pour contrôler le processus itératif du calcul, vous pouvez y définir :

Un nombre maximal d’itérations
En général, la RC s’arrête avant d’atteindre le nombre maximal d’itérations défini tout en atteignant les limites de tolérance. Si les limites de tolérance ne sont pas atteintes après avoir atteint le nombre maximal d’itérations, le programme affiche un message d’erreur avec la possibilité d’utiliser le résultat intermédiaire dans les calculs à venir.

Nombre d’itérations pour la prétension
Ce nombre précise en combien d’itérations de la RC doit appliquer la prétension aux éléments avec la valeur précédemment définie. Lorsque cette limite est dépassée, le programme arrête d’appliquer la prétension de valeur initiale à la RC. Augmenter la valeur dans le cas d’une contrainte de surface isotrope avec la méthode en tension, ou bien d’une contrainte de surface isotrope/orthotrope avec la méthode en projection, permet au programme de converger vers une solution stable. La courbure bi-axiale rend possible de trouver une solution approximative pour la contrainte de surface orthotrope avec la méthode en tension.

Considération du poids propre à partir d’un cas de charge
En plus de la prétension de surface définie, l’assignement de ce cas de charge vous permet d’utiliser le poids propre comme une restriction pour la RC.

Intégration de la recherche de forme préliminaire
Dans la plupart des cas, cette option accélère la RC globale. La recherche de forme préliminaire déplace les éléments EF de surface, en supposant des bords rigides positionnés proches de la forme souhaitée. Ensuite, l’itération pour la RC démarre. La RC préliminaire réduit la différence entre la forme initiale et la forme finale souhaitée, le calcul itératif est donc plus court et le temps de calcul est alors considérablement réduit.

Génération de surfaces/lignes NURBS à partir des résultats de recherche de forme et nouvelle génération de résultats
Les surfaces/lignes NURBS permettent de déterminer une nouvelle entrée de données. En général, le programme affiche le maillage déplacé qui s’applique à la prétension de surface suite à la RC. Ce maillage peut être affiché dans l'interface graphique mais ne peut pas être modifié. Toutes les entrées et analyses (charges résultantes, évaluation de résultats, etc.) ne peuvent être entrées qu’à la première étape de l’étude. Si le maillage de recherche de forme n'est pas défini proche de la forme initiale, la transformation en NURBS peut vous aider. Cette option transforme la forme initiale de RC (surface en toile, les conditions limites de la toile et les lignes de câble) dans la forme du maillage.

D’habitude, cette dernière a une forme avec des courbures et avec des lignes correspondantes, sa forme ne peut pas être modifiée avec d’autres lignes, arcs ou splines. Sa surface ne peut également pas être éditée avec d’autres surfaces planes, cylindriques ou quadrangles. Cette option transforme le nouvel élément en des B-splines non uniformes rationnelles d’ordre 9. Ces éléments NURBS sont les lignes correspondantes et les définitions de surface qui correspondent de manière approximative aux formes déterminées précédemment.

Dans RFEM, l’entrée de surfaces NURBS n’est possible que pour les types de surfaces avec quatre lignes de niveau. La position de la matrice de nœuds nécessaire ne peut être distribuée que sur les surfaces avec quatre lignes de niveau, toutes dépendantes des conditions limites au centre de la surface, et le programme ne peut que les calculer selon ces dernières. De plus, un cas spécial avec trois lignes de niveau est possible car ce modèle de calcul –à l’inverse d’une surface quadrangulaire- considère la ligne de niveau d’une longueur de 0. Donc, la distribution de la matrice de nœuds dans l’angle sans ligne est très fortement compressée. Suite à la transformation, le programme créé un nouveau maillage EF avec les surfaces NURBS à partir de la forme issue de la RC sans déformations supplémentaires, et le processus de RC démarre. Les éléments NURBS étant très proches de la forme trouvée, le calcul trouve en général une solution en quelques minutes à peine. Comme espéré, une surface précontrainte avec une déformation quasi-nulle et perpendiculaire au plan de la membrane résulte de la RC suite à la transformation NURBS. Tout de même, une déformation peut avoir lieu dans la toile tendue, mais n’étant pas contraire aux suppositions initiales, elle peut être acceptée.

Tolérance du critère de convergence de recherche de forme
Cette solution définit la précision de la forme finale, la valeur entrée ajuste donc la précision de la RC. Ainsi, une valeur inférieure à 1 augmente la précision et oblige le programme à réaliser un calcul itératif jusqu’à ce que la limite de tolérance réduite soit atteinte. À travers ses itérations, la RC vérifie les déformations et l’équilibre entre les forces des éléments et les réactions.

Vitesse de convergence
Cette option permet de contrôler la stabilité. La RC applique la rigidité absolue aux surfaces en toile tendue. Cette valeur de rigidité peut être modifiée. Une valeur inférieure à 1 augmente la rigidité et fournit une convergence plus lente mais une stabilité de calcul plus élevée.

Figure 03 – Paramètres de calcul

Résultats

Suite à la recherche de forme, les résultats sont affichés sous le cas de charge « RF-FORM-FINDING ». Hormis l’objet de RC, le navigateur de résultats est le même que d’habitude. Les résultats de déformations décrivent la déformation entre la forme initiale et la forme en équilibre trouvée. Les résultats de barre et de surface affichent des conditions de force et de contrainte pour la forme en équilibre, en considérant les paramètres de RC définis. Le cas de charge « RF-FORM-FINDING » est une nouvelle configuration du modèle précontraint. Ainsi, un calcul avec certaines entrées de surface, comme des charges de vent par exemple, utilisent le modèle généré par le cas de charge « RF-FORM-FINDING » avec tous les effets correspondants comme configuration initiale. Si des cas de charges supplémentaires sont étudiés, la déformation s’applique à la forme en équilibre déterminée précédemment.

Figure 04 - Modèle

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